质心运动定理

Newton第三定律和动量守恒

Newton第二定律给出了任何物体的加速度与作用在它上面的力之间的关系，

在这个基础上，原则上可以解决任何力学问题。例如，为了确定几个粒子的运动，

人们可以利用前面一节中所展开的数值方法。但是我们有充分的理由来进一步研

究Newton定律。首先，有一些十分简单的运动不仅可以用数值方法分析，也可

以直接进行数学分析。比如：虽然我们可以按数值方法计算简谐振子的位置，但

是分析这个运动并找到一般解x=cost，则更令人满意。同样，一个行星由引

力决定的绕太阳的运行固然可以用上一节的数值解法逐点地加以计算，从而找到

轨道的一般形状，但能够得到准确的形状——分析表明这是一个完整的椭圆——

就更好了。因此，当存在一种简单而又更为精确的方法以得出结果时，再去用一

系列麻烦的算术运算就毫无必要了。

遗憾的是，只有很少问题能够以分析方法精确求解。例如就简谐振子来说，

如果弹簧力不是正比于位置，而是更为复杂的话，人们就只得又回到数值解法上

来。或者，假如有两个天体绕太阳运行，使天体的总数是三个，那么分析法就无

法得出一个简单的运动公式，实际上这个问题只能作数值解。这就是有名的三体

问题，今天，它已作为常规计算准确地按上一节所描述的方式进行充分的演算后，

加以解决了。十分有趣的是，人们曾经化了那么长时间才领悟到也许数学分析的

能力是有限的，因而使用数值解法是必要的这个事实。然而，也有一些两种方法

都失效的情况：对简单的问题我们可以用分析方法，对适当困难的问题可以用数

值和算术方法；但是对非常困难的问题则这两种方法都不能用了。例如：两辆汽

车的碰撞，或者甚至气体中分子的运动，就是一种复杂的问题。在一立方厘米的

气体中有数不清的粒子，而试图用这么许多变量(约10个——即一万亿亿个)

来作计算将是荒谬的。任何问题，如果不是只有二、三个行星绕太阳运行，而是

诸如象气体、木块、铁块中的分子或原子的运功，或在球状星团中许多恒星的运

动之类这样的问题，我们就不能直接去解，因此只好借助于其他手段。

在那种无法了解细节的情况下，我们需要知道某些一般性质，亦即需要知道

作为Newton定律结果的一般性定理或原则。这些推论尽管不会告诉我们内部运20

动的细节，譬如某一特定时刻气体中某一个分子的位置和速度是多大，但是却可

以为我们提供有关物体整体运动的重要信息。比如作为整体，物体是否在空间平

移或者转动、或者尽管不知道某一个气体分子的速度，但是平均来说，物体的内

部运动是趋于更加强烈还是逐渐变得缓和，与这些描述整体运动有关的定理分别

被称为质心运动定理、角动量定理以及动能定理。这就是接下来我们将要讨论的

问题。

前面已经强调过，力是理解Newton定律的关键。而在有关力的性质方面

Newton只向我们讲了两件事。在引力情况中，他留给我们一条完整的力的定律。

关于原子间的非常复杂的作用力，他并不知道力的正确的规律；然而，他发现了

一条有关力的一般性质的规则，并在第三定律中对此作了阐明，这就是Newton

在有关力的性质上告诉我们的全部内容——引力定律和第三定律，再没有其他细

节了。

Newton第三定律是：作用等于反作用。

它的含义如下：假设我们将两个小物体，比如说两个粒子（分别编为1号及2

号），第一个粒子对第二个粒子施加一个力，即用一个一定的力推它。那么，按

照Newton第三定律，第二个粒子同时以大小相等、方向相反的力推第一个粒子；

而且，这些力实际上沿同一根线起作用。这就是Newton提出的假设，或者说定

律，它看来是相当准确的。尽管并不严格正确(稍后我们将讨论它的误差)。

现在来看一下，上述联系有什么有趣的结果？由于粒子1与粒子2之间的力

相等而方向相反，按照牛顿第二定律，力是动量对时间的变化率，于是我们得出

粒子1的动量

KKp1的变化率等于粒子2的动量p2变化率的负值。即 KKdp1dp2 (1) =−dtdt

现在，如果变化率总是数值相等、方向相反，就可知道粒子1动量的总变化与粒

子2动量的总变化数值相等、方向相反；这意味着，如果我们把粒子1的动量与

粒子2的动量相加，那么由于粒子之间相互作用力(称为内力)引起的两个粒子动

量之和的变化率为零；即

dKK(p1+p2)=0 (2) dt

在这个问题中假定没有其他作用力。如果这个和的变化率总是零，这正是量

KKKKp+p不发生变化的另一种说法(这个量也可写成mv+mv(12)1122，并称为这

两个粒子的总动量)。现在我们得出两个粒子的总动量不因它们之间的任何相互

作用而改变的结论。这个说法表示了在这个特例下的动量守恒定律。我们断言：

如果两个粒子间存在着任何类型的力(不管这个力怎样复杂)，我们在力作用之前

及力作用之后去测量或计算m1v1

量是一个常数。

接下来我们将研究Newton定律对较为复杂问题的应用。我们将要考察的力

学体系不是由一两个粒子构成，而是包含了大量的粒子；这些粒子不仅相互之间

有力的作用，而且还可能受到来自外部其他物体的作用。当世界变得更复杂时，

它也就变得更有趣了，而且，我们将发现与较复杂物体的力学相联系的现象比起

只是一个点来说确实要惊人得多。当然，这些现象除了Newton定律的组合之外

并不包含其他东西，但有时却难于使人相信，只有FKK+m2v2，其结果总是相等的，也就是说，总动=ma在起作用。

想象把一个由弦线联在一起的书本、黑板擦所组成的物体抛到空中，我们就

可以在这个过程中观察到第一个有趣的有关复杂物体运动的定理在起作用。当

然，我们知道，如果我们研究的是一个质点，它将沿一条抛物线运动。但是，现

在我们的物体不是一个质点，它将摇摆和晃动，并继续下去。尽管如此，人们仍

能看到，它还是沿抛物线运动。但究竟是什么沿抛物线运动呢？当然不是书本边

角上的点，因为它在来回晃动；也不是黑板擦的端点和书本或黑板擦的中间部分。

但是，确实有某个东西沿抛物线运动，那就是有效“中心”。因而第一个关于复

杂物体的定理就是要表明：存在着一个可以在数学上加以定义的平均位置，但不

—定要求它是物体自身上的一个沿抛物线运动的点。这就叫做质心定理，其证明

如下：

我们可以把任何物体都看成由大量微小的粒子，即原子所组成的，在这些粒

子之间存在着各种力。用a来表示某一个粒子的指标。(它们的数目极大，比方

说，a可以大到10或更大。) 那么，作用在第a个粒子上的力既有外部物体施23

Kext加给它的（用Fa表示），也有来自于体系内部的其他粒子的相互作用，我们用

Kfab表示粒子a受到的来自体系内标号为b的粒子的力，这些力的总和当然就是

质量乘这个粒子的加速度： KKKKextKKextd2raFa=Fa+fa=Fa+∑fab=ma2dtb（对a不求和） (4)

假定我们讨论的运动物体的各个部分都是以远小于光速的速率运动，所以对

所有的量我们将用非相对论近似。在这种情况下，质量是常数，因此

KKd2(mara)（对a不求和） (5) Fa=2dt

如果我们把作用在所有粒子上的力都加起来，也就是说，假如对所有不同指KK标的Fa求和，我们就得到总的力F。在等式的另一边，由于先微分后相加和先

相加后微分结果相同，于是有 KKd2⎛K⎞mara⎟ (6) ∑Fa=F=dt2⎜∑⎝a⎠

因此，总的力就等于各个质量与位置乘积之和的两阶微商。

现在作用在所有粒子上的总的力与总的外力相同。为什么呢？虽然由于弦线

的存在，作用在粒子上的尚有各种各样的力，如摆动力、推力、拉力、原子力以

及你也不知道是什么形式的力，我们应该把所有这些力都加起来，但Newton第

三定律却帮助了我们。由于在任何两个粒子之间的作用和反作用是相等的，因而

当我们把所有的方程式加起来时，如果任何两个粒子之间有力作用着，那么在求

和时这些力将相互抵消。因此，最后的结果是只剩下那些来自外部其它粒子的作

用力，这些粒子不包含在我们所要求和的那个物体里面。因此，假如式(6)是对

一定数量的粒子求和，这些粒子一起构成了所谓“物体”，那么作用在整个物体

上的外力就等于作用在组成它的各个粒子上的所有力的和。

如果我们能够把式(6)写成总质量和某一个加速度的乘积，那么问题就好办多

了。这是可以做到的。我们用M来代表所有质量的总和，也就是总质量。如果

K我们定义一个矢量RCM为

KRCM=K∑mara

aa (7) a

由于M是常数，则式(6)将简化成 KKKKd2