高中数学高考综合复习 专题二十 直线与圆
一、知识网络
二、高考考点 1. 直线的倾斜与斜率； 2. 直线的方程及其应用；
3. 两条直线的平行、垂直与有关夹角和到角的公式； 4. 简单的线性规划问题； 5. 圆的方程及其应用； 6. 直线与圆的相切与相交问题； 7. 两圆的位置关系；
8. 直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题. 三、知识要点 （一）直线
1、直线的倾斜角定义与规定
（1）定义：对于一条与x 轴相交的直线，将x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作α.
（2）规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°.
综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角α 的取值范围是[0°，180°）或[0，π）.
提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确.
（3）直线的斜率与方向向量 （Ⅰ）
定义1：当直线l 的倾斜角α不是 2时，α的正切叫做直线l 的斜率，直线的斜率通常用k 表示即：k =tan α(0≤α
特例：当直线的倾斜角为 2 时，直线的斜率不存在. 认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：
ππ
00；
α=0 k =0； α=2 l ⊥x 轴；（直线的斜率不存在）
π
ππ
π
（Ⅱ）斜率公式
已知直线l 上两点P 1(x1, y 1) , P2(x2, y 2)(x1≠x 2) ，则直线l 的斜率：k =
y 2−y 1x 2−x 1
=(x 1−x 2 .
1
2
y −y
（Ⅲ）
定义2：直线l 上的向量 P 1P 2与平行于l 的向量都称为直线l 的方向向量.
设P 1(x1, y 1) 、 P2(x2, y 2) ，则直线l 的方向向量 P 1P 2 的坐标是(x2−x 1，y 2−y 1) ；当直线l 不与x 轴垂直时，(x1≠x 2，此时，直线l 的方向向量可化为x
2、直线的方程
（1）理论基础：直线的方程与方程的直线之定义
在直角坐标系中，如果直线l 和二元方程f x ，y =0 的实数解之间建立了如下关系： ①直线l 上的点的坐标都是方程f x ，y =0的解（纯粹性） ②以方程f x ，y =0的解为坐标的点都在直线l 上（完备性） 那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线. （2）直线方程的几种形式 （Ⅰ）点斜式：
已知直线l 的斜率为k ，且过点M(x0, y 0) ，则直线l 的方程为： y −y 0=k(x−x 0) （Ⅱ）斜截式
已知直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为： y=kx +b
注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例。直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x 轴垂直的直线的方程。因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。
（Ⅲ）两点式
已知直线l 经过两点P 1(x1, y 1) , P2(x2, y 2)(x1≠x 2) ，则直线l 的方程为：
y −y 1y 2−y 1
1
2−x 1
（1，k ）（这里k 为直线l 的斜率）.
=x
x −x 1
2−x 1
. (x1≠x 2，y 1≠y 2)
（Ⅳ）截距式
已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a,b(a,b≠0) ，则直线l 的方程为：
x y
+=1 注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用. 但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线。运用它
们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线。
（Ⅴ）一般式
方程Ax +By +C =0 (A2+B 2≠0) 叫做直线方程的一般式
直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿. 直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x ，y 的一次方程，反之，任何关于x ，y 的一次方程都表示一条直线。这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一。
3、两条直线的位置关系 （1）两条直线平行的条件 设l 1、l 2为两条不重合的直线，则
（Ⅰ）l 1∥l 2 l 1与l 2的斜率相等或它们的斜率都不存在.
因此，已知）l 1∥l 2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论。
（Ⅱ）若设直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0 ，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 ，则l 1∥l 2 A 1B 2=A 2B 1且
B 1C 2=B 2C 1 （此式包含了一般与特殊两种情形）
（Ⅲ）平行于直线l Ax +By +C =0 (A2+B 2≠0) 的直线（系）方程为：Ax +By +λ=0 (λϵR) （2）两条直线重合的条件 对于两条直线l 1和l 2
（Ⅰ）l 1⊥l 2 l 1与l 2的斜率之积等于－1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在
（Ⅱ）若设直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，则l 1⊥l 2 A 1A 2+B 1B 2=0，
（此式包含了一般与特殊两种情况）
（Ⅲ）垂直于直线l ：Ax +By +C =0 (A2+B 2≠0) 的直线（系）方程为：Bx +Ay +μ=0 (μϵR) （3）直线l 1 到l 2的角；直线l 1与l 2的夹角 设l 1与l 2相交
（Ⅰ）直线l 1 到l 2的角，是指l 1绕交点依逆时针方向旋转到与l 2重合时所转动的角，通常记作θ ①l 1 到l 2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l 1∥l 2时不定义l 1 到l 2的角，故θ的取值范围为（0，π）
②设l 1 与l 2的斜率分别为k 1，k 2，l 1 到l 2的角为θ，则 当1+ k1k 2=0时，θ=2；
2当1+ k1k 2≠0时，tan θ=1+k
π
k −k 1
1k 2
（注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）
（Ⅱ）直线l 1 与l 2的夹角，是指l 1 与l 2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为φ.
①l 1 与l 2的夹角没有方向性，注意到当l 1∥l 2时不定义l 1 与l 2夹角的概念，故得φ的取值范围为：φ∈(0,2
②设l 1 与l 2的斜率分别为k 1，k 2，l 1 与l 2的夹角为θ ，则 当1+ k1 k2=0时，φ=2 ；
2当1+ k1 k2≠0时，tan θ=|1+k
π
π
k −k 1
1k 2
| .
（4）点到直线的距离
设点P(x0, y 0) ，直线l ：Ax +By +C =0，则点P 到直线l 距离：线间的距离）：
设两条平行直线l 1：Ax +By +C 1=0 ，l 2：Ax +By +C 2=0(C1≠C 2) ，则l 1 与l 2之间的距离为
讨论（两平行直
（5）两条直线的交点
（1）直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0 与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 相交于P(x0, y 0) 方程组
x =x 0A 1x +B 1y +C 1=0有唯一解 y =y
A 2x +B 2y +C 2=00
（2）经过直线l 1 与l 2的交点的直线（系）方程为(A1x +B 1y +C 1) +λ A 2x +B 2y +C 2 =0 （这
里不含l 2）
(二) 圆的方程 1、定义与方程 （1）定义 （2）方程
（Ⅰ）标准方程：(x−a) 2+ y −b 2=r 2 (r≠0)
圆心为（a 、b ），半径为| r |
（Ⅱ）一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 (D2+E 2−4F >0)
圆心为(−2, −2) ，半径为2 （III ）参数方程：
x =a +r cos θ θ∈[0,2π)
y =b +r sin θ
D
E
1
圆心为(a，b) ，r 为半径长
2、性质与应用 （1）圆的基本性质 （Ⅰ）关于弦的性质
圆心与弦中点连线垂直于这条弦（或弦的垂直平分线经过圆心）； 两圆相交时，两圆心的连线为公共弦的垂直平分线； 若设圆半径为r ，弦心距d ，弦长为2l ，则有r 2=d 2+l 2 （Ⅱ）关于切线的性质
切线垂直于经过切点的圆的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径 （2）圆的性质的应用
解决有关圆的问题时，适时运用圆的性质，往往可避免或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快. 关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设”的技巧上：
（Ⅰ）巧设圆心坐标
若已知（或可知）圆心所在直线的方程或其它特征，则可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数.
（Ⅱ）巧设圆的方程
一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特殊情况下，根据问题的具体情况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简明效果.
3、直线与圆
设直线l ：Ax +By +C =0 (A2+B 2≠0) ，圆C: (x−a) 2+ y −b 2=r 2(r≠0) ， 则直线与圆的位置关系有两种判别方法：
（1）“特性”判别法（只适合于直线与圆位置关系的判定）： 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则 d r 直线l 与圆C 相离.
（2）“通性”判别法（适于直线与圆锥曲线位置的判定）：
将上述直线方程与圆方程联立，消去x(或y) 所得一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ>0 直线与圆C 相交； Δ=0 直线与圆C 相切； Δ
（1）两圆的公共弦所在直线的方程
设⊙C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ① 与⊙C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0 ②
相交于A 、B 两点，则由①-②得两圆公共弦AB 所在直线的方程为： D 1−D 2 x + E 1−E 2 y + F 1−F 2 =0 （2）圆的切点弦所在直线（极线）的方程 对于圆x 2+y 2=r 2(r>0)
（Ⅰ）当点M(x0, y 0) 在圆上时，以M 为切点的切线方程为x 0x +y 0y =r 2；
（Ⅱ）当点M(x0, y 0) 在圆外时，过点M 分别向圆作切线MA 、MB （切点分别为A 、B ），则切点弦AB 所在直线（极线）方程为x 0x +y 0y =r 2.
引申：当点M(x0, y 0) 在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 外时，过点M 分别向圆作切线MA 、MB （切点分别为A 、B ），则切点弦AB 所在直线（极线）方程为
x 0x +y 0y +D 四、经典例题
例1．求经过点A （5，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程.
分析：由题意知直线l 与两坐标轴都相交，因为不存在直线l 垂直于x 轴的情形。但是，注意到直线l 的两截距互为相反数的一般情形与特殊情形，故解题也需分两种情形讨论。
解：由题意知直线l 与两坐标轴都相交.
（1）当直线l 在两轴上的截距均不为零时，设直线l 的方程为：a +−a =1 (a≠0) ∵ A ∈l
∴：a +−a =1，即 a=3.
5
2
x
y
x +x 0y +y 0
+E +F =0 ∴ 此时直线l 的方程为：x-y-3=0 .
（2）当直线l 在两轴上的截距为零，即直线l 过原点时，直线l 的方程为：2x-5y=0 ∴ 综合（1），（2）得所求直线l 的方程为x-y-3=0 或 2x-5y=0 .
点评：运用直线的某一种特殊形式求直线方程，从客观上是默认了这一形式存在的前提条件. 因此，解题时还要考察这一形式不能表示的直线，只有实现“一般”与“特殊”的相互依存，才能实现解题的完解完胜. 在这里，直线的“截距式”不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行（或重合）的直线. 因此，要对这些特殊直线单独考察.
例2．直线l 被两平行直线l 1：x+2y-1=0及l 2：x+2y-3=0 所截线段AB 的中点M 在直线x-y-1=0上，且l 到l 2的角为45°，求直线l 的方程.
分析：由已知条件易得直线l 的斜率。欲求点M 坐标，先考察点M 的位置特征，注意到l 1∥l 2 点M 为线段AB 的中点，故点M 在与l 1、l 2 等距离的另一直线l 3 上. 因此，为避免复杂运算，可
先求l 3的方程.
解（利用平面图形几何性质的技巧）：由题意知，点M 在与l 1，l 2等距的直线l 3上，注意到l 1，l 2的纵截距分别为22，故l 3的纵截距为l ，
∴由斜截式得l 3的方程为x+2y-2=0 ① 将①与x-y-1=0 联立解得M （3，3） ② 设直线l 的斜率为k ，则又由已知得tan 45°=
−k 1+(−2113
41
，
解得k =−3 ③ 于是由②③得所求直线l 的方程为9x+3y-13=0
点评：解决直线问题的主要技巧，一是“设”的技巧：通过巧设有关点的坐标或有关直线的方程来减少计算量；二是适时“利用平面图形性质”的技巧：通过不失时机的利用平面图形的特征，避免或减少解方程的运算. 请在下面的例题中注意上述技巧的刻意运用.
例3．已知点A （1，-1）和直线l 1：2x ＋ｙ−6=0 ，过点A 作直线l 2 与l 1交于点B ，使|AB|=5 ，求直线l 2的方程.
分析：欲求l 2 的斜率k ，如直面求直线l 1、l 2 联立的方程组，再利用两点间的距离公式，运算复杂，故想到避其锋芒，先求l 1与l 2 的夹角φ的三角函数值。为此，利用已知条件率先构造含有φ的Rt Δ。
解（对交点坐标不设不解）：过点A 作AC ⊥l 1C ，则|AC|= |BC|=2 又∠ABC=φ 为直线l 1与l 2的夹角 ∴由Rt ΔABC 得tan φ=2（1）当直线l 2的斜率存在时，设直线l 2的斜率为k ， 则由两直线的夹角公式得 1+(−2)k =2 2 k +2 = 2k −1 3 k =−此时，直线l 的方程为y +1=−4 x −1 即3x +4y +1=0
（2）当直线l 2的斜率不存在时，直线l 2的方程为x=1，此时易得B （1，4），|AB|=5符合已知条件.
综合（1）（2）得所求直线l 2的方程为3x +4y +1=0或x-1=0
点评：借助平面图形的特征，人为地构造与求解Rt Δ，进而转化为运用夹角公式求解目标直线的
3
k −(−2)
1
1
斜率, 刻意避免了求解直线l 1与l 2的交点坐标. 这样对交点坐标“不设不解”的处理手法，也是直线与曲线相交问题的基本解题策略之一.
例4．在ΔABC 中，A （3，-1），AB 边上的中线所在直线方程为6x +10y −59=0，∠B 的平分线所在直线方程为x −4y +10=0 ，求BC 边所在直线方程.
分析：如何利用∠B 的的平分线方程这一条件？通常的选择是两种：一是直面问题，所用l 1与l 2的角的计算公式；二是利用平分线性质等价转化。我们这里选择第二条途径。
解（利用三角形内角平分线的性质）：由题意设B （4t −10, t ） 则AB 边中点D(2t −2,
7t −1
2
)
∴点D 在直线6x +10y −59=0 上， ∴6(2t−+10(
27
t −12
−58=0 t=5
∴点B （10，5） ①
又注意到AB 与BC 边所在直线关于∠B 的平分线所在直线x −4y +10=0对称， 故点A （3，-1）关于直线x −4y +10=0 对称点A′（m,n ）一定在直线BC 上 ∴由点A 、A′关于直线x −4y +10=0 对称得 1n +1 =−1
m =1
m +3n −1 n =7
−4 +10=0∴A′（1，7） ②
于是由①②得直线A′B即直线BC 的方程为2x+9y-65=0
点评：本题解题特色，一是利用已知直线方程巧设点B 和点D 坐标；二是利用平分线性质转化为点的对称问题. 此为解决这类直线问题的基本策略.
例5．已知过点A （1，1）且斜率为-m(m>0)的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 分别作直线l 1：2x+y=0的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值.
分析：这里的四边形PRSQ 为直角梯形且PRSQ ，故梯形的高RS 为平行线QS 与PR 间的距离，从设直线l 的方程切入.
解：设直线l 的方程为y −1=−m x −1 (m>0) ① 在①中令x=0得y=m+1 ∴Q （0,m+1） 在①中令y=0得x=m +1 ∴P （m +1,0）
将P 、Q 两点到直线l 1:2x+y=0的距离分别记为d 1, d 2 , 则|PR|+|QS|=d 1+d 2=
m+2
11
②
又直线QS 方程为y −(m+1) = 2x x −2y +2 m +1 =0， 直线PR 方程为y=2 x −1−m x −2y −m −1=0， ∴直线PR 与QS 间的距离即2m+11
111
2 m+1 +(1=
2m+1 ③
1
∴由②③得：S prsq =2 d 1+d 2 h =10[14+9 m +m +2(m2+m )]
1211(m×≥ 14+9×2 m × +2×2 )
=5m =m m =1时等号成立）
18
1
1
1
1
于是可知，四边形PRSQ 的面积的最小值为 （当且仅当m=1时取得）
5
18
点评：从设直线l 的方程切入，点P 、Q 坐标以及点P 、Q 到l 的距离依次登场，循序渐进，又借助两平行直线间的距离公式求出梯形的高RS ，四边形面积的表达式便呼之欲出了. 解题主线分明，脉络清晰，这是我们应追求的境界.
例6．设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在此圆上，且该圆与直线x −y +1=0相交的弦长为2 .
分析：圆上的点A 关于直线x+2y=0 的对称点仍在此圆上，由此我们可以推出什么？
解（巧设圆心坐标）：由圆上的点A 关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上知，圆心在直线x+2y=0上
∴可设圆的圆心坐标为（2t ，-t ），圆的方程为(x−2t) 2+(y+t) 2=r 2 (r>0) ① 则由题设条件得：r 2=2
+( 2 ②
r 2=(2−2t) 2+(3+t) 2 ③ t =3 t =7 ∴由②③解得 2 或 2
r =52r =244
∴所求圆方程为(x−6) 2+(y+3) 2=52 或 (x−14) 2+(y+7) 2=244 点评：要善于认知题设的真面目：点A 关于直线x+2y=0 的对称点A ′ 在此圆上 弦A A ′ 的垂直平分线为x+2y=0
直线 x+2y=0过圆心
例7．一个圆与直线l 1：x −6y −10=0·相切于点P （4，-1），且圆心在直线l 2：5x −3y =0上，求圆的方程。
分析：求圆的方程，当已知条件与圆心或半径关系较为密切时，首先考虑运用圆的标准方程. 解（巧设圆心坐标）：∵圆心在直线5x −3y =0上 ∴设圆心C 的坐标为（3t ，5t ） 又PC ⊥l 1 ∴K PC ∙K l1=−1 由此得 3t −4 6=−1 解之得t=1
∴圆心C （3，5），半径r=|PC|= ∴ 所求圆的方程为(x−3) 2+(y−5) 2=37
点评：已知条件中出现圆的切线，要想到利用圆的切线的性质. 上述解答便是利用了圆的切线的性质之一，圆的切线垂直于经过切点的圆的半径.
例8．已知圆C 与圆x 2+y 2−7y +10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x −3y −1=0，又圆C 经过点A （-2，3），B （1，4），求圆C 的方程。
分析：题设条件中出现两圆的公共弦. 对此，处置问题的常用方法有二：一是推导并利用公共弦所在直线的方程；二是充分利用两圆的公共弦的性质，着眼点不同，随之的解法也会不同.
解法一（利用公共弦所在直线的方程）：设圆C 方程为x 2+y 2−Dx +Ey +F =0，则 圆C 与已知圆的公共弦所在直线方程为Dx + E +7 y +(F−10) =0 ∴由题设得：−E+7=3 3D +2E =−14 ①
D
2
5t+11
又点A 、B 在圆C 上，故有： 2D-3E-F=13② D+4E+F=-17③
∴所求圆C 的方程为：x 2+y 2+2x −10y +21=0
解法二（利用圆的性质）：由已知得圆C 的弦AB 的中点坐标为(−2, 2) ∴圆C 的弦AB 的垂直平分线方程为3x+y-2=0 ④ 又已知圆圆心为(0，2∴两圆连心线所在直线的方程为y −2=−2x 3x +2y −7=0 ⑤
7
3
7
17
设圆心C （a,b ），则由④、⑤得
3a +b −2=0 3a +2b −7=0
a =−1解之得 b =5
再注意到圆C 的半径r=|CA|=
∴所求圆C 的方程为(x+1) 2+(y−5) 2=5
点评：两种解法各有所专长，仅就解题的严密性而言，解法二的优势明显一些.
例9．已知圆M 的方程为x 2+(y−2) 2=1，点Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切圆M 于A 、B ，试求弦AB 的中点P 的轨迹方程.
分析：本题出现“切点弦”.鉴于问题的复杂性，我们考虑推导并利用圆的切点弦所在直线的方程. 解：由已知得M （0，2），圆M 方程为x 2+y 2−4y +3=0 ①
设Q （t ，0），则由①得切点弦AB 所在直线方程为tx −2y +3=0 ②
又设P （x ，y ），则由MP ⊥AB 得
y −2x =t t =2−y (xt≠0) ③
2x 2
2−y 22x 将③代入②得
−2y +3=0 (x≠0) 2x 2+2y 2−7y +6=0 (x≠0且y ≠2)
x 2+(y−4) 2=16 (x≠0且y ≠2) ④ 71讨论：当t=0时有x=0，代入②得y=2，点（0，2）满足④式，故点（0，2）也是所求轨迹上的点. 综上可知，所求弦AB 的中点P 的轨迹方程为：x 2+(y−4) 2=16 (y≠2)
说明：这里的切点弦AB 所在直线的方程②是需要推导或证明的. 本题略去的推导或证明过程，请大家练习.
例10．已知直线l ：x +2y −3=0与⊙C:x 2+y 2+x −2ay +a =0相交于A 、B 两点
（1）当CA ⊥CB 时，求⊙C 的方程；
（2）当OA ⊥OB 时，求⊙C 的方程（O 为原点）
解：
（1）利用圆的性质，对交点坐标“不设不解”
注意到⊙C 的方程为(x+2) 2+(y−a) 2=a 2−a +4∴弦心距d =|2a−73337111=由CA ⊥CB 得 r=
r 2=2d 2
1(4a−7) 2 a −a += 5 10a 2−10a +=16a 2−56a +49 93 6a 2−46a +=0 2
12a 2−92a +93=0
a= 23±5 6∴所求⊙C 方程为：6x 2+6y 2+6x −2(23−5 +23−5 =0
或6x 2+6y 2+6x −2 23+5 y +23+5 =0
（2）对交点A 、B 坐标“既设又解”
设:A(x1, y 1) 、B(x2, y 2)
x +2y −3=0 将直线方程与⊙C 方程联立得： 2 x +y 2+x −2ay +a =0
消去x 得 5y 2− 2a +14 y + a +12 =0 ①
由题意知：y 1、y 2为方程①的两个不等实根
∴△= 2a +14 2−20 a +12 >0
a 2+9a −11>0 ②
y 1+y 2=5(a+7) ③ ∴由韦达定理得： 1y 1y 2=5(a+12)
∴x 1x 2= 3−2y 1 3−2y 2 =9−6 y 1+y 2 +4y 1y 2=5(9−8a) ④
又由OA ⊥OB ∴x 1x 2+y 1y 2=0 ⑤
∴由③、④、⑤得：5 9−8a +5 a +12 =0
解得：a=3（满足②式）
∴所求⊙C 方程为 x 2+y 2+x −6y +3=0
点评：在这里的“既设又解”中，“设”是真心实意地设（交点坐标）“解“是半心半意地解（方程组），解至中途转而运用韦达定理求解.
例10的改作：
（1）已知⊙C ：x 2+y 2+x −6y +m =0与直线l ：x +2y −3=0相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB （O 为原点），求m 的值.
1112
（2）已知⊙C 的圆心坐标为(0，2) ，⊙C 与已知直线3x +4y −10=0相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB （O 为坐标原点），求⊙C 方程
（3）已知过点（3，0）的直线l 与⊙C ：x 2+y 2+x −6y +3=0相交于A 、B 两点且OA ⊥OB （O 为坐标原点），求直线l 的方程.
五、高考真题
（一）选择题
1. （2005·北京卷）“m =2m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 152. （2004·湖南卷）设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a,b 满足（ ）
A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0
3. （2005·湖南卷）设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取出两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是（ ）
A.20 B.19 C.18 D.16
4.(2005天津卷) 将直线2x −y +λ=0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x −4y =0相切，则实数λ的值为（ ）
A. –3或7 B. –2或8 C.0或10 D.1或11
5. （2005全国卷）已知直线l 过点（－2，0），当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）
A. （-2 2 B. （- ） C. （− ，） 44D. （−8，8） 116. （2005北京卷）从原点向圆x 2+y 2−12y +27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（ ）
A. 6πB. 3πC. 2 πD. 32πx −2≤0
7. （2005·湖南卷）已知点P （x,y ）在不等式组 y −1≤0 表示的平面区域上运动，则z =x −y
x +2y −2≥0
的取值范围是（ ）
A.[-2，-1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[1，2]
8. （2004·全国卷III ）已知圆C 与圆(x−1) 2+y 2=1关于直线y =−x 对称，则圆C 的方程为（ ）
A. (x+1) 2+y 2=1 B. x 2+y 2=1 C. x 2+(y+1) 2=1
D.. x 2+(y−1) 2=1
（二）填空题
1. （2005·上海卷）直线y =2x 关于直线x=1对称的直线方程是2. （2005·湖南卷）设直线2x+3y+1=0和圆x 2+y 2−2x −3=0相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程为 .
3. （2004·辽宁卷）若经过点P （-1，0）的直线与圆x 2+y 2+4x −2y +3=0相切，则此直线在y 轴上的截距是 .
4. （2005·重庆卷）若x 2+y 2=4，则x －y 的最大值是.
5. （2005·湖南卷）已知直线ax+by+c=0与圆o:x 2+y 2=1相交于A 、B 两点，且|AB|= ，则 ∙ = . OA OB
6. （2004·全国卷）由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .
7. （2005·福建卷）非负实数x,y 满足 2x +y −4≤0，则x +3y 的最大值为 . x +y −3≤01x +y ≤5
3x +2y ≤128. （2005·山东卷）设x,y 满足约束条件 ，则使目标函数z=6x+5y的值最大的点（\x,y ）0≤x ≤30≤y ≤4
是 .
x −y −2≤0 y 9. （2005·江西卷）设实数x,y 满足 x +2y −4≥0，则x 的最大值为
2y −3≤0
（三）解答题
1. （2005·北京卷）如图，直线l 1：y=kx（k>0）与直线l 2：y =−kx 之
间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记
为W 2. （1）分别用不等式组表示W 1和W 2；
（2）若区域W 中的动点P （x,y ）到l 1，l 2 的距离之积为d 2 ，求点
P 的轨迹C 的方程；
（3）设不过原点O 的直线l 与（2）中曲线C 相交于M 1M 2 两点，且与l 1，l 2 分别交于M 3M 4两点，求证：ΔO M 1M 2的重心与ΔO M 3M 4的重心重合.
2. （2005·广东卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽
为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如
图所示），将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上
（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；
（2）求折叠的长的最大值.
3. （2004·湖南卷）如图，直线l 1：y=kx+1-k（k ≠0，k ≠±2 与l 2：y =2x +2相交于点P ，直线l 1 与x 轴交于点p 1 ，过点p 1 作x 轴的垂线交l 2 于点 ，过点 作y 轴的垂线交直线l 1 于点 ，过点 作x 轴的垂线交l 2 于 ，……这样一直作下去，可得到一系列点P 1，Q 1，P 2，Q 2，……，点的横坐标构成数列 .
（1）证明： ；
（2）求系数 的通项公式；
（3）比较 与 +5的大小.
分析与解答
（一）选择题
1. 选B
分析：当 时，两直线为 和 ，显然垂直，条件具充分性；
当两直线互相垂直时，由 得：
或 ，条件不具必要性.
故应选B.
2. 选D.
分析：由 为倾斜为得
又由 得 ，
∴ ，即a=b，故应选D.
3. 选C.
分析：注意到A 、B 的顺序，从1，2，3，4，5五个数中任取两个作为 中A 、B 的值有 种解法，但其中有“A=1，B=2”与“A=2，B=4”表示同一直线，“A=2，B=1”与“A=4，B=2”表示同一条直线，所以不同直线的条数为 ，应选C.
4. 选A
分析：把直线 即 向左平移1个单位得直线 .
解法一：若注意到圆与y 轴交于（0，0）和（0，4）两点，即圆与y 轴的相交弦为x=0 ，当
时，
111
直线 都和圆与y 轴的相交弦相交，从而否定B ，C ，D ，应选A.
解法二：将 代入圆方程得 ，
当 得
解得 或 ，从而应选A.
5. 选C.
分析：将直线 代入 得
，
故选C.
6. 选B.
分析：已知圆 的圆心C （0，6），设两切点为A 、B ，
则在 中， ，则
∴ ，应选B.
7. 选C.
分析：首先由不等式确定可行域，而后研究目标函数 （即 ）.
结合图形易知：
当直线 ，过点A （0，1）时， ；
当直线 ，过点B （2，0）时， ，故应选C.
8. 选C.
分析：已知圆圆心（1，0），其关于直线ｙ＝－ｘ的对称点为（0，-1），由此否定A ，B ，D ，应选C.
（二）填空题
1. 分析：从点的对称切入，当直线y =2x 上的点（0，0）关于x=1的对称点为A （2，0），直线 y =2x 上的点（2，1）关于x=1的对称点为B （0，1），则K AB =−2 ，从而直线AB 的方程为y =−2x +1 x +2y −2=0，故所求对称直线方程为x +2y −2=0
1111
2. 分析：已知圆圆心（1，0），K AB =− ， ３２∴ 弦AB 的垂直平分线的斜率为 ， ２３∴ 弦AB 的垂直平分线的方程为 ，
故所求直线方程为：
3. 分析：已知圆方程为： ，
经过点P （-1，0）且与圆相切的直线的斜率存在，
设这一切线的方程为
，
则 ，由此解题k=1，
∴ 上述切线的方程为 y=x+1，其在y 轴上的截距是1，故应填1.
4. 分析：根据已知设 ，
则 （ 为辅助）
∴ x-y 的最大值为
5. 分析：由题设在 中， ，
∴
∴ ，
∴ 应填
6. 分析：由题设得 ，∴
又 ， ，
∴ 动点P 的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆.
∴ 动点P 的轨迹方程为
点评：首先认知动点P 的运动轨迹，而后据此导出动点P 的轨迹方程，此为求动点轨迹方程的又一途径。
7. 分析：由不等式组解得可行域. 可行域边界上各交点的坐标分别为O （0，0），A （2，0），B （0，
3），C （1，2），当 ，则比较u 在各交点处的函数值得
点评：在x,y 不受其它限制的情况下，目标函数 的最值一定是在可行域边界上的“交点”处取得. 因此，相关问题均可仿7解决.
8. 分析：由不等式作出可行域，求出可行域边界上的各个“交点”的坐标，则仿7可得答案是点（2，
3）.
9. 分析：由不等式组作出可行域，则可行域为 所包围的平面区域
（包含边界）， ， ，
注意到 表示区域内
任一点P 与原点的连线的斜率，
又 ，
∴
（三）解答题
1.
分析：对于（1）从题设中的直线方程切入；对于（3），则可考虑推理并运用三角形重心坐标公式证明. 为此，寻找三顶点同名坐标的和之间的联系.
解：
（1）由题设得：
，
.
（2）直线 ，
直线 .
由题意得： ，
即： ①
∵ 点
∴ ②
∴ 由①，②得：
整理得
∴ 所求动点P 的轨迹C 的方程为： ③
（3）证明：
（Ⅰ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为 ，
∵ 直线l ，曲线C 关于x 轴对称
并且 与 关于x 轴对称.
∴ 的中点坐标均为（a ，0），
∴ 的重心坐标均为 ，
即它们的重心重合.
（Ⅱ）当直线l 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为：
④
④代入③得：
由题意知这里： 且 ⑤
设 ，则由韦达定理得：
又设
则由 得 ，
由 得 ，
∴ ，
于是可得： ，
即 的重心与 的重心重合.
点评：
（1）这里区域 .
（2）根据三角形重心坐标公式，要证明上述两个三角形的重心重合，只要证三顶点的同名坐标的算术平均数分别相等. 于是，计算、推理的方向便更加明确了.
2.
分析：
（1）由题设，知折痕上点的坐标特征，故求折痕所在直线的方程时考虑运用待定参数法；
（2）利用（1）的结果，先求折痕之长的函数表达式，归结为函数的最值问题.
解：
（1）设折叠后A 在DC 边上的对应点为 ，
并设折痕EF 所在直线的方程为
（Ⅰ）当k=0时， 与D 重合（水平折线），折痕所在直线的方程为 （Ⅱ）当 ，由题设知 与 关于折痕所在直线EF 对称，
∴ 且 的中点 在直线EF 上，
∴ 且
∴ ，
∴ 折痕EF 所在直线方程为 ：
于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）得折痕EF 所在直线方程为
（2）由（1）知线段EF 的方程为 （※）
当E 与D 重合时，E 点坐标为（1，0），由（※）得 k=-1；
当F 与B 重合时，F 点坐标为（2，0），由（※）得
（Ⅰ）当E 在OD 上，F 在OB 上时，
由（※）得
则
∴
当 得 ，即
∴ 当 时， ，则l 是k 的减函数，此时 ；
当 时， ，则l 是k 的增函数，此时 ；
（Ⅱ）当E 在DC 上，F 在OD 上时，
由（※）得
则 是k 的增函数，
此时，
（Ⅲ）当E 在OD 上，F 在BC 上时， ，
由（※）得
则 是k 的减函数，
此时
于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得 的最大值为 和 中的最大者.
注意到
成立，
∴ ，
而
∴
于是可知折痕EF 的最大值为 ：
点评：根据题意作出图形（比较这里的2（Ⅰ），可使我们的寻求目标明确，解题思路明朗，同时也可从中受到直观启发或猜想. 图形的积极作用是人所共知的. 但是，事物都是一分为二的. 当问题比较复杂时，我们所作出的图形只是诸多情况中的一种，因而很容易“以一种倾向掩盖另一种倾向”，导致我们解题的疏漏或缺憾，（忽略（Ⅱ）、（Ⅲ））. 因此，当我们刻意借助图形解题时，要注意多方位、多角度地考察问题，立足考察的这一种情形，寻觅可能存在的其它情形. 为此，不仅有利于解好这个题，而且有利于我们思路的开阔以及思维的缜密，均有益处.
3.
分析：
（1）注意到 为点 的横坐标，所以设出 之后，从寻找 ， 坐标切
入；
（2）利用（1）的结果认知 的相关数列的特性，推导 的表达式；
（3）首先整理、化简 以及 的表达式，而后根据具体情况选择比较大小的手段.
解：
（1）证明：设点 的坐标为 ，则由题设得
点 的坐标为
点 的坐标为
∵ 点 在直线 上，
∴
∴
即 ：
（2）解：由题设知 ，
又由（1）知
∴ 数列 是首项为 ，
公比为 的等比数列，
∴ ，
即 ：
（3）解： 由 解得 ， 即P （1，1）
∴
①
∴ ②
（Ⅰ）当 时，由②得 ，
而此时 ，由①得
∴ 此时 ；
（Ⅱ）当 时，由②得 ，
而此时 ，由①得
∴ 此时 .
于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）得：
当 时， ；
当 时，
点评：对于（3），在化简、整理出 与 的表达式中，根据①，②两式的结构特征，它们不适于比较法等直接比较的方法，于是想到借助“媒介值”来进行比较！因此，为寻找①式的上（确）界和下（确）界，想到从比较 与1的大小为主线展开讨论
高中数学高考综合复习 专题二十 直线与圆
一、知识网络
二、高考考点 1. 直线的倾斜与斜率； 2. 直线的方程及其应用；
3. 两条直线的平行、垂直与有关夹角和到角的公式； 4. 简单的线性规划问题； 5. 圆的方程及其应用； 6. 直线与圆的相切与相交问题； 7. 两圆的位置关系；
8. 直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题. 三、知识要点 （一）直线
1、直线的倾斜角定义与规定
（1）定义：对于一条与x 轴相交的直线，将x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作α.
（2）规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°.
综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角α 的取值范围是[0°，180°）或[0，π）.
提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确.
（3）直线的斜率与方向向量 （Ⅰ）
定义1：当直线l 的倾斜角α不是 2时，α的正切叫做直线l 的斜率，直线的斜率通常用k 表示即：k =tan α(0≤α
特例：当直线的倾斜角为 2 时，直线的斜率不存在. 认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：
ππ
00；
α=0 k =0； α=2 l ⊥x 轴；（直线的斜率不存在）
π
ππ
π
（Ⅱ）斜率公式
已知直线l 上两点P 1(x1, y 1) , P2(x2, y 2)(x1≠x 2) ，则直线l 的斜率：k =
y 2−y 1x 2−x 1
=(x 1−x 2 .
1
2
y −y
（Ⅲ）
定义2：直线l 上的向量 P 1P 2与平行于l 的向量都称为直线l 的方向向量.
设P 1(x1, y 1) 、 P2(x2, y 2) ，则直线l 的方向向量 P 1P 2 的坐标是(x2−x 1，y 2−y 1) ；当直线l 不与x 轴垂直时，(x1≠x 2，此时，直线l 的方向向量可化为x
2、直线的方程
（1）理论基础：直线的方程与方程的直线之定义
在直角坐标系中，如果直线l 和二元方程f x ，y =0 的实数解之间建立了如下关系： ①直线l 上的点的坐标都是方程f x ，y =0的解（纯粹性） ②以方程f x ，y =0的解为坐标的点都在直线l 上（完备性） 那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线. （2）直线方程的几种形式 （Ⅰ）点斜式：
已知直线l 的斜率为k ，且过点M(x0, y 0) ，则直线l 的方程为： y −y 0=k(x−x 0) （Ⅱ）斜截式
已知直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为： y=kx +b
注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例。直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x 轴垂直的直线的方程。因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。
（Ⅲ）两点式
已知直线l 经过两点P 1(x1, y 1) , P2(x2, y 2)(x1≠x 2) ，则直线l 的方程为：
y −y 1y 2−y 1
1
2−x 1
（1，k ）（这里k 为直线l 的斜率）.
=x
x −x 1
2−x 1
. (x1≠x 2，y 1≠y 2)
（Ⅳ）截距式
已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a,b(a,b≠0) ，则直线l 的方程为：
x y
+=1 注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用. 但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线。运用它
们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线。
（Ⅴ）一般式
方程Ax +By +C =0 (A2+B 2≠0) 叫做直线方程的一般式
直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿. 直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x ，y 的一次方程，反之，任何关于x ，y 的一次方程都表示一条直线。这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一。
3、两条直线的位置关系 （1）两条直线平行的条件 设l 1、l 2为两条不重合的直线，则
（Ⅰ）l 1∥l 2 l 1与l 2的斜率相等或它们的斜率都不存在.
因此，已知）l 1∥l 2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论。
（Ⅱ）若设直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0 ，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 ，则l 1∥l 2 A 1B 2=A 2B 1且
B 1C 2=B 2C 1 （此式包含了一般与特殊两种情形）
（Ⅲ）平行于直线l Ax +By +C =0 (A2+B 2≠0) 的直线（系）方程为：Ax +By +λ=0 (λϵR) （2）两条直线重合的条件 对于两条直线l 1和l 2
（Ⅰ）l 1⊥l 2 l 1与l 2的斜率之积等于－1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在
（Ⅱ）若设直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，则l 1⊥l 2 A 1A 2+B 1B 2=0，
（此式包含了一般与特殊两种情况）
（Ⅲ）垂直于直线l ：Ax +By +C =0 (A2+B 2≠0) 的直线（系）方程为：Bx +Ay +μ=0 (μϵR) （3）直线l 1 到l 2的角；直线l 1与l 2的夹角 设l 1与l 2相交
（Ⅰ）直线l 1 到l 2的角，是指l 1绕交点依逆时针方向旋转到与l 2重合时所转动的角，通常记作θ ①l 1 到l 2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l 1∥l 2时不定义l 1 到l 2的角，故θ的取值范围为（0，π）
②设l 1 与l 2的斜率分别为k 1，k 2，l 1 到l 2的角为θ，则 当1+ k1k 2=0时，θ=2；
2当1+ k1k 2≠0时，tan θ=1+k
π
k −k 1
1k 2
（注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）
（Ⅱ）直线l 1 与l 2的夹角，是指l 1 与l 2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为φ.
①l 1 与l 2的夹角没有方向性，注意到当l 1∥l 2时不定义l 1 与l 2夹角的概念，故得φ的取值范围为：φ∈(0,2
②设l 1 与l 2的斜率分别为k 1，k 2，l 1 与l 2的夹角为θ ，则 当1+ k1 k2=0时，φ=2 ；
2当1+ k1 k2≠0时，tan θ=|1+k
π
π
k −k 1
1k 2
| .
（4）点到直线的距离
设点P(x0, y 0) ，直线l ：Ax +By +C =0，则点P 到直线l 距离：线间的距离）：
设两条平行直线l 1：Ax +By +C 1=0 ，l 2：Ax +By +C 2=0(C1≠C 2) ，则l 1 与l 2之间的距离为
讨论（两平行直
（5）两条直线的交点
（1）直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0 与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 相交于P(x0, y 0) 方程组
x =x 0A 1x +B 1y +C 1=0有唯一解 y =y
A 2x +B 2y +C 2=00
（2）经过直线l 1 与l 2的交点的直线（系）方程为(A1x +B 1y +C 1) +λ A 2x +B 2y +C 2 =0 （这
里不含l 2）
(二) 圆的方程 1、定义与方程 （1）定义 （2）方程
（Ⅰ）标准方程：(x−a) 2+ y −b 2=r 2 (r≠0)
圆心为（a 、b ），半径为| r |
（Ⅱ）一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 (D2+E 2−4F >0)
圆心为(−2, −2) ，半径为2 （III ）参数方程：
x =a +r cos θ θ∈[0,2π)
y =b +r sin θ
D
E
1
圆心为(a，b) ，r 为半径长
2、性质与应用 （1）圆的基本性质 （Ⅰ）关于弦的性质
圆心与弦中点连线垂直于这条弦（或弦的垂直平分线经过圆心）； 两圆相交时，两圆心的连线为公共弦的垂直平分线； 若设圆半径为r ，弦心距d ，弦长为2l ，则有r 2=d 2+l 2 （Ⅱ）关于切线的性质
切线垂直于经过切点的圆的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径 （2）圆的性质的应用
解决有关圆的问题时，适时运用圆的性质，往往可避免或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快. 关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设”的技巧上：
（Ⅰ）巧设圆心坐标
若已知（或可知）圆心所在直线的方程或其它特征，则可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数.
（Ⅱ）巧设圆的方程
一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特殊情况下，根据问题的具体情况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简明效果.
3、直线与圆
设直线l ：Ax +By +C =0 (A2+B 2≠0) ，圆C: (x−a) 2+ y −b 2=r 2(r≠0) ， 则直线与圆的位置关系有两种判别方法：
（1）“特性”判别法（只适合于直线与圆位置关系的判定）： 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则 d r 直线l 与圆C 相离.
（2）“通性”判别法（适于直线与圆锥曲线位置的判定）：
将上述直线方程与圆方程联立，消去x(或y) 所得一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ>0 直线与圆C 相交； Δ=0 直线与圆C 相切； Δ
（1）两圆的公共弦所在直线的方程
设⊙C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ① 与⊙C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0 ②
相交于A 、B 两点，则由①-②得两圆公共弦AB 所在直线的方程为： D 1−D 2 x + E 1−E 2 y + F 1−F 2 =0 （2）圆的切点弦所在直线（极线）的方程 对于圆x 2+y 2=r 2(r>0)
（Ⅰ）当点M(x0, y 0) 在圆上时，以M 为切点的切线方程为x 0x +y 0y =r 2；
（Ⅱ）当点M(x0, y 0) 在圆外时，过点M 分别向圆作切线MA 、MB （切点分别为A 、B ），则切点弦AB 所在直线（极线）方程为x 0x +y 0y =r 2.
引申：当点M(x0, y 0) 在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 外时，过点M 分别向圆作切线MA 、MB （切点分别为A 、B ），则切点弦AB 所在直线（极线）方程为
x 0x +y 0y +D 四、经典例题
例1．求经过点A （5，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程.
分析：由题意知直线l 与两坐标轴都相交，因为不存在直线l 垂直于x 轴的情形。但是，注意到直线l 的两截距互为相反数的一般情形与特殊情形，故解题也需分两种情形讨论。
解：由题意知直线l 与两坐标轴都相交.
（1）当直线l 在两轴上的截距均不为零时，设直线l 的方程为：a +−a =1 (a≠0) ∵ A ∈l
∴：a +−a =1，即 a=3.
5
2
x
y
x +x 0y +y 0
+E +F =0 ∴ 此时直线l 的方程为：x-y-3=0 .
（2）当直线l 在两轴上的截距为零，即直线l 过原点时，直线l 的方程为：2x-5y=0 ∴ 综合（1），（2）得所求直线l 的方程为x-y-3=0 或 2x-5y=0 .
点评：运用直线的某一种特殊形式求直线方程，从客观上是默认了这一形式存在的前提条件. 因此，解题时还要考察这一形式不能表示的直线，只有实现“一般”与“特殊”的相互依存，才能实现解题的完解完胜. 在这里，直线的“截距式”不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行（或重合）的直线. 因此，要对这些特殊直线单独考察.
例2．直线l 被两平行直线l 1：x+2y-1=0及l 2：x+2y-3=0 所截线段AB 的中点M 在直线x-y-1=0上，且l 到l 2的角为45°，求直线l 的方程.
分析：由已知条件易得直线l 的斜率。欲求点M 坐标，先考察点M 的位置特征，注意到l 1∥l 2 点M 为线段AB 的中点，故点M 在与l 1、l 2 等距离的另一直线l 3 上. 因此，为避免复杂运算，可
先求l 3的方程.
解（利用平面图形几何性质的技巧）：由题意知，点M 在与l 1，l 2等距的直线l 3上，注意到l 1，l 2的纵截距分别为22，故l 3的纵截距为l ，
∴由斜截式得l 3的方程为x+2y-2=0 ① 将①与x-y-1=0 联立解得M （3，3） ② 设直线l 的斜率为k ，则又由已知得tan 45°=
−k 1+(−2113
41
，
解得k =−3 ③ 于是由②③得所求直线l 的方程为9x+3y-13=0
点评：解决直线问题的主要技巧，一是“设”的技巧：通过巧设有关点的坐标或有关直线的方程来减少计算量；二是适时“利用平面图形性质”的技巧：通过不失时机的利用平面图形的特征，避免或减少解方程的运算. 请在下面的例题中注意上述技巧的刻意运用.
例3．已知点A （1，-1）和直线l 1：2x ＋ｙ−6=0 ，过点A 作直线l 2 与l 1交于点B ，使|AB|=5 ，求直线l 2的方程.
分析：欲求l 2 的斜率k ，如直面求直线l 1、l 2 联立的方程组，再利用两点间的距离公式，运算复杂，故想到避其锋芒，先求l 1与l 2 的夹角φ的三角函数值。为此，利用已知条件率先构造含有φ的Rt Δ。
解（对交点坐标不设不解）：过点A 作AC ⊥l 1C ，则|AC|= |BC|=2 又∠ABC=φ 为直线l 1与l 2的夹角 ∴由Rt ΔABC 得tan φ=2（1）当直线l 2的斜率存在时，设直线l 2的斜率为k ， 则由两直线的夹角公式得 1+(−2)k =2 2 k +2 = 2k −1 3 k =−此时，直线l 的方程为y +1=−4 x −1 即3x +4y +1=0
（2）当直线l 2的斜率不存在时，直线l 2的方程为x=1，此时易得B （1，4），|AB|=5符合已知条件.
综合（1）（2）得所求直线l 2的方程为3x +4y +1=0或x-1=0
点评：借助平面图形的特征，人为地构造与求解Rt Δ，进而转化为运用夹角公式求解目标直线的
3
k −(−2)
1
1
斜率, 刻意避免了求解直线l 1与l 2的交点坐标. 这样对交点坐标“不设不解”的处理手法，也是直线与曲线相交问题的基本解题策略之一.
例4．在ΔABC 中，A （3，-1），AB 边上的中线所在直线方程为6x +10y −59=0，∠B 的平分线所在直线方程为x −4y +10=0 ，求BC 边所在直线方程.
分析：如何利用∠B 的的平分线方程这一条件？通常的选择是两种：一是直面问题，所用l 1与l 2的角的计算公式；二是利用平分线性质等价转化。我们这里选择第二条途径。
解（利用三角形内角平分线的性质）：由题意设B （4t −10, t ） 则AB 边中点D(2t −2,
7t −1
2
)
∴点D 在直线6x +10y −59=0 上， ∴6(2t−+10(
27
t −12
−58=0 t=5
∴点B （10，5） ①
又注意到AB 与BC 边所在直线关于∠B 的平分线所在直线x −4y +10=0对称， 故点A （3，-1）关于直线x −4y +10=0 对称点A′（m,n ）一定在直线BC 上 ∴由点A 、A′关于直线x −4y +10=0 对称得 1n +1 =−1
m =1
m +3n −1 n =7
−4 +10=0∴A′（1，7） ②
于是由①②得直线A′B即直线BC 的方程为2x+9y-65=0
点评：本题解题特色，一是利用已知直线方程巧设点B 和点D 坐标；二是利用平分线性质转化为点的对称问题. 此为解决这类直线问题的基本策略.
例5．已知过点A （1，1）且斜率为-m(m>0)的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 分别作直线l 1：2x+y=0的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值.
分析：这里的四边形PRSQ 为直角梯形且PRSQ ，故梯形的高RS 为平行线QS 与PR 间的距离，从设直线l 的方程切入.
解：设直线l 的方程为y −1=−m x −1 (m>0) ① 在①中令x=0得y=m+1 ∴Q （0,m+1） 在①中令y=0得x=m +1 ∴P （m +1,0）
将P 、Q 两点到直线l 1:2x+y=0的距离分别记为d 1, d 2 , 则|PR|+|QS|=d 1+d 2=
m+2
11
②
又直线QS 方程为y −(m+1) = 2x x −2y +2 m +1 =0， 直线PR 方程为y=2 x −1−m x −2y −m −1=0， ∴直线PR 与QS 间的距离即2m+11
111
2 m+1 +(1=
2m+1 ③
1
∴由②③得：S prsq =2 d 1+d 2 h =10[14+9 m +m +2(m2+m )]
1211(m×≥ 14+9×2 m × +2×2 )
=5m =m m =1时等号成立）
18
1
1
1
1
于是可知，四边形PRSQ 的面积的最小值为 （当且仅当m=1时取得）
5
18
点评：从设直线l 的方程切入，点P 、Q 坐标以及点P 、Q 到l 的距离依次登场，循序渐进，又借助两平行直线间的距离公式求出梯形的高RS ，四边形面积的表达式便呼之欲出了. 解题主线分明，脉络清晰，这是我们应追求的境界.
例6．设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在此圆上，且该圆与直线x −y +1=0相交的弦长为2 .
分析：圆上的点A 关于直线x+2y=0 的对称点仍在此圆上，由此我们可以推出什么？
解（巧设圆心坐标）：由圆上的点A 关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上知，圆心在直线x+2y=0上
∴可设圆的圆心坐标为（2t ，-t ），圆的方程为(x−2t) 2+(y+t) 2=r 2 (r>0) ① 则由题设条件得：r 2=2
+( 2 ②
r 2=(2−2t) 2+(3+t) 2 ③ t =3 t =7 ∴由②③解得 2 或 2
r =52r =244
∴所求圆方程为(x−6) 2+(y+3) 2=52 或 (x−14) 2+(y+7) 2=244 点评：要善于认知题设的真面目：点A 关于直线x+2y=0 的对称点A ′ 在此圆上 弦A A ′ 的垂直平分线为x+2y=0
直线 x+2y=0过圆心
例7．一个圆与直线l 1：x −6y −10=0·相切于点P （4，-1），且圆心在直线l 2：5x −3y =0上，求圆的方程。
分析：求圆的方程，当已知条件与圆心或半径关系较为密切时，首先考虑运用圆的标准方程. 解（巧设圆心坐标）：∵圆心在直线5x −3y =0上 ∴设圆心C 的坐标为（3t ，5t ） 又PC ⊥l 1 ∴K PC ∙K l1=−1 由此得 3t −4 6=−1 解之得t=1
∴圆心C （3，5），半径r=|PC|= ∴ 所求圆的方程为(x−3) 2+(y−5) 2=37
点评：已知条件中出现圆的切线，要想到利用圆的切线的性质. 上述解答便是利用了圆的切线的性质之一，圆的切线垂直于经过切点的圆的半径.
例8．已知圆C 与圆x 2+y 2−7y +10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x −3y −1=0，又圆C 经过点A （-2，3），B （1，4），求圆C 的方程。
分析：题设条件中出现两圆的公共弦. 对此，处置问题的常用方法有二：一是推导并利用公共弦所在直线的方程；二是充分利用两圆的公共弦的性质，着眼点不同，随之的解法也会不同.
解法一（利用公共弦所在直线的方程）：设圆C 方程为x 2+y 2−Dx +Ey +F =0，则 圆C 与已知圆的公共弦所在直线方程为Dx + E +7 y +(F−10) =0 ∴由题设得：−E+7=3 3D +2E =−14 ①
D
2
5t+11
又点A 、B 在圆C 上，故有： 2D-3E-F=13② D+4E+F=-17③
∴所求圆C 的方程为：x 2+y 2+2x −10y +21=0
解法二（利用圆的性质）：由已知得圆C 的弦AB 的中点坐标为(−2, 2) ∴圆C 的弦AB 的垂直平分线方程为3x+y-2=0 ④ 又已知圆圆心为(0，2∴两圆连心线所在直线的方程为y −2=−2x 3x +2y −7=0 ⑤
7
3
7
17
设圆心C （a,b ），则由④、⑤得
3a +b −2=0 3a +2b −7=0
a =−1解之得 b =5
再注意到圆C 的半径r=|CA|=
∴所求圆C 的方程为(x+1) 2+(y−5) 2=5
点评：两种解法各有所专长，仅就解题的严密性而言，解法二的优势明显一些.
例9．已知圆M 的方程为x 2+(y−2) 2=1，点Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切圆M 于A 、B ，试求弦AB 的中点P 的轨迹方程.
分析：本题出现“切点弦”.鉴于问题的复杂性，我们考虑推导并利用圆的切点弦所在直线的方程. 解：由已知得M （0，2），圆M 方程为x 2+y 2−4y +3=0 ①
设Q （t ，0），则由①得切点弦AB 所在直线方程为tx −2y +3=0 ②
又设P （x ，y ），则由MP ⊥AB 得
y −2x =t t =2−y (xt≠0) ③
2x 2
2−y 22x 将③代入②得
−2y +3=0 (x≠0) 2x 2+2y 2−7y +6=0 (x≠0且y ≠2)
x 2+(y−4) 2=16 (x≠0且y ≠2) ④ 71讨论：当t=0时有x=0，代入②得y=2，点（0，2）满足④式，故点（0，2）也是所求轨迹上的点. 综上可知，所求弦AB 的中点P 的轨迹方程为：x 2+(y−4) 2=16 (y≠2)
说明：这里的切点弦AB 所在直线的方程②是需要推导或证明的. 本题略去的推导或证明过程，请大家练习.
例10．已知直线l ：x +2y −3=0与⊙C:x 2+y 2+x −2ay +a =0相交于A 、B 两点
（1）当CA ⊥CB 时，求⊙C 的方程；
（2）当OA ⊥OB 时，求⊙C 的方程（O 为原点）
解：
（1）利用圆的性质，对交点坐标“不设不解”
注意到⊙C 的方程为(x+2) 2+(y−a) 2=a 2−a +4∴弦心距d =|2a−73337111=由CA ⊥CB 得 r=
r 2=2d 2
1(4a−7) 2 a −a += 5 10a 2−10a +=16a 2−56a +49 93 6a 2−46a +=0 2
12a 2−92a +93=0
a= 23±5 6∴所求⊙C 方程为：6x 2+6y 2+6x −2(23−5 +23−5 =0
或6x 2+6y 2+6x −2 23+5 y +23+5 =0
（2）对交点A 、B 坐标“既设又解”
设:A(x1, y 1) 、B(x2, y 2)
x +2y −3=0 将直线方程与⊙C 方程联立得： 2 x +y 2+x −2ay +a =0
消去x 得 5y 2− 2a +14 y + a +12 =0 ①
由题意知：y 1、y 2为方程①的两个不等实根
∴△= 2a +14 2−20 a +12 >0
a 2+9a −11>0 ②
y 1+y 2=5(a+7) ③ ∴由韦达定理得： 1y 1y 2=5(a+12)
∴x 1x 2= 3−2y 1 3−2y 2 =9−6 y 1+y 2 +4y 1y 2=5(9−8a) ④
又由OA ⊥OB ∴x 1x 2+y 1y 2=0 ⑤
∴由③、④、⑤得：5 9−8a +5 a +12 =0
解得：a=3（满足②式）
∴所求⊙C 方程为 x 2+y 2+x −6y +3=0
点评：在这里的“既设又解”中，“设”是真心实意地设（交点坐标）“解“是半心半意地解（方程组），解至中途转而运用韦达定理求解.
例10的改作：
（1）已知⊙C ：x 2+y 2+x −6y +m =0与直线l ：x +2y −3=0相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB （O 为原点），求m 的值.
1112
（2）已知⊙C 的圆心坐标为(0，2) ，⊙C 与已知直线3x +4y −10=0相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB （O 为坐标原点），求⊙C 方程
（3）已知过点（3，0）的直线l 与⊙C ：x 2+y 2+x −6y +3=0相交于A 、B 两点且OA ⊥OB （O 为坐标原点），求直线l 的方程.
五、高考真题
（一）选择题
1. （2005·北京卷）“m =2m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 152. （2004·湖南卷）设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a,b 满足（ ）
A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0
3. （2005·湖南卷）设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取出两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是（ ）
A.20 B.19 C.18 D.16
4.(2005天津卷) 将直线2x −y +λ=0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x −4y =0相切，则实数λ的值为（ ）
A. –3或7 B. –2或8 C.0或10 D.1或11
5. （2005全国卷）已知直线l 过点（－2，0），当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）
A. （-2 2 B. （- ） C. （− ，） 44D. （−8，8） 116. （2005北京卷）从原点向圆x 2+y 2−12y +27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（ ）
A. 6πB. 3πC. 2 πD. 32πx −2≤0
7. （2005·湖南卷）已知点P （x,y ）在不等式组 y −1≤0 表示的平面区域上运动，则z =x −y
x +2y −2≥0
的取值范围是（ ）
A.[-2，-1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[1，2]
8. （2004·全国卷III ）已知圆C 与圆(x−1) 2+y 2=1关于直线y =−x 对称，则圆C 的方程为（ ）
A. (x+1) 2+y 2=1 B. x 2+y 2=1 C. x 2+(y+1) 2=1
D.. x 2+(y−1) 2=1
（二）填空题
1. （2005·上海卷）直线y =2x 关于直线x=1对称的直线方程是2. （2005·湖南卷）设直线2x+3y+1=0和圆x 2+y 2−2x −3=0相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程为 .
3. （2004·辽宁卷）若经过点P （-1，0）的直线与圆x 2+y 2+4x −2y +3=0相切，则此直线在y 轴上的截距是 .
4. （2005·重庆卷）若x 2+y 2=4，则x －y 的最大值是.
5. （2005·湖南卷）已知直线ax+by+c=0与圆o:x 2+y 2=1相交于A 、B 两点，且|AB|= ，则 ∙ = . OA OB
6. （2004·全国卷）由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .
7. （2005·福建卷）非负实数x,y 满足 2x +y −4≤0，则x +3y 的最大值为 . x +y −3≤01x +y ≤5
3x +2y ≤128. （2005·山东卷）设x,y 满足约束条件 ，则使目标函数z=6x+5y的值最大的点（\x,y ）0≤x ≤30≤y ≤4
是 .
x −y −2≤0 y 9. （2005·江西卷）设实数x,y 满足 x +2y −4≥0，则x 的最大值为
2y −3≤0
（三）解答题
1. （2005·北京卷）如图，直线l 1：y=kx（k>0）与直线l 2：y =−kx 之
间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记
为W 2. （1）分别用不等式组表示W 1和W 2；
（2）若区域W 中的动点P （x,y ）到l 1，l 2 的距离之积为d 2 ，求点
P 的轨迹C 的方程；
（3）设不过原点O 的直线l 与（2）中曲线C 相交于M 1M 2 两点，且与l 1，l 2 分别交于M 3M 4两点，求证：ΔO M 1M 2的重心与ΔO M 3M 4的重心重合.
2. （2005·广东卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽
为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如
图所示），将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上
（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；
（2）求折叠的长的最大值.
3. （2004·湖南卷）如图，直线l 1：y=kx+1-k（k ≠0，k ≠±2 与l 2：y =2x +2相交于点P ，直线l 1 与x 轴交于点p 1 ，过点p 1 作x 轴的垂线交l 2 于点 ，过点 作y 轴的垂线交直线l 1 于点 ，过点 作x 轴的垂线交l 2 于 ，……这样一直作下去，可得到一系列点P 1，Q 1，P 2，Q 2，……，点的横坐标构成数列 .
（1）证明： ；
（2）求系数 的通项公式；
（3）比较 与 +5的大小.
分析与解答
（一）选择题
1. 选B
分析：当 时，两直线为 和 ，显然垂直，条件具充分性；
当两直线互相垂直时，由 得：
或 ，条件不具必要性.
故应选B.
2. 选D.
分析：由 为倾斜为得
又由 得 ，
∴ ，即a=b，故应选D.
3. 选C.
分析：注意到A 、B 的顺序，从1，2，3，4，5五个数中任取两个作为 中A 、B 的值有 种解法，但其中有“A=1，B=2”与“A=2，B=4”表示同一直线，“A=2，B=1”与“A=4，B=2”表示同一条直线，所以不同直线的条数为 ，应选C.
4. 选A
分析：把直线 即 向左平移1个单位得直线 .
解法一：若注意到圆与y 轴交于（0，0）和（0，4）两点，即圆与y 轴的相交弦为x=0 ，当
时，
111
直线 都和圆与y 轴的相交弦相交，从而否定B ，C ，D ，应选A.
解法二：将 代入圆方程得 ，
当 得
解得 或 ，从而应选A.
5. 选C.
分析：将直线 代入 得
，
故选C.
6. 选B.
分析：已知圆 的圆心C （0，6），设两切点为A 、B ，
则在 中， ，则
∴ ，应选B.
7. 选C.
分析：首先由不等式确定可行域，而后研究目标函数 （即 ）.
结合图形易知：
当直线 ，过点A （0，1）时， ；
当直线 ，过点B （2，0）时， ，故应选C.
8. 选C.
分析：已知圆圆心（1，0），其关于直线ｙ＝－ｘ的对称点为（0，-1），由此否定A ，B ，D ，应选C.
（二）填空题
1. 分析：从点的对称切入，当直线y =2x 上的点（0，0）关于x=1的对称点为A （2，0），直线 y =2x 上的点（2，1）关于x=1的对称点为B （0，1），则K AB =−2 ，从而直线AB 的方程为y =−2x +1 x +2y −2=0，故所求对称直线方程为x +2y −2=0
1111
2. 分析：已知圆圆心（1，0），K AB =− ， ３２∴ 弦AB 的垂直平分线的斜率为 ， ２３∴ 弦AB 的垂直平分线的方程为 ，
故所求直线方程为：
3. 分析：已知圆方程为： ，
经过点P （-1，0）且与圆相切的直线的斜率存在，
设这一切线的方程为
，
则 ，由此解题k=1，
∴ 上述切线的方程为 y=x+1，其在y 轴上的截距是1，故应填1.
4. 分析：根据已知设 ，
则 （ 为辅助）
∴ x-y 的最大值为
5. 分析：由题设在 中， ，
∴
∴ ，
∴ 应填
6. 分析：由题设得 ，∴
又 ， ，
∴ 动点P 的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆.
∴ 动点P 的轨迹方程为
点评：首先认知动点P 的运动轨迹，而后据此导出动点P 的轨迹方程，此为求动点轨迹方程的又一途径。
7. 分析：由不等式组解得可行域. 可行域边界上各交点的坐标分别为O （0，0），A （2，0），B （0，
3），C （1，2），当 ，则比较u 在各交点处的函数值得
点评：在x,y 不受其它限制的情况下，目标函数 的最值一定是在可行域边界上的“交点”处取得. 因此，相关问题均可仿7解决.
8. 分析：由不等式作出可行域，求出可行域边界上的各个“交点”的坐标，则仿7可得答案是点（2，
3）.
9. 分析：由不等式组作出可行域，则可行域为 所包围的平面区域
（包含边界）， ， ，
注意到 表示区域内
任一点P 与原点的连线的斜率，
又 ，
∴
（三）解答题
1.
分析：对于（1）从题设中的直线方程切入；对于（3），则可考虑推理并运用三角形重心坐标公式证明. 为此，寻找三顶点同名坐标的和之间的联系.
解：
（1）由题设得：
，
.
（2）直线 ，
直线 .
由题意得： ，
即： ①
∵ 点
∴ ②
∴ 由①，②得：
整理得
∴ 所求动点P 的轨迹C 的方程为： ③
（3）证明：
（Ⅰ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为 ，
∵ 直线l ，曲线C 关于x 轴对称
并且 与 关于x 轴对称.
∴ 的中点坐标均为（a ，0），
∴ 的重心坐标均为 ，
即它们的重心重合.
（Ⅱ）当直线l 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为：
④
④代入③得：
由题意知这里： 且 ⑤
设 ，则由韦达定理得：
又设
则由 得 ，
由 得 ，
∴ ，
于是可得： ，
即 的重心与 的重心重合.
点评：
（1）这里区域 .
（2）根据三角形重心坐标公式，要证明上述两个三角形的重心重合，只要证三顶点的同名坐标的算术平均数分别相等. 于是，计算、推理的方向便更加明确了.
2.
分析：
（1）由题设，知折痕上点的坐标特征，故求折痕所在直线的方程时考虑运用待定参数法；
（2）利用（1）的结果，先求折痕之长的函数表达式，归结为函数的最值问题.
解：
（1）设折叠后A 在DC 边上的对应点为 ，
并设折痕EF 所在直线的方程为
（Ⅰ）当k=0时， 与D 重合（水平折线），折痕所在直线的方程为 （Ⅱ）当 ，由题设知 与 关于折痕所在直线EF 对称，
∴ 且 的中点 在直线EF 上，
∴ 且
∴ ，
∴ 折痕EF 所在直线方程为 ：
于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）得折痕EF 所在直线方程为
（2）由（1）知线段EF 的方程为 （※）
当E 与D 重合时，E 点坐标为（1，0），由（※）得 k=-1；
当F 与B 重合时，F 点坐标为（2，0），由（※）得
（Ⅰ）当E 在OD 上，F 在OB 上时，
由（※）得
则
∴
当 得 ，即
∴ 当 时， ，则l 是k 的减函数，此时 ；
当 时， ，则l 是k 的增函数，此时 ；
（Ⅱ）当E 在DC 上，F 在OD 上时，
由（※）得
则 是k 的增函数，
此时，
（Ⅲ）当E 在OD 上，F 在BC 上时， ，
由（※）得
则 是k 的减函数，
此时
于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得 的最大值为 和 中的最大者.
注意到
成立，
∴ ，
而
∴
于是可知折痕EF 的最大值为 ：
点评：根据题意作出图形（比较这里的2（Ⅰ），可使我们的寻求目标明确，解题思路明朗，同时也可从中受到直观启发或猜想. 图形的积极作用是人所共知的. 但是，事物都是一分为二的. 当问题比较复杂时，我们所作出的图形只是诸多情况中的一种，因而很容易“以一种倾向掩盖另一种倾向”，导致我们解题的疏漏或缺憾，（忽略（Ⅱ）、（Ⅲ））. 因此，当我们刻意借助图形解题时，要注意多方位、多角度地考察问题，立足考察的这一种情形，寻觅可能存在的其它情形. 为此，不仅有利于解好这个题，而且有利于我们思路的开阔以及思维的缜密，均有益处.
3.
分析：
（1）注意到 为点 的横坐标，所以设出 之后，从寻找 ， 坐标切
入；
（2）利用（1）的结果认知 的相关数列的特性，推导 的表达式；
（3）首先整理、化简 以及 的表达式，而后根据具体情况选择比较大小的手段.
解：
（1）证明：设点 的坐标为 ，则由题设得
点 的坐标为
点 的坐标为
∵ 点 在直线 上，
∴
∴
即 ：
（2）解：由题设知 ，
又由（1）知
∴ 数列 是首项为 ，
公比为 的等比数列，
∴ ，
即 ：
（3）解： 由 解得 ， 即P （1，1）
∴
①
∴ ②
（Ⅰ）当 时，由②得 ，
而此时 ，由①得
∴ 此时 ；
（Ⅱ）当 时，由②得 ，
而此时 ，由①得
∴ 此时 .
于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）得：
当 时， ；
当 时，
点评：对于（3），在化简、整理出 与 的表达式中，根据①，②两式的结构特征，它们不适于比较法等直接比较的方法，于是想到借助“媒介值”来进行比较！因此，为寻找①式的上（确）界和下（确）界，想到从比较 与1的大小为主线展开讨论