双曲线
【知识点梳理】
主要知识点
1、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．
说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点： （1）距离之差的绝对值.
（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．
当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在. 2、标准方程的推导 （1）建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）． （2）点的集合
由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.
（3
=±2a
x2y2222
（4）化简方程2-2=1（其中c＝a+b）
ab
（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：
①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；
2222
②已知渐近线的方程bx±ay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为bx－ay＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上．
（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．
222
（3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c＝a+b，若记∠AOB＝θ，则e＝
c1
＝． acosθ
（4）参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类
22222
型；a、b、c的关系是c＝a+b；在方程Ax+By＝C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程．
（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不
y2x2yx
能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是±＝0，则可把双曲线方程表示为2－2＝λ（λ≠0），
abab
再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．
【典型例题】
例1. 根据下列条件，求双曲线方程：
y2x2
（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；
916
y2x2
（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（32，2）.
164
（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3，
例2. △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B（－1，0），C（1，0），求满足sinC－sinB＝顶点A的轨迹方程，并画出图形．
1516
）Q（，5）． 43
1
sinA时，2
22
例3．直线y=x+1与双曲线x-y=1相交于A,B两点，求
。
23
AB
例4．求过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线x
例5. 设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围．
例6. 已知椭圆具有的性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、
2
4
-y2=1的弦所在直线方程？
x2y2
PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C’2－2
ab
＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
1
例7.已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2（1）
3求动点P的轨迹方程；
（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．
【巩固练习】
一、选择题。
1. 到两定点F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是 （ ） A. 椭圆
B. 线段
C. 双曲线
D. 两条射线 （ ） D. k>1或k
y2x2
+=1表示双曲线，则k的取值范围是 2. 方程
1+k1-k
A. -10 C. k≥0
3. 双曲线
x2m2+12
-
y24-m2
=1的焦距是 （ ）
A. 4 B. 22 C. 8 D. 与m有关
x2y24.设P是双曲线2－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦
9a
点.若|PF1|＝3，则|PF2|等于（ ）A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
5. “ab
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
x2
-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） 6. 焦点为(0,6)，且与双曲线2
y2x2y2x2x2y2x2y2
-=1 B. -=1 C. -=1 -=1 A. D. [**************]2
7. 若0x2a-k
2
-
y2b+k
2
=1与双曲线
x2a
2
-
y2b
2
=1有 （ ）
B. 相同的实轴 C. 相同的渐近线 D. 相同的焦点
x2y2
-=1左焦点F1的弦AB长为6，则∆ABF2（F2为右焦点）的周长是（ ） 8. 过双曲线
169
A. 28 B. 22 C. 14 D. 12
9. 已知双曲线方程为x2-y=1，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有 （ ）
4
2
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
2
2
x2x22
+y=1 ④-y2=1，其中与直线y＝－2x－3有交10. 给出下列曲线：①4x+2y－1＝0；②x+y＝3；③22
点的所有曲线是 （ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题。
y2x2
11.给出问题：F1、F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到
1620
焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17．
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________．
y2
12. 过点A（0，2）可以作_________条直线与双曲线x－＝1有且只有一个公共点．
4
x2y2
-=1相交于A,B两点，则＝__________________． 13. 直线y=x+1与双曲线23
x2
-y2=1的弦所在直线的方程为． 14. 过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线4
三、解答题。
2
15.根据下列条件求双曲线的标准方程
（1
）已知a=，经过点A(2,-5)，焦点在y轴上的双曲线 （2）过点A(-2，42)、B(3，-25)的双曲线
x2y2
-=
1有公共渐进线，且经过点A-3, （3）求与双曲线
916
(
16 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|²|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
y2
17.已知双曲线x－＝1与点P（1，2），过点P作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.
2
（1）求直线AB的方程； （2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.
2
18. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/ s：相关各点均在同一平面上）．
y2x2
答案：例1.剖析：设双曲线方程为2－2＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，
ab
由题意易得关于a、b的两个方程.
⎧b4
=2⎪2
yx⎪a3
解法一：（1）设双曲线的方程为2－2＝1， 由题意得
⎨ 2ab⎪ (-3) =1
⎪⎩a2
y29x22
解得a＝，b＝4．所以双曲线的方程为－＝1．
944
4
2
y2x2
（2）设双曲线方程为2－2＝1.由题意易求c＝2．
ab
(32)24
又双曲线过点（3，2），∴－＝1.又∵a2+b2＝（25）2， 22
ba
y2x2
∴a＝12，b＝8．故所求双曲线的方程为－＝1．
128y2x2
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），
916
y211x2
将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝．
91644
y2y2x2x2
（2）设双曲线方程为－＝1，将点（32，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为－＝1．
12816-k4+k
评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思
2
2
y2x2
想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为ax－by＝λ（λ≠0）．与2－2＝1
ab
22
22
x2y2
同焦点的可设为2－＝1
a-kb2+k
x2y2
-=1（mn>0）（3）设双曲线方程为，将PQ两点坐标代入求得m＝－16，n＝－9. mny2y2x2x2y2x2
-=1，说明：若设2－2＝1或2－2＝1两种情况求解，比较繁琐． 故所求方程为
abab916
例2.解：根据正弦定理得c－b＝
1
a＝1，即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线 2
x2y213122
-=1（x>） 又c＝1，a＝，∴b＝c－a＝，故双曲线方程为1324244
例5.剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，
知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围. 解：设点P的坐标为（x，y），依题意 |y|
＝2，即y＝±2x（x≠0）． ① |x|
因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||
∵||PM|－|PN||＝2|m|>0，∴0
y2x2
故2－＝1． m1-m2
2
②
m2(1-m2)将①代入②，并解得x＝，∵1－m2>0，∴1－5m2>0． 2
1-5m
55，即m的取值范围为（－，0）∪（0，）． 555
评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．
解得0
x2y2
例6.解：类似的性质为若MN是双曲线2－2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当
ab
直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．
m2n2
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中2－2＝1．
ba
y2-n2y-ny-ny+ny+n
又设点P的坐标为（x，y），由kPM＝，kPN＝，得kPM²kPN＝²＝2， 2
x+mx-mx-mx+mx-mb2222b222b2
将y＝2x－b，n＝2m－b，代入得kPM²kPN＝2．
aaa
2
评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线
基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．
例7.[解析]：(1)∵x2－y2＝1，∴c＝设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a＞0)，2a＞2c＝2，∴a|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－|F1F2|2∴cos∠F1PF2＝
2|PF1||PF2|2|PF1||PF2|2a2－4
＝－1 |PF1||PF2|∵|PF1||PF2|≤(
|PF|＋|PF|2
＝a2，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2. 2
2a2－42a2－41
此时cos∠F1PF2取得最小值1，由题意－1＝－，解得a2＝3，∴b2=a2-c2=3-2=1
aa3x22
∴P＋y＝1.
3
①
⎧x2
222+y2=1 将②(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，⎪代入①得：(1＋3k)x＋6kmx＋3(m－1)＝0 (*) 3⎨
⎪y=kx+m② ⎩
x1＋x2－3kmm
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝ ，y0＝kx0＋m21＋3k1＋3k3kmm即Q(－) 1＋3k1＋3k∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上，
m
11＋3k1＋3k2
∴klkAB＝k＝－1 ，解得m＝ …③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，
3km2－
1＋3k即 (6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0 ④ ，将③代入④得 1＋3k2212[1＋3k－()]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，
2
2
∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1).
【试题答案】
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. |PF2|＝17 12. 4 13. 4 14. 3x+4y-5=0 三、解答题（40分）
x2y2
15. 解：（1）由16x－9y＝144得－＝1，„„„„2'
916
∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），„„„„4'
2
2
5
，„„„„6' 3
4
渐近线方程为y＝±x.„„„„8'
3
离心率e＝
222
|PF1|+|PF2|-|F1F2|（2）||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝ „„„„10'
2|PF||PF|12
22
(|PF36+64-1001|-|PF2|)+2|PF1||PF2|-|F1F2|＝＝ ＝0. „„„„12'
2|PF||PF|6412
∴∠F1PF2＝90°。„„„„14'
16. （1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2＝k（x－1），„„„„2' 代入双曲线方程得
（2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）＝0. „„„„4' 设A（x1，y1），B（x2，y2），
2k2-4k则有x1+x2＝－，„„„„6'
2-k2
由已知
x1+x2
＝xP＝1， 2
2k2-4k∴2＝2。解得k＝1。 „„„„8'
k-2
又k＝1时，Δ＝16＞0，从而直线AB方程为x－y+1＝0. „„„„10' （2）证明：按同样方法求得k＝2，„„„„12'
而当k＝2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在. „„„„14'
17. 解：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.
„„„„2'
设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）„„„„4'
设P（x，y）为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|＝|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|＝340³4＝1360„„„„6'
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得a＝680， c＝1020，„„„„8'
x2y2
-2=1上， 2ab
∴b2=c2-a2=10202-6802=5⨯3402,故双曲线方程为： x2y2
-=1„„„„10'
68025⨯3402
用y＝－x代入上式，得x=±6805，∵|PB|>|PA|，∴x=-680,y=680,
即P(-6805,6805),故PO=680，„„„„11'
答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680m处. „„„„12'
双曲线
【知识点梳理】
主要知识点
1、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．
说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点： （1）距离之差的绝对值.
（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．
当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在. 2、标准方程的推导 （1）建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）． （2）点的集合
由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.
（3
=±2a
x2y2222
（4）化简方程2-2=1（其中c＝a+b）
ab
（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：
①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；
2222
②已知渐近线的方程bx±ay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为bx－ay＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上．
（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．
222
（3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c＝a+b，若记∠AOB＝θ，则e＝
c1
＝． acosθ
（4）参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类
22222
型；a、b、c的关系是c＝a+b；在方程Ax+By＝C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程．
（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不
y2x2yx
能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是±＝0，则可把双曲线方程表示为2－2＝λ（λ≠0），
abab
再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．
【典型例题】
例1. 根据下列条件，求双曲线方程：
y2x2
（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；
916
y2x2
（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（32，2）.
164
（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3，
例2. △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B（－1，0），C（1，0），求满足sinC－sinB＝顶点A的轨迹方程，并画出图形．
1516
）Q（，5）． 43
1
sinA时，2
22
例3．直线y=x+1与双曲线x-y=1相交于A,B两点，求
。
23
AB
例4．求过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线x
例5. 设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围．
例6. 已知椭圆具有的性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、
2
4
-y2=1的弦所在直线方程？
x2y2
PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C’2－2
ab
＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
1
例7.已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2（1）
3求动点P的轨迹方程；
（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．
【巩固练习】
一、选择题。
1. 到两定点F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是 （ ） A. 椭圆
B. 线段
C. 双曲线
D. 两条射线 （ ） D. k>1或k
y2x2
+=1表示双曲线，则k的取值范围是 2. 方程
1+k1-k
A. -10 C. k≥0
3. 双曲线
x2m2+12
-
y24-m2
=1的焦距是 （ ）
A. 4 B. 22 C. 8 D. 与m有关
x2y24.设P是双曲线2－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦
9a
点.若|PF1|＝3，则|PF2|等于（ ）A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
5. “ab
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
x2
-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） 6. 焦点为(0,6)，且与双曲线2
y2x2y2x2x2y2x2y2
-=1 B. -=1 C. -=1 -=1 A. D. [**************]2
7. 若0x2a-k
2
-
y2b+k
2
=1与双曲线
x2a
2
-
y2b
2
=1有 （ ）
B. 相同的实轴 C. 相同的渐近线 D. 相同的焦点
x2y2
-=1左焦点F1的弦AB长为6，则∆ABF2（F2为右焦点）的周长是（ ） 8. 过双曲线
169
A. 28 B. 22 C. 14 D. 12
9. 已知双曲线方程为x2-y=1，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有 （ ）
4
2
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
2
2
x2x22
+y=1 ④-y2=1，其中与直线y＝－2x－3有交10. 给出下列曲线：①4x+2y－1＝0；②x+y＝3；③22
点的所有曲线是 （ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题。
y2x2
11.给出问题：F1、F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到
1620
焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17．
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________．
y2
12. 过点A（0，2）可以作_________条直线与双曲线x－＝1有且只有一个公共点．
4
x2y2
-=1相交于A,B两点，则＝__________________． 13. 直线y=x+1与双曲线23
x2
-y2=1的弦所在直线的方程为． 14. 过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线4
三、解答题。
2
15.根据下列条件求双曲线的标准方程
（1
）已知a=，经过点A(2,-5)，焦点在y轴上的双曲线 （2）过点A(-2，42)、B(3，-25)的双曲线
x2y2
-=
1有公共渐进线，且经过点A-3, （3）求与双曲线
916
(
16 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|²|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
y2
17.已知双曲线x－＝1与点P（1，2），过点P作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.
2
（1）求直线AB的方程； （2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.
2
18. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/ s：相关各点均在同一平面上）．
y2x2
答案：例1.剖析：设双曲线方程为2－2＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，
ab
由题意易得关于a、b的两个方程.
⎧b4
=2⎪2
yx⎪a3
解法一：（1）设双曲线的方程为2－2＝1， 由题意得
⎨ 2ab⎪ (-3) =1
⎪⎩a2
y29x22
解得a＝，b＝4．所以双曲线的方程为－＝1．
944
4
2
y2x2
（2）设双曲线方程为2－2＝1.由题意易求c＝2．
ab
(32)24
又双曲线过点（3，2），∴－＝1.又∵a2+b2＝（25）2， 22
ba
y2x2
∴a＝12，b＝8．故所求双曲线的方程为－＝1．
128y2x2
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），
916
y211x2
将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝．
91644
y2y2x2x2
（2）设双曲线方程为－＝1，将点（32，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为－＝1．
12816-k4+k
评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思
2
2
y2x2
想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为ax－by＝λ（λ≠0）．与2－2＝1
ab
22
22
x2y2
同焦点的可设为2－＝1
a-kb2+k
x2y2
-=1（mn>0）（3）设双曲线方程为，将PQ两点坐标代入求得m＝－16，n＝－9. mny2y2x2x2y2x2
-=1，说明：若设2－2＝1或2－2＝1两种情况求解，比较繁琐． 故所求方程为
abab916
例2.解：根据正弦定理得c－b＝
1
a＝1，即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线 2
x2y213122
-=1（x>） 又c＝1，a＝，∴b＝c－a＝，故双曲线方程为1324244
例5.剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，
知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围. 解：设点P的坐标为（x，y），依题意 |y|
＝2，即y＝±2x（x≠0）． ① |x|
因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||
∵||PM|－|PN||＝2|m|>0，∴0
y2x2
故2－＝1． m1-m2
2
②
m2(1-m2)将①代入②，并解得x＝，∵1－m2>0，∴1－5m2>0． 2
1-5m
55，即m的取值范围为（－，0）∪（0，）． 555
评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．
解得0
x2y2
例6.解：类似的性质为若MN是双曲线2－2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当
ab
直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．
m2n2
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中2－2＝1．
ba
y2-n2y-ny-ny+ny+n
又设点P的坐标为（x，y），由kPM＝，kPN＝，得kPM²kPN＝²＝2， 2
x+mx-mx-mx+mx-mb2222b222b2
将y＝2x－b，n＝2m－b，代入得kPM²kPN＝2．
aaa
2
评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线
基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．
例7.[解析]：(1)∵x2－y2＝1，∴c＝设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a＞0)，2a＞2c＝2，∴a|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－|F1F2|2∴cos∠F1PF2＝
2|PF1||PF2|2|PF1||PF2|2a2－4
＝－1 |PF1||PF2|∵|PF1||PF2|≤(
|PF|＋|PF|2
＝a2，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2. 2
2a2－42a2－41
此时cos∠F1PF2取得最小值1，由题意－1＝－，解得a2＝3，∴b2=a2-c2=3-2=1
aa3x22
∴P＋y＝1.
3
①
⎧x2
222+y2=1 将②(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，⎪代入①得：(1＋3k)x＋6kmx＋3(m－1)＝0 (*) 3⎨
⎪y=kx+m② ⎩
x1＋x2－3kmm
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝ ，y0＝kx0＋m21＋3k1＋3k3kmm即Q(－) 1＋3k1＋3k∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上，
m
11＋3k1＋3k2
∴klkAB＝k＝－1 ，解得m＝ …③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，
3km2－
1＋3k即 (6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0 ④ ，将③代入④得 1＋3k2212[1＋3k－()]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，
2
2
∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1).
【试题答案】
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. |PF2|＝17 12. 4 13. 4 14. 3x+4y-5=0 三、解答题（40分）
x2y2
15. 解：（1）由16x－9y＝144得－＝1，„„„„2'
916
∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），„„„„4'
2
2
5
，„„„„6' 3
4
渐近线方程为y＝±x.„„„„8'
3
离心率e＝
222
|PF1|+|PF2|-|F1F2|（2）||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝ „„„„10'
2|PF||PF|12
22
(|PF36+64-1001|-|PF2|)+2|PF1||PF2|-|F1F2|＝＝ ＝0. „„„„12'
2|PF||PF|6412
∴∠F1PF2＝90°。„„„„14'
16. （1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2＝k（x－1），„„„„2' 代入双曲线方程得
（2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）＝0. „„„„4' 设A（x1，y1），B（x2，y2），
2k2-4k则有x1+x2＝－，„„„„6'
2-k2
由已知
x1+x2
＝xP＝1， 2
2k2-4k∴2＝2。解得k＝1。 „„„„8'
k-2
又k＝1时，Δ＝16＞0，从而直线AB方程为x－y+1＝0. „„„„10' （2）证明：按同样方法求得k＝2，„„„„12'
而当k＝2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在. „„„„14'
17. 解：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.
„„„„2'
设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）„„„„4'
设P（x，y）为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|＝|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|＝340³4＝1360„„„„6'
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得a＝680， c＝1020，„„„„8'
x2y2
-2=1上， 2ab
∴b2=c2-a2=10202-6802=5⨯3402,故双曲线方程为： x2y2
-=1„„„„10'
68025⨯3402
用y＝－x代入上式，得x=±6805，∵|PB|>|PA|，∴x=-680,y=680,
即P(-6805,6805),故PO=680，„„„„11'
答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680m处. „„„„12'