高中数学向量专题
学习目标
1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. 掌握向量的加法和减法. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
2. 掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式. 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
3. 了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.
向量是高中数学的新增内容，作为数形结合的有力工具，它的应用极其广泛，在复数、平几、解几、立几、物理等知识中均有涉及.
本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解决问题是本章特点的一个方面，向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造了条件. 通过本章学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.
知识点
1. 向量的定义
既有方向，又有大小的量叫做向量. 它一般用有向线段表示. 表示从点A 到B 的向量(即A 为起点，B 为终点的向量) ，也可以用字母a 、b 、c …等表示.(印刷用黑体a 、b 、c ，书写用、、注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).
2. 向量的模
所谓向量的大小，就是向量的长度(或称模) ，记作｜｜或者｜｜. 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
3. 零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用0表示. 0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向量的方向，因此向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定. 长度为1的向量称为单位向量.
4. 平行向量、共线向量
方向相同或相反的非零向量称为平行向量. 特别规定零向量与任一向量都平行. 因此，零向量与零向量也可以平行. 根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量. 例如与也是一对平行向量.
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量. 例如，若四边形ABCD 是平行四边形，则向量与是一组共线向量；向量与也是一组共线向量.
5. 相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作=. 零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 重点难点
通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.
例1 判断下列各命题是否正确
(1)若｜a ｜=｜b ｜，则a =b
(2)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则=是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件. (3)若=, =, 则= (4)两向量a 、b 相等的充要条件是
(5)｜｜=｜｜是向量=的必要不充分条件. (6) AB =的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.
解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. (2)正确. ∵=, ∴｜｜=｜｜且∥. 又A 、B 、C 、D 是不共线的四点.
∴四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形则，且与方向相同，因此
=.
(3)正确. ∵=
∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又∵=
∴，的长度相等且方向相同.
∴，的长度相等且方向相同，故 =
(4)不正确. 当∥, 但方向相反，即使｜｜=｜｜，也不能得到=
，故
不是=的充要条件. (5)正确. 这是因为| a
|=| b |
=, 但=⇒｜｜=｜｜, 所以｜｜=｜｜是 =的必要不充分条件.
(6)不正确. 这是因为AB =时，应有：｜AB ｜=｜｜及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有A 与C 重合、B 与D 重合.
说明：①针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向、相等的充要条件应是、的方向相同且模相等.
②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.
③结论(6)不正确，告诉我们平面向量与相等，并不要求它们有相同的起点与终点. 当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点. 则这时它们的终点必重合.
例2 如图所示，△ABC 中，三边长｜AB ｜、｜BC ｜、｜AC ｜均不相等，E 、F 、D 是AC ，AB ，BC 的中点
.
(1)写出与共线的向量. (2)写出与的模大小相等的向量. (3)写出与相等的向量.
解：(1)∵E 、F 分别是AC ，AB 的中点 ∴EF ∥BC
从而，与EF 共线的向量，包括：
，，，，，，.
(2)∵E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点 ∴EF=
11
BC,BD=DC= BC. 22
又∵AB 、BC 、AC 均不相等
从而，与EF 的模大小相等的向量是：FE 、BD 、DB 、、 (3)与EF 相等的向量，包括：DB 、CD .
例3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等.
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量，则一定不平行. (5)
解：(1)假命题，还可以方向相反；
(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等； (3)真命题，因为向量与起点位置无关；
(4)假命题，因为若, 方向相同，但只要｜｜≠｜｜，则≠. (5)真命题，任一非零向量：
例4 如图，已知：四边形ABCD 中，N 、M 分别是AD 、BC 的中点，又=
.
求证：=， 证明：∵=
∴｜AB ｜=｜DC ｜，且AB ∥DC. 从而，四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ，AD=BC
∵N 、M 分别是AD 、BC 的中点. ∴AN=
11
AD,MC=BC. 22
∴AN=MC. 又AN ∥MC ，
∴四边形AMCN 是平行四边形. 于是得：AM ∥NC ，｜AM ｜=｜NC ｜. 又由图可知：与的方向一致. ∴=MA
【难题巧解点拔】
例1 如图，已知四边形ABCD 是矩形，O 是两对角线AC 与BD 的交点，设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={｜任P ，Q ∈M ，且P 、Q 不重合}，试求集合T 的子集个数
.
分析：要确定向量为元素的集合T 有多少个子集，就需搞清楚集合T 中有多少个相异的向量.
解：以矩形ABCD 的四顶点及它的对角线交点O ，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：=、=; =、
=; 、；BD 、DB ；AD =、DA =; AB =、BA =. 它们中有12个向量是各不相等的.
故T 是一个12元集. 所以T 有2个子集.
说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性. 算出T 中的元素个数为12. 而不是20. 这样才能得到正确的结果.
12
例2 已知；如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合，E 、F 分别在AB 、AC 上，=
.
(1)求证：△BDE ∽△DCF.
(2)求当D 在什么位置时，四边形AEDF 的面积可以取到最大值? 证明：(1)∵DF =EA
∴DF ∥AE ，｜DF ｜=｜EA ｜.
从而，得：四边形AEDF 是平行四边形 ∴DE ∥AF ，｜DE ｜=｜AF ｜ 由DE ∥AF 可得：∠BDE=∠C 由DF ∥AE 可得：∠B=∠FDC ∴△BDE ∽△DCF
(2)设｜BC ｜=a,｜AC ｜=b,｜AB ｜=c,｜BD ｜=x,则｜DC ｜=a-x. ∵△BDE ∽△DCF. ∴
BD CD
=
BE DF
=
=
ED FC
从而，
BE x FC
DF a -x
，设比为k 1.
ED x
=
a -x
，设比为k 2.
由｜BE ｜+｜DF ｜=c,｜ED ｜+｜FC ｜=b. 可得：xk 1+(a-x)k1=c,∴k 1=xk 2+(a-x)k2=b,∴k 2=∴｜DF ｜=｜DE ｜=
c . a
b . a
c
(a-x) a
b x a
b
x ²sinA a
由点F 作FT ⊥AB ，垂足为T
由锐角三角函数，｜FT ｜=｜AF ｜sinA=∴S □AEDF =｜DF ｜²｜FT ｜=
=
c b
(a-x)²x ²sinA a a
bc 2
(ax-x)sinA a 2
bc a 2a 2bc =2［-(x-) ］sinA ≤sinA
24a 4
当且仅当x=
a
时，等号成立. 2
答：D 是BC 边的中点时，S □AEDF 取到最大值.
例3 如图A 1，A 2，…A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2…A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个? 模等于半径2倍的向量有多少个
?
分析：(1)由于A 1、A 2…A 8是⊙O 上的八个等分点，所以八边形A 1A 2…A 8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O 的半径不相等. 所以模等于半径的向量只可能是i 与A i (i=1,2,…，8) 两类.
(2)⊙O 内接正方形的边长是半径的2倍，所以我们应考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数. 解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是OA i (i=1,2，…，8) 共8个；另一类是A i (i=1,2,…,8) 也有8个，两类合计16个.
(2)以A 1，A 2，…，A 8为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一是正方形A 1A 3A 5A 7；另一个是正方形A 2A 4A 6A 8. 在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量) 的长度为半径的2倍. 所以模为半径2倍的向量共有4³2³2=16个.
说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算OA i 与A i O (i=1，2，…，8) 两类，一般我们易想到OA i (i=1,2,…，8) 这8个，而易遗漏A i O (i=1，2，…，8) 这8个.
(2)圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量. 例如边A 1A 3对应向量A 1A 3与A 2A 4. 因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算. 认为满足条件的向量个数为8是错误的.
【命题趋势分析】
本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.
【典型热点考题】
例1 给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等. 其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度. 因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题. 因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所
以(3)也是假命题.
∴选A.
例2 如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形
.
(1)与向量AB 相等的向量有 ；(2)若｜AB ｜=3，则向量EC 的模等于 .
分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得=且=，所以=. 于是E 、D 、C 三点共线，故｜｜=｜｜+｜｜=2｜｜=6.
答：(1) ，；(2)6 例3 下列命题中，正确的是( ) A. ｜｜=｜｜⇒= C. =⇒｜｜∥｜｜
B. ｜｜＞｜｜⇒＞ D. ｜｜=0⇒=0
解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A 、B ，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.
∴应排除D ，∴应选C.
例4 下列四个命题：①若｜｜=0,则=0；②若｜｜=｜｜, 则=或=-；③若与是平行向量，则｜
｜=｜｜；④若=，则-=正确命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：①是忽略了0与不同，由于｜｜=0⇒=, 但不能写成0；
②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同或相反；
③是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；
④正确，故选A.
强化练习： 一、选择题
1. 下列命题中的假命题是( )
A. 向量与的长度相等
B. 两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等
2. 如图，在圆O 中，向量，，是( ) A. 有相同起点的向量 B. 单位向量 C. 相等的向量 D. 模相等的向量
3. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，则其中共线向量有( ) A. 一组 B. 二组 C. 三组
D. 四组
4. 若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1；
b ，其中正确的有( ) A. ①④⑤
B. ③
C. ①②③⑤
D. ②③⑤
5. 四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是共线向量，则四边形ABCD( )
A. 是平行四边形 B. 是梯形
C. 是平行四边形或梯形 D. 不是平行四边形，也不是梯形
6. 把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A. 一条线段 B. 一个圆面 C. 圆上的一群弧立点 D. 一个圆
7. 若，是两个不平行的非零向量，并且∥, ∥，则向量等于( ) A.
B.
C.
D. 不存在
8. 命题p ：与是方向相同的非零向量，命题q: 与是两平行向量，则命题p 是命题q 的( ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件
二、判断题
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
1. 向量与是两平行向量.( )
2. 若是单位向量，也是单位向量，则=.( )
3. 长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.( ) 4. 与任一向量都平行的向量为向量.( )
5. 若=, 则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.( ) 6. 两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.( )
7. 设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍.( )
8. 已知四边形ABCD 是菱形，则｜｜=｜｜是菱形ABCD 为正方形的充要条件.( ) 9. 在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆.( ) 10. 凡模相等且平行的两向量均相等.( )
三、填空题
1. 已知，，为非零向量，且与不共线，若∥，则与必定 . 2. 已知｜｜=4,｜｜=8，∠AOB=60°，则｜｜= .
3. 如图，已知O 是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有 个
.
4. 如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量共线的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜｜= . 5. 已知四边形ABCD 中，=
四、解答题
1. 如图，在△ABC 中，已知：向量=, =, 求证：=
.
1
, 且｜｜=｜｜, 则四边形ABCD 的形状是2
2. 在直角坐标系中，将所有与y 轴共线的单位向量的起点移到x 轴上，其终点的集合构成什么图形?
【素质优化训练】
1. 已知、是任意两个向量，下列条件：①=; ②｜｜=｜｜; ③与的方向相反；④=或=; ⑤与b 都是单位向量. 其中，哪些是向量a 与b 共线的充分不必要条件 .
2. 已知ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，下列各式：①=; ②=; ③｜｜=｜｜; ④｜｜≠｜
｜; ⑤∥.
正确的式子的序号是 .
3. 不相等的向量和，有可能是平行向量吗? 若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出. 4. 下列各组量是不是向量? 如果是向量，说明这些向量之间有什么关系? (1)两个三角形的面积S 1，S 2；
(2)桌面上两个物体各自受到的重力F 1，F 2；
(3)某人向河对岸游泳的速度v 1与水流的速度v 2； (4)浮在水面上的物体受到的重力W 和水的浮力F.
【生活实际运用】
某人从A 点出发向西走了10米，到达B 点，然后改变方向按西偏北60°走了15米到达C 点，最后又向东走了10米到达D 点.
(1)作出向量AB 、、 (用1cm 长的线段表示10m 长) ； (2)求｜DA ｜. 解：
(1)
(2)显然=, 故｜｜=｜｜=15cm
【知识验证实验】
已知某轮船从S 岛沿北偏西30°的方向航行了45海里，请你用有向线段表示此轮船的位移
.
【知识探究学习】
一小球在30m 高处，以2m/s的速度水平抛出，请你用有向线段画出小球经过2S 后的水平位移，竖直位移，并计
2
算出实际位移的大小.(g=10m/s)
解：依题意：v 0=2m/s,t=2s
水平位移x=2³2=4m
竖直位移h=12gt =20m 2
实际位移大小是：｜｜
=42+202=426m
参考答案
【同步达纲练习】
一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A
二、1. √ 2.³ 3.³ 4.√ 5.³ 6.³ 7.√ 8.√ 9.√ 10.³
三、1. 不共线 2.43 3.12 4.①ED ，DC ，EC ，DE ，CD ，CE ，BA ②3 5.等腰梯形 四、1. 提示：证F 平分AC ，E 平分BC.
2. 平行于x 轴，且与x 轴的距离为1的两条直线
【素质优化训练】
1. ①③④ 2.②④⑤
3. 有三种情况：(1)两个向量和中有一个是零向量，另一个是非零向量；
(2)向量a ，b 为模不相等，方向相同的两个非零向量；
(3)向量，为非零向量且方向相反
4.(1)不是向量 (2)是向量，它们是方向相同的向量 (3)是向量，不共线 (4)模相等方向相反的向量
高中数学向量专题
学习目标
1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. 掌握向量的加法和减法. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
2. 掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式. 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
3. 了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.
向量是高中数学的新增内容，作为数形结合的有力工具，它的应用极其广泛，在复数、平几、解几、立几、物理等知识中均有涉及.
本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解决问题是本章特点的一个方面，向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造了条件. 通过本章学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.
知识点
1. 向量的定义
既有方向，又有大小的量叫做向量. 它一般用有向线段表示. 表示从点A 到B 的向量(即A 为起点，B 为终点的向量) ，也可以用字母a 、b 、c …等表示.(印刷用黑体a 、b 、c ，书写用、、注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).
2. 向量的模
所谓向量的大小，就是向量的长度(或称模) ，记作｜｜或者｜｜. 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
3. 零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用0表示. 0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向量的方向，因此向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定. 长度为1的向量称为单位向量.
4. 平行向量、共线向量
方向相同或相反的非零向量称为平行向量. 特别规定零向量与任一向量都平行. 因此，零向量与零向量也可以平行. 根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量. 例如与也是一对平行向量.
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量. 例如，若四边形ABCD 是平行四边形，则向量与是一组共线向量；向量与也是一组共线向量.
5. 相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作=. 零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 重点难点
通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.
例1 判断下列各命题是否正确
(1)若｜a ｜=｜b ｜，则a =b
(2)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则=是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件. (3)若=, =, 则= (4)两向量a 、b 相等的充要条件是
(5)｜｜=｜｜是向量=的必要不充分条件. (6) AB =的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.
解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. (2)正确. ∵=, ∴｜｜=｜｜且∥. 又A 、B 、C 、D 是不共线的四点.
∴四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形则，且与方向相同，因此
=.
(3)正确. ∵=
∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又∵=
∴，的长度相等且方向相同.
∴，的长度相等且方向相同，故 =
(4)不正确. 当∥, 但方向相反，即使｜｜=｜｜，也不能得到=
，故
不是=的充要条件. (5)正确. 这是因为| a
|=| b |
=, 但=⇒｜｜=｜｜, 所以｜｜=｜｜是 =的必要不充分条件.
(6)不正确. 这是因为AB =时，应有：｜AB ｜=｜｜及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有A 与C 重合、B 与D 重合.
说明：①针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向、相等的充要条件应是、的方向相同且模相等.
②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.
③结论(6)不正确，告诉我们平面向量与相等，并不要求它们有相同的起点与终点. 当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点. 则这时它们的终点必重合.
例2 如图所示，△ABC 中，三边长｜AB ｜、｜BC ｜、｜AC ｜均不相等，E 、F 、D 是AC ，AB ，BC 的中点
.
(1)写出与共线的向量. (2)写出与的模大小相等的向量. (3)写出与相等的向量.
解：(1)∵E 、F 分别是AC ，AB 的中点 ∴EF ∥BC
从而，与EF 共线的向量，包括：
，，，，，，.
(2)∵E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点 ∴EF=
11
BC,BD=DC= BC. 22
又∵AB 、BC 、AC 均不相等
从而，与EF 的模大小相等的向量是：FE 、BD 、DB 、、 (3)与EF 相等的向量，包括：DB 、CD .
例3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等.
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量，则一定不平行. (5)
解：(1)假命题，还可以方向相反；
(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等； (3)真命题，因为向量与起点位置无关；
(4)假命题，因为若, 方向相同，但只要｜｜≠｜｜，则≠. (5)真命题，任一非零向量：
例4 如图，已知：四边形ABCD 中，N 、M 分别是AD 、BC 的中点，又=
.
求证：=， 证明：∵=
∴｜AB ｜=｜DC ｜，且AB ∥DC. 从而，四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ，AD=BC
∵N 、M 分别是AD 、BC 的中点. ∴AN=
11
AD,MC=BC. 22
∴AN=MC. 又AN ∥MC ，
∴四边形AMCN 是平行四边形. 于是得：AM ∥NC ，｜AM ｜=｜NC ｜. 又由图可知：与的方向一致. ∴=MA
【难题巧解点拔】
例1 如图，已知四边形ABCD 是矩形，O 是两对角线AC 与BD 的交点，设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={｜任P ，Q ∈M ，且P 、Q 不重合}，试求集合T 的子集个数
.
分析：要确定向量为元素的集合T 有多少个子集，就需搞清楚集合T 中有多少个相异的向量.
解：以矩形ABCD 的四顶点及它的对角线交点O ，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：=、=; =、
=; 、；BD 、DB ；AD =、DA =; AB =、BA =. 它们中有12个向量是各不相等的.
故T 是一个12元集. 所以T 有2个子集.
说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性. 算出T 中的元素个数为12. 而不是20. 这样才能得到正确的结果.
12
例2 已知；如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合，E 、F 分别在AB 、AC 上，=
.
(1)求证：△BDE ∽△DCF.
(2)求当D 在什么位置时，四边形AEDF 的面积可以取到最大值? 证明：(1)∵DF =EA
∴DF ∥AE ，｜DF ｜=｜EA ｜.
从而，得：四边形AEDF 是平行四边形 ∴DE ∥AF ，｜DE ｜=｜AF ｜ 由DE ∥AF 可得：∠BDE=∠C 由DF ∥AE 可得：∠B=∠FDC ∴△BDE ∽△DCF
(2)设｜BC ｜=a,｜AC ｜=b,｜AB ｜=c,｜BD ｜=x,则｜DC ｜=a-x. ∵△BDE ∽△DCF. ∴
BD CD
=
BE DF
=
=
ED FC
从而，
BE x FC
DF a -x
，设比为k 1.
ED x
=
a -x
，设比为k 2.
由｜BE ｜+｜DF ｜=c,｜ED ｜+｜FC ｜=b. 可得：xk 1+(a-x)k1=c,∴k 1=xk 2+(a-x)k2=b,∴k 2=∴｜DF ｜=｜DE ｜=
c . a
b . a
c
(a-x) a
b x a
b
x ²sinA a
由点F 作FT ⊥AB ，垂足为T
由锐角三角函数，｜FT ｜=｜AF ｜sinA=∴S □AEDF =｜DF ｜²｜FT ｜=
=
c b
(a-x)²x ²sinA a a
bc 2
(ax-x)sinA a 2
bc a 2a 2bc =2［-(x-) ］sinA ≤sinA
24a 4
当且仅当x=
a
时，等号成立. 2
答：D 是BC 边的中点时，S □AEDF 取到最大值.
例3 如图A 1，A 2，…A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2…A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个? 模等于半径2倍的向量有多少个
?
分析：(1)由于A 1、A 2…A 8是⊙O 上的八个等分点，所以八边形A 1A 2…A 8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O 的半径不相等. 所以模等于半径的向量只可能是i 与A i (i=1,2,…，8) 两类.
(2)⊙O 内接正方形的边长是半径的2倍，所以我们应考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数. 解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是OA i (i=1,2，…，8) 共8个；另一类是A i (i=1,2,…,8) 也有8个，两类合计16个.
(2)以A 1，A 2，…，A 8为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一是正方形A 1A 3A 5A 7；另一个是正方形A 2A 4A 6A 8. 在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量) 的长度为半径的2倍. 所以模为半径2倍的向量共有4³2³2=16个.
说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算OA i 与A i O (i=1，2，…，8) 两类，一般我们易想到OA i (i=1,2,…，8) 这8个，而易遗漏A i O (i=1，2，…，8) 这8个.
(2)圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量. 例如边A 1A 3对应向量A 1A 3与A 2A 4. 因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算. 认为满足条件的向量个数为8是错误的.
【命题趋势分析】
本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.
【典型热点考题】
例1 给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等. 其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度. 因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题. 因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所
以(3)也是假命题.
∴选A.
例2 如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形
.
(1)与向量AB 相等的向量有 ；(2)若｜AB ｜=3，则向量EC 的模等于 .
分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得=且=，所以=. 于是E 、D 、C 三点共线，故｜｜=｜｜+｜｜=2｜｜=6.
答：(1) ，；(2)6 例3 下列命题中，正确的是( ) A. ｜｜=｜｜⇒= C. =⇒｜｜∥｜｜
B. ｜｜＞｜｜⇒＞ D. ｜｜=0⇒=0
解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A 、B ，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.
∴应排除D ，∴应选C.
例4 下列四个命题：①若｜｜=0,则=0；②若｜｜=｜｜, 则=或=-；③若与是平行向量，则｜
｜=｜｜；④若=，则-=正确命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：①是忽略了0与不同，由于｜｜=0⇒=, 但不能写成0；
②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同或相反；
③是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；
④正确，故选A.
强化练习： 一、选择题
1. 下列命题中的假命题是( )
A. 向量与的长度相等
B. 两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等
2. 如图，在圆O 中，向量，，是( ) A. 有相同起点的向量 B. 单位向量 C. 相等的向量 D. 模相等的向量
3. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，则其中共线向量有( ) A. 一组 B. 二组 C. 三组
D. 四组
4. 若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1；
b ，其中正确的有( ) A. ①④⑤
B. ③
C. ①②③⑤
D. ②③⑤
5. 四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是共线向量，则四边形ABCD( )
A. 是平行四边形 B. 是梯形
C. 是平行四边形或梯形 D. 不是平行四边形，也不是梯形
6. 把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A. 一条线段 B. 一个圆面 C. 圆上的一群弧立点 D. 一个圆
7. 若，是两个不平行的非零向量，并且∥, ∥，则向量等于( ) A.
B.
C.
D. 不存在
8. 命题p ：与是方向相同的非零向量，命题q: 与是两平行向量，则命题p 是命题q 的( ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件
二、判断题
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
1. 向量与是两平行向量.( )
2. 若是单位向量，也是单位向量，则=.( )
3. 长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.( ) 4. 与任一向量都平行的向量为向量.( )
5. 若=, 则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.( ) 6. 两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.( )
7. 设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍.( )
8. 已知四边形ABCD 是菱形，则｜｜=｜｜是菱形ABCD 为正方形的充要条件.( ) 9. 在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆.( ) 10. 凡模相等且平行的两向量均相等.( )
三、填空题
1. 已知，，为非零向量，且与不共线，若∥，则与必定 . 2. 已知｜｜=4,｜｜=8，∠AOB=60°，则｜｜= .
3. 如图，已知O 是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有 个
.
4. 如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量共线的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜｜= . 5. 已知四边形ABCD 中，=
四、解答题
1. 如图，在△ABC 中，已知：向量=, =, 求证：=
.
1
, 且｜｜=｜｜, 则四边形ABCD 的形状是2
2. 在直角坐标系中，将所有与y 轴共线的单位向量的起点移到x 轴上，其终点的集合构成什么图形?
【素质优化训练】
1. 已知、是任意两个向量，下列条件：①=; ②｜｜=｜｜; ③与的方向相反；④=或=; ⑤与b 都是单位向量. 其中，哪些是向量a 与b 共线的充分不必要条件 .
2. 已知ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，下列各式：①=; ②=; ③｜｜=｜｜; ④｜｜≠｜
｜; ⑤∥.
正确的式子的序号是 .
3. 不相等的向量和，有可能是平行向量吗? 若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出. 4. 下列各组量是不是向量? 如果是向量，说明这些向量之间有什么关系? (1)两个三角形的面积S 1，S 2；
(2)桌面上两个物体各自受到的重力F 1，F 2；
(3)某人向河对岸游泳的速度v 1与水流的速度v 2； (4)浮在水面上的物体受到的重力W 和水的浮力F.
【生活实际运用】
某人从A 点出发向西走了10米，到达B 点，然后改变方向按西偏北60°走了15米到达C 点，最后又向东走了10米到达D 点.
(1)作出向量AB 、、 (用1cm 长的线段表示10m 长) ； (2)求｜DA ｜. 解：
(1)
(2)显然=, 故｜｜=｜｜=15cm
【知识验证实验】
已知某轮船从S 岛沿北偏西30°的方向航行了45海里，请你用有向线段表示此轮船的位移
.
【知识探究学习】
一小球在30m 高处，以2m/s的速度水平抛出，请你用有向线段画出小球经过2S 后的水平位移，竖直位移，并计
2
算出实际位移的大小.(g=10m/s)
解：依题意：v 0=2m/s,t=2s
水平位移x=2³2=4m
竖直位移h=12gt =20m 2
实际位移大小是：｜｜
=42+202=426m
参考答案
【同步达纲练习】
一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A
二、1. √ 2.³ 3.³ 4.√ 5.³ 6.³ 7.√ 8.√ 9.√ 10.³
三、1. 不共线 2.43 3.12 4.①ED ，DC ，EC ，DE ，CD ，CE ，BA ②3 5.等腰梯形 四、1. 提示：证F 平分AC ，E 平分BC.
2. 平行于x 轴，且与x 轴的距离为1的两条直线
【素质优化训练】
1. ①③④ 2.②④⑤
3. 有三种情况：(1)两个向量和中有一个是零向量，另一个是非零向量；
(2)向量a ，b 为模不相等，方向相同的两个非零向量；
(3)向量，为非零向量且方向相反
4.(1)不是向量 (2)是向量，它们是方向相同的向量 (3)是向量，不共线 (4)模相等方向相反的向量