数学思想方法
——归纳、猜想
数学猜想与数学名题
一、 希尔伯特的23个问题
希尔伯特（德国，1862—1943年）是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出的23个问题更是功勋卓著、影响深远。
那是1900年8月在巴黎召开的国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题为《数学问题》的著名讲演，根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个问题，成为数学史上的一个重要里程碑。
1、适当的问题对科学发展的价值
问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。
2． 提出问题是解决问题的一半
只有对该学科的知识有广泛而深入了解的学者，对该学科的发展有清醒的认识和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价值的“好的问题”
3． “好的问题”的标准
希尔伯特在他的演讲中就提出了这样的标准。
1）清晰易懂: “一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。”
2）难而又可解决
3）对学科发展有重大推动意义
问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整个学科，推动整个学科的发展。
“希尔伯特问题”解决的现状
经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。
能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。
希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许多现代数学分支的发展，包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。 解决著名猜想的人很牛！
提出这些猜想的人更牛！
如此集中地提出一批猜想，并持久地影响了一门学科的发展，史无前例！
二、费马（Fermat ）大定理
• 业余数学家之王：费尔玛(Fermat,1601—1665), 法国人，职业是议员。他非常喜欢数学，常常利用业余时间研究高深的数学问题，结果取得了很大的成就，被人称為“业余数学家之王”。费马凭借丰富的想像力和深刻的洞察力，提出一系列重要的数学猜想。
费尔马小猜想 ：1640年，费尔马在研究质数性质时，发现了一个有趣的现象：
当n=1时， 2
• 当n=2时，22n +1=22+1=5； +1=22+1=17；
+1=22+1=257；
43212n • 当n=3时， 22n 22• 当n=4时，2+1=2+1=65537； n
• 猜测：只要n 是自然数， 22n +1一定是质数 1732年，欧拉进行了否定
p 费马小定理：如果P 是一个质数，那么对于任何自然数n ，n -n 一定能够被P 整除
• 这个猜想已证明是正确的，这个猜想被称为“费马小定理”
费马大定理：x +y =z ,(n > 2)无整数解（1637年）
● 1983年德国数学家G. 法尔廷斯证明：对于每一个大于2的指数n ，方程 xn+yn=zn 至多有有限多个解。赢得1986年的菲尔兹奖
● 1988年，日本数学家宫冈洋一宣布以微分几何的角度，证明了“费马最后定理”！ 不过，该证明后来被发现有重大而无法补救的缺陷，证明不成立！
怀尔斯 Andrew Wiles：英国人，出生于 1953 年
1995年5月，怀尔斯长一百页的证明，在杂志《数学年鉴》中发表
1996年怀尔斯获，美国国家科学院奖，菲尔兹特别奖
1997年怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖 n n n
三、哥德巴赫（Goldbach ）猜想
数学是自然科学的皇后；数论是皇后的王冠；“哥德巴赫猜想”则是皇后王冠上的明珠！ 中国数学家做出了最好的成绩；华罗庚、陈景润、王元、潘承洞…..
歌德巴赫的两个问题：
1. 每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；1+1
2. 每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。
1966年，中国的陈景润证明了 “1+2 ”
四、四色问题
● 四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F ．古
色利提出。
● 他在为一张英国地图着色时发现, 为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似
乎只需要四种颜色就够了。
● 但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请
教他的数学老师, 杰出的英国数学家德·摩根，希望帮助给出证明。
德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的, 至少要四种颜色。下图就
表明三种颜色是不够的。
解决方法：合理的退让——不得已而求其次加强命题的条件或者减弱命题
的结论
五、七大数学难题
千禧年大奖难题：千禧年大奖难题(Millennium Prize Problems), 又称世界七大数学难题， 是七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24
日公布的数学难题。根据克雷数学研究所订定的规则，所有难题的解答必须发表在数学期刊上，并经过各方验证，只要通过两年验证期，每解破一题的解答者，会颁发奖金1,000,000美元。 这些难题是呼应1900年德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎提出的23个历史性数学难题，经过一百年，许多难题已获得解答。而千禧年大奖难题的破解，极有可能为密码学以及航天、通讯等领域带来突破性进展。
● 庞加莱猜想； 黎曼猜想；戴尔猜想；纳维-斯托克斯方程求解； 杨-米尔斯场问题；
霍奇猜想； P对NP 问题
● “七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被科学家完全破解，中国科学家完
成“最后封顶”工作——中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东以一篇长达300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。
中国专家有望破解另一难题
• 丘成桐分析指出，剩余下的六大难题中，很多人攻关的黎曼假设还没有看到破解的
希望；引起很多著名数学家兴趣的霍奇猜想“进展不大”；和流体有关的纳威厄－斯托克斯方程“离解决也相差很远”；P 与NP 问题“没什么进展”；杨－米尔理论“太难，几乎没人做”。
• 丘成桐认为，和数论有关的波奇和斯温纳顿－戴雅猜想是最有希望破解的一个。他
透露，在这一领域，原本在国外取得一些进展的数论专家田野教授，最近已经回国到晨兴数学研究中心工作。“希望他能回来带动一下国内在这方面的工作。”
六、其它名题
• 古希腊：化圆为方、立方倍积问题、三等分角等
• 近现代：七桥问题、四色问题、牛吃草问题、、富兰克林遗嘱问题、哈密顿环游世
界问题等
• 中国：韩信暗点兵、百僧分百馒头问题等
七、例题：
例题1、由1+8+27+64=100你能猜想什么结论
例题2、计算111 1—222 2的值
2n 个n 个
例题3、 如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S 1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S 2，„„，第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和为S n 。猜想出S n 与n 的关系是 。
例题4、古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21, …叫做三角形数, 它有一定的规律性, 则第24个三角形数与第22个三角形数的差__________.若第n 个数记作a n ，猜想出a n 与n 的关系是
数学思想方法
——归纳、猜想
数学猜想与数学名题
一、 希尔伯特的23个问题
希尔伯特（德国，1862—1943年）是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出的23个问题更是功勋卓著、影响深远。
那是1900年8月在巴黎召开的国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题为《数学问题》的著名讲演，根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个问题，成为数学史上的一个重要里程碑。
1、适当的问题对科学发展的价值
问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。
2． 提出问题是解决问题的一半
只有对该学科的知识有广泛而深入了解的学者，对该学科的发展有清醒的认识和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价值的“好的问题”
3． “好的问题”的标准
希尔伯特在他的演讲中就提出了这样的标准。
1）清晰易懂: “一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。”
2）难而又可解决
3）对学科发展有重大推动意义
问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整个学科，推动整个学科的发展。
“希尔伯特问题”解决的现状
经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。
能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。
希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许多现代数学分支的发展，包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。 解决著名猜想的人很牛！
提出这些猜想的人更牛！
如此集中地提出一批猜想，并持久地影响了一门学科的发展，史无前例！
二、费马（Fermat ）大定理
• 业余数学家之王：费尔玛(Fermat,1601—1665), 法国人，职业是议员。他非常喜欢数学，常常利用业余时间研究高深的数学问题，结果取得了很大的成就，被人称為“业余数学家之王”。费马凭借丰富的想像力和深刻的洞察力，提出一系列重要的数学猜想。
费尔马小猜想 ：1640年，费尔马在研究质数性质时，发现了一个有趣的现象：
当n=1时， 2
• 当n=2时，22n +1=22+1=5； +1=22+1=17；
+1=22+1=257；
43212n • 当n=3时， 22n 22• 当n=4时，2+1=2+1=65537； n
• 猜测：只要n 是自然数， 22n +1一定是质数 1732年，欧拉进行了否定
p 费马小定理：如果P 是一个质数，那么对于任何自然数n ，n -n 一定能够被P 整除
• 这个猜想已证明是正确的，这个猜想被称为“费马小定理”
费马大定理：x +y =z ,(n > 2)无整数解（1637年）
● 1983年德国数学家G. 法尔廷斯证明：对于每一个大于2的指数n ，方程 xn+yn=zn 至多有有限多个解。赢得1986年的菲尔兹奖
● 1988年，日本数学家宫冈洋一宣布以微分几何的角度，证明了“费马最后定理”！ 不过，该证明后来被发现有重大而无法补救的缺陷，证明不成立！
怀尔斯 Andrew Wiles：英国人，出生于 1953 年
1995年5月，怀尔斯长一百页的证明，在杂志《数学年鉴》中发表
1996年怀尔斯获，美国国家科学院奖，菲尔兹特别奖
1997年怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖 n n n
三、哥德巴赫（Goldbach ）猜想
数学是自然科学的皇后；数论是皇后的王冠；“哥德巴赫猜想”则是皇后王冠上的明珠！ 中国数学家做出了最好的成绩；华罗庚、陈景润、王元、潘承洞…..
歌德巴赫的两个问题：
1. 每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；1+1
2. 每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。
1966年，中国的陈景润证明了 “1+2 ”
四、四色问题
● 四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F ．古
色利提出。
● 他在为一张英国地图着色时发现, 为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似
乎只需要四种颜色就够了。
● 但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请
教他的数学老师, 杰出的英国数学家德·摩根，希望帮助给出证明。
德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的, 至少要四种颜色。下图就
表明三种颜色是不够的。
解决方法：合理的退让——不得已而求其次加强命题的条件或者减弱命题
的结论
五、七大数学难题
千禧年大奖难题：千禧年大奖难题(Millennium Prize Problems), 又称世界七大数学难题， 是七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24
日公布的数学难题。根据克雷数学研究所订定的规则，所有难题的解答必须发表在数学期刊上，并经过各方验证，只要通过两年验证期，每解破一题的解答者，会颁发奖金1,000,000美元。 这些难题是呼应1900年德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎提出的23个历史性数学难题，经过一百年，许多难题已获得解答。而千禧年大奖难题的破解，极有可能为密码学以及航天、通讯等领域带来突破性进展。
● 庞加莱猜想； 黎曼猜想；戴尔猜想；纳维-斯托克斯方程求解； 杨-米尔斯场问题；
霍奇猜想； P对NP 问题
● “七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被科学家完全破解，中国科学家完
成“最后封顶”工作——中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东以一篇长达300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。
中国专家有望破解另一难题
• 丘成桐分析指出，剩余下的六大难题中，很多人攻关的黎曼假设还没有看到破解的
希望；引起很多著名数学家兴趣的霍奇猜想“进展不大”；和流体有关的纳威厄－斯托克斯方程“离解决也相差很远”；P 与NP 问题“没什么进展”；杨－米尔理论“太难，几乎没人做”。
• 丘成桐认为，和数论有关的波奇和斯温纳顿－戴雅猜想是最有希望破解的一个。他
透露，在这一领域，原本在国外取得一些进展的数论专家田野教授，最近已经回国到晨兴数学研究中心工作。“希望他能回来带动一下国内在这方面的工作。”
六、其它名题
• 古希腊：化圆为方、立方倍积问题、三等分角等
• 近现代：七桥问题、四色问题、牛吃草问题、、富兰克林遗嘱问题、哈密顿环游世
界问题等
• 中国：韩信暗点兵、百僧分百馒头问题等
七、例题：
例题1、由1+8+27+64=100你能猜想什么结论
例题2、计算111 1—222 2的值
2n 个n 个
例题3、 如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S 1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S 2，„„，第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和为S n 。猜想出S n 与n 的关系是 。
例题4、古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21, …叫做三角形数, 它有一定的规律性, 则第24个三角形数与第22个三角形数的差__________.若第n 个数记作a n ，猜想出a n 与n 的关系是