2015年陕西省中考数学模拟试题
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1．-
1
的倒数是（ ） 311A. B. 3 C. －3 D. -
33
2. 如图（1）所示，该几何体的主视图应为（ ）
B C D A
图（1）
3．下列运算中，正确的是（ ）
22235 369 224
A ．3a ﹣a =2 B ．（a ）=aC ．a •a =aD ．（2a ）=2a
4．2012年5月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示：
城 市 气温（℃）
武汉 27
成都 27
北京 24
上海 25
海南 28
南京 28
拉萨 23
深圳 26
请问这组数据的平均数是（ ）
A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 5．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ）
D
A
D
B
E 图（3）
C
5题 6题 7题 A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，是直线y=x﹣3的图象，点P （2，m ）在该直线的上方，则m 的取值范围是（ ）
7
．如图（3）所示，矩形纸片ABCD 中，AB =6
cm ，BC
=8cm ，现将其沿EF 对折，
使得点C 与点A 重合，则AF 长为（ ）
A.
252525
cm B. cm C. cm D. 8cm 842
8．已知一次函数y=kx+b（k ≠0）经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象不经过（ ） A． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限
9．如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是（结果保留π）．
A. 3-
10．如图，将二次函数y=-x-4x-3绕x 轴上一点p 旋转180°，使旋转后的二次
2
π
3
B.
3-
11π
C. 3+ D. 3+ 3π3π3
函数经过点A （2、3），则点P 的坐标为（ ）
A （1、0） B（-1、0） C（1、0）或（-1、0） D（0、0）或（-1、0）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11．计算：计算
﹣（﹣2）﹣（
2
2
﹣2
﹣2）=
12．分解因式：：3m ﹣6mn+3n
13．（2012六盘水）当宽为3cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），那么该圆的半径为 cm ．
14请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分． ．．．．
A ．如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C ′．若∠A=40°．∠B ′=110°，则∠BCA ′的度数是
B
69︒≈0.01）． 15．如图（5）所示，已知A (, y 1) ，B (2,y 2) 为反比例函数y =
1
图像上的两点，动点P (x ,0) x
在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是
12
14 题 15题 16题 16．如图，平行四边形ABCD 的面积为15，AB BC ，BD 上的点，则PM+QM的最小值为。 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程） 17．（本题满分5分） 先化简，再求值：
，其中a 是方程x ﹣x=6的根．
2
，BC=5，P ，Q ，M 分别为线段AD ，
18．（本题满分6分） 如图（8），已知在平行四边形ABCD 中，BE =DF .
求证：∠DAE =∠BCF . C E
A B
图（8）
19．（本题满分7分）
（2012安顺）我市某中学为推进素质教育，在七年级设立了六个课外兴趣小组，下面是六个兴趣小组的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）七年级共有 人；
（2）计算扇形统计图中“体育”兴趣小组所对应的扇形圆心角的度数； （3）求“从该年级中任选一名学生，是参加科技小组学生”的概率．
20. （2012江西）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB ．CD 相交于点O ，B ．D 两点立于地面，经测量：
AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条直线，且EF=32cm． （1）求证：AC ∥BD ；
（2）求扣链EF 与立杆AB 的夹角∠OEF 的度数（精确到0.1°）；
（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471， tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）
21．（本题满分8分）
（2012•德州）现从A ，B 向甲、乙两地运送蔬菜，A ，B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A 到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B 地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨． （1）设A 地到甲地运送蔬菜x 吨，请完成下表：
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
22（2012南昌）有两双大小、质地相同、仅有颜色不同的拖鞋（分左右脚，可用A 1、A 2表示一双，用B 1、B 2表示另一双）放置在卧室地板上．若从这四只拖鞋中随即取出两只，利用列表法（树形图或列表格）表示所有可能出现的结果，并写出恰好配成形同颜色的一双拖鞋的概率．
23如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连
接DE 、OE ． (1) 判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；
(2) 若tan C ＝
5
DE ＝2，求AD 的长． 2
24综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x +2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标； （2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．
2
25．（本题满分12分） 如图，在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 、始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点． （1）求证：△ABE ∽△ECM ； （2）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．
cos ∠ABC =如图15-1和图15-2，在△ABC 中，AB =13，BC =14，
5
. 13
探究
在如图15-1，AH ⊥BC 于点H ，则AH =_______，AC =_______， △ABC 的面积S △ABC =___________．
拓展
如图15-2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F . 设BD =x ，AE =m ，CF =n . （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABC =0. （1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；
（2）求(m +n ) 与x 的函数关系式，并求(m +n ) 的最大值和最小值．
（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围. 发现
请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值
.
2015年陕西省中考数学模拟试题答案
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．C 2．C 3 C ．4．C 5．D ．6． B ．7． B．8．C 9．A 10． C
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11：﹣1．12： 3（m ﹣n ）．13：
2
．14 B 15：P （5/2 ，0）。16：PM+QM最小=
三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程） 17．（本题满分5分）解：原式=
=
==
．
2
∵a 是方程x ﹣x=6的根， 2∴a ﹣a=6， ∴原式=．
18．（本题满分6分）
【解答】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD ∥BC , 且AD =BC
∴∠ADE =∠BCF ……………………………………………………2分 又∵BE =DF , ∴BF =DE ………………………………………………1分 ∴△ADE ≌△CB F ……………………………………………………2分 ∴∠DAE =∠BCF ……………………………………………………2分
19．（本题满分7分） 解答：解：（1）64÷20%=320（人）；
（2）体育兴趣小组人数为320﹣48﹣64﹣32﹣64﹣16=96， 体育兴趣小组对应扇形圆心角的度数为：（3）参加科技小组学生”的概率为：20.
．
；
解答：（1）证明：证法一：∵AB ．CD 相交于点O ， ∴∠AOC=∠BOD …1分 ∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD ），
同理可证：∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD ）， ∴∠OAC=∠OBD ，…2分 ∴AC ∥BD ，…3分
证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm， ∴OB=OD=85cm， ∴
…1分
又∵∠AOC=∠BOD ∴△AOC ∽△BOD ， ∴∠OAC=∠OBD ；…2分 ∴AC ∥BD …3分； （2）解：在△OEF 中，OE=OF=34cm，EF=32cm； 作OM ⊥EF 于点M ，则EM=16cm；…4分
[来源学+科+网]
∴cos ∠
OEF=0.471，…5分
用科学记算器求得∠OEF=61.9°…6分；
（3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；…7分 在Rt △OEM 中，
过点A 作AH ⊥BD 于点H ， 同（1）可证：EF ∥BD ， ∴∠ABH=∠OEM ，则Rt △OEM ∽Rt △ABH ， ∴
…9分
=30cm…8分，
所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm ＞晒衣架的高度AH=120cm． 解法二：小红的连衣裙会拖落到地面；…7分 同（1）可证：EF ∥BD ，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；…8分 过点A 作AH ⊥BD 于点H ，在Rt △ABH 中
，
AH=AB×sin ∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm …9分
所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm ＞晒衣架的高度AH=120cm．
21．（解答： 解：（1）如图所示： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x 14﹣x B 15﹣x x ﹣1
W=50x+30（14﹣x ）+60（15﹣x ）+45（x ﹣1）， 整理得，W=5x+1275．
（3）∵A ，B 到两地运送的蔬菜为非负数， ∴ ，
解不等式组，得：1≤x ≤14，
在W=5x+1275中，W 随x 增大而增大， ∴当x 最小为1时，W 有最小值 1280元． 22解答：解：方法一：树形图如图：
则所有可能的结果A 1A 2；A 1B 1；A 1B 2；A 2A 1；A 2B 1；A 2B 2；B 1A 1；B 1A 2；B 1B 2；B 2A 1；B 2A 2；B 2B 1； ∵从这四只拖鞋中随机抽出两只，共有12种不同的情况； 其中恰好配对的有4种，分别是A 1A 2；A 2A 1；B 1B 2；B 2B 1； ∴P （恰好配对）=
=．
23解答： 解：(1)DE与⊙O 相切， 理由如下：连接OD ，BD ， ∵AB 是直径，
∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°，
∵E 是BC 的中点，
∴DE ＝BE ＝CE ，
∴∠EDB ＝∠EBD ，
∵OD ＝OB ，
∴∠OBD ＝∠ODB ．
∴∠EDO ＝∠EBO ＝90°，(用三角形全等也可得到)
∴DE 与⊙O 相切．
(2)∵tanC ＝ ，可设BD ＝ x ，CD ＝2x ，
∵在Rt △BCD 中，BC ＝2DE ＝4，BD2＋CD2＝BC2
∴( x)2＋(2x)2＝16，
解得：x ＝± (负值舍去)
∴BD ＝ x ＝ ，
∵∠ABD ＝∠C ，
∴tan ∠ABD ＝tanC
AD ＝ BD ＝ × ＝ ．
答：AD 的长是 ．
24
解答：解：（1）当y=0时，﹣x +2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3．
∵点A 在点B 的左侧，
∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．
当x=0时，y=3．
∴C 点的坐标为（0，3）
设直线AC 的解析式为y=k1x+b1（k 1≠0）， 则， 2
解得，
∴直线AC 的解析式为y=3x+3．
22∵y=﹣x +2x+3=﹣（x ﹣1）+4，
∴顶点D 的坐标为（1，4）．
（2）抛物线上有三个这样的点Q ，
①当点Q 在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q 在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣
3）；
③当点Q 在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；
综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+，﹣3），Q 3（1﹣，﹣3）．
（3）点B 作BB ′⊥AC 于点F ，使B ′F=BF，则B ′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B ′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求，
过点B ′作B ′E ⊥x 轴于点E ．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2．
∴Rt △AOC ～Rt △AFB ， ∴，
由A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4． ∴
∴
BF=， ，
， ∴BB ′
=2BF=
由∠1=∠2可得Rt △AOC ∽Rt △B ′EB ， ∴
∴， ，即．
∴B ′E=，BE=，
﹣3=
，． ）． ∴OE=BE﹣OB=∴B ′点的坐标为（﹣设直线B ′D 的解析式为y=k2x+b2（k 2≠0）． ∴， 解得，
∴直线B'D 的解析式为：
y=x+，
联立B'D 与AC 的直线解析式可得：， 解得，
∴M 点的坐标为（，）．
25．
解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C ，
∵△ABC ≌△DEF ，
∴∠AEF=∠B ，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE ，
∴∠CEM=∠BAE ，
∴△ABE ∽△ECM ；
（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C ，且∠AME ＞∠C ，
∴∠AME ＞∠AEF ，
∴AE ≠AM ；
当AE=EM时，则△ABE ≌△ECM ，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA ，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM ，
即∠CAB=∠CEA ，
又∵∠C=∠C ，
∴△CAE ∽△CBA ， ∴
∴CE=， ，
∴BE=6﹣=；
（3）解：设BE=x，
又∵△ABE ∽△ECM ， ∴
即：
∴CM=﹣
， ， +x=﹣（x ﹣3）+，
22∴AM=﹣5﹣CM ═（x ﹣3）+
∴当x=3时，AM 最短为
又∵当BE=x=3=BC 时，
∴点E 为BC 的中点，
∴AE ⊥BC ，
∴AE=
此时，EF ⊥AC ，
∴EM=S △AEM =
=， ． =4， ， ，
cos ∠ABC =如图15-1和图15-2，在△ABC 中，AB =13，BC =14，5. 13
探究
在如图15-1，AH ⊥BC 于点H ，则AH =_______，AC =_______， △ABC 的面积S △ABC =___________．
拓展
如图15-2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F . 设BD =x ，AE =m ，CF =n . （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABC =0.
（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；
（2）求(m +n ) 与x 的函数关系式，并求(m +n ) 的最大值和最小值．
（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围.
发现
请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.
解：探究：12，15，84 ········································································································· 3分 拓展：（1）由三角形面积公式，得S △ABD =
（2）由（1）得m =11mx ，S △CBD =nx . ··································· 4分 222S △ABD 2S ，n =△CBD ， x x
2S 2S 168∴m +n =△ABD +△CBD =. ·················································································· 5分 x x x
2S 2⨯8456=由于AC 边上的高为△ABC =， 15155
56∴x 的取值范围是≤x ≤14. 5
(m +n ) 随x 的增大而减小，
∴当x =56时，(m +n ) 的最大值为15. ············································································ 7分 5
当x =14时，(m +n ) 的最小值为12. ················································································· 8分
（3）x 的取值范围是x =56或13
发现：AC 所在的直线， ····································································································11分 最小值为
56. ………………………………………………………………………………….12分 5
2015年陕西省中考数学模拟试题
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1．-
1
的倒数是（ ） 311A. B. 3 C. －3 D. -
33
2. 如图（1）所示，该几何体的主视图应为（ ）
B C D A
图（1）
3．下列运算中，正确的是（ ）
22235 369 224
A ．3a ﹣a =2 B ．（a ）=aC ．a •a =aD ．（2a ）=2a
4．2012年5月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示：
城 市 气温（℃）
武汉 27
成都 27
北京 24
上海 25
海南 28
南京 28
拉萨 23
深圳 26
请问这组数据的平均数是（ ）
A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 5．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ）
D
A
D
B
E 图（3）
C
5题 6题 7题 A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，是直线y=x﹣3的图象，点P （2，m ）在该直线的上方，则m 的取值范围是（ ）
7
．如图（3）所示，矩形纸片ABCD 中，AB =6
cm ，BC
=8cm ，现将其沿EF 对折，
使得点C 与点A 重合，则AF 长为（ ）
A.
252525
cm B. cm C. cm D. 8cm 842
8．已知一次函数y=kx+b（k ≠0）经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象不经过（ ） A． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限
9．如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是（结果保留π）．
A. 3-
10．如图，将二次函数y=-x-4x-3绕x 轴上一点p 旋转180°，使旋转后的二次
2
π
3
B.
3-
11π
C. 3+ D. 3+ 3π3π3
函数经过点A （2、3），则点P 的坐标为（ ）
A （1、0） B（-1、0） C（1、0）或（-1、0） D（0、0）或（-1、0）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11．计算：计算
﹣（﹣2）﹣（
2
2
﹣2
﹣2）=
12．分解因式：：3m ﹣6mn+3n
13．（2012六盘水）当宽为3cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），那么该圆的半径为 cm ．
14请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分． ．．．．
A ．如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C ′．若∠A=40°．∠B ′=110°，则∠BCA ′的度数是
B
69︒≈0.01）． 15．如图（5）所示，已知A (, y 1) ，B (2,y 2) 为反比例函数y =
1
图像上的两点，动点P (x ,0) x
在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是
12
14 题 15题 16题 16．如图，平行四边形ABCD 的面积为15，AB BC ，BD 上的点，则PM+QM的最小值为。 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程） 17．（本题满分5分） 先化简，再求值：
，其中a 是方程x ﹣x=6的根．
2
，BC=5，P ，Q ，M 分别为线段AD ，
18．（本题满分6分） 如图（8），已知在平行四边形ABCD 中，BE =DF .
求证：∠DAE =∠BCF . C E
A B
图（8）
19．（本题满分7分）
（2012安顺）我市某中学为推进素质教育，在七年级设立了六个课外兴趣小组，下面是六个兴趣小组的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）七年级共有 人；
（2）计算扇形统计图中“体育”兴趣小组所对应的扇形圆心角的度数； （3）求“从该年级中任选一名学生，是参加科技小组学生”的概率．
20. （2012江西）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB ．CD 相交于点O ，B ．D 两点立于地面，经测量：
AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条直线，且EF=32cm． （1）求证：AC ∥BD ；
（2）求扣链EF 与立杆AB 的夹角∠OEF 的度数（精确到0.1°）；
（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471， tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）
21．（本题满分8分）
（2012•德州）现从A ，B 向甲、乙两地运送蔬菜，A ，B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A 到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B 地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨． （1）设A 地到甲地运送蔬菜x 吨，请完成下表：
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
22（2012南昌）有两双大小、质地相同、仅有颜色不同的拖鞋（分左右脚，可用A 1、A 2表示一双，用B 1、B 2表示另一双）放置在卧室地板上．若从这四只拖鞋中随即取出两只，利用列表法（树形图或列表格）表示所有可能出现的结果，并写出恰好配成形同颜色的一双拖鞋的概率．
23如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连
接DE 、OE ． (1) 判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；
(2) 若tan C ＝
5
DE ＝2，求AD 的长． 2
24综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x +2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标； （2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．
2
25．（本题满分12分） 如图，在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 、始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点． （1）求证：△ABE ∽△ECM ； （2）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．
cos ∠ABC =如图15-1和图15-2，在△ABC 中，AB =13，BC =14，
5
. 13
探究
在如图15-1，AH ⊥BC 于点H ，则AH =_______，AC =_______， △ABC 的面积S △ABC =___________．
拓展
如图15-2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F . 设BD =x ，AE =m ，CF =n . （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABC =0. （1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；
（2）求(m +n ) 与x 的函数关系式，并求(m +n ) 的最大值和最小值．
（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围. 发现
请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值
.
2015年陕西省中考数学模拟试题答案
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．C 2．C 3 C ．4．C 5．D ．6． B ．7． B．8．C 9．A 10． C
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11：﹣1．12： 3（m ﹣n ）．13：
2
．14 B 15：P （5/2 ，0）。16：PM+QM最小=
三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程） 17．（本题满分5分）解：原式=
=
==
．
2
∵a 是方程x ﹣x=6的根， 2∴a ﹣a=6， ∴原式=．
18．（本题满分6分）
【解答】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD ∥BC , 且AD =BC
∴∠ADE =∠BCF ……………………………………………………2分 又∵BE =DF , ∴BF =DE ………………………………………………1分 ∴△ADE ≌△CB F ……………………………………………………2分 ∴∠DAE =∠BCF ……………………………………………………2分
19．（本题满分7分） 解答：解：（1）64÷20%=320（人）；
（2）体育兴趣小组人数为320﹣48﹣64﹣32﹣64﹣16=96， 体育兴趣小组对应扇形圆心角的度数为：（3）参加科技小组学生”的概率为：20.
．
；
解答：（1）证明：证法一：∵AB ．CD 相交于点O ， ∴∠AOC=∠BOD …1分 ∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD ），
同理可证：∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD ）， ∴∠OAC=∠OBD ，…2分 ∴AC ∥BD ，…3分
证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm， ∴OB=OD=85cm， ∴
…1分
又∵∠AOC=∠BOD ∴△AOC ∽△BOD ， ∴∠OAC=∠OBD ；…2分 ∴AC ∥BD …3分； （2）解：在△OEF 中，OE=OF=34cm，EF=32cm； 作OM ⊥EF 于点M ，则EM=16cm；…4分
[来源学+科+网]
∴cos ∠
OEF=0.471，…5分
用科学记算器求得∠OEF=61.9°…6分；
（3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；…7分 在Rt △OEM 中，
过点A 作AH ⊥BD 于点H ， 同（1）可证：EF ∥BD ， ∴∠ABH=∠OEM ，则Rt △OEM ∽Rt △ABH ， ∴
…9分
=30cm…8分，
所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm ＞晒衣架的高度AH=120cm． 解法二：小红的连衣裙会拖落到地面；…7分 同（1）可证：EF ∥BD ，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；…8分 过点A 作AH ⊥BD 于点H ，在Rt △ABH 中
，
AH=AB×sin ∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm …9分
所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm ＞晒衣架的高度AH=120cm．
21．（解答： 解：（1）如图所示： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x 14﹣x B 15﹣x x ﹣1
W=50x+30（14﹣x ）+60（15﹣x ）+45（x ﹣1）， 整理得，W=5x+1275．
（3）∵A ，B 到两地运送的蔬菜为非负数， ∴ ，
解不等式组，得：1≤x ≤14，
在W=5x+1275中，W 随x 增大而增大， ∴当x 最小为1时，W 有最小值 1280元． 22解答：解：方法一：树形图如图：
则所有可能的结果A 1A 2；A 1B 1；A 1B 2；A 2A 1；A 2B 1；A 2B 2；B 1A 1；B 1A 2；B 1B 2；B 2A 1；B 2A 2；B 2B 1； ∵从这四只拖鞋中随机抽出两只，共有12种不同的情况； 其中恰好配对的有4种，分别是A 1A 2；A 2A 1；B 1B 2；B 2B 1； ∴P （恰好配对）=
=．
23解答： 解：(1)DE与⊙O 相切， 理由如下：连接OD ，BD ， ∵AB 是直径，
∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°，
∵E 是BC 的中点，
∴DE ＝BE ＝CE ，
∴∠EDB ＝∠EBD ，
∵OD ＝OB ，
∴∠OBD ＝∠ODB ．
∴∠EDO ＝∠EBO ＝90°，(用三角形全等也可得到)
∴DE 与⊙O 相切．
(2)∵tanC ＝ ，可设BD ＝ x ，CD ＝2x ，
∵在Rt △BCD 中，BC ＝2DE ＝4，BD2＋CD2＝BC2
∴( x)2＋(2x)2＝16，
解得：x ＝± (负值舍去)
∴BD ＝ x ＝ ，
∵∠ABD ＝∠C ，
∴tan ∠ABD ＝tanC
AD ＝ BD ＝ × ＝ ．
答：AD 的长是 ．
24
解答：解：（1）当y=0时，﹣x +2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3．
∵点A 在点B 的左侧，
∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．
当x=0时，y=3．
∴C 点的坐标为（0，3）
设直线AC 的解析式为y=k1x+b1（k 1≠0）， 则， 2
解得，
∴直线AC 的解析式为y=3x+3．
22∵y=﹣x +2x+3=﹣（x ﹣1）+4，
∴顶点D 的坐标为（1，4）．
（2）抛物线上有三个这样的点Q ，
①当点Q 在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q 在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣
3）；
③当点Q 在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；
综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+，﹣3），Q 3（1﹣，﹣3）．
（3）点B 作BB ′⊥AC 于点F ，使B ′F=BF，则B ′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B ′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求，
过点B ′作B ′E ⊥x 轴于点E ．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2．
∴Rt △AOC ～Rt △AFB ， ∴，
由A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4． ∴
∴
BF=， ，
， ∴BB ′
=2BF=
由∠1=∠2可得Rt △AOC ∽Rt △B ′EB ， ∴
∴， ，即．
∴B ′E=，BE=，
﹣3=
，． ）． ∴OE=BE﹣OB=∴B ′点的坐标为（﹣设直线B ′D 的解析式为y=k2x+b2（k 2≠0）． ∴， 解得，
∴直线B'D 的解析式为：
y=x+，
联立B'D 与AC 的直线解析式可得：， 解得，
∴M 点的坐标为（，）．
25．
解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C ，
∵△ABC ≌△DEF ，
∴∠AEF=∠B ，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE ，
∴∠CEM=∠BAE ，
∴△ABE ∽△ECM ；
（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C ，且∠AME ＞∠C ，
∴∠AME ＞∠AEF ，
∴AE ≠AM ；
当AE=EM时，则△ABE ≌△ECM ，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA ，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM ，
即∠CAB=∠CEA ，
又∵∠C=∠C ，
∴△CAE ∽△CBA ， ∴
∴CE=， ，
∴BE=6﹣=；
（3）解：设BE=x，
又∵△ABE ∽△ECM ， ∴
即：
∴CM=﹣
， ， +x=﹣（x ﹣3）+，
22∴AM=﹣5﹣CM ═（x ﹣3）+
∴当x=3时，AM 最短为
又∵当BE=x=3=BC 时，
∴点E 为BC 的中点，
∴AE ⊥BC ，
∴AE=
此时，EF ⊥AC ，
∴EM=S △AEM =
=， ． =4， ， ，
cos ∠ABC =如图15-1和图15-2，在△ABC 中，AB =13，BC =14，5. 13
探究
在如图15-1，AH ⊥BC 于点H ，则AH =_______，AC =_______， △ABC 的面积S △ABC =___________．
拓展
如图15-2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F . 设BD =x ，AE =m ，CF =n . （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABC =0.
（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；
（2）求(m +n ) 与x 的函数关系式，并求(m +n ) 的最大值和最小值．
（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围.
发现
请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.
解：探究：12，15，84 ········································································································· 3分 拓展：（1）由三角形面积公式，得S △ABD =
（2）由（1）得m =11mx ，S △CBD =nx . ··································· 4分 222S △ABD 2S ，n =△CBD ， x x
2S 2S 168∴m +n =△ABD +△CBD =. ·················································································· 5分 x x x
2S 2⨯8456=由于AC 边上的高为△ABC =， 15155
56∴x 的取值范围是≤x ≤14. 5
(m +n ) 随x 的增大而减小，
∴当x =56时，(m +n ) 的最大值为15. ············································································ 7分 5
当x =14时，(m +n ) 的最小值为12. ················································································· 8分
（3）x 的取值范围是x =56或13
发现：AC 所在的直线， ····································································································11分 最小值为
56. ………………………………………………………………………………….12分 5