2005年11月第11卷第4期
安庆师范学院学报(自然科学版)
Journal of Anqing Teachers College (N atur al Science )
Nov . 2005Vol . 11NO . 4
勒贝格积分的计算方法
周其生
(安庆师范学院数学与计算科学学院, 安徽安庆 246011)
摘 要:本文讨论勒贝格积分的计算问题, 利用勒贝格积分的定义和性质, 总结出计算L 积分的若干方法, 各种方法都举出了例子说明。
关键词:勒贝格积分; 黎曼积分; 可积; 计算
中图分类号:O 174. 1 文献标识码:A 文章编号:1007-4260(2005) 04-0089-05
实变函数论的中心内容是勒贝格积分, 在勒贝格积分(以下简称L 积分) 的学习中, 面临的一个问题是它的计算。由于可积函数范围的扩大, 不象在黎曼积分(以下简称R 积分) 中那样可积函数对连续性的依赖(可积必须几乎处处连续) , 尽管R 积分理论中N -L 公式可推广到L 积分中来, 但利用找原函数的方法来解决L 积分的计算问题很难奏效。本文讨论L 积分的几种计算方法, 有的方法不仅仅是为了解决L 积分的计算问题, 也提供了一个计算R 积分的方法。
1. 用定义计算
直接用定义来计算积分当然不失为一个有用的方法。L 积分有多种等价的定义, 为便于叙述, 我们不妨按文献[1]来说明。[1]中定义分三部分, 简要给出:
(1) 集合测度有限、函数有界情形。当小和的上确界与大和的下确界相等时, 定义积分为:
f (x ) d x =∫
E
inf S (D , f ) =sup s (D . f ) 。D D
f (x ) d x =lim ∫∫[f (x ) ]d x
E
n →∞E
n
n
(2) 当函数非负可测(集合测度不限) 时, 定义积分为:(3) 一般情形。当f
E +
E
E
+
-E
f (x ) d x 至少有一个有限时, 定义积分为:∫(x ) d x 和∫f (x ) d x =∫f (x ) d x -∫f (x ) d x 。∫
-E
例1 设f (x ) 为[0, 1]上的狄利克雷函数
1, x ∈[0, 1]∩Q
f (x ) =, 这里Q 为全体有理数所成之集, 计算f (x ) 在[0, 1]上的L 积分。
0, x ∈[0, 1]\Q
解:因为f (x ) 为简单函数, 在[0, 1]上有界可测, 因而可积。可用定义(1) 来求解。令E 1=[0, 1]∩Q , E 2=[0, 1]\Q , 则D ={E 1, E 2}是[0, 1]的一个可测分划, 对应的大、小和数为S (D , f ) =s (D , f ) =0。因而
∫f (x ) d x =
[0, 1]
inf S (D , f ) =sup s (D , f ) =0D D
本例说明, 用定义(1) 求积分时, 如果能找到可测分法D , 使得大小和数相等, 则该和数就是所求的
收稿日期:2005-06-28
基金项目:省教育厅科研基金(2004K J 269) 资助
() , , , ,
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安庆师范学院学报(自然科学版) 2005年
积分。当然, 这样的分法D 不见得总能找得到, 但如果能选取一列可测分划{D n }, 使得lim S (D n , f ) =n →∞lim s (D n , f ) , 则这个共同值便是所求的积分。对于非负可测函数也可以直接用定义求积分。如下例:n →∞
例2 设在Cantor 集P 0上定义函数f (x ) =0, 而在P 0的余集中长为1/3n 的构成区间上定义为n (n =1, 2, …) , 试证f (x ) 可积分, 并求出积分值。
解 f (x ) 在E =[0, 1]上非负可测不难说明, 且注意到f (x ) 不是有界函数, 所以要用定义(2) 。记G n 为在集的构造中第n 次挖去的2[f (x ) ]n =
n -1
个长度为1/3的构成区间之和集, 则mG n =2
n n -1
/3, 而
n
f (x ) , x ∈P 0∪G 1∪G 2∪…∪G n
, 此时定义中取E n =E (n =1, 2…) , 由定义(2) 有
n , x ∈G n +1∪G n +2∪…
k -1
f (x ) d x =lim [f (x ) ]n d x =lim [∑k +n (1-E n →∞E n →∞k =13n
由此便得到f (x ) 的可积性。
∫
∫
n n
∑
k =1
k -1k -1n
) ]=3) ]=lim [∑k +n (n →∞k =1333
n
2. 利用积分性质计算
性质1 两个几乎处处相等的函数, 有相同的可积性和相同的积分值。
这是计算勒贝格积分的一个非常有用的方法, 通常可把复杂的问题变得很简单。例3 在例1中, f (x ) =0a . e . 于[0, 1], 所以容易求得
0∫f (x ) d x =∫
[0, 1]
[0, 1]
d x =0
性质2 若f (x ) 在[a , b ]上R 可积, 则它必同时L 可积, 且有相同的积分值。
这条性质非常重要, 有了它可借助于求R 积分的那些方法来求L 积分, 通常与性质(1) 结合使用。
1x 3, x ∈[0, 1]∩Q
例4 设f (x ) =, 计算积分(L ) f (x ) d x 0
x 2, x ∈[0, 1]\Q
∫
解 由于f (x ) =x a . e . 于[0, 1], 由上面性质(1) 和(2) 得, (L ) (R ) 0x 2d x =
2
∫
1
f (x ) d x =(L ) 0
∫
1
x d x =0
2
∫
1
3
众所周知, L 积分是通常的R 积分的推广, 而非广义R 积分的推广。但下面性质是成立的。性质3 设f (x ) 是(a , b ]上非负有限函数且lim f (x ) =∞。如果f (x ) 在[a , b ]上的广义R 积分+
x →a
存在(可积) , 则f (x ) 在[a , b ]上L 可积且二者的值相同。注1 若f (x ) 无非负条件, 则上面结论应为“f (x ) 在[a , b ]上L 可积的充要条件是 f (x ) 在[a , b ]上广义R 可积且二者有相同的值”。
注2 对无穷限广义R 积分, 类似的结论同样是成立的。
注3 对于非负连续(瑕点除外) 函数, 广义R 积分总与L 积分等值(可为∞) 。
0, x ∈P 1
, 其中P 为Cantor 集, 计算(L ) 0f (x ) d x 。例5 设f (x ) =, x ∈[0, 1]\
P 3x
解 由于Cantor 集的测度为零, 由上面性质1和性质3得
111
(L ) 0f (x ) d x =(L ) 03d x =(R ) 03d x
=
2x x
注:例5中的函数f (x ) 不是R 可积的, 因为它在[0, 1]上虽是几乎处处连续的, 但它在[0, 1]上无界。但f (x ) 却是广义R 可积的,
且积分值也为3/2。下例则不同。
∫
∫-
3
例6 设f (x ) =
, x ∈[0, 1]∩Q x
,
x ∈[0, 1]\Q 3x
, 求(L )
f (x ) d x 。
∫
1
1
f x (L 1
1
第4期周其生:勒贝格积分的计算方法
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本例中 f (x ) 是广义R 可积的, 但f (x ) 却不是广义R 可积的, 因对任意0
利用L 积分性质来计算R 积分也是一个很有效的方法。一些在数学分析中很难计算的积分, 在这里变得相当简单。
, 当x =p , q 为互质整数; q q 例7 设f (x ) 为Riemann 函数, f (x ) =
1, 当x 为无理数或0。
由于f (x ) 在[0, 1]上有界且几乎处处等于零, 故R 可积, 从而L 可积。利用以上性质得(R ) 0f (x ) d x =(L ) 0f (x ) d x =(L )
∫
1
∫
∞
1
0d x =∫
1
0。
∞
性质4 (积分的可数可加性) 设f (x ) 在可测集E =n ∪E n 上积分确定, 其中各E n 为互不相交的可=1
测集, 则E f (x ) d x =
∫
∑∫f (x ) d x 。
n =1
E
n
例8 f (x ) 同例2, 记E 0=P , E n =G n , n =1, 2…, 由性质(4) 得
∫
n -1
f (x ) d x =∑E f (x ) d x =P 0d x +∑G n d x =∑n =3。[0, 1]3n =1n =1n =1n n
例9 若在Cantor 集P 上的点有f (x ) =x 10, 而在P 的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间
∞
∫
∫
∞
∫
1
∞
的长为直径所作的圆周的上半圆周, 试计算L 积分0f (x ) d x 。
解 用( n , n ) 表示Canto r 集P 的邻接区间, 不妨设这些邻接区间按其长度减少的次序来排列(相同长度的按从左到右顺序) , 于是由性质4有0f (x ) d x =
∫
∫
1
∫
f (x ) d x +p
f (x ) d x 。∑∫
n
∞
n =1
n
n , n ) 上f (x ) 的图形是以邻接区间为直径的上半圆周, 故半径为r n =由于p f (x ) d x =0, 在(
∫
n n n n
, 且在( n , n ) 上的积分等于半径为r n =的半圆面积, 于是22 n - n 2! () =22
∞
f (x ) d x ∫
1
∞
=
∑
n =1
∑
n =1
! 2
( n - n ) 。8
01(2个) ; 2- 2= 3- 3=(2个) ; 4- 4=…= 7-33由Cantor 集的构造知: 1- 1= 7=
2
(2个) , … … …33
1
2n -1因此0f (x ) d x =[+++…++…]= [1++() 2+…+() n -1
8333389999
+…]=。
56
性质4的用法是根据函数的特点将集合划分成有限或可数个互不相交的可测子集之并, 而函数在每个子集上的积分容易算出。不难知道, 本例的函数在[0, 1]上是R 可积的。此例计算虽显烦琐, 但它具有代表性。当Cantor 集换成正测度的Cantor 集类的疏朗完备集时, 按上面方法定义的函数不再是R 可积的, 但仍就可按上面方法计算出L 积分来。
∫
∞
性质5 (L 逐项积分定理) 设{f n }是可测集E 上一列非负可测函数, 则f (x ) d x ∑∫
n =1
E
n
∞
(∑f ∫
E
n =1
n
(x ) ) d x =
例10 求L 积分
∫
1
=
ln(1-x )
d x
x
n -1n -1∞
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安庆师范学院学报(自然科学版)
∞
2005年
显然{f n }是[0, 1]上的非负可测函数列, 且∑f n (x ) =f (x ) (0
n =1
由L 逐项积分定理得:
1
d x =-x
f (x ) d x =-∑f (x ) =-∑∫∫n
n =1
n
n =1
1
∞
1
∞
1
n -1
∞
d x =-
∑
n =1
=-。
n 6
2
L 逐项积分定理无须验证函数项级数一致收敛, 因此用起来非常方便。上面例2用此性质很容易算出:令f n (x ) =
∞
n , x ∈G n 0, x
G n 意义同上。G n n =1, 2…。
∞
∞
则∑f n (x ) =f (x ) (0≤x ≤1) 。由性质4得E f (x ) d x =∑E f n (x ) d x =∑n =3
3n =1n =1n =1n
性质6 (Levi 定理) 设{f n }是可测集E 上一列非负可测函数, 且在E 上有f n (x ) ≤f n +1(x ) (n =
∫
∫
n -1
1, 2, …) , 令f (x ) =n lim f n (x ) , 则E f (x ) d x =lim f n (x ) d x 。→∞n →∞E
性质6比非负可测函数积分的定义计算积分要灵活得多, 还是以例2为例来说明。例11 (同例2) 。解 令f (x ) =
n
∫
∫
f (x ) , x ∈P 0∪G 1∪G 2∪…∪G n 0, x ∈G n +1∪G n +2∪…
n =1, 2, …。
n
∞
k -1k -1
则{f n }满足Levi 定理条件, 故有E f (x ) d x =n lim f n (x ) d x =n lim k =∑k =3。→∞E →∞∑33k =1k =1
与例2比较, 这里{f n }的选择比截断函数列{[f ]n }简单, 而{[f ]n }只是满足Levi 定理的{f n }的一
∫
∫
种特例。
性质7 (Fubini 定理) 设f (P ) =f (x , y ) 在A ×B R p +q 上非负可测或可积, 则d x f (x , y ) d y =∫d y f (x , y ) d x 。∫f (P ) d P =∫∫∫
例12 求积分 (1+y ) (1+x y )
A ×B
A
B
B
A x >0, y >0
解 被积函数显然在积分域上非负可测, 故由Fubini 定理得
x >0, y >
=(1+y ) (1+x y ) 0
∞
d y
1+y
∞
d y =21+x y
∞
(1+y )
d y =2y
2
化重积分为累次积分是Fubini 定理的通常用法, 但利用Fubini 定理作为桥梁, 把某些积分当作累次积分来看, 通过交换积分次序而使计算变得容易。如下例:
-ax -bx
(e -e ) sin x d x , 0
∞
x a (e -x y ) d y =∞sin x d x b e -x y d y =解 形式地演算得出I =0x b 0a 例13 求I =
∞
∫∫∫∫
a
b ∞0
d y
e -xy sin x d x =
∫
a
b
=ar ctan b -ar ctan a
1+y ∫∫
为了说明第三个等式的合理性, 需验证f (x , y ) =e sin x 在D =(0, ∞) ×(a , b ) 上可积, 而这由b ∞b ∞b
-xy -xy
d y e sin x d x ≤d y e d x ==ln
-x y
∫∫性质8 (微积分基本定理) 若F (x ) 是[a , b ]上的绝对连续函数, 则F (x ) -F (a ) =[a , b ]。这就是R 积分中的N -L 公式在L 积分中的推广。它是从下面定理推出的:
F ′(t ) d t , x ∈∫
a
x
定理 设f (x ) 在[a , b ]上L 可积, 则存在绝对连续函数F (x ) 使F ′(x ) =f (x ) a . e . 于[a , b ]。二者:f t ) , a x
第4期周其生:勒贝格积分的计算方法
・93・
例14 计算积分0f (x ) d x , 其中f (x ) =
co s x , x ∈E 2=[0, 1]\Q
解 因F (x ) =sin x 在[0, 1], 故为绝对连续函数, 且F ′(x ) =f (x ) a . e 于[0, 1], 所以由性质8得0f (x ) d x =sin1-sin0=sin1
注 在利用N -L 公式计算L 积分时, 一定要验证F (x ) 是绝对连续函数, 否则容易出错。如熟知的∀(x ) (见[1], P 153。) 在[0, 1]上单调增且连续, ∀′(x ) =0a . e . 于[0, 1], 但∀(1) -∀(0) =1≠0=∀′(x ) d x ∫
01
∫
1
sin x , x ∈E 1=[0, 1]∩Q
∫
1
原因是∀(x ) 在[0, 1]上不是绝对连续函数, 而满足F (x ) =∀′(x ) a . e . 于[0, 1]的所有绝对连续函数都是常值函数, 并不是∀(x ) 自己! 这一点尤其值得注意。本反例还说明连续的有界变差函数不一定是绝对连续函数。
性质9 (分部积分法) 设f (x ) 在[a , b ]上绝对连续, #(x ) 在[a , b ]上可积且g (x ) -g (a ) =#(x ) d t , 则f (x ) #(x ) d x =∫∫
a
a
#
g (x ) f ′(x ) d x ∫例15 设f (x ) 是例2中的函数, F (x ) =∫f (t ) d t . #(x ) =
f (x ) g (x ) -b
a
a
x 0
b b
1, x ∈[0, 1]\Q
。计算积分
2, x ∈[0, 1]∩Q
F (x ) #(x ) d x 。∫
1
#(t ) d t , 则易知g (x ) =x , x ∈[0, 1], 且F (x ) , g (x ) 均为绝对连续函数。由性质∫9及绝对连续函数性质有F (x ) #(x ) d x =F (x ) g (x ) -∫g (x ) f (x ) d x =3-∫x f (x ) d x 。∫
, 因此, F (x ) #按例8的计算方法可得x f (x ) d x =(x ) d x =∫∫22
解 记g (x ) =
10
1
10
10
10
10
x
利用积分的极限定理同样可研究L 积分中的“参变积分”。设Y R 是一区间, f (x , y ) 是定义于X ×Y 上的实函数, 对每个固定的y ∈Y , f (x , y ) 关于x 在X 上可积, 于是:∃(y ) =
f (x , y ) d x ∫
X
(1)
是定义于Y 上的有限实函数。由[5]中定理3. 3. 6有
性质10 若偏导数f y (x , y ) 存在, 且存在X 上的可积函数g (x ) , 使得 f y (x , y ) ≤g (x ) (! x ∈X , y ∈Y ) 则∃′(y ) =
f (x , y ) d x ∫
X
y
(2)
在实际问题中, 往往直接用(1) 式求∃(y ) 很困难, 而先从(2) 式求∃′(y ) 却较容易, 我们可先求得∃′(y ) 后再关于y 积分。如:
例16 求
∫
∞
e -∞
-x 2
cos x d x
-x 2
解 记∃( ) =
∫e
-∞
∞
cos x d x , f (x , ) =e
-x 2
cos x , 利用性质10可求得∃( ) =! e
-
2
。
3. 结束语
L 积分的计算方法远不止这些, 例如, 还可利用积分的等价定义、充要条件、其它极限定理(比如用简单函数列来逼近被积函数) 以及换元积分法等等。限于篇幅, 不再一一举例。用不同的方法来计算积分繁简不一, 但总的来说, 尽可能利用R 积分这个现成的工具应该是较好的选择。
[参考文献]
[1] 程其襄, 张奠宙, 等. 实变函数与泛函分析基础(第二版) [M ]. 北京:高等教育出版社, 2003. 1-175. [2] 周民强. 实变函数(第二版) [M ].北京:北京大学出版社, 1995. 121-223.
[3] 张喜堂. 实变函数论的典型问题与方法[M ]. 武汉:华中师范大学出版社, 2000. 214-368. [4][(
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安庆师范学院学报(自然科学版) 2005年
2t N -k ( /(2(k -1) ) 的值, 第四个数是2c 的值, 注意对不同的k 和n , c 是不相同的。
2. 2 主要结论
由运行结果可以看出, 每一小表中, 第二个数都是大于第三个数的, 第三个数又是大于第四个数的, 说明此时T ukey 区间不是最优的。分析可得到结论:在效应有序的情况下, 即%1≤%2≤…≤%k , 构造两效应的同时置信区间, 由本文所介绍的第三种区间是最好的, Bonferroni 区间次之, Tukey 区间最差。
说明:虽然本文所介绍的第三种区间是最优的, 但k 较大时, c 很难求出; 所以一般在应用中, k ≥9时则用Bo nferroni 区间, 此区间简单易求, 且精度较高。
[参考文献]
[1] 王松桂, 史建红, 尹素菊, 吴密霞. 线性模型引论[M ].北京:科学出版社, 2004. [2] 李尚志, 陈发来, 吴耀华, 张韵华. 数学实验[M ]. 北京:高等教育出版社, 1999.
[3] Richar d J. Gay lo rd, Sa muel N. K amin, Paul R. Wellin; 邵勇译. 数学软件M athemat ica 入门[M ]. 北京:高等教育出
版社, 2001.
[4] Hay ter , A. J. , A o ne -sided student ized rang e test for testing ag ainst a simple o rdered alter nativ e[J]. J. A mer.
St atist. A sso c. 1990. 85, 411, 778-785.
Comparision of Three Simultaneous Confidence Intervals of Ordered Treatments
WA NG Rui
(S chool of M athematics and Compu tational S cience , Anhui Un iversity , Hefei 230039, China )
Abstract :T hr oug h a nalysis and co mpariso n, the art icle point s o ut that T ukey metho d is not the best o f co nstr ucting simultaneous co nfidence inter val of tw o tr eatments w hen they ar e or der ed. A l-so the article g iv es the t hird inter val w hich is mor e accur ate than T ukey int erv al.
Key words :simultaneous co nfidence int er v al; T ukey simulta neo us confidence inter val; Bonfer ro ni si-multaneous confidence inter va l; or der ed t reatments
(上接第93页)
[5] 胡适耕. 实变函数[M ].北京:高等教育出版社, 1999. 74-195. [6] 汪林. 实分析中的反例[M ].北京:高等教育出版社, 1989.
[7] 周其生. 《实变函数》课程教学改革初探[J ]. 安庆师范学院学报(自然科学版) , 2000, 6(2) :44-46.
Calculation Method of Lebesgue Integral
ZHOU Qi-sheng
(Sch ool of M ath ematics &C om putational Science, Anqing T eachers College, An qin g 246011, Ch ina)
Abstract :T he ar ticle discusses t he calcula tio n pr oblem o f L ebesg ue integ ral , gets so me calculating
m ethods about L ebesg ue integ ra l by apply ing the definitio n and pr oper ties o f L ebesgue integr al , and illustrat es each metho d .
Key words :L ebesgue integ ral ; R iemann integ ral ; int egr able ; ca lculat ion
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勒贝格积分的计算方法
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摘 要:本文讨论勒贝格积分的计算问题, 利用勒贝格积分的定义和性质, 总结出计算L 积分的若干方法, 各种方法都举出了例子说明。
关键词:勒贝格积分; 黎曼积分; 可积; 计算
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实变函数论的中心内容是勒贝格积分, 在勒贝格积分(以下简称L 积分) 的学习中, 面临的一个问题是它的计算。由于可积函数范围的扩大, 不象在黎曼积分(以下简称R 积分) 中那样可积函数对连续性的依赖(可积必须几乎处处连续) , 尽管R 积分理论中N -L 公式可推广到L 积分中来, 但利用找原函数的方法来解决L 积分的计算问题很难奏效。本文讨论L 积分的几种计算方法, 有的方法不仅仅是为了解决L 积分的计算问题, 也提供了一个计算R 积分的方法。
1. 用定义计算
直接用定义来计算积分当然不失为一个有用的方法。L 积分有多种等价的定义, 为便于叙述, 我们不妨按文献[1]来说明。[1]中定义分三部分, 简要给出:
(1) 集合测度有限、函数有界情形。当小和的上确界与大和的下确界相等时, 定义积分为:
f (x ) d x =∫
E
inf S (D , f ) =sup s (D . f ) 。D D
f (x ) d x =lim ∫∫[f (x ) ]d x
E
n →∞E
n
n
(2) 当函数非负可测(集合测度不限) 时, 定义积分为:(3) 一般情形。当f
E +
E
E
+
-E
f (x ) d x 至少有一个有限时, 定义积分为:∫(x ) d x 和∫f (x ) d x =∫f (x ) d x -∫f (x ) d x 。∫
-E
例1 设f (x ) 为[0, 1]上的狄利克雷函数
1, x ∈[0, 1]∩Q
f (x ) =, 这里Q 为全体有理数所成之集, 计算f (x ) 在[0, 1]上的L 积分。
0, x ∈[0, 1]\Q
解:因为f (x ) 为简单函数, 在[0, 1]上有界可测, 因而可积。可用定义(1) 来求解。令E 1=[0, 1]∩Q , E 2=[0, 1]\Q , 则D ={E 1, E 2}是[0, 1]的一个可测分划, 对应的大、小和数为S (D , f ) =s (D , f ) =0。因而
∫f (x ) d x =
[0, 1]
inf S (D , f ) =sup s (D , f ) =0D D
本例说明, 用定义(1) 求积分时, 如果能找到可测分法D , 使得大小和数相等, 则该和数就是所求的
收稿日期:2005-06-28
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积分。当然, 这样的分法D 不见得总能找得到, 但如果能选取一列可测分划{D n }, 使得lim S (D n , f ) =n →∞lim s (D n , f ) , 则这个共同值便是所求的积分。对于非负可测函数也可以直接用定义求积分。如下例:n →∞
例2 设在Cantor 集P 0上定义函数f (x ) =0, 而在P 0的余集中长为1/3n 的构成区间上定义为n (n =1, 2, …) , 试证f (x ) 可积分, 并求出积分值。
解 f (x ) 在E =[0, 1]上非负可测不难说明, 且注意到f (x ) 不是有界函数, 所以要用定义(2) 。记G n 为在集的构造中第n 次挖去的2[f (x ) ]n =
n -1
个长度为1/3的构成区间之和集, 则mG n =2
n n -1
/3, 而
n
f (x ) , x ∈P 0∪G 1∪G 2∪…∪G n
, 此时定义中取E n =E (n =1, 2…) , 由定义(2) 有
n , x ∈G n +1∪G n +2∪…
k -1
f (x ) d x =lim [f (x ) ]n d x =lim [∑k +n (1-E n →∞E n →∞k =13n
由此便得到f (x ) 的可积性。
∫
∫
n n
∑
k =1
k -1k -1n
) ]=3) ]=lim [∑k +n (n →∞k =1333
n
2. 利用积分性质计算
性质1 两个几乎处处相等的函数, 有相同的可积性和相同的积分值。
这是计算勒贝格积分的一个非常有用的方法, 通常可把复杂的问题变得很简单。例3 在例1中, f (x ) =0a . e . 于[0, 1], 所以容易求得
0∫f (x ) d x =∫
[0, 1]
[0, 1]
d x =0
性质2 若f (x ) 在[a , b ]上R 可积, 则它必同时L 可积, 且有相同的积分值。
这条性质非常重要, 有了它可借助于求R 积分的那些方法来求L 积分, 通常与性质(1) 结合使用。
1x 3, x ∈[0, 1]∩Q
例4 设f (x ) =, 计算积分(L ) f (x ) d x 0
x 2, x ∈[0, 1]\Q
∫
解 由于f (x ) =x a . e . 于[0, 1], 由上面性质(1) 和(2) 得, (L ) (R ) 0x 2d x =
2
∫
1
f (x ) d x =(L ) 0
∫
1
x d x =0
2
∫
1
3
众所周知, L 积分是通常的R 积分的推广, 而非广义R 积分的推广。但下面性质是成立的。性质3 设f (x ) 是(a , b ]上非负有限函数且lim f (x ) =∞。如果f (x ) 在[a , b ]上的广义R 积分+
x →a
存在(可积) , 则f (x ) 在[a , b ]上L 可积且二者的值相同。注1 若f (x ) 无非负条件, 则上面结论应为“f (x ) 在[a , b ]上L 可积的充要条件是 f (x ) 在[a , b ]上广义R 可积且二者有相同的值”。
注2 对无穷限广义R 积分, 类似的结论同样是成立的。
注3 对于非负连续(瑕点除外) 函数, 广义R 积分总与L 积分等值(可为∞) 。
0, x ∈P 1
, 其中P 为Cantor 集, 计算(L ) 0f (x ) d x 。例5 设f (x ) =, x ∈[0, 1]\
P 3x
解 由于Cantor 集的测度为零, 由上面性质1和性质3得
111
(L ) 0f (x ) d x =(L ) 03d x =(R ) 03d x
=
2x x
注:例5中的函数f (x ) 不是R 可积的, 因为它在[0, 1]上虽是几乎处处连续的, 但它在[0, 1]上无界。但f (x ) 却是广义R 可积的,
且积分值也为3/2。下例则不同。
∫
∫-
3
例6 设f (x ) =
, x ∈[0, 1]∩Q x
,
x ∈[0, 1]\Q 3x
, 求(L )
f (x ) d x 。
∫
1
1
f x (L 1
1
第4期周其生:勒贝格积分的计算方法
・91・
本例中 f (x ) 是广义R 可积的, 但f (x ) 却不是广义R 可积的, 因对任意0
利用L 积分性质来计算R 积分也是一个很有效的方法。一些在数学分析中很难计算的积分, 在这里变得相当简单。
, 当x =p , q 为互质整数; q q 例7 设f (x ) 为Riemann 函数, f (x ) =
1, 当x 为无理数或0。
由于f (x ) 在[0, 1]上有界且几乎处处等于零, 故R 可积, 从而L 可积。利用以上性质得(R ) 0f (x ) d x =(L ) 0f (x ) d x =(L )
∫
1
∫
∞
1
0d x =∫
1
0。
∞
性质4 (积分的可数可加性) 设f (x ) 在可测集E =n ∪E n 上积分确定, 其中各E n 为互不相交的可=1
测集, 则E f (x ) d x =
∫
∑∫f (x ) d x 。
n =1
E
n
例8 f (x ) 同例2, 记E 0=P , E n =G n , n =1, 2…, 由性质(4) 得
∫
n -1
f (x ) d x =∑E f (x ) d x =P 0d x +∑G n d x =∑n =3。[0, 1]3n =1n =1n =1n n
例9 若在Cantor 集P 上的点有f (x ) =x 10, 而在P 的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间
∞
∫
∫
∞
∫
1
∞
的长为直径所作的圆周的上半圆周, 试计算L 积分0f (x ) d x 。
解 用( n , n ) 表示Canto r 集P 的邻接区间, 不妨设这些邻接区间按其长度减少的次序来排列(相同长度的按从左到右顺序) , 于是由性质4有0f (x ) d x =
∫
∫
1
∫
f (x ) d x +p
f (x ) d x 。∑∫
n
∞
n =1
n
n , n ) 上f (x ) 的图形是以邻接区间为直径的上半圆周, 故半径为r n =由于p f (x ) d x =0, 在(
∫
n n n n
, 且在( n , n ) 上的积分等于半径为r n =的半圆面积, 于是22 n - n 2! () =22
∞
f (x ) d x ∫
1
∞
=
∑
n =1
∑
n =1
! 2
( n - n ) 。8
01(2个) ; 2- 2= 3- 3=(2个) ; 4- 4=…= 7-33由Cantor 集的构造知: 1- 1= 7=
2
(2个) , … … …33
1
2n -1因此0f (x ) d x =[+++…++…]= [1++() 2+…+() n -1
8333389999
+…]=。
56
性质4的用法是根据函数的特点将集合划分成有限或可数个互不相交的可测子集之并, 而函数在每个子集上的积分容易算出。不难知道, 本例的函数在[0, 1]上是R 可积的。此例计算虽显烦琐, 但它具有代表性。当Cantor 集换成正测度的Cantor 集类的疏朗完备集时, 按上面方法定义的函数不再是R 可积的, 但仍就可按上面方法计算出L 积分来。
∫
∞
性质5 (L 逐项积分定理) 设{f n }是可测集E 上一列非负可测函数, 则f (x ) d x ∑∫
n =1
E
n
∞
(∑f ∫
E
n =1
n
(x ) ) d x =
例10 求L 积分
∫
1
=
ln(1-x )
d x
x
n -1n -1∞
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安庆师范学院学报(自然科学版)
∞
2005年
显然{f n }是[0, 1]上的非负可测函数列, 且∑f n (x ) =f (x ) (0
n =1
由L 逐项积分定理得:
1
d x =-x
f (x ) d x =-∑f (x ) =-∑∫∫n
n =1
n
n =1
1
∞
1
∞
1
n -1
∞
d x =-
∑
n =1
=-。
n 6
2
L 逐项积分定理无须验证函数项级数一致收敛, 因此用起来非常方便。上面例2用此性质很容易算出:令f n (x ) =
∞
n , x ∈G n 0, x
G n 意义同上。G n n =1, 2…。
∞
∞
则∑f n (x ) =f (x ) (0≤x ≤1) 。由性质4得E f (x ) d x =∑E f n (x ) d x =∑n =3
3n =1n =1n =1n
性质6 (Levi 定理) 设{f n }是可测集E 上一列非负可测函数, 且在E 上有f n (x ) ≤f n +1(x ) (n =
∫
∫
n -1
1, 2, …) , 令f (x ) =n lim f n (x ) , 则E f (x ) d x =lim f n (x ) d x 。→∞n →∞E
性质6比非负可测函数积分的定义计算积分要灵活得多, 还是以例2为例来说明。例11 (同例2) 。解 令f (x ) =
n
∫
∫
f (x ) , x ∈P 0∪G 1∪G 2∪…∪G n 0, x ∈G n +1∪G n +2∪…
n =1, 2, …。
n
∞
k -1k -1
则{f n }满足Levi 定理条件, 故有E f (x ) d x =n lim f n (x ) d x =n lim k =∑k =3。→∞E →∞∑33k =1k =1
与例2比较, 这里{f n }的选择比截断函数列{[f ]n }简单, 而{[f ]n }只是满足Levi 定理的{f n }的一
∫
∫
种特例。
性质7 (Fubini 定理) 设f (P ) =f (x , y ) 在A ×B R p +q 上非负可测或可积, 则d x f (x , y ) d y =∫d y f (x , y ) d x 。∫f (P ) d P =∫∫∫
例12 求积分 (1+y ) (1+x y )
A ×B
A
B
B
A x >0, y >0
解 被积函数显然在积分域上非负可测, 故由Fubini 定理得
x >0, y >
=(1+y ) (1+x y ) 0
∞
d y
1+y
∞
d y =21+x y
∞
(1+y )
d y =2y
2
化重积分为累次积分是Fubini 定理的通常用法, 但利用Fubini 定理作为桥梁, 把某些积分当作累次积分来看, 通过交换积分次序而使计算变得容易。如下例:
-ax -bx
(e -e ) sin x d x , 0
∞
x a (e -x y ) d y =∞sin x d x b e -x y d y =解 形式地演算得出I =0x b 0a 例13 求I =
∞
∫∫∫∫
a
b ∞0
d y
e -xy sin x d x =
∫
a
b
=ar ctan b -ar ctan a
1+y ∫∫
为了说明第三个等式的合理性, 需验证f (x , y ) =e sin x 在D =(0, ∞) ×(a , b ) 上可积, 而这由b ∞b ∞b
-xy -xy
d y e sin x d x ≤d y e d x ==ln
-x y
∫∫性质8 (微积分基本定理) 若F (x ) 是[a , b ]上的绝对连续函数, 则F (x ) -F (a ) =[a , b ]。这就是R 积分中的N -L 公式在L 积分中的推广。它是从下面定理推出的:
F ′(t ) d t , x ∈∫
a
x
定理 设f (x ) 在[a , b ]上L 可积, 则存在绝对连续函数F (x ) 使F ′(x ) =f (x ) a . e . 于[a , b ]。二者:f t ) , a x
第4期周其生:勒贝格积分的计算方法
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例14 计算积分0f (x ) d x , 其中f (x ) =
co s x , x ∈E 2=[0, 1]\Q
解 因F (x ) =sin x 在[0, 1], 故为绝对连续函数, 且F ′(x ) =f (x ) a . e 于[0, 1], 所以由性质8得0f (x ) d x =sin1-sin0=sin1
注 在利用N -L 公式计算L 积分时, 一定要验证F (x ) 是绝对连续函数, 否则容易出错。如熟知的∀(x ) (见[1], P 153。) 在[0, 1]上单调增且连续, ∀′(x ) =0a . e . 于[0, 1], 但∀(1) -∀(0) =1≠0=∀′(x ) d x ∫
01
∫
1
sin x , x ∈E 1=[0, 1]∩Q
∫
1
原因是∀(x ) 在[0, 1]上不是绝对连续函数, 而满足F (x ) =∀′(x ) a . e . 于[0, 1]的所有绝对连续函数都是常值函数, 并不是∀(x ) 自己! 这一点尤其值得注意。本反例还说明连续的有界变差函数不一定是绝对连续函数。
性质9 (分部积分法) 设f (x ) 在[a , b ]上绝对连续, #(x ) 在[a , b ]上可积且g (x ) -g (a ) =#(x ) d t , 则f (x ) #(x ) d x =∫∫
a
a
#
g (x ) f ′(x ) d x ∫例15 设f (x ) 是例2中的函数, F (x ) =∫f (t ) d t . #(x ) =
f (x ) g (x ) -b
a
a
x 0
b b
1, x ∈[0, 1]\Q
。计算积分
2, x ∈[0, 1]∩Q
F (x ) #(x ) d x 。∫
1
#(t ) d t , 则易知g (x ) =x , x ∈[0, 1], 且F (x ) , g (x ) 均为绝对连续函数。由性质∫9及绝对连续函数性质有F (x ) #(x ) d x =F (x ) g (x ) -∫g (x ) f (x ) d x =3-∫x f (x ) d x 。∫
, 因此, F (x ) #按例8的计算方法可得x f (x ) d x =(x ) d x =∫∫22
解 记g (x ) =
10
1
10
10
10
10
x
利用积分的极限定理同样可研究L 积分中的“参变积分”。设Y R 是一区间, f (x , y ) 是定义于X ×Y 上的实函数, 对每个固定的y ∈Y , f (x , y ) 关于x 在X 上可积, 于是:∃(y ) =
f (x , y ) d x ∫
X
(1)
是定义于Y 上的有限实函数。由[5]中定理3. 3. 6有
性质10 若偏导数f y (x , y ) 存在, 且存在X 上的可积函数g (x ) , 使得 f y (x , y ) ≤g (x ) (! x ∈X , y ∈Y ) 则∃′(y ) =
f (x , y ) d x ∫
X
y
(2)
在实际问题中, 往往直接用(1) 式求∃(y ) 很困难, 而先从(2) 式求∃′(y ) 却较容易, 我们可先求得∃′(y ) 后再关于y 积分。如:
例16 求
∫
∞
e -∞
-x 2
cos x d x
-x 2
解 记∃( ) =
∫e
-∞
∞
cos x d x , f (x , ) =e
-x 2
cos x , 利用性质10可求得∃( ) =! e
-
2
。
3. 结束语
L 积分的计算方法远不止这些, 例如, 还可利用积分的等价定义、充要条件、其它极限定理(比如用简单函数列来逼近被积函数) 以及换元积分法等等。限于篇幅, 不再一一举例。用不同的方法来计算积分繁简不一, 但总的来说, 尽可能利用R 积分这个现成的工具应该是较好的选择。
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・100・
安庆师范学院学报(自然科学版) 2005年
2t N -k ( /(2(k -1) ) 的值, 第四个数是2c 的值, 注意对不同的k 和n , c 是不相同的。
2. 2 主要结论
由运行结果可以看出, 每一小表中, 第二个数都是大于第三个数的, 第三个数又是大于第四个数的, 说明此时T ukey 区间不是最优的。分析可得到结论:在效应有序的情况下, 即%1≤%2≤…≤%k , 构造两效应的同时置信区间, 由本文所介绍的第三种区间是最好的, Bonferroni 区间次之, Tukey 区间最差。
说明:虽然本文所介绍的第三种区间是最优的, 但k 较大时, c 很难求出; 所以一般在应用中, k ≥9时则用Bo nferroni 区间, 此区间简单易求, 且精度较高。
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St atist. A sso c. 1990. 85, 411, 778-785.
Comparision of Three Simultaneous Confidence Intervals of Ordered Treatments
WA NG Rui
(S chool of M athematics and Compu tational S cience , Anhui Un iversity , Hefei 230039, China )
Abstract :T hr oug h a nalysis and co mpariso n, the art icle point s o ut that T ukey metho d is not the best o f co nstr ucting simultaneous co nfidence inter val of tw o tr eatments w hen they ar e or der ed. A l-so the article g iv es the t hird inter val w hich is mor e accur ate than T ukey int erv al.
Key words :simultaneous co nfidence int er v al; T ukey simulta neo us confidence inter val; Bonfer ro ni si-multaneous confidence inter va l; or der ed t reatments
(上接第93页)
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Calculation Method of Lebesgue Integral
ZHOU Qi-sheng
(Sch ool of M ath ematics &C om putational Science, Anqing T eachers College, An qin g 246011, Ch ina)
Abstract :T he ar ticle discusses t he calcula tio n pr oblem o f L ebesg ue integ ral , gets so me calculating
m ethods about L ebesg ue integ ra l by apply ing the definitio n and pr oper ties o f L ebesgue integr al , and illustrat es each metho d .
Key words :L ebesgue integ ral ; R iemann integ ral ; int egr able ; ca lculat ion