学院：
专业：
班级：
姓名：
学号：
概率论与数理统计A卷共12页第1页
20102010－
－2011学年第1学期概率论与数理统计A卷
考试方式：闭卷统考
考试时间：考试时间：2010.12.19
2010.12.19题
三
四
五
总分号一二
11
12
13
14
15
16
17
18
总分人得分签名
复核人
得分
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。1、事件A、B独立，且P(A∪B)=0.8,P(A)=0.4，则P(B__
|A)等于
（B）1/3；（C）2/3；（D）2/5.
答：（）
2、设f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数,则下列选项正确的是
（A）f(x)连续；
（B）P(X=a)=f(a),∀a∈R；（C）f(x)的值域为[0,1]；
（D）f(x)非负。
答：（
）
3、随机变量X~N(µ,σ2)，则概率P{X≤µ+1}随着σ的变大而（A）变小；（B）变大；
（C）不变；
（D）无法确定其变化趋势。
答：（）
4、已知连续型随机变量X、Y相互独立,且具有相同的概率密度函数
f(x)，设随机变量Z=min{X,Y}，则Z的概率密度函数为（A）[f(z)]2；（B）2∫
z
−∞
f(u)duf(z)；
（C）1−[1−f(z)]2
；
（D）2(1−∫
z−∞
f(u)du)f(z).
答:（）
5、设X1,X2,⋯,Xm,Xm+1,⋯,Xn是来自正态总体
N(0,1)的容量为n的简单m
(n−m)2
i样本，则统计量
∑Xi=1n
服从的分布是
m∑X2
ii=m+1
（A）0；
（A）F(n−m,m)（C）F(m,n−m)
得分
（B）F(n−m−1,m−1)（D）F(m−1,n−m−1)
答:
（）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
2
6、某人投篮，每次命中的概率为，现独立投篮3次，则至少命中1次的
3
概率为.
(x−1)−⎧2⎪,x≥1，则常数7、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=⎨Ae⎪其它⎩0,
.A=⎧(1−2−x)(1−3−y),x>0,y>0
8、二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=⎨，
0,其它⎩则概率P(Y≤1)=
9、已知随机变量X、Y的方差分别为DX=2,DY=1，且协方差
Cov(X,Y)=0.6，则D(X−Y)=_______.
10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X（单位：cm）服从正
态分布N(µ,0.32)，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值x＝1.12，则µ的置信度为0.95的置信区间为（已知z0.025=1.96，z0.05=1.65，t0.025(8)=2.3060，t0.05(8)=1.8595）
三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8,0.1,得分
0.1.顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字）
_
.
得分12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为
⎧2x
⎪2(x+),0
，f(x)=⎨3
⎪0,其它⎩
（1）求概率P(0
1
.X
得分
0,x≤0⎧⎪
13、已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨Aarcsinx,0
⎪1,x≥1⎩
（1）求常数A；
（2）求P(1/2≤X
得分
14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
f(x,y)=⎧⎨
e−y,
0
⎩0,
其它
，
（1）求概率P(X+Y≤1)；
（2）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘密度函数fX(x)、fY(y),并判断X,Y
是否独立。
-10100.020.060.121
0.08
0.24
0.48
得分
15、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
（1）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘分布律；（2）分别求出EX,EY,DX,DY,ρXY.
密
封
区
域
学院：
专业：
班级：
姓名：
学号：
概率论与数理统计A卷共12页第5页
得分
16、已知总体X服从参数为p(0
P(X=x)=p(1−p)x−1，x=1,2,⋯，
若X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个容量为n的简单样本，求参数p的最大似然估计量。
四、应用题（本大题共1个小题，5分）。
得分
17、一系统由n个独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且至少有80%的部件正常工作，系统才能运行。问n至少为多大时，
才能使系统可以运行的概率不低于0.95？（已知Φ(1.65)=0.95）
五、证明题（本大题共1个小题，5分）。得分
18、已知一母鸡所下蛋的个数X服从参数为λ的泊松分布，即X的分布律为
λke−λ
P(X=k)=,k=0,1,2,⋯，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p.
k!证明：这只母鸡后代（小鸡）的个数Y服从参数为λp的泊松分布，即
(λp)r−(λp)
P(Y=r)=e,r=0,1,2⋯.
r!
2010－2011学年第1学期2010－
概率论与数理统计A卷评分标准
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。1、事件A、B独立，且P(A∪B)=0.8,P(A)=0.4，则P(B|A)等于（A）0；
（B）1/3；
（C）2/3；
（D）2/5.
答：（B
2、设f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数,则下列选项正确的是（A）f(x)连续；
（C）f(x)的值域为[0,1]；
（B）P(X=a)=f(a),∀a∈R；（D）f(x)非负。
答：（
3、随机变量X~N(µ,σ2)，则概率P{X≤µ+1}随着σ的变大而（A）变小；
（B）变大；
（C）不变；
（D）无法确定其变化趋势。
答：（A）
D））
__
4、已知连续型随机变量X、Y相互独立,且具有相同的概率密度函数f(x)，设随机变量Z=min{X,Y}，则Z的概率密度函数为（A）[f(z)]；（B）2∫
2
z
−∞
f(u)duf(z)；（C）1−[1−f(z)]；（D）2(1−∫
2
z
−∞
f(u)du)f(z).答:（
D）
5、设X1,X2,⋯,Xm,Xm+1,⋯,Xn是来自正态总体N(0,1)的容量为n的简单样本，则统计
(n−m)∑Xi2
i=1m
量
m∑Xi2
i=m+1
n
服从的分布是
（A）F(n−m,m)（B）F(n−m−1,m−1)（C）F(m,n−m)
（D）F(m−1,n−m−1)
答:（C）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
2
6、某人投篮，每次命中的概率为，现独立投篮3次，则至少命中1次的概率为2627.
3
(x−1)−⎧2⎪,x≥1，则常数A=2.7、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=⎨Ae⎪其它⎩0,
⎧(1−2−x)(1−3−y),x>0,y>0
8、二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=⎨，则概率
0,其它⎩
P(Y≤1)=3.
9、已知随机变量X、Y的方差分别为DX=2,DY=1，且协方差Cov(X,Y)=0.6，则
D(X−Y)10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X（单位：cm）服从正态分布
_
N(µ,0.3)，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值x＝1.12，则µ的置信度为0.95的置信区间为(0.924,1.316).
（已知z0.025=1.96，z0.05=1.65，t0.025(8)=2.3060，t0.05(8)=1.8595）
三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8,0.1,0.1.
顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字）解：设B表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；Ai表示取到的一箱中含有i个残品，
2
i=0,1,2，则所求概率为
P(B)=∑P(B|Ai)P(Ai)...............................................................................(5')
i=02
19×18×17×1618×17×16×15
+0.1×...........................(9')
20×19×18×1720×19×18×17
≈0.943...................................................................................................(10')=0.8×1+0.1×
12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为
⎧2x
⎪2(x+0
⎪0,其它⎩（1）求概率P(0
1
.X
2x
P(0
03
1
=....................................................................................................(5')6
（2）由随机变量函数的数学期望的性质
+∞1111=∫f(x)dx=∫2(x+)dx............................................(9')
−∞0Xx3
=5.........................................................(10')
E(
0,x≤0⎧
⎪
13、已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨Aarcsinx,0
⎪1,x≥1⎩（1）求常数A；
（2）求P(1/2≤X
F(1−)=F(1+)⇒Aarcsin1=1...........................................................(1')因此可得
A=2...........................................................................(3')
（2
）由分布函数的性质
P(1/2≤X
22
=2)−arcsin(1/2)=
3............................................(7')ππ0
dx0,其它⎩14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
⎧e−y,
f(x,y)=⎨
⎩0,
（1）求概率P(X+Y≤1)；
（2）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘密度函数fX(x)、fY(y),并判断X,Y是否独立。解：（1）由题意
0
，
其它
P(X+Y≤1)=)dxdy...............................................(2')
{x+∫∫
f(x,yy≤1}
=∫2
1−x
y2
0dx∫
x
e−dy=∫0
(e−x−e−(1−x))dy.....................................(4')
=(1−e−)2................................................................................(5')
（2）由边缘密度函数的定义
f(x)=⎧⎪⎨∫+∞
e−ydy,x>0=⎧e−xx,x>0
X⎪0,其它 ⎨..............................(7')
⎩⎩
0,其它f(y)=⎧⎪⎨∫y
−ydx,y>0−y0e=⎧ye,y>0
Y⎪其它 ⎨⎩0,⎩0,其它.............................(9')
因为当x>0,y>0时，f(x,y)≠fX(x)fY(y)，故X、Y不独立。.........(10')15、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
（1）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘分布律；（2）分别求出EX,EY,DX,DY,ρXY.解：（1）
(X,Y)关于X的边缘密度函数为
X-101⎛00.020.060.12⎜0
1⎞⎝0.20.8⎟⎠
............................(2')1
0.08
0.24
0.48
(X,Y)关于Y的边缘密度函数
为⎛⎜−10
1⎞⎝0.10.30.6⎟⎠
..........................(5')（2）由（1）可得EX=0.8,DX=0.16;EY=0.5,DY=0.45..................(7')
又E(XY)=(−1)×1×0.08+1×1×0.48=0.40.......................................(8')则
ρXY=
===0.................(10')
16、已知总体X服从参数为p(0
P(X=x)=p(1−p)x−1，x=1,2,⋯，若X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个容量为n的简单样本，求参数p的最大似然估计量。
概率论与数理统计A卷
n共12页第11页
解：似然函数为L(p)=∏p(1−p)xi−1............................................................(3')
i=1
对数似然函数ln[L(p)]=nlnp+(∑xi−n)ln(1−p)..............................(5')
i=1n
n−∑xidln[L(p)]ni=1令 =0⇒+=0.....................................................(8')dpp1−p
p的最大似然估计量p=n^n...................(10')∑X........................................i
i=1n
四、应用题（本大题共1个小题，5分）。
17、一系统由n个独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且至少有
80%的部件正常工作，系统才能运行。问n至少为多大时，才能使系统可以运行的概率不低于0.95？（已知Φ(1.65)=0.95）
解：设X表示n个部件中正常工作的部件数，则X∼b(n,0.9).................(1')
由中心极限定理X∼N(0.9n,0.09n)......................................................(2')
由题意，要求满足P(近似X≥80%)≥0.95的最小的n
，而n
≥≥0.95P(X≥0.8n)≥0.95⇒P⇒Φ≥0.95=Φ(1.65)⇒≥1.65⇒n≥24.5.......................(4')
即n至少为25............................................................................................(5')
五、证明题（本大题共1个小题，5分）。
18、已知一母鸡所下蛋的个数X服从参数为λ的泊松分布，即X的分布律为
λke−λ
P(X=k)=,k=0,1,2,⋯，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p.证明：这只母k!
鸡后代（小鸡）的个数Y服从参数为λp的泊松分布，即
(λp)r
−(λp)P(Y=r)=e,r=0,1,2⋯.r!
证明：由题意，对任r=0,1,2⋯
概率论与数理统计A卷共12页第12页P(Y=r)=∑P(Y=r|X=k)P(X=k)............................................(2')
k=r+∞
⎛k⎞re−λλrpr+∞λk−rk!k−rk−rp(1−p)=(1−p)........(3')∑⎜r⎟r!k=rk!(k−r)!⎝⎠
e−λ(λp)r+∞λk−re−λ(λp)rλ(1−p)k−r=(1−p)=e∑r!r!k=r(k−r)!λke−λ=∑k!k=r+∞
e−(λp)(λp)r
=.....................................................................................(5')r!
学院：
专业：
班级：
姓名：
学号：
概率论与数理统计A卷共12页第1页
20102010－
－2011学年第1学期概率论与数理统计A卷
考试方式：闭卷统考
考试时间：考试时间：2010.12.19
2010.12.19题
三
四
五
总分号一二
11
12
13
14
15
16
17
18
总分人得分签名
复核人
得分
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。1、事件A、B独立，且P(A∪B)=0.8,P(A)=0.4，则P(B__
|A)等于
（B）1/3；（C）2/3；（D）2/5.
答：（）
2、设f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数,则下列选项正确的是
（A）f(x)连续；
（B）P(X=a)=f(a),∀a∈R；（C）f(x)的值域为[0,1]；
（D）f(x)非负。
答：（
）
3、随机变量X~N(µ,σ2)，则概率P{X≤µ+1}随着σ的变大而（A）变小；（B）变大；
（C）不变；
（D）无法确定其变化趋势。
答：（）
4、已知连续型随机变量X、Y相互独立,且具有相同的概率密度函数
f(x)，设随机变量Z=min{X,Y}，则Z的概率密度函数为（A）[f(z)]2；（B）2∫
z
−∞
f(u)duf(z)；
（C）1−[1−f(z)]2
；
（D）2(1−∫
z−∞
f(u)du)f(z).
答:（）
5、设X1,X2,⋯,Xm,Xm+1,⋯,Xn是来自正态总体
N(0,1)的容量为n的简单m
(n−m)2
i样本，则统计量
∑Xi=1n
服从的分布是
m∑X2
ii=m+1
（A）0；
（A）F(n−m,m)（C）F(m,n−m)
得分
（B）F(n−m−1,m−1)（D）F(m−1,n−m−1)
答:
（）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
2
6、某人投篮，每次命中的概率为，现独立投篮3次，则至少命中1次的
3
概率为.
(x−1)−⎧2⎪,x≥1，则常数7、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=⎨Ae⎪其它⎩0,
.A=⎧(1−2−x)(1−3−y),x>0,y>0
8、二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=⎨，
0,其它⎩则概率P(Y≤1)=
9、已知随机变量X、Y的方差分别为DX=2,DY=1，且协方差
Cov(X,Y)=0.6，则D(X−Y)=_______.
10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X（单位：cm）服从正
态分布N(µ,0.32)，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值x＝1.12，则µ的置信度为0.95的置信区间为（已知z0.025=1.96，z0.05=1.65，t0.025(8)=2.3060，t0.05(8)=1.8595）
三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8,0.1,得分
0.1.顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字）
_
.
得分12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为
⎧2x
⎪2(x+),0
，f(x)=⎨3
⎪0,其它⎩
（1）求概率P(0
1
.X
得分
0,x≤0⎧⎪
13、已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨Aarcsinx,0
⎪1,x≥1⎩
（1）求常数A；
（2）求P(1/2≤X
得分
14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
f(x,y)=⎧⎨
e−y,
0
⎩0,
其它
，
（1）求概率P(X+Y≤1)；
（2）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘密度函数fX(x)、fY(y),并判断X,Y
是否独立。
-10100.020.060.121
0.08
0.24
0.48
得分
15、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
（1）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘分布律；（2）分别求出EX,EY,DX,DY,ρXY.
密
封
区
域
学院：
专业：
班级：
姓名：
学号：
概率论与数理统计A卷共12页第5页
得分
16、已知总体X服从参数为p(0
P(X=x)=p(1−p)x−1，x=1,2,⋯，
若X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个容量为n的简单样本，求参数p的最大似然估计量。
四、应用题（本大题共1个小题，5分）。
得分
17、一系统由n个独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且至少有80%的部件正常工作，系统才能运行。问n至少为多大时，
才能使系统可以运行的概率不低于0.95？（已知Φ(1.65)=0.95）
五、证明题（本大题共1个小题，5分）。得分
18、已知一母鸡所下蛋的个数X服从参数为λ的泊松分布，即X的分布律为
λke−λ
P(X=k)=,k=0,1,2,⋯，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p.
k!证明：这只母鸡后代（小鸡）的个数Y服从参数为λp的泊松分布，即
(λp)r−(λp)
P(Y=r)=e,r=0,1,2⋯.
r!
2010－2011学年第1学期2010－
概率论与数理统计A卷评分标准
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。1、事件A、B独立，且P(A∪B)=0.8,P(A)=0.4，则P(B|A)等于（A）0；
（B）1/3；
（C）2/3；
（D）2/5.
答：（B
2、设f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数,则下列选项正确的是（A）f(x)连续；
（C）f(x)的值域为[0,1]；
（B）P(X=a)=f(a),∀a∈R；（D）f(x)非负。
答：（
3、随机变量X~N(µ,σ2)，则概率P{X≤µ+1}随着σ的变大而（A）变小；
（B）变大；
（C）不变；
（D）无法确定其变化趋势。
答：（A）
D））
__
4、已知连续型随机变量X、Y相互独立,且具有相同的概率密度函数f(x)，设随机变量Z=min{X,Y}，则Z的概率密度函数为（A）[f(z)]；（B）2∫
2
z
−∞
f(u)duf(z)；（C）1−[1−f(z)]；（D）2(1−∫
2
z
−∞
f(u)du)f(z).答:（
D）
5、设X1,X2,⋯,Xm,Xm+1,⋯,Xn是来自正态总体N(0,1)的容量为n的简单样本，则统计
(n−m)∑Xi2
i=1m
量
m∑Xi2
i=m+1
n
服从的分布是
（A）F(n−m,m)（B）F(n−m−1,m−1)（C）F(m,n−m)
（D）F(m−1,n−m−1)
答:（C）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
2
6、某人投篮，每次命中的概率为，现独立投篮3次，则至少命中1次的概率为2627.
3
(x−1)−⎧2⎪,x≥1，则常数A=2.7、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=⎨Ae⎪其它⎩0,
⎧(1−2−x)(1−3−y),x>0,y>0
8、二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=⎨，则概率
0,其它⎩
P(Y≤1)=3.
9、已知随机变量X、Y的方差分别为DX=2,DY=1，且协方差Cov(X,Y)=0.6，则
D(X−Y)10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X（单位：cm）服从正态分布
_
N(µ,0.3)，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值x＝1.12，则µ的置信度为0.95的置信区间为(0.924,1.316).
（已知z0.025=1.96，z0.05=1.65，t0.025(8)=2.3060，t0.05(8)=1.8595）
三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8,0.1,0.1.
顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字）解：设B表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；Ai表示取到的一箱中含有i个残品，
2
i=0,1,2，则所求概率为
P(B)=∑P(B|Ai)P(Ai)...............................................................................(5')
i=02
19×18×17×1618×17×16×15
+0.1×...........................(9')
20×19×18×1720×19×18×17
≈0.943...................................................................................................(10')=0.8×1+0.1×
12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为
⎧2x
⎪2(x+0
⎪0,其它⎩（1）求概率P(0
1
.X
2x
P(0
03
1
=....................................................................................................(5')6
（2）由随机变量函数的数学期望的性质
+∞1111=∫f(x)dx=∫2(x+)dx............................................(9')
−∞0Xx3
=5.........................................................(10')
E(
0,x≤0⎧
⎪
13、已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨Aarcsinx,0
⎪1,x≥1⎩（1）求常数A；
（2）求P(1/2≤X
F(1−)=F(1+)⇒Aarcsin1=1...........................................................(1')因此可得
A=2...........................................................................(3')
（2
）由分布函数的性质
P(1/2≤X
22
=2)−arcsin(1/2)=
3............................................(7')ππ0
dx0,其它⎩14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
⎧e−y,
f(x,y)=⎨
⎩0,
（1）求概率P(X+Y≤1)；
（2）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘密度函数fX(x)、fY(y),并判断X,Y是否独立。解：（1）由题意
0
，
其它
P(X+Y≤1)=)dxdy...............................................(2')
{x+∫∫
f(x,yy≤1}
=∫2
1−x
y2
0dx∫
x
e−dy=∫0
(e−x−e−(1−x))dy.....................................(4')
=(1−e−)2................................................................................(5')
（2）由边缘密度函数的定义
f(x)=⎧⎪⎨∫+∞
e−ydy,x>0=⎧e−xx,x>0
X⎪0,其它 ⎨..............................(7')
⎩⎩
0,其它f(y)=⎧⎪⎨∫y
−ydx,y>0−y0e=⎧ye,y>0
Y⎪其它 ⎨⎩0,⎩0,其它.............................(9')
因为当x>0,y>0时，f(x,y)≠fX(x)fY(y)，故X、Y不独立。.........(10')15、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
（1）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘分布律；（2）分别求出EX,EY,DX,DY,ρXY.解：（1）
(X,Y)关于X的边缘密度函数为
X-101⎛00.020.060.12⎜0
1⎞⎝0.20.8⎟⎠
............................(2')1
0.08
0.24
0.48
(X,Y)关于Y的边缘密度函数
为⎛⎜−10
1⎞⎝0.10.30.6⎟⎠
..........................(5')（2）由（1）可得EX=0.8,DX=0.16;EY=0.5,DY=0.45..................(7')
又E(XY)=(−1)×1×0.08+1×1×0.48=0.40.......................................(8')则
ρXY=
===0.................(10')
16、已知总体X服从参数为p(0
P(X=x)=p(1−p)x−1，x=1,2,⋯，若X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个容量为n的简单样本，求参数p的最大似然估计量。
概率论与数理统计A卷
n共12页第11页
解：似然函数为L(p)=∏p(1−p)xi−1............................................................(3')
i=1
对数似然函数ln[L(p)]=nlnp+(∑xi−n)ln(1−p)..............................(5')
i=1n
n−∑xidln[L(p)]ni=1令 =0⇒+=0.....................................................(8')dpp1−p
p的最大似然估计量p=n^n...................(10')∑X........................................i
i=1n
四、应用题（本大题共1个小题，5分）。
17、一系统由n个独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且至少有
80%的部件正常工作，系统才能运行。问n至少为多大时，才能使系统可以运行的概率不低于0.95？（已知Φ(1.65)=0.95）
解：设X表示n个部件中正常工作的部件数，则X∼b(n,0.9).................(1')
由中心极限定理X∼N(0.9n,0.09n)......................................................(2')
由题意，要求满足P(近似X≥80%)≥0.95的最小的n
，而n
≥≥0.95P(X≥0.8n)≥0.95⇒P⇒Φ≥0.95=Φ(1.65)⇒≥1.65⇒n≥24.5.......................(4')
即n至少为25............................................................................................(5')
五、证明题（本大题共1个小题，5分）。
18、已知一母鸡所下蛋的个数X服从参数为λ的泊松分布，即X的分布律为
λke−λ
P(X=k)=,k=0,1,2,⋯，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p.证明：这只母k!
鸡后代（小鸡）的个数Y服从参数为λp的泊松分布，即
(λp)r
−(λp)P(Y=r)=e,r=0,1,2⋯.r!
证明：由题意，对任r=0,1,2⋯
概率论与数理统计A卷共12页第12页P(Y=r)=∑P(Y=r|X=k)P(X=k)............................................(2')
k=r+∞
⎛k⎞re−λλrpr+∞λk−rk!k−rk−rp(1−p)=(1−p)........(3')∑⎜r⎟r!k=rk!(k−r)!⎝⎠
e−λ(λp)r+∞λk−re−λ(λp)rλ(1−p)k−r=(1−p)=e∑r!r!k=r(k−r)!λke−λ=∑k!k=r+∞
e−(λp)(λp)r
=.....................................................................................(5')r!