参数方程
一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数
⎧x =f (t ) ⎨
t 的函数，即 ⎩y =f (t ) ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．
1x y Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：
中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：
x =a cos θy =b sin θ
（θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）
注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0
x =x 0+a cos θ
y =y 0+b sin θ
Eg 3，
4x =2pt 2
y =2pt （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程
过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程
x =x 0+t cos α
y =y 0+t sin α （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧
②｜P 0P ｜=｜t ｜
x =x 0+at y =y 0+bt
，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当
t 得
x
y Eg
12
3≤y ≤1) 4A ．x +y =0或y =1 B ．x =1 C ．x +y =0或x =1 D ．y =1 5．点M 的直角坐标是(-1，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,
2
2
2
2
π
π2ππ
) B ．(2,-) C ．(2,) D ．(2,2k π+),(k ∈Z )
3333
6．极坐标方程ρcos θ=2sin 2θ表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆
二、填空题
1．直线⎨
⎧x =3+4t
(t 为参数) 的斜率为______________________。
⎩y =4-5t
t -t
⎧⎪x =e +e
(t 为参数) 的普通方程为__________________。 2．参数方程⎨t -t
⎪⎩y =2(e -e )
⎧x =1+3t
3．已知直线l 1:⎨(t 为参数) 与直线l 2:2x -4y =5相交于点B ，又点A (1,2) ，则
⎩y =2-4t
AB =_______________。
4
1（1
（2
及点P 2．与
x 2y 2
+=1上找一点，使这一点到直线x -2y -12=0的距离的最小值。 3．在椭圆
1612
[综合训练B 组]
1．P (a , b )
234A ．(-5, -
4πππ5π
) B ．(-5, ) C ．(5,) D ．(-5, ) 3333
⎧⎪x =t 为参数) 等价的普通方程为（ ） 5．与参数方程为⎨
⎪⎩y =y 2y 22=1 B ．x +=1(0≤x ≤1) A ．x +44
2
y 2y 22
=1(0≤y ≤2) D ．x +=1(0≤x ≤1,0≤y ≤2) C ．x +44
2
6．直线⎨
⎧x =-2+t
(t 为参数) 被圆(x -3) 2+(y +1) 2=25所截得的弦长为（ ）
⎩y =1-t
1
C
D
4
A
B ．40二、填空题
1⎧x =1-⎪
1．曲线的参数方程是⎨则它的普通方程为__________________。 t (t 为参数,t ≠0) ，
⎪y =1-t 2⎩
2
3。 4。 5。 12（1
（2）设l 与圆x +y =4相交与两点A , B ，求点P 到A , B 两点的距离之积。
2
2
1．1．
1 2．1．1．y =
x (x -2) (x -1)
2
(x ≠1) 2．(3,-1) 3 4．x 2
=y ⎧⎪x =4t 5．⎪⎨1+t 2 x 2+(tx ) 2
-4tx ，当x =0时，y =0；当x ≠0时，x =4t ；⎪2
=02⎩
y =4t
1+t ⎪1+t 2
4t ⎧x =⎪4t 2⎪1+t 2
而y =tx ，即y =1+t 2，得⎨⎪2
⎩
y =4t
⎪1+t 2三、解答题
1．当c o s (θ+π
124
=-
1时，d max =
5(2+；当c o s (θ+π41=
时，d 12
min =5
(2⎧⎪x =1+2．解：（1
）⎪⎨ （2）2 。
参数方程
一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数
⎧x =f (t ) ⎨
t 的函数，即 ⎩y =f (t ) ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．
1x y Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：
中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：
x =a cos θy =b sin θ
（θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）
注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0
x =x 0+a cos θ
y =y 0+b sin θ
Eg 3，
4x =2pt 2
y =2pt （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程
过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程
x =x 0+t cos α
y =y 0+t sin α （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧
②｜P 0P ｜=｜t ｜
x =x 0+at y =y 0+bt
，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当
t 得
x
y Eg
12
3≤y ≤1) 4A ．x +y =0或y =1 B ．x =1 C ．x +y =0或x =1 D ．y =1 5．点M 的直角坐标是(-1，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,
2
2
2
2
π
π2ππ
) B ．(2,-) C ．(2,) D ．(2,2k π+),(k ∈Z )
3333
6．极坐标方程ρcos θ=2sin 2θ表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆
二、填空题
1．直线⎨
⎧x =3+4t
(t 为参数) 的斜率为______________________。
⎩y =4-5t
t -t
⎧⎪x =e +e
(t 为参数) 的普通方程为__________________。 2．参数方程⎨t -t
⎪⎩y =2(e -e )
⎧x =1+3t
3．已知直线l 1:⎨(t 为参数) 与直线l 2:2x -4y =5相交于点B ，又点A (1,2) ，则
⎩y =2-4t
AB =_______________。
4
1（1
（2
及点P 2．与
x 2y 2
+=1上找一点，使这一点到直线x -2y -12=0的距离的最小值。 3．在椭圆
1612
[综合训练B 组]
1．P (a , b )
234A ．(-5, -
4πππ5π
) B ．(-5, ) C ．(5,) D ．(-5, ) 3333
⎧⎪x =t 为参数) 等价的普通方程为（ ） 5．与参数方程为⎨
⎪⎩y =y 2y 22=1 B ．x +=1(0≤x ≤1) A ．x +44
2
y 2y 22
=1(0≤y ≤2) D ．x +=1(0≤x ≤1,0≤y ≤2) C ．x +44
2
6．直线⎨
⎧x =-2+t
(t 为参数) 被圆(x -3) 2+(y +1) 2=25所截得的弦长为（ ）
⎩y =1-t
1
C
D
4
A
B ．40二、填空题
1⎧x =1-⎪
1．曲线的参数方程是⎨则它的普通方程为__________________。 t (t 为参数,t ≠0) ，
⎪y =1-t 2⎩
2
3。 4。 5。 12（1
（2）设l 与圆x +y =4相交与两点A , B ，求点P 到A , B 两点的距离之积。
2
2
1．1．
1 2．1．1．y =
x (x -2) (x -1)
2
(x ≠1) 2．(3,-1) 3 4．x 2
=y ⎧⎪x =4t 5．⎪⎨1+t 2 x 2+(tx ) 2
-4tx ，当x =0时，y =0；当x ≠0时，x =4t ；⎪2
=02⎩
y =4t
1+t ⎪1+t 2
4t ⎧x =⎪4t 2⎪1+t 2
而y =tx ，即y =1+t 2，得⎨⎪2
⎩
y =4t
⎪1+t 2三、解答题
1．当c o s (θ+π
124
=-
1时，d max =
5(2+；当c o s (θ+π41=
时，d 12
min =5
(2⎧⎪x =1+2．解：（1
）⎪⎨ （2）2 。