高中数学竞赛模拟试卷
（第一试）
福州一中 王欣
一、选择题(每小题6分, 共36分)
⎛cos α⎫⎛cos β⎫1．设函数 f (x ) = sin β⎪⎪+ sin α⎪， α、β为锐角，如果对任意x ＞0， ⎭⎝⎭⎝
都有f （x ）＜2，那么 （ ）（A ）x x 0 α+β π
4 （B ）0 α+β π
2 （C ）π
4 α+β π
2 （D ）α+β π
2
2．定义在R 上的函数满足f （x ）= f（x + 2），当x ∈[ 3 ，5 ]时，f （x ）= 2 － | x － 4| 则
（）
（A ）f (sinπ
66
2π2π) f (sin2) （C ）f (cos33
3．若不等式a +b ≤m ⋅a 2+b 2对所有正实数a 、b 都成立，则m 的最小值是（）
(A) 2 (B) ) f (cos1) 2 (C) 2 (D) 4 3
4
x 2y 2
+=1上有n 个不同的点P 1，4．椭圆P 2，…，P n ，F 是右焦点，{ | Pi F | } （i =1, 2, , n ）43
组成公差d >1的等差数列。则n 的最大值是（） 100
（A ） 199 （B ） 200 （C ）99 （D ） 100
25．已知数列{an }满足a n ，且a 1==a n +1a n -1（n ≣1）2，则与a 2006最接近的自然数
是（）
(A) 8（B ）9（C ）10（D ）11
6．在边长为1的正方体C 内，作一个内切大球O 1，再在C 内的一个角顶内，作小球O 2，使它与大球外切，同时与正正方体的三个面相切．则球O 2的面积为 （） (A)(7-43) π (B)(7+4) π (C)2+2-3π (D)π 22
二、填空题(每小题9分, 共54分)
7
．已知定点A ，若动点P 在抛物线y 2=4x 上，且点P 在y 轴上的射影为点M ，则|PA |-|PM |的最大值是________.
8．已知函数f (x ) =2x +3．若y =g (x ) 的图象与y =f x -1-1(x +1) 的图象关于直线y =x 对称，则g (3) 值等于．
9. 一个正三棱锥的三条侧棱长均为1，且两两垂直。将这个三棱锥绕着它的高旋转60︒，则旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分的体积为.
10．一个由16个小方格组成的4×4的棋盘，将其中8个小方格染黑，使得每行、每列都恰有2个黑格，则有种不同的染法。（用数字作答）
11. 已知平面上两个点集
M ={(x , y ) ||x +y +1|≥x , y ∈R }, N ={(x , y ) ||x -a |+|y -1|≤1, x , y ∈R }. 若 M N ≠∅, 则 a 的取值范围是 .
12、若6+2+2(m 、n ∈N )是一个完全平方数，则所有可能的(m , n )=. m n
三．解答题（每小题20分，共60分）
13．甲和乙轮流掷一枚均匀硬币，谁先掷出正面谁获胜，此时本场结束，而且负方在下一场先掷.
（1）求任一场比赛中，先掷的人获胜的概率；
（2）设他们一共玩了10场，且甲第一场先掷，记甲赢得第k 场的概率为P k . 若
k 1
x 2y 2
14．已知椭圆E :2+2=1(a >b >0) ，动圆F :x 2+y 2=R 2，其中b 是椭圆Ｅ上的点，Ｂ是动圆Ｆ上的点，且使直线ＡＢ与椭圆Ｅ和动圆Ｆ均相切，求Ａ、Ｂ两点的距离的最大值。
15．已知不等式 2(2a +3) cos(θ-π
4) +6
对于θ∈⎢0, ⎥恒成立，求实数a 的取值范围。 ⎣2⎦⎡π⎤
加 试
1．（50分）△ABC 中BC+CA=3AB,内心为I, 内切圆分别切BC,CA 于D,E. 设D,E 关于I 的对称点分别为K,L. 求证,A,B,K,L 四点共圆.
2．（50分）3. 给定实数a>1.对于满足条件 (x1+x2+x3+x4+x5)(11111++++)=25a的x 1x 2x 3x 4x 5所有正实数组(x1,x 2,x 3,x 4,x 5), 试求max{x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}的取值范围. min{x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}
3.n 支球队(n>2)参加单循环赛. 每两队赛一场, 每场比赛都分出胜负. 若有三队A,B,C 比赛结果是A 胜B,B 胜C,C 胜A, 就称它们构成一个连环套. 全部比赛结束后最多有多少个连环套?
参考答案
（第一试）
一． 选择题：
1．（D ）依题意有0
即cos(α+β) α+β>π
2 。选（D ）。
2．（D ）设 －1 ≢ x ≢ 1 ，则 3 ≢ x ≢ 5 。
∴ f（x ）= f（x + 2）=f（x + 4）= 2 － |（x + 4）－ 4 | = 2 - | x |。
易知 （A ）、（B ）、（C ）错误。而 f（cos2）= 2 － |cos2|，f （sin2）= 2 － |sin2| ， ∵ |sin2| ＞ |cos2| ，∴ f（cos2）＞ f（sin2）∴选（D ）。
a 2+b 2
3．（C ）∵ a +≤2(a +b ) ≤2 ，当且仅当 a = b 时等号成立。 2
∴ m ≥24 ，即m 的最小值为2 。∴选（C ）。
4．（B ）∵ |Pn F| = |P1F| + （n － 1 ）d ，∴ n =1+33P n F -P 1F
d ，
在椭圆中焦半径|Pi F|的最大值是a + c ，最小值是a － c ，则
|Pn F| － |P1F| ≢ a + c － （a － c）= 2c = 2 。
高中数学竞赛模拟试卷
（第一试）
福州一中 王欣
一、选择题(每小题6分, 共36分)
⎛cos α⎫⎛cos β⎫1．设函数 f (x ) = sin β⎪⎪+ sin α⎪， α、β为锐角，如果对任意x ＞0， ⎭⎝⎭⎝
都有f （x ）＜2，那么 （ ）（A ）x x 0 α+β π
4 （B ）0 α+β π
2 （C ）π
4 α+β π
2 （D ）α+β π
2
2．定义在R 上的函数满足f （x ）= f（x + 2），当x ∈[ 3 ，5 ]时，f （x ）= 2 － | x － 4| 则
（）
（A ）f (sinπ
66
2π2π) f (sin2) （C ）f (cos33
3．若不等式a +b ≤m ⋅a 2+b 2对所有正实数a 、b 都成立，则m 的最小值是（）
(A) 2 (B) ) f (cos1) 2 (C) 2 (D) 4 3
4
x 2y 2
+=1上有n 个不同的点P 1，4．椭圆P 2，…，P n ，F 是右焦点，{ | Pi F | } （i =1, 2, , n ）43
组成公差d >1的等差数列。则n 的最大值是（） 100
（A ） 199 （B ） 200 （C ）99 （D ） 100
25．已知数列{an }满足a n ，且a 1==a n +1a n -1（n ≣1）2，则与a 2006最接近的自然数
是（）
(A) 8（B ）9（C ）10（D ）11
6．在边长为1的正方体C 内，作一个内切大球O 1，再在C 内的一个角顶内，作小球O 2，使它与大球外切，同时与正正方体的三个面相切．则球O 2的面积为 （） (A)(7-43) π (B)(7+4) π (C)2+2-3π (D)π 22
二、填空题(每小题9分, 共54分)
7
．已知定点A ，若动点P 在抛物线y 2=4x 上，且点P 在y 轴上的射影为点M ，则|PA |-|PM |的最大值是________.
8．已知函数f (x ) =2x +3．若y =g (x ) 的图象与y =f x -1-1(x +1) 的图象关于直线y =x 对称，则g (3) 值等于．
9. 一个正三棱锥的三条侧棱长均为1，且两两垂直。将这个三棱锥绕着它的高旋转60︒，则旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分的体积为.
10．一个由16个小方格组成的4×4的棋盘，将其中8个小方格染黑，使得每行、每列都恰有2个黑格，则有种不同的染法。（用数字作答）
11. 已知平面上两个点集
M ={(x , y ) ||x +y +1|≥x , y ∈R }, N ={(x , y ) ||x -a |+|y -1|≤1, x , y ∈R }. 若 M N ≠∅, 则 a 的取值范围是 .
12、若6+2+2(m 、n ∈N )是一个完全平方数，则所有可能的(m , n )=. m n
三．解答题（每小题20分，共60分）
13．甲和乙轮流掷一枚均匀硬币，谁先掷出正面谁获胜，此时本场结束，而且负方在下一场先掷.
（1）求任一场比赛中，先掷的人获胜的概率；
（2）设他们一共玩了10场，且甲第一场先掷，记甲赢得第k 场的概率为P k . 若
k 1
x 2y 2
14．已知椭圆E :2+2=1(a >b >0) ，动圆F :x 2+y 2=R 2，其中b 是椭圆Ｅ上的点，Ｂ是动圆Ｆ上的点，且使直线ＡＢ与椭圆Ｅ和动圆Ｆ均相切，求Ａ、Ｂ两点的距离的最大值。
15．已知不等式 2(2a +3) cos(θ-π
4) +6
对于θ∈⎢0, ⎥恒成立，求实数a 的取值范围。 ⎣2⎦⎡π⎤
加 试
1．（50分）△ABC 中BC+CA=3AB,内心为I, 内切圆分别切BC,CA 于D,E. 设D,E 关于I 的对称点分别为K,L. 求证,A,B,K,L 四点共圆.
2．（50分）3. 给定实数a>1.对于满足条件 (x1+x2+x3+x4+x5)(11111++++)=25a的x 1x 2x 3x 4x 5所有正实数组(x1,x 2,x 3,x 4,x 5), 试求max{x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}的取值范围. min{x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}
3.n 支球队(n>2)参加单循环赛. 每两队赛一场, 每场比赛都分出胜负. 若有三队A,B,C 比赛结果是A 胜B,B 胜C,C 胜A, 就称它们构成一个连环套. 全部比赛结束后最多有多少个连环套?
参考答案
（第一试）
一． 选择题：
1．（D ）依题意有0
即cos(α+β) α+β>π
2 。选（D ）。
2．（D ）设 －1 ≢ x ≢ 1 ，则 3 ≢ x ≢ 5 。
∴ f（x ）= f（x + 2）=f（x + 4）= 2 － |（x + 4）－ 4 | = 2 - | x |。
易知 （A ）、（B ）、（C ）错误。而 f（cos2）= 2 － |cos2|，f （sin2）= 2 － |sin2| ， ∵ |sin2| ＞ |cos2| ，∴ f（cos2）＞ f（sin2）∴选（D ）。
a 2+b 2
3．（C ）∵ a +≤2(a +b ) ≤2 ，当且仅当 a = b 时等号成立。 2
∴ m ≥24 ，即m 的最小值为2 。∴选（C ）。
4．（B ）∵ |Pn F| = |P1F| + （n － 1 ）d ，∴ n =1+33P n F -P 1F
d ，
在椭圆中焦半径|Pi F|的最大值是a + c ，最小值是a － c ，则
|Pn F| － |P1F| ≢ a + c － （a － c）= 2c = 2 。