第四节 均值不等式及其应用学案
【学习目标】1. 会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题。
2. 会用均值不等式证明不等式及解决实际问题。
【基础知识梳理】
1．均值不等式：。
(1)基本不等式成立的条件：。(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号。
b a 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ) ； (2)a ＋b ≥2(a ，b 同号) ；
a 2＋b 2⎛a ＋b ⎫2⎛a ＋b ⎫2(a ，b ∈R ) ； (4) (3)ab ≤ 2≥⎝2⎭(a ，b ∈R ) 。 ⎝2⎭
3．算术平均数与几何平均数
a ＋b 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为2，几何平均数为ab ，均值不等式可叙述
为 。
4．利用基本不等式求最值问题
已知x ＞0，y ＞0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当时，x ＋y 有最2p .(简记：积定和最小)
p 2(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当时，xy 有最值是简记：和定积最大) 4
【考点分析】1. 主要考查应用不等式求最值和不等式的证明；
2. 对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若
出现证明题难度也不会太大。
考向一 利用均值不等式求最值
11【例1】(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则x ＋y 的最小值为________；
(2)当x ＞0时，则f (x ) ＝2x ________． x ＋1
1________． x －1【针对训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x ) ＝x ＋
2(2)已知0＜x ＜5y ＝2x －5x 2的最大值为________．
(3)若x ，y ∈(0，＋∞) 且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．
考向二 利用均值不等式证明不等式
bc ca ab 【例2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：a b c a ＋b ＋c
111【针对训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1。求证：a ＋b ＋c ≥9
考向三 利用均值不等式解决恒成立问题
x 【例3】若对任意x ＞0a 恒成立，则a 的取值范围是________ 。 x ＋3x ＋1
【针对训练3】已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________。
考向四 利用均值不等式解实际问题
【例4】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
【针对训练4】东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n ) 与科技成本的投入次数n 的关系是g (n ) ＝80若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n ) n ＋1
万元．(1)求出f (n ) 的表达式；
(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
【随堂检测】
11．函数y ＝x ＋x x ＞0) 的值域为( ) ．
A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)
2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b 12；③x 2＋≥1，其中正确的个数是( ) ． x ＋1ab
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) ．
1A. 2 B ．1 C ．2 D ．4
4．若函数f (x ) ＝x ＋1(x ＞2) 在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) ． x －2
A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4
t 2－4t ＋15．已知t ＞0，则函数y ＝的最小值为________． t
11． 设x >0，则y ＝3－3x －的最大值是( ) x
A ．3 B ．3－22 C．3－3 D．－1
112．若x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则＋的最小值是( ) x y
32A. 2 B. C. 1＋ D. 3＋22 23
3． 设a >0，b >0若3是3a 与3b 的等比中项，则11+的最小值为( ) a b
1A. 8 B. 4 C. 1 D. 4
4．若0＜x ＜1，则f (x ) ＝x (4－3x ) 取得最大值时，x 的值为( )
1132A. C. D. 3243
5．已知函数f (x ) ＝|lgx |，若0＜a ＜b ，且f (a ) ＝f (b ) ，则a ＋2b 的取值范围是( ) A. (22，＋∞) 2，＋∞) C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)
16．设a ＞b ＞0，则a 2＋ab 1的最小值是( ) ． a (a －b )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．已知a ＞0，b ＞0，则11++2ab 的最小值是________． a b
a -c 的大小关系是________． 28．已知a ＞b ＞c ，则(a -b )(b -c ) 与
9．函数y =log a (x +3) -1(a >0，a ≠1) 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0，则12+的最小值为________． m n
10．设x ，y ∈R ， a >1，b ＞1，若a x =b y =3，a +b =23，则11+的最大值为________． x y
11．已知a >2，试判断log a (a -1) ⋅log a (a +1) 与1的大小关系．
12． 函数f (x ) 对一切实数x ，y 均有f (x ＋y ) －f (y ) ＝(x ＋2y ＋1) x 成立，且f (1)＝0.
(1)求f (0)；
(2)求f (x ) ；
(3)当0＜x ＜2时不等式f (x ) ＞a x －5恒成立，求a 的取值范围．
1．【2012高考真题福建理5】下列不等式一定成立的是
A.
B.
C.
D.
2．【2012高考真题湖北理6】设a , b , c , x , y , z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10，
x 2+y 2+z 2=40，ax +by +cz =20，则a +b +c = x +y +z
1
2A ． 1
4B ． C． 1
3D ． 3
4
3．（2011. 陕西高考）设0
a +b a +b a +b a +b
第四节 均值不等式及其应用自助餐参考答案
1．【答案】Ｃ.
【解析】此类题目多选用筛选法，对于Ａ当x =1时，两边相等，故Ａ错误；对于Ｂ具有均值不等式的形4
式，但是sin x 不一定大于零，故Ｂ错误；对于Ｃ，x 2+1≥2|x |⇔x 2±2x +1≥0⇔(x ±1) 2≥0，显然成立；对于Ｄ任意x 都不成立．故选Ｃ．
2．【答案】C
【解析】由于(a 2+b 2+c )(x 2+y 2+z 2) ≥(ax +by +cz ) 2 2
a b c ===t , 则a=t x b=t y c=t z ，t 2(x 2+y 2+z 2) =10 x y z
a b c a +b +c a +b +c 所以由题知t =1/2, 又===, 所以=t =1/2，答案选C. x y z x +y +z x +y +z 等号成立当且仅当
3．【答案】B
a +b ，比较a 与ab ，因为a 2-(ab ) 2=a (a -b ) a +b b -a a +b =>0，所以0，得ab
a +b 5
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第四节 均值不等式及其应用自助餐参考答案
1．【答案】Ｃ.
【解析】此类题目多选用筛选法，对于Ａ当x =1时，两边相等，故Ａ错误；对于Ｂ具有均值不等式的形4
式，但是sin x 不一定大于零，故Ｂ错误；对于Ｃ，x 2+1≥2|x |⇔x 2±2x +1≥0⇔(x ±1) 2≥0，显然成立；对于Ｄ任意x 都不成立．故选Ｃ．
2．【答案】C
【解析】由于(a +b +c )(x 2+y 2+z 2) ≥(ax +by +cz ) 2 222
a b c ===t , 则a=t x b=t y c=t z ，t 2(x 2+y 2+z 2) =10 x y z
a b c a +b +c a +b +c , 所以=t =1/2，答案选C. 所以由题知t =1/2, 又===x y z x +y +z x +y +z 等号成立当且仅当
3．【答案】B
a +b ，比较a 与ab ，因为a 2-(ab ) 2=a (a -b ) a +b b -a a +b =>0，所以0，得ab
a +b
第四节 均值不等式及其应用学案
【学习目标】1. 会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题。
2. 会用均值不等式证明不等式及解决实际问题。
【基础知识梳理】
1．均值不等式：。
(1)基本不等式成立的条件：。(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号。
b a 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ) ； (2)a ＋b ≥2(a ，b 同号) ；
a 2＋b 2⎛a ＋b ⎫2⎛a ＋b ⎫2(a ，b ∈R ) ； (4) (3)ab ≤ 2≥⎝2⎭(a ，b ∈R ) 。 ⎝2⎭
3．算术平均数与几何平均数
a ＋b 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为2，几何平均数为ab ，均值不等式可叙述
为 。
4．利用基本不等式求最值问题
已知x ＞0，y ＞0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当时，x ＋y 有最2p .(简记：积定和最小)
p 2(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当时，xy 有最值是简记：和定积最大) 4
【考点分析】1. 主要考查应用不等式求最值和不等式的证明；
2. 对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若
出现证明题难度也不会太大。
考向一 利用均值不等式求最值
11【例1】(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则x ＋y 的最小值为________；
(2)当x ＞0时，则f (x ) ＝2x ________． x ＋1
1________． x －1【针对训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x ) ＝x ＋
2(2)已知0＜x ＜5y ＝2x －5x 2的最大值为________．
(3)若x ，y ∈(0，＋∞) 且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．
考向二 利用均值不等式证明不等式
bc ca ab 【例2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：a b c a ＋b ＋c
111【针对训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1。求证：a ＋b ＋c ≥9
考向三 利用均值不等式解决恒成立问题
x 【例3】若对任意x ＞0a 恒成立，则a 的取值范围是________ 。 x ＋3x ＋1
【针对训练3】已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________。
考向四 利用均值不等式解实际问题
【例4】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
【针对训练4】东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n ) 与科技成本的投入次数n 的关系是g (n ) ＝80若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n ) n ＋1
万元．(1)求出f (n ) 的表达式；
(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
【随堂检测】
11．函数y ＝x ＋x x ＞0) 的值域为( ) ．
A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)
2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b 12；③x 2＋≥1，其中正确的个数是( ) ． x ＋1ab
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) ．
1A. 2 B ．1 C ．2 D ．4
4．若函数f (x ) ＝x ＋1(x ＞2) 在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) ． x －2
A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4
t 2－4t ＋15．已知t ＞0，则函数y ＝的最小值为________． t
11． 设x >0，则y ＝3－3x －的最大值是( ) x
A ．3 B ．3－22 C．3－3 D．－1
112．若x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则＋的最小值是( ) x y
32A. 2 B. C. 1＋ D. 3＋22 23
3． 设a >0，b >0若3是3a 与3b 的等比中项，则11+的最小值为( ) a b
1A. 8 B. 4 C. 1 D. 4
4．若0＜x ＜1，则f (x ) ＝x (4－3x ) 取得最大值时，x 的值为( )
1132A. C. D. 3243
5．已知函数f (x ) ＝|lgx |，若0＜a ＜b ，且f (a ) ＝f (b ) ，则a ＋2b 的取值范围是( ) A. (22，＋∞) 2，＋∞) C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)
16．设a ＞b ＞0，则a 2＋ab 1的最小值是( ) ． a (a －b )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．已知a ＞0，b ＞0，则11++2ab 的最小值是________． a b
a -c 的大小关系是________． 28．已知a ＞b ＞c ，则(a -b )(b -c ) 与
9．函数y =log a (x +3) -1(a >0，a ≠1) 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0，则12+的最小值为________． m n
10．设x ，y ∈R ， a >1，b ＞1，若a x =b y =3，a +b =23，则11+的最大值为________． x y
11．已知a >2，试判断log a (a -1) ⋅log a (a +1) 与1的大小关系．
12． 函数f (x ) 对一切实数x ，y 均有f (x ＋y ) －f (y ) ＝(x ＋2y ＋1) x 成立，且f (1)＝0.
(1)求f (0)；
(2)求f (x ) ；
(3)当0＜x ＜2时不等式f (x ) ＞a x －5恒成立，求a 的取值范围．
1．【2012高考真题福建理5】下列不等式一定成立的是
A.
B.
C.
D.
2．【2012高考真题湖北理6】设a , b , c , x , y , z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10，
x 2+y 2+z 2=40，ax +by +cz =20，则a +b +c = x +y +z
1
2A ． 1
4B ． C． 1
3D ． 3
4
3．（2011. 陕西高考）设0
a +b a +b a +b a +b
第四节 均值不等式及其应用自助餐参考答案
1．【答案】Ｃ.
【解析】此类题目多选用筛选法，对于Ａ当x =1时，两边相等，故Ａ错误；对于Ｂ具有均值不等式的形4
式，但是sin x 不一定大于零，故Ｂ错误；对于Ｃ，x 2+1≥2|x |⇔x 2±2x +1≥0⇔(x ±1) 2≥0，显然成立；对于Ｄ任意x 都不成立．故选Ｃ．
2．【答案】C
【解析】由于(a 2+b 2+c )(x 2+y 2+z 2) ≥(ax +by +cz ) 2 2
a b c ===t , 则a=t x b=t y c=t z ，t 2(x 2+y 2+z 2) =10 x y z
a b c a +b +c a +b +c 所以由题知t =1/2, 又===, 所以=t =1/2，答案选C. x y z x +y +z x +y +z 等号成立当且仅当
3．【答案】B
a +b ，比较a 与ab ，因为a 2-(ab ) 2=a (a -b ) a +b b -a a +b =>0，所以0，得ab
a +b 5
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第四节 均值不等式及其应用自助餐参考答案
1．【答案】Ｃ.
【解析】此类题目多选用筛选法，对于Ａ当x =1时，两边相等，故Ａ错误；对于Ｂ具有均值不等式的形4
式，但是sin x 不一定大于零，故Ｂ错误；对于Ｃ，x 2+1≥2|x |⇔x 2±2x +1≥0⇔(x ±1) 2≥0，显然成立；对于Ｄ任意x 都不成立．故选Ｃ．
2．【答案】C
【解析】由于(a +b +c )(x 2+y 2+z 2) ≥(ax +by +cz ) 2 222
a b c ===t , 则a=t x b=t y c=t z ，t 2(x 2+y 2+z 2) =10 x y z
a b c a +b +c a +b +c , 所以=t =1/2，答案选C. 所以由题知t =1/2, 又===x y z x +y +z x +y +z 等号成立当且仅当
3．【答案】B
a +b ，比较a 与ab ，因为a 2-(ab ) 2=a (a -b ) a +b b -a a +b =>0，所以0，得ab
a +b