线面平行证明

线面平行证明“三板斧”

第一斧：从结论出发，假定线面平行成立，利用线面平行的性质，在平面

内找到与已知直线的平行线。

例１：如图正方体ABCDA1B1C1D1中，Ｅ为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。

练习：

如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，点Ｆ为PC中点，求证：PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直线作平行四边形

例2：如图，正方体ABCDA1B1C1D1，E为A1B1上任意一点，求证：AE//平面DC1

练习：

如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E为B1C1的中点，F为AA1的中点，求证：

A1E//平面B1CF

第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。

例3：如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，E，F，G分别为PC,PD,BC的中点，求证：PA//平面EFG

练习：如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）D为BC的中点，求证：

AC1//平面AB1D

总结：线面平行证明的三种方法中，多数题目其实都可以用第一、二种方法得到解决，因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长，但其思路是很固定的，实践过程中更容易为同学们所掌握。一个题目可能有几种证法，同学们练习时可以三种方法都去试一试，看看有几种办法可以解决。在熟悉以后，解题过程中可按照招式一、二、三的顺序依次去思考。

1. 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

2.如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上．问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.

3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证:AB1//平面BC1D；

4．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.

5．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

6.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.

7．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是

A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过A至少有一个平面平行于a，b

C．过A有无数个平面平行于a，b D．过A且平行a，b的平面可能不存在

8．设平面∥β，A，C∈，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_____________.

9.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB

，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )

A．不存在 B．有1条 C．有2条 D．有无数条

10.如图所示：设P

上的点，

AMDN且MBNP

11.求证：MN//平面PBC如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，

P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

（１）求证：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的长．

（３）求证：EF//平面BB1D1D．