共渐近线的两个双曲线系的解题功能

共渐近线的两个双曲线系的解题功能

甘肃

彭长军

本文首先给出关于共渐近线的双曲线系方程的两个命题，然后就其解题功能作一点探讨，供同学们参考。

命题1：与双曲线

xa

22

xa

22



yb

22

=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲

线系方程为



yb

22

=(≠0) (*)

x

22

证明：（1） 当>0时，方程(*)可变形为

2

2

a



y

2

2

b

=1,

a0,b>0.表示中心在原点、焦点在x轴上的双曲线，其渐近

ba

ba

xa

22

线方程为y=x=x，与双曲线



yb

22

=1的渐近线相同。

y

22

（2）当

b



x

22

a

=1,

-b20,a2>0.。表示中心在原点、焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=

ba

x=

ba

与双曲线x，

xa

22



yb

22

=1的渐近线相同。

由（1）（2）可知，原命题成立。 同理，与双曲线

ya

22

ya

22



xb

22

=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线

系方程为

命题



xb

22

=(≠0)。

AxBy=0为渐近线的双曲线系方程为

2:以直线

(Ax+By)(Ax-By)=(≠0)，即A2x2-B2y2=(≠0)。

证明过程请读者自己完成，这里不在赘述。

推论:以两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0为渐

近线的双曲线系方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=(≠0)。

运用上述结论，在求某些特殊情形下的双曲线方程时，可有效地避开分类讨论，收到事半功倍的效果。下面举例说明。

例y=

ba

1．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为

x(a>0,b>0)，若双曲线上有一点M(x0,y0)，使bx0>ay0，

则双曲线的焦点（）

A.当a>b时在x轴上 B.当a

∵点M(x0,y0)在双曲线上，∴= b2x02-a2y02>0, ∴双曲线的焦点在x轴上,故选C.

例2.求与双曲线

x9

2

ba

x，即bxay=0,可知双曲



y

2

16

=1有共同的渐近线，且经过点A（-3，

23）的双曲线方程。

解：设所求双曲线方程为

14

x9x9

22



y

2

16y

=(≠0)。将A点坐标代入，

2

得=，故所求双曲线方程为



16

=

14

，即

x

2

94



y

2

4

=1

例3．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P(8,63)，则其方程是___________。

解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3x-2y=0。因此，所求双曲线方程可表示为(3x+2y)(3x-2y) =，即

9x4y=(≠0)。将P点坐标代入，得=144，故所求双曲线方

x

2

22

程为9x4y=144，即

22

16



y

2

36

=1。

例4.以椭圆x24y2=64的焦点为顶点，一条渐近线方程x+3y=0的双曲线方程是_____。

解：由

x

2

64



y

2

16

=1，得

x

2

c2=48，设所求双曲线方程为

x3y=(≠0)，即

2

2





y

2

3

=1。由已知知=c2=48，故所求双曲线

方程为

x

2

48



y

2

16

=1。

例5.以双曲线x24y2=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x+3y=0的双曲线方程是_________。

解： 由

x

2

64



y

2

16

=1，得

x

2

c2=80。设所求双曲线方程为

3

x3y=(≠0)，即

2

2





y

2

3

=1。由已知，得+=80，∴=60,故

所求双曲线方程为

x

2

60



y

2

20

=1。

例6.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F(-4,0)，一条渐近线的方程是3x-2y=0，求此双曲线的方程。

解：设所求双曲线方程为9x4y=(≠0)，即

2

2

x

2

9



y

2

4

=1,则

9

+

4

=(-4)=16,∴=

2

57613

。故所求双曲线方程为

x

2

6013



y

2

14413

=1。

例7.已知双曲线的两条渐近线方程分别为2x+y-8=0和2x-y-4=0,且以抛物线（y-2）2=-4(x-2)的焦点为一个顶点，求此双曲线的方程。

解：由已知可得双曲线的一个顶点的坐标为（1，2）。设所求双曲线的方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=(≠0)。将顶点坐标代入，得=16。故所求双曲线方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=16。化简整理，得

(x3)

4

2



(y2)16

2

=1。

例8. 求以3x-4y-2=0和3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程。

解：由5y+4=0即y=-45

为双曲线的一条准线可知双曲线的焦

点在平行于y轴的直线上。

设所求双曲线的方程为(3x-4y-2)(3x+4y-10)=(≠0)，即

(y1)16

16512



2

2



(x2)9

2

=1,∴c2=

16



9

=

25144

()

,∴从而有

=1+

45



95

,即

320



95

,∴=-144,故所双曲线方程为：

(y1)9



(x2)16

2

=1.

例9．求过点P(2,-1)且渐近线方程分别为2x+y-8=0和x-3y+4=0的双曲线方程。

解：设所求双曲线的方程为(2x+4y-8)( x-3y+4)=(≠0)，则=[2×2+4×（-1）-8][1×2-3×（-1）+4]=-72, ∴所求双曲线的方程为(2x+4y-8)(x-3y+4)=-72,即x2-6y2-xy+20y+20=0.

共渐近线的两个双曲线系的解题功能

甘肃

彭长军

本文首先给出关于共渐近线的双曲线系方程的两个命题，然后就其解题功能作一点探讨，供同学们参考。

命题1：与双曲线

xa

22

xa

22



yb

22

=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲

线系方程为



yb

22

=(≠0) (*)

x

22

证明：（1） 当>0时，方程(*)可变形为

2

2

a



y

2

2

b

=1,

a0,b>0.表示中心在原点、焦点在x轴上的双曲线，其渐近

ba

ba

xa

22

线方程为y=x=x，与双曲线



yb

22

=1的渐近线相同。

y

22

（2）当

b



x

22

a

=1,

-b20,a2>0.。表示中心在原点、焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=

ba

x=

ba

与双曲线x，

xa

22



yb

22

=1的渐近线相同。

由（1）（2）可知，原命题成立。 同理，与双曲线

ya

22

ya

22



xb

22

=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线

系方程为

命题



xb

22

=(≠0)。

AxBy=0为渐近线的双曲线系方程为

2:以直线

(Ax+By)(Ax-By)=(≠0)，即A2x2-B2y2=(≠0)。

证明过程请读者自己完成，这里不在赘述。

推论:以两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0为渐

近线的双曲线系方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=(≠0)。

运用上述结论，在求某些特殊情形下的双曲线方程时，可有效地避开分类讨论，收到事半功倍的效果。下面举例说明。

例y=

ba

1．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为

x(a>0,b>0)，若双曲线上有一点M(x0,y0)，使bx0>ay0，

则双曲线的焦点（）

A.当a>b时在x轴上 B.当a

∵点M(x0,y0)在双曲线上，∴= b2x02-a2y02>0, ∴双曲线的焦点在x轴上,故选C.

例2.求与双曲线

x9

2

ba

x，即bxay=0,可知双曲



y

2

16

=1有共同的渐近线，且经过点A（-3，

23）的双曲线方程。

解：设所求双曲线方程为

14

x9x9

22



y

2

16y

=(≠0)。将A点坐标代入，

2

得=，故所求双曲线方程为



16

=

14

，即

x

2

94



y

2

4

=1

例3．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P(8,63)，则其方程是___________。

解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3x-2y=0。因此，所求双曲线方程可表示为(3x+2y)(3x-2y) =，即

9x4y=(≠0)。将P点坐标代入，得=144，故所求双曲线方

x

2

22

程为9x4y=144，即

22

16



y

2

36

=1。

例4.以椭圆x24y2=64的焦点为顶点，一条渐近线方程x+3y=0的双曲线方程是_____。

解：由

x

2

64



y

2

16

=1，得

x

2

c2=48，设所求双曲线方程为

x3y=(≠0)，即

2

2





y

2

3

=1。由已知知=c2=48，故所求双曲线

方程为

x

2

48



y

2

16

=1。

例5.以双曲线x24y2=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x+3y=0的双曲线方程是_________。

解： 由

x

2

64



y

2

16

=1，得

x

2

c2=80。设所求双曲线方程为

3

x3y=(≠0)，即

2

2





y

2

3

=1。由已知，得+=80，∴=60,故

所求双曲线方程为

x

2

60



y

2

20

=1。

例6.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F(-4,0)，一条渐近线的方程是3x-2y=0，求此双曲线的方程。

解：设所求双曲线方程为9x4y=(≠0)，即

2

2

x

2

9



y

2

4

=1,则

9

+

4

=(-4)=16,∴=

2

57613

。故所求双曲线方程为

x

2

6013



y

2

14413

=1。

例7.已知双曲线的两条渐近线方程分别为2x+y-8=0和2x-y-4=0,且以抛物线（y-2）2=-4(x-2)的焦点为一个顶点，求此双曲线的方程。

解：由已知可得双曲线的一个顶点的坐标为（1，2）。设所求双曲线的方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=(≠0)。将顶点坐标代入，得=16。故所求双曲线方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=16。化简整理，得

(x3)

4

2



(y2)16

2

=1。

例8. 求以3x-4y-2=0和3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程。

解：由5y+4=0即y=-45

为双曲线的一条准线可知双曲线的焦

点在平行于y轴的直线上。

设所求双曲线的方程为(3x-4y-2)(3x+4y-10)=(≠0)，即

(y1)16

16512



2

2



(x2)9

2

=1,∴c2=

16



9

=

25144

()

,∴从而有

=1+

45



95

,即

320



95

,∴=-144,故所双曲线方程为：

(y1)9



(x2)16

2

=1.

例9．求过点P(2,-1)且渐近线方程分别为2x+y-8=0和x-3y+4=0的双曲线方程。

解：设所求双曲线的方程为(2x+4y-8)( x-3y+4)=(≠0)，则=[2×2+4×（-1）-8][1×2-3×（-1）+4]=-72, ∴所求双曲线的方程为(2x+4y-8)(x-3y+4)=-72,即x2-6y2-xy+20y+20=0.