摘 要：教学分式方程应研究增根问题。增根必须同时满足两个条件，缺一不可：分式方程的增根能使分式方程转化成整式方程时，方程两边同时乘以的最简公分母等于0；分式方程的增根能使分式方程转化成的整式方程成立。 关键词：增根；最简公分母；分式方程 中图分类号： G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2015）20-0070-01 分式方程的增根问题，是分式方程教学的一个难点，许多学生学过以后也是似懂非懂。老师讲这一课时，同样感到很吃力。因此，在教学实践中，要重视研究分式方程的增根。 首先，需明确分式方程的增根产生：在解分式方程的过程中，分式方程转化为整式方程（去分母）时，未知数的范围扩大了，就会产生增根。增根必须同时满足以下两个条件：分式方程的增根能使分式方程转化成整式方程时，方程两边同时乘以的最简公分母等于0；分式方程的增根能使分式方程转化成的整式方程成立。要清醒的认识到：增根一定能使最简公分母等于0，反过来，能使最简公分母等于0的未知数的值，却不一定是分式方程的增根。其次，不是每个分式方程都有增根。解分式方程的三个常见误区如下。 误区一：认为能使分式方程转化为整式方程时，方程两边同时乘以的最简公分母等于0的未知数的值，都是分式方程的增根。 例1：解方程=2-求它的增根。解：因为方程有增根，所以令x-3=0，得到x=3，因此，方程的增根是x=3。点评：本题的解法是正确的。这个分式方程化成的整式方程是x=2（x-3）+3，解x=3，同时满足增根的两个条件。 例2：解分式方程+=。最简公分母是x（x+1）（x-1），若x（x+1）（x-1）=0，则x=0或1或-1，这3个值显然不都是增根。转化成的整式方程的解x=1，因此，只有x=1是增根，另外两个值不符合前面提到增根的必须条件的第二个条件。点评：一定要注意增根所必须同时满足的两个条件。 误区二：认为分式方程的增根和分式方程无解是等同的。这是错误的，当分式方程无解时，分式方程可能有增根；还有另一种可能，分式方程转化成的整式方程如果没有解，那么分式方程也是无解的。出现这种错误的原因是常见这样一类题目，举例如下。 例1：+=①解：方程两边都乘以b（b-1），得3（b-1）+6b=b+5.②解这个方程，得b=1。经检验：当b=1时，原方程无意义，所以b=1是原方程的增根。所以，原方程无解。 分析：显然，方程①中未知数b的取值范围b≠0且b≠1，在去分母化为方程②后，未知数b的取值范围扩大为全体实数，所以当求得的b值恰好使最简公分母为零时，b的值就是增根。本题中方程②的解b=1，恰好使公分母为零，所以b=1是原方程的增根，原方程无解。 例2 ：解方程=+2。解：去分母后可得到，y+1=2-y+2（y-3），进一步整理可得到，0y=-5，因为此方程无解，所以，原分式方程无解。 分析：此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了。可见，分式方程无解，不一定就产生增根。遇到下面题型时，无解就不单单是增根了。 例3：n为何值时，关于x的方程+=无解。正确的解答：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得到（n-1）x=-10，因为方程有增根，则x=2或-2代入（n-1）x=-10中可得n=-4或n=6，若（n-1）x=-10没有解，则n=1。因此，n=1或-4或-6时方程无解。 分析：在这个问题中，分式方程无解，既包括方程有增根，又包括分式方程化成的整式方程无解这两种可能。 误区三：忽视增根的存在。 例如：已知关于x的方程-2=有一个正数解，求n的取值范围。（错解）去分母得x-2（x-3）=n 所以x=6-n，由题意知x>0，所以6-n>0，得到n 综上所述，对于分式方程一定要明确增根，同时必须验根。以下，列举了解分式方程出现增根的比较有代表性的题型。 例1：已知关于x的方程a2-=有增根，试确定的a的值是（ ）：A. 2；B.-2；C.±2；D.与a无关。 分析：首先确定增根为n=2，然后把x=2代入分式方程化成的整式方程即可。 解：去分母并且化简得：（a2 -2）x=4，因为原方程的增根为x=2，把x=2代入得a2=4，所以a=±2， 因此应选C。 例2：如果分式方程有增根，那么b的值是（ ）：A. -1或-2；B. -1或2；C. 1或2；D.1或-2。解：原方程去分母，并整理得： a2-2a-2-b=0 ，因为原方程的增根是a=0或a=1，把a=0或a=-1分别代入整式方程，得：b=-2或b=1，因此应选D。 例3：如果关于y的方程=0有增根，则a的值为（ ）。解：原方程化简为：ay+1=0，又知道原方程的增根是y=1，把y=1代入上式，得a=-1，因此应填“-1”。 总结：通过以上3个例子可知，解答此类问题的基本思路是：把所给的分式方程转化为整式；根据所给方程确定增根；把增根代入整式方程，求出字母数值。关于分式方程增根问题，在现行人教新课标课本上提及不多。但作为教学一线的数学教师，有必要加以探索和总结，帮助学生更好的学习数学知识。 参考文献： [1]关柏林.关于分式方程增根问题的探讨[J].黑河教育，2013（01）. [2]韩雪华.关于分式方程增根的研究课[J].数学学习与研究，2012（19）.
摘 要：教学分式方程应研究增根问题。增根必须同时满足两个条件，缺一不可：分式方程的增根能使分式方程转化成整式方程时，方程两边同时乘以的最简公分母等于0；分式方程的增根能使分式方程转化成的整式方程成立。 关键词：增根；最简公分母；分式方程 中图分类号： G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2015）20-0070-01 分式方程的增根问题，是分式方程教学的一个难点，许多学生学过以后也是似懂非懂。老师讲这一课时，同样感到很吃力。因此，在教学实践中，要重视研究分式方程的增根。 首先，需明确分式方程的增根产生：在解分式方程的过程中，分式方程转化为整式方程（去分母）时，未知数的范围扩大了，就会产生增根。增根必须同时满足以下两个条件：分式方程的增根能使分式方程转化成整式方程时，方程两边同时乘以的最简公分母等于0；分式方程的增根能使分式方程转化成的整式方程成立。要清醒的认识到：增根一定能使最简公分母等于0，反过来，能使最简公分母等于0的未知数的值，却不一定是分式方程的增根。其次，不是每个分式方程都有增根。解分式方程的三个常见误区如下。 误区一：认为能使分式方程转化为整式方程时，方程两边同时乘以的最简公分母等于0的未知数的值，都是分式方程的增根。 例1：解方程=2-求它的增根。解：因为方程有增根，所以令x-3=0，得到x=3，因此，方程的增根是x=3。点评：本题的解法是正确的。这个分式方程化成的整式方程是x=2（x-3）+3，解x=3，同时满足增根的两个条件。 例2：解分式方程+=。最简公分母是x（x+1）（x-1），若x（x+1）（x-1）=0，则x=0或1或-1，这3个值显然不都是增根。转化成的整式方程的解x=1，因此，只有x=1是增根，另外两个值不符合前面提到增根的必须条件的第二个条件。点评：一定要注意增根所必须同时满足的两个条件。 误区二：认为分式方程的增根和分式方程无解是等同的。这是错误的，当分式方程无解时，分式方程可能有增根；还有另一种可能，分式方程转化成的整式方程如果没有解，那么分式方程也是无解的。出现这种错误的原因是常见这样一类题目，举例如下。 例1：+=①解：方程两边都乘以b（b-1），得3（b-1）+6b=b+5.②解这个方程，得b=1。经检验：当b=1时，原方程无意义，所以b=1是原方程的增根。所以，原方程无解。 分析：显然，方程①中未知数b的取值范围b≠0且b≠1，在去分母化为方程②后，未知数b的取值范围扩大为全体实数，所以当求得的b值恰好使最简公分母为零时，b的值就是增根。本题中方程②的解b=1，恰好使公分母为零，所以b=1是原方程的增根，原方程无解。 例2 ：解方程=+2。解：去分母后可得到，y+1=2-y+2（y-3），进一步整理可得到，0y=-5，因为此方程无解，所以，原分式方程无解。 分析：此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了。可见，分式方程无解，不一定就产生增根。遇到下面题型时，无解就不单单是增根了。 例3：n为何值时，关于x的方程+=无解。正确的解答：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得到（n-1）x=-10，因为方程有增根，则x=2或-2代入（n-1）x=-10中可得n=-4或n=6，若（n-1）x=-10没有解，则n=1。因此，n=1或-4或-6时方程无解。 分析：在这个问题中，分式方程无解，既包括方程有增根，又包括分式方程化成的整式方程无解这两种可能。 误区三：忽视增根的存在。 例如：已知关于x的方程-2=有一个正数解，求n的取值范围。（错解）去分母得x-2（x-3）=n 所以x=6-n，由题意知x>0，所以6-n>0，得到n 综上所述，对于分式方程一定要明确增根，同时必须验根。以下，列举了解分式方程出现增根的比较有代表性的题型。 例1：已知关于x的方程a2-=有增根，试确定的a的值是（ ）：A. 2；B.-2；C.±2；D.与a无关。 分析：首先确定增根为n=2，然后把x=2代入分式方程化成的整式方程即可。 解：去分母并且化简得：（a2 -2）x=4，因为原方程的增根为x=2，把x=2代入得a2=4，所以a=±2， 因此应选C。 例2：如果分式方程有增根，那么b的值是（ ）：A. -1或-2；B. -1或2；C. 1或2；D.1或-2。解：原方程去分母，并整理得： a2-2a-2-b=0 ，因为原方程的增根是a=0或a=1，把a=0或a=-1分别代入整式方程，得：b=-2或b=1，因此应选D。 例3：如果关于y的方程=0有增根，则a的值为（ ）。解：原方程化简为：ay+1=0，又知道原方程的增根是y=1，把y=1代入上式，得a=-1，因此应填“-1”。 总结：通过以上3个例子可知，解答此类问题的基本思路是：把所给的分式方程转化为整式；根据所给方程确定增根；把增根代入整式方程，求出字母数值。关于分式方程增根问题，在现行人教新课标课本上提及不多。但作为教学一线的数学教师，有必要加以探索和总结，帮助学生更好的学习数学知识。 参考文献： [1]关柏林.关于分式方程增根问题的探讨[J].黑河教育，2013（01）. [2]韩雪华.关于分式方程增根的研究课[J].数学学习与研究，2012（19）.