分式的基本概念.约分.通分

分式的基本概念、约分、通分

【概念巩固】

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？

（1）9x+4, （2）7 , （3）9y,（4） m4, （5） 8y3，（6）1

xx9205y2

是分式的有 ；

2.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

(1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.

（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x与y的差于4的商是 . 2、对于分式

A

而言 B

（1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义； （3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1； （5）当 时，分式的值为-1； （6）当 时，分式的值大于0；

0； 例1 、 对于分式

， 3x5

（1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义； （3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1； （5）当 时，分式的值为-1； （6）当 时，分式的值大于0； （7）当 时，分式的值小于0； 【针对性练习】

x21

1、当x取何值时，分式

3x2

（1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义； （3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1； （5）当 时，分式的值为-1； （6）当 时，分式的值大于0； （7）当 时，分式的值小于0；

2、 当x为何值时，分式

|x|1

的值为0？ 2

xx

3、当x取何值时，下列分式有意义？ （1）

5x52x5 （2） （3）2 2x32xx2

答案：（1） ；（2） ；（3） ；

【基础知识点】

3、分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变。 4、分式的约分

(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．

(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． (4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 5、分式的通分

把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。 ※思考：分数通分的方法及步骤是什么？

答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。

分式的通分和分数的通分是一样的：通分的关键是确定几个分式的公分母。

6、最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。

※找最简公分母的步骤： （1）．取各分式的分母中系数最小公倍数； （2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； （3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的； （4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

※回顾分解因式找公因式的步骤：

（1） 找系数：找各项系数的最大公约数； （2） 找字母：找相同字母的最低次幂；

2a2xy4a2bc3

例1： 约分：1. 2.

ayx16abc5

3

例2：不改变分式的值，把下列各式的分子分母中的各项系数都化为整数，且分子分母不含公因式

1

a(1)2

2

a3

1b31b4

4

x0.25y(2)

1

x0

.6y

把下列各式约分：

1.

x225a24a332a3b2c

2. (3)

x25xa2a624a2b3d

15(ab)2a2abx2x2 (4) (5) ； (6) ； 2

25(ab)ab4

x

1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。

2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。

3．若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公约数．

4．若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．

注意：1.当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：

ab

2nba2n

。 2n12n1（其中n为自然数）

baab

2．分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分

只能约分子分母中相同的因式）。

例1 、 求分式

例2 求分式

111

的公分母。 ,,

2x3y2z4x2y36xy4

11

与的最简公分母。 22

x44x2x

例3 通分：

（1）

例4 通分：（1）

1、通分：

yx14a3c5b,2,； （2）2,。 ,222x3y4xy5bc10ab2ac

x12x12x

,,， （2）； ,22222

(2x4)6x3xx4x1x3x2

2y2x31b

(1)xy;;x2x1 （3）2, (2)

xyx14a2ac

（4

1112a1

,, （5 ,2

(ab)(bc)(bc)(ca)(ac)(ab)93aa9

2、已知;abc1 abc

;;

aba1bcb1acc1

※小结

1．把异分母的分式化为同分母的分式的理论依据是分式的基本性质； 2．分式通分的关键是，确定各分式的最简公分母；

3．分式通分的目的是，把异分母的分式转化为与原分式相等的同分母的分式，为学习异分母分式的加减法做准备。 二、巩固练习：

6a3ba2ab

1．约分：（1） （2）2 22

2aba2abb

2、填空：

（1）

111

； （2）； （3）。

2x3y2z12x3y4z4x2y312x3y4z6xy412x3y4z

3．求下列各组分式的最简公分母：

（1）

215111

； （2）； ,,,,

2mn6m2n29m3c3ab24a2c6bc2

11111

,,,； （4） ；

3x(x2)(x2)(x3)2(x3)2ab(ba)(ab)

（3）

（5）

x11

。 ,2,2

2x2xxx1

最简公分母是：（1） ；（2） ；（3） ；

（4） ；（5） ；

4．通分：

（1）

（4）

125yz3x3bc2a

,,； （2）3,。 2； （3）4,23,2x3y4z8xy3xyz6xz24a6ab3bc

54yx11

,,,； （5）； （6）；

2(x2)3(2x)2a(x2)b(x2)x(yx)2x2y

五、课后练习

1、下列各式是不是分式？为什么？

x282m

(1);(2)x;(3)

xy

2、在下列各式中，当x取什么数时，下列分式有意义？

(1).

xx1x

....(2).2....(3).x3|x|2 x9

答：（1） ；（2） ；（3） ； 3、在下列分式中，当取什么数时，分式值为零？

(1).

x1|x|5

....(2).

(x3)(x5) 2x23

4、下列分式变形中正确的是（ ）

aa2a1a22ab1aabb1ab122

a1 C、bb D、aa2 A、bab B、a1

5、把下列各式约分

6x(ax)2a26a927an3b2

. .(1). (2). (3).32n3

24(xa)ya96ab

6、通分： （1）

（4）

xyx14x1234

； （2）； （3）； ,,,,,

a(xy)b(yx)2x23x4x33a24ab25a2b2

1xx12x3x

, （5）； （6）； ,,

(2x)2(x2)(x2)x2x2x24x216x2x2

（7） （9）

（11） （12）

115a3a

； （8）。 ,,

(xy)2x23xy2y2a2a129a2

121x4x5x3

；（10）； ,,,,

a33a22aa4a2a2a2x28x15x2x12x2x20

abbc

； ,

(ab)(bc)(bc)(ba)

111

,,

(ab)(ac)(bc)(ba)(ca)(cb)

分式的基本概念、约分、通分

【概念巩固】

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？

（1）9x+4, （2）7 , （3）9y,（4） m4, （5） 8y3，（6）1

xx9205y2

是分式的有 ；

2.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

(1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.

（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x与y的差于4的商是 . 2、对于分式

A

而言 B

（1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义； （3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1； （5）当 时，分式的值为-1； （6）当 时，分式的值大于0；

0； 例1 、 对于分式

， 3x5

（1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义； （3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1； （5）当 时，分式的值为-1； （6）当 时，分式的值大于0； （7）当 时，分式的值小于0； 【针对性练习】

x21

1、当x取何值时，分式

3x2

（1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义； （3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1； （5）当 时，分式的值为-1； （6）当 时，分式的值大于0； （7）当 时，分式的值小于0；

2、 当x为何值时，分式

|x|1

的值为0？ 2

xx

3、当x取何值时，下列分式有意义？ （1）

5x52x5 （2） （3）2 2x32xx2

答案：（1） ；（2） ；（3） ；

【基础知识点】

3、分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变。 4、分式的约分

(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．

(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． (4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 5、分式的通分

把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。 ※思考：分数通分的方法及步骤是什么？

答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。

分式的通分和分数的通分是一样的：通分的关键是确定几个分式的公分母。

6、最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。

※找最简公分母的步骤： （1）．取各分式的分母中系数最小公倍数； （2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； （3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的； （4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

※回顾分解因式找公因式的步骤：

（1） 找系数：找各项系数的最大公约数； （2） 找字母：找相同字母的最低次幂；

2a2xy4a2bc3

例1： 约分：1. 2.

ayx16abc5

3

例2：不改变分式的值，把下列各式的分子分母中的各项系数都化为整数，且分子分母不含公因式

1

a(1)2

2

a3

1b31b4

4

x0.25y(2)

1

x0

.6y

把下列各式约分：

1.

x225a24a332a3b2c

2. (3)

x25xa2a624a2b3d

15(ab)2a2abx2x2 (4) (5) ； (6) ； 2

25(ab)ab4

x

1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。

2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。

3．若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公约数．

4．若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．

注意：1.当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：

ab

2nba2n

。 2n12n1（其中n为自然数）

baab

2．分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分

只能约分子分母中相同的因式）。

例1 、 求分式

例2 求分式

111

的公分母。 ,,

2x3y2z4x2y36xy4

11

与的最简公分母。 22

x44x2x

例3 通分：

（1）

例4 通分：（1）

1、通分：

yx14a3c5b,2,； （2）2,。 ,222x3y4xy5bc10ab2ac

x12x12x

,,， （2）； ,22222

(2x4)6x3xx4x1x3x2

2y2x31b

(1)xy;;x2x1 （3）2, (2)

xyx14a2ac

（4

1112a1

,, （5 ,2

(ab)(bc)(bc)(ca)(ac)(ab)93aa9

2、已知;abc1 abc

;;

aba1bcb1acc1

※小结

1．把异分母的分式化为同分母的分式的理论依据是分式的基本性质； 2．分式通分的关键是，确定各分式的最简公分母；

3．分式通分的目的是，把异分母的分式转化为与原分式相等的同分母的分式，为学习异分母分式的加减法做准备。 二、巩固练习：

6a3ba2ab

1．约分：（1） （2）2 22

2aba2abb

2、填空：

（1）

111

； （2）； （3）。

2x3y2z12x3y4z4x2y312x3y4z6xy412x3y4z

3．求下列各组分式的最简公分母：

（1）

215111

； （2）； ,,,,

2mn6m2n29m3c3ab24a2c6bc2

11111

,,,； （4） ；

3x(x2)(x2)(x3)2(x3)2ab(ba)(ab)

（3）

（5）

x11

。 ,2,2

2x2xxx1

最简公分母是：（1） ；（2） ；（3） ；

（4） ；（5） ；

4．通分：

（1）

（4）

125yz3x3bc2a

,,； （2）3,。 2； （3）4,23,2x3y4z8xy3xyz6xz24a6ab3bc

54yx11

,,,； （5）； （6）；

2(x2)3(2x)2a(x2)b(x2)x(yx)2x2y

五、课后练习

1、下列各式是不是分式？为什么？

x282m

(1);(2)x;(3)

xy

2、在下列各式中，当x取什么数时，下列分式有意义？

(1).

xx1x

....(2).2....(3).x3|x|2 x9

答：（1） ；（2） ；（3） ； 3、在下列分式中，当取什么数时，分式值为零？

(1).

x1|x|5

....(2).

(x3)(x5) 2x23

4、下列分式变形中正确的是（ ）

aa2a1a22ab1aabb1ab122

a1 C、bb D、aa2 A、bab B、a1

5、把下列各式约分

6x(ax)2a26a927an3b2

. .(1). (2). (3).32n3

24(xa)ya96ab

6、通分： （1）

（4）

xyx14x1234

； （2）； （3）； ,,,,,

a(xy)b(yx)2x23x4x33a24ab25a2b2

1xx12x3x

, （5）； （6）； ,,

(2x)2(x2)(x2)x2x2x24x216x2x2

（7） （9）

（11） （12）

115a3a

； （8）。 ,,

(xy)2x23xy2y2a2a129a2

121x4x5x3

；（10）； ,,,,

a33a22aa4a2a2a2x28x15x2x12x2x20

abbc

； ,

(ab)(bc)(bc)(ba)

111

,,

(ab)(ac)(bc)(ba)(ca)(cb)