第五章 统计初步与概率初步
考点一、平均数 （3分）
1、平均数的概念
（1）平均数：一般地，如果有n 个数x 1, x 2, , x n , 那么，x =
做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。
（2）加权平均数：如果n 个数中，1(x 1+x 2+ +x n ) 叫n x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，„，x k 出现f k 次（这里f 1+f 2+ f k =n ），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为x =x 1f 1+x 2f 2+ x k f k ，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中f 1, f 2, , f k 叫做n
权。
2、平均数的计算方法
（1）定义法
当所给数据x 1, x 2, , x n , 比较分散时，一般选用定义公式：x =
（2）加权平均数法：
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：x =1(x 1+x 2+ +x n ) n x 1f 1+x 2f 2+ x k f k ，其中n
f 1+f 2+ f k =n 。
（3）新数据法：
当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：x =x ' +a 。
其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，„，x ' 1=x 1-a ，x ' 2=x 2-a ，x ' n =x n -a 。x ' =1(x ' 1+x ' 2+ +x ' n ) 是新数据的平均数（通常把x 1, x 2, , x n , 叫做原n
数据，x ' 1, x ' 2, , x ' n , 叫做新数据）。
考点二、统计学中的几个基本概念 （4分）
1、总体
所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体
总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量
样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
考点三、众数、中位数 （3~5分）
1、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
考点四、方差 （3分）
1、方差的概念
在一组数据x 1, x 2, , x n , 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“s ”表示，即 2
1s 2=[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2] n
2、方差的计算
（1）基本公式：
1s 2=[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2] n
（2）简化计算公式（Ⅰ）：
21222[(x 1+x 2+ +x n ) -n x ] n
212222也可写成s =[(x 1+x 2+ +x n )]-x n s 2=
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
（3）简化计算公式（Ⅱ）：
2122s 2=[(x ' 1+x ' 2+ +x ' ) -n x ' ] 2n n
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组新数据x ' 1=x 1-a ，x ' 2=x 2-a ，„，
2122+x ' 2+ +x ' )]-x ' x ' n =x n -a ，那么，s 2=[(x ' 12n n
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
（4）新数据法：
原数据x 1, x 2, , x n , 的方差与新数据x ' 1=x 1-a ，x ' 2=x 2-a ，„，x ' n =x n -a 的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x ' 1, x ' 2, , x ' n , 的方差就等于原数据的方差。
3、标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s ”表示，即
s =s 2=1[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2] n
考点五、频率分布 （6分）
1、频率分布的意义
在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：
①计算极差（最大值与最小值的差）
②决定组距与组数
③决定分点
④列频率分布表
⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念
①极差：最大值与最小值的差
②频数：落在各个小组内的数据的个数
③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n ）的比值叫做这一小组的频率。 考点六、确定事件和随机事件 （3分）
1、确定事件
必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：
在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
考点七、随机事件发生的可能性 （3分）
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
考点八、概率的意义与表示方法 （5~6分）
1、概率的意义
一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率n 会稳定在某个常数p 附近，那m
么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
2、事件和概率的表示方法
一般地，事件用英文大写字母A ，B ，C ，„，表示事件A 的概率p ，可记为P （A ）=P 考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系 （3分）
1、确定事件概率
（1）当A 是必然发生的事件时，P （A ）=1
（2）当A 是不可能发生的事件时，P （A ）=0
2、确定事件和随机事件的概率之间的关系
0 1概率的值
不可能发生
事件发生的可能性越来越大
考点十、古典概型 （3分）
1、古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
2、古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=m n
考点十一、列表法求概率 （10分）
1、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2、列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
考点十二、树状图法求概率 （10分）
1、树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
2、运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
考点十三、利用频率估计概率（8分）
1、利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3、随机数
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。
第五章 统计初步与概率初步
考点一、平均数 （3分）
1、平均数的概念
（1）平均数：一般地，如果有n 个数x 1, x 2, , x n , 那么，x =
做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。
（2）加权平均数：如果n 个数中，1(x 1+x 2+ +x n ) 叫n x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，„，x k 出现f k 次（这里f 1+f 2+ f k =n ），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为x =x 1f 1+x 2f 2+ x k f k ，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中f 1, f 2, , f k 叫做n
权。
2、平均数的计算方法
（1）定义法
当所给数据x 1, x 2, , x n , 比较分散时，一般选用定义公式：x =
（2）加权平均数法：
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：x =1(x 1+x 2+ +x n ) n x 1f 1+x 2f 2+ x k f k ，其中n
f 1+f 2+ f k =n 。
（3）新数据法：
当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：x =x ' +a 。
其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，„，x ' 1=x 1-a ，x ' 2=x 2-a ，x ' n =x n -a 。x ' =1(x ' 1+x ' 2+ +x ' n ) 是新数据的平均数（通常把x 1, x 2, , x n , 叫做原n
数据，x ' 1, x ' 2, , x ' n , 叫做新数据）。
考点二、统计学中的几个基本概念 （4分）
1、总体
所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体
总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量
样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
考点三、众数、中位数 （3~5分）
1、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
考点四、方差 （3分）
1、方差的概念
在一组数据x 1, x 2, , x n , 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“s ”表示，即 2
1s 2=[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2] n
2、方差的计算
（1）基本公式：
1s 2=[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2] n
（2）简化计算公式（Ⅰ）：
21222[(x 1+x 2+ +x n ) -n x ] n
212222也可写成s =[(x 1+x 2+ +x n )]-x n s 2=
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
（3）简化计算公式（Ⅱ）：
2122s 2=[(x ' 1+x ' 2+ +x ' ) -n x ' ] 2n n
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组新数据x ' 1=x 1-a ，x ' 2=x 2-a ，„，
2122+x ' 2+ +x ' )]-x ' x ' n =x n -a ，那么，s 2=[(x ' 12n n
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
（4）新数据法：
原数据x 1, x 2, , x n , 的方差与新数据x ' 1=x 1-a ，x ' 2=x 2-a ，„，x ' n =x n -a 的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x ' 1, x ' 2, , x ' n , 的方差就等于原数据的方差。
3、标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s ”表示，即
s =s 2=1[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2] n
考点五、频率分布 （6分）
1、频率分布的意义
在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：
①计算极差（最大值与最小值的差）
②决定组距与组数
③决定分点
④列频率分布表
⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念
①极差：最大值与最小值的差
②频数：落在各个小组内的数据的个数
③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n ）的比值叫做这一小组的频率。 考点六、确定事件和随机事件 （3分）
1、确定事件
必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：
在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
考点七、随机事件发生的可能性 （3分）
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
考点八、概率的意义与表示方法 （5~6分）
1、概率的意义
一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率n 会稳定在某个常数p 附近，那m
么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
2、事件和概率的表示方法
一般地，事件用英文大写字母A ，B ，C ，„，表示事件A 的概率p ，可记为P （A ）=P 考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系 （3分）
1、确定事件概率
（1）当A 是必然发生的事件时，P （A ）=1
（2）当A 是不可能发生的事件时，P （A ）=0
2、确定事件和随机事件的概率之间的关系
0 1概率的值
不可能发生
事件发生的可能性越来越大
考点十、古典概型 （3分）
1、古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
2、古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=m n
考点十一、列表法求概率 （10分）
1、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2、列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
考点十二、树状图法求概率 （10分）
1、树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
2、运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
考点十三、利用频率估计概率（8分）
1、利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3、随机数
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。