目录
前 言 . .................................................................................................................................................... 4 1. 克莱姆法则的定义 . ............................................................................................................... 4 2. 克莱姆法则的证明 . ............................................................................................................... 4
2.1 克莱姆法则的一般证明方法 ....................................... 4 2.2克莱姆法则的简易证明 ............................................ 9 2.3克莱姆法则的一个新证明 ......................... 错误！未定义书签。
3. 克莱姆法则的应用 . ............................................................................. 错误！未定义书签。
3.1 三维相对论欧拉方程组的洛仑兹不变性
———克莱姆法则的应用 ............................ 错误！未定义书签。 3.2 关于相容线性方程组的广义克莱姆法则
.................................................. 错误！未定义书签。
结论 .................................................................................................................................................. 26 参考文献 . .......................................................................................................................................... 27
摘要
克莱姆法则是高等代数中的重要内容. 本文首先介绍了克莱姆法则的定义，接着给出了克莱姆法则的证明，比如克莱姆法则的一般证明方法，简易证明以及有关它的新的证明方法，最后介绍了有关克莱姆法则在实际中的应用，比如三位相对论欧拉方程组的洛伦兹不变性和关于相容性线性方程组的广义克莱姆法则等.
关键词：克莱姆法则；定义；证明；应用；广义克莱姆法则
Abstract
Cramer law is an important content in the advanced algebra.This paper firstly introduces the definition of law cramer.Then gives cramer law proof,such as the laws of cramer general ways to prove, simple and easy proof and the relevant new ways to prove it.At last, the paper introduces the relevant cramer law in real application, such as three relativity euler equations of lorenz invariance and compatibility of linear equations about generalized cramer law, etc.
Key words: cramer law；Definition ；Proof ；Application ；General cramer law
克莱姆法则及其应用
前 言
克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cram er,Gabriel,1704-1752）, 瑞士数学家。生于瑞士，卒于法国。在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识
若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n =b 1
⎪a x +a x + +a =b ⎪2212222n 2⎨
⎪
⎪⎩a n 1+a n 2+ +a nn =b n
1-1）
其系数构成的行列式
D =
a 11
a 21
a 12a 22
a 1n a 2n
a n 1a n 2
a nn
称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义
克莱姆法则（Cram er Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1) 当它的系数行列式D ≠0时，有且仅有一个解：
x 1=
D 1D
, x 2=
D D 2
, , x n =n . D D （1-2）
其中
D J
b , b , , b n
是将D 的第j 列换成常数项12而其余列不变的行列式。即
a 1, j +1 a 1n
a 2, j +1 a 2n a n , j +1 a nn
a 11 a 1, j -1b 1a 21 a 2, j -1b 2
D j =
a n 1 a n , j -1b n
=b 1A 1j +b 2A 2j + +b n A nj ,(j =1,2, n ).
2. 克莱姆法则的证明方法
克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是 2.1克莱姆法则的一般证明方法 2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法
在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不加赘述，现在就用一般方法来证明克莱姆法则。
证 首先，证明（1-2）式确实是方程组（1-1）的解：把
代入（1-1）中第一个方程，得
x j =
D j D
,(j =1, 2, , n )
a 11
D D 1D 1
+a 122+ +a 1n n =(a 11D 1+a 12D 2+ +a 1n D n ) D D D D
1
[a 11(b 1A 11+b 2A 21+ b n A n 1) +a 12(b 1A 12+b 2A 22+ b n A n 2) + +a 1n (b 1A 1n +b 2A 2n + b n A nn ) ]D 1=⎡b 1(a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )+b 2(a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )+ +b n (a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )⎤⎦D ⎣1
=[b 1D +b 2⋅0+ +b n ⋅0]=b 1
D =
⎡a 11(b 1A 11+b 2A 21+ b n A n 1) ⎤1⎥=⎢+a (b A +b A + b A ) + 12112222n n 2⎥D ⎢⎢⎥⎣+a 1n (b 1A 1n +b 2A 2n + b n A nn ) ⎦⎡b 1(a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )⎤
⎥1⎢
=⎢+b 2(a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )+ ⎥D ⎢⎥⎣+b n (a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )⎦=
1
[b 1D +b 2⋅0+ +b n ⋅0]=b 1D
这就是说，（1-2）式满满足方程组（1-1）中的第一个方程。同理可证（1-2）式也满足方程组（1-1）中其余n-1个方程。因此，(1-2)式确为方程组（1-1）的解。
其次，设
x 1=k 1, x 2=k 2, , x n =k n
是方程组（1-1）的任意解，将其代入方程组
a , a , , a nj （1-1）得n 个恒等式，再用D 的第j 列元素1j 2j 的代数余子式A 1J , A 2J , , A nj
依次乘所得的n 个恒等式的两端再相加，得
A 1j :a 11k 1+a 12k 2+ +a 1j k j + +a 1n k n =b 1, A 2j :a 21k 1+a 22k 2+ +a 2j k j + +a 2n k n =b 2
A nj :a n 1k 1+a n 2k 2+ +a nj k j + +a nn k n =b n , 0k 1+0k 2+ +Dk j + +a nn k n =D j ,
即 由D ≠0, 知
k j =
D j D
Dk j =D j , j =1,2, , n .
, j =1, 2, , n .
这就是说，如果
(k 1, k 2, , k n )是方程组（1-1）的一个解，则
k j =
D j D
, (j =1, 2, , n ).
即方程组只有一个解。
2.1.2 克莱姆法则的一般证明方法的应用 例1 解线性方程组
⎧3x 1⎪x ⎪1⎨⎪2x 1⎪⎩x 1
+
-++
x 2x 2x 2
-x 3+x 3+2x 3
2x 3
++-=+
x 4x 4x 4x 4
=-3, =4, =7, =6.
aaa
解 由于方程组的系数行列式
31-111-112D ==-13≠0,
212-11021
故由Cram er法则知此方程有唯一解，又因为
-31-11
4-112D 1==-13≠0,
712-16021
3-3-111412D 2==26,
272-1621 31-311-142D 3==-39,
217-11061 31-1-31-114D 4==13,
21271026
所以方程的唯一解是：
x 1=
D D 1D D
=1, x 2=2=-2, x 3=3=13, x 4=4=-1. D D D D
在线性方程组中，有一种特殊而重要的方程组，即常数项为零的方程组：
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0, ⎪a x +a x + +a x =0, ⎪2112222n n ⎨
⎪
⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =0.
x 1=0, x 2=0, , x n =0, 称其为零解。称此为其次线性方程组。这种方程组显然有解：其次线性方程组若有其他的解，即x i 不全为零的解，成为非零解。
对于方程个数与为质量的个数相同的其次线性方程组，利用Cram er法则，有
定理 若其次线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0,
⎪a x +a x + +a x =0, ⎪2112222n n ⎨
⎪
⎪a x +a x + +a nn x n =0. ⎩n 11n 22 （1-3）
的系数行列式
D =a ij ≠0,
则方程组（1-3）有唯一零解。
证 因为D =0, 故由Cramer 法则知，方程组（1-3）有唯一解。但零显然是其解，从而方程组（1-3）只有零解。
例2 如果n 阶行列式D =0, ，而D 中元素线性方程组（1-3）必有非零解。
证 因为D =0, ，故D 的每一行元素的代数余子式都是方程组（1-3）的解。又
a ij
的代数余子式
A ij ≠0
，则其次
A ij ≠0
，故方程组（1-3）必有非零解。
2.2 克莱姆法则的一个简易证明
在线性代数教学中, 一般是通过解二元和三元线性方程组引入行列式; 又为了完整和扣题, 是通过介绍克莱姆法则结束行列式教学的, 尽管在后面我们可以用逆阵的理论轻松地得到克莱姆法则. 由于此时, 我们还没有建立完整的线性方程组解的理论, 故一般我们是分解的存在性和唯一性两部分来证明克莱姆法则, 结果是讲的费劲, 学的迷惑. 特别是, 此刻只能指出(方程与未知数个数相同的) 齐次方程的系数行列式为零是此方程组有非零解的必要条件, 很难说明充分性也成立. 在本文中, 我们用消元法轻松、自然地给出一个有关线性方程组的基本引理. 用此引理, 我们又可以轻松地证明克莱姆法则及齐次方程组有非零解的充要
条件. 虽然我们多加了一个引理, 但此引理突显的是消元法, 而这也是线性代数中理应强调的.
引理 线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪
⎪a x +a 22x 2+ +a 2n x n =b 2
(a) ⎨211
⎪
⎪a x +a x + +a x =b
n 22nn n n ⎩n 11
可以通过消元变换变为同方程组
⎧b 11x 1+b 12x 2+ +b 1n x n =c 1
⎪
⎪ b 22x 2+ +b 2n x n =c 2
(b) ⎨.
⎪⎪⎩ b nn x n =c n
证明 首先, 通过消元法我们证明方程组(a)可化为下列形式的同解方程组
⎧b 11x 1+b 12x 2+ +b 1n x n =c 1⎪
b 22x 2+ +b 2n x n =c 2⎪
(c) ⎨.
⎪⎪b n 2x 2+ +b nn x n =c n ⎩
(1) 若a 11≠0, 用-11乘第1个方程加到第i 方程上, 方程组(a)就可以化为方
a
程组(c)的形式;
(2) 若a 11=0, 但某个a i 1≠0(i >1) , 则先将第i 个方程加到第1个方程上, 再进行按上面的方法进行;
(3) 若a 11= =a n 1=0, 结论成立.
对于方程组(c)的后n -1个方程再进行同样的处理即知本引理成立.
(a)D =|a ij |n ≠0,
D 1D D
, x 2=2, , x n =n , D D D
这里D i 是将D 中的第i 列a 1i , , a ni 换成b 1, , b n 得到的行列式.
x 1=
证明 由上述引理, 方程组(a)与(b)同解, 且它们的系数行列式相等, 即
b 11 b nn =D ≠0. 再对方程组(b)从下向上逐步消元知, 方程组(a)与
⎧a 1x 1 =d 1⎪
⎪ a 2x 2 =d 2
(c) ⎨
⎪⎪⎩ a n x n =d n
同解, 且D =a 1 a n ≠0. 再由行列式的性质, 我们还有
d 1
d D 1=2
d n
a 1
a 2
a n
=d 1a 2 a n , D 2=
d 1d 2
=a 1d 2 a n ,
d n a n
......,
a 1
d 1
=a 1 a n -1d n . d n -1d n
D n =
a n -1
于是
d D d D d D x 1=1=1, x 2=2=2, , x n =n =n . n 12定理 其次线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0
⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =0
(d) ⎨
⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =0
有非零解⇔系数行列式|a ij |n =0.
证明 (⇒) 设齐次方程组(d)有非零解, 我们用反证法来证实|a ij |n =0. 假设
|a ij |n ≠0, 由克莱姆法则知此方程组有唯一一组解; 又因为齐次方程组一定有零解,
故方程组(d)无非零解. 这与开始的假设矛盾.
(⇐) 此时, 以|a ij |n =0为已知条件, 来证明方程组(5)有非零解. 由引理知,
方程组(d)与方程组
⎧b 11x 1+b 12x 2+ +b 1n x n =0⎪
⎪ b 22x 2+ +b 2n x n =0
(e) ⎨
⎪
⎪ b x =0
nn n ⎩
同解, 且b 11 b nn =|a ij |n =0. 此刻, 至少有一个b ii =0. 设b 11, , b nn 中第一个为0
的是b kk . 现在, 取x k =1, x k +1= =x n =0代入方程组(e), 方程组(e)化为
⎧b 11x 1+b 12x 2+ +b 1, k -1x k -1=d 1⎪⎪ b 22x 2+ +b 2, k -1x k -1=d 2
. (f) ⎨
⎪⎪⎩ b k -1, k -1x k -1=d k -1
此时, 方程组(f)的系数行列式等于b 11 b k -1, k -1≠0. 由克莱姆法则, 此方程组有唯一一组解. 此解与x k =1, x k +1= =x n =0拼起来就是方程组(d)的一组非零解.
2.3 克莱姆法则的一个新证明
克莱姆法则是线性代数的一个基本定理，本文用一种简洁的的方法对该定理
给出了一种新的证。
克莱姆法则的定义已在1.1中学过，设含有n 个未知量n 个方程的
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n =b 1
⎪a x +a x + +a =b ⎪2212222n 2⎨
⎪
⎪⎩a n 1+a n 2+ +a nn =b n
其中各
a ij
为系数，各b i 为常数项，各x l 为未知量。用A E 1表示方程组
(E 1)的系
'
A det (A E 1)[b 数矩阵，表示系数矩阵的行列式值。用i , (E 1)表示用列向量1
b 2 b n ]
det A (Ei )≠0替换A E 1的第j 列得到的方阵。如果，则线性方程组有唯一的解向量如
⎡det A 1, (E 1)det A 2, (E 1)det A n , (E 1)⎤
, , , ⎢⎥'
det A det A det A ⎢(E 1)(E 1)(E 1)⎥⎦。 下：⎣
证明 由于步变成
det A (Ei )≠0
，知A E 1可逆，故可以经过有限次初等变换把A E 1逐
A (E 2), A (E 3), , A (Em )
（单位矩阵）。
对线性方程组
(E 1)一次做这些行初等变换，则线型方程组依次变成
A (E 2), A (E 3), , A (Em )
。由于
A (Em )=I
，可知
(Em )具有以下形式：
⎧x 1=c 1, ⎪x =c , 22
(Em ):⎪⎨
⎪ ⎪⎩x n =c n ,
一方面，这些线性方程组都是同解的，而显然
(Em )存在唯一的解向量
[c 1c 2 c 1=n ]'
。另一方面，对任意正整数t ，有
det A (Et +1)
⎧-det A (Et ), ⎪⎪
=⎨det A (Et ), ⎪⎪⎩k ⋅det A (Et ),
其中依次是做了如下的变换： （1）如果对（2）如果对
(Et )做了换行变换而变成(Et +1)， (Et )做了行消法变换而变成(Et +1)，
(Et )的某一个方程两端同乘以k 倍而变(Et +1)，
det A i , (Et +1)
⎧-det A i , (Et ), ⎪⎪
=⎨det A i , (Et ), ⎪⎪⎩k ⋅det A i , (Et ),
（3）（3) 如果对
其中依次做了如下变换： （1）如果对（2）如果对（3）如果对
(Et )做了换行变换而变成(Et +1)， (Et )做了行消法变换而变成(Et +1)，
(Et )的某一个方程两端同乘以k 倍而变(Et +1)，
det A i , (Et +1)det A (Et +1)
=det A i , (Et )det A (Et )
.
因此，对任意正整数t ，及任意i ，恒有以下各等式成立：意到
注
A i , (Em )
c 1⎡1
⎢1c 2⎢⎢ ⎢
1
=⎢⎢c i ⎢
⎢
⎢ ⎢
c n ⎢⎣A (Em )=I n ⨯n
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥, ⎥⎥
1⎥ ⎥
⎥1⎥⎦
det A (Em )=1
知∀i ，有方
det A i , (Em )=c i
，而为单位矩阵，故有因此，原线性
(EI )存在唯一的解向量为
[c 1, c 2, , c n , ]'
c ⎤c ⎡c
=⎢1, 2, , n ⎥'
11⎦⎣1
⎡det A 1, (Em )det A 2, (Em )det A n , (Em )⎤=⎢, , , , ⎥' det A det A det A ⎢(Em )(Em )(Em )⎥⎣⎦⎡det A 1, (E 1)det A 2, (E 1)det A n , (E 1)⎤=⎢, , , , ⎥' det A det A det A ⎢(E 1)(E 1)(E 1)⎥⎣⎦。
3 克莱姆法则的应用
3.1三维相对论欧拉方程组的洛伦兹不变性——克莱姆法则的应用
介绍有关三维相对论欧拉方程组的一个性质，即该方程组保持洛伦兹不变性。在证明的过程中，克莱姆法则起到了重要的作用，另一些向量运算的技巧也是必须的。
3.11简介
我们考虑4维闵科夫斯基时空中的相对论欧拉方程组，
∂αβ
T =0,(α, β=0, ,3) β∂x （1）
∂
(nu α) =0,(α, β=0, ,3) αβ2ααβαT =(p +qc ) u u β+pg ∂x 式中：表示能量张量；
g αβ表示平直的闵科夫斯基时空的度量，且g αβ=diag (-1,1,1,1) ，并且x 0=ct ，同时
p =n (1+
e ) 2
c ， （2）
是质能密度，n , e , c 分别表示粒子数，静止能量以及光速。p 表示压力；
1dx α
u =
c d t ，这里t 是固有的时间间隔，并且有 u α(α=0, ,3) 表示四维速度且
α
(u ) -∑(u i ) 2=1
02
i =1
3
(3)
令
v =
v 2=v
2
（4）
很容易得到三维相对论欧拉方程组的方程模型见参考文献[1-4]。
⎧⎛⎫⎛⎫⎪+∇x ∙=0, ∂1⎪⎪
222
⎪⎛⎫⎛⎫p c +p p c +p )()(⎪
v ⎪+∇x ∙ v ⊗v ⎪=0, ⎨∂1 2222
⎪ ⎪1-v c ⎪⎝1-v c ⎭⎝⎭⎪
⎛(p c 2+p )⎫⎪⎛p c 2+p p ⎫
-2⎪+∇x ∙ v ⎪=0, ⎪∂1 2222
⎪c ⎭1-v c ⎝1-v c ⎪⎝⎭⎩ （5）
式中：∇x ∙表示关于空间变量
x =(x 1, x 2, x 3)
求散度。上述方程中第一个方程表示
粒子数守恒方程，第二个方程表示动量守恒方程，（因为速度为向量，它其实包括三个方程），第三个方程为能量守恒方程。
关于上述方程组的一维情形，文献[5]中证明了极端相对论整体熵解的极限问题，文献[6]证明了其等熵子系统整体熵解的极限问题。对于三维情形，大多是球对称方面的结果，例如[7~12]。同时有关方程组( 5) 局部经典解的存在性和奇异性结果见参考文献[13~16]。并且文献[17]还从数学上揭示了方程组( 5) 的特殊相对论效应问题。
方程组( 5) 的保持洛仑兹不变性是相对论欧拉方程组的重要性质，但是在以往的工作中，只是运用这一结果，很少从理论上对其进行严格的证明，尤其对更有物理意义的三维相对论欧拉方程组而言运算比较复杂，在本文中，我们将对其
进行严格的数学证明。
3.12 方程组( 5) 保持洛伦兹变换不变性
命题1 系统( 5) 在下述洛伦兹变换下保持不变性。在证明该引理之前，首先讨论如下的洛伦兹变换。我们考虑从坐标系 K 到另外一个坐标系 K—的变换，并且坐标系 K—相对于坐标系 K 作速度为V = ( 1，V2，V3) 的运动，相应的坐标( t，x) 和( t—，x —) 应该满足下面的公式
⎧⎛V ∙x ⎫
t =w t -2⎪, ⎪c ⎭⎪⎝
⎨
⎪x =-w Vt +⎛I +w -1V ⊗V
⎪V 2⎝⎩
()
⎫
⎪x ⎭
(6)
w =
V 2=2
这里。
根据式( 6) ，得到两个坐标系K 和K 下粒子的运动速度分别为
v =
d x dx
v =
dt (7)dt 和
即
⎛-1(1-w -1) V ⊗V 1
v =(-V + w I +2
1-V ∙v c 2v ⎝
-1
⎫
⎪v ) ⎪
⎭ (8)
-11(1-w )
=(-V +w v +(V ∙v )V ) 221-V ∙v c v
这里，∙表示两个向量的点乘。
利用克莱姆法则，可以从式( 6) 中反解出来(t , x ) ，其中
t -w -
w c 2V 1c 2V 2-
w c 2V 3x w -1
w -1
11+w -12
V 2V 1V 2
VV 12V 2VV 13x w -1
w -1
2V 2VV 121+w -12
V 2V 2V 2V 2V 3x w -1
w -1
t =
3V
2VV 13V
2V 3V 21+w -12
V 2V 3w -w c 2V 1-w c 2V 2-w c 2V 3-w V w -1
w -1
11+w -12
V 2V 1V 2VV 12V 2VV 13-w V w -1
2V 2VV 121+w -12
w -1
V 2V 2V 2V 2V 3-w V w -1
w -1
3
V 2
VV 13V 2
V 3V 21+w -1V 2V 2
3 为简单起见，记
w -
w c 2V 1-w c 2V 2-w
c 2V 3-w V 1
1+w -12w -1w -1L =
V 2V 1V 2VV 12V 2VV 13
-w V w -12V 2VV w -12121+V 2V w -1
2V 2V 2V 3-w V w -1w -1w -3
V 2VV 13V 2V 3V 21+1V 2
V 2
3(10)
经过计算，可得 L =1。 所以，可以解得
w
t -
w c 2V w 2-c 2V 3-w V 1x w -11x =
1
V 2VV w -1
12V 2VV 131L
-w V 2x 21+w -12w -1V 2V 2V 2
V 2V 3
-w V w -13
x 3
V 2V 3V w -12
21+V 2V 3 (9)(11)
w
1x 2=
L
-w V 1-w V 2-w V 3
w V 1c 2w -11+2V 12
V w -1
VV 12V 2w -1
VV 132V -
t x 1x 2x 3
w c 2w -1
VV 13V 2w -1
V 2V 3V 2
w -11+2V 32
V (12)
-
w
-
w c 2V 1-w c 2V 2t -w V 11+w -12w -1x 1x 1
V 2V 1V 2VV 12
3=
L
-w V w -12V 2VV 121+w -1V 2V 2
2x 2-w V w -13
V 2VV w -1
13V 2V 2V 3x 3
因此，有
⎧⎪
⎪t =w ⎛ Vx ⎫⎨
⎝t +c 2⎪⎭, ⎪x =w V t +⎛I +(⎫
⎪⎩
⎝w -1) V ⊗V
V 2⎪⎭
x (14)
同样地，从(7)式和(14)式 可以得到
v =
11+V ∙c
2
⨯(V +(w -1) V ⊗V
V 2) x (15)
在以上各个式子的基础上，有如下的式子成立
v ∙V =
V 2+v ∙V
1+v ∙V 2 (13)(16)
1-
v ∙V w
=c 21+v ∙V 2 (17)
-2
v 2=v ∙v =
-2-21(v ∙V ) 2
⨯(V +w v +2v ∙V +) 222
c (1+v ∙V c ) (19)
另一方面，从式( 6) 和式( 14) 可得:
∂t ∂t V
=w , =-2w ∂t ∂x c (20)
∂x ∂t (w -1) =-w V , =I +V ⊗V 2∂t ∂x V (21)
根据式( 20) 和式( 21) ，则相对论欧拉方程组中的粒子数守恒方程变为
⎛∂ v ∙V 1-2
c ⎛⎛⎫⎫w -1⎫⎫
+∇⨯=0v -w V +2(v ∙V )V ⎪⎪⎪w ⎪⎪⎪V ⎭⎭⎭⎭
(22)
把式( 16) ～ ( 19) 代入到式( 22) 中，整理得
⎛∂t v ∙V 1-2
c ⎛⎫
⎫⎫=0+∇x ∙⎪⎪⎭⎪⎭
三个动量守恒方程可以化为
∂t (
ρ+p 2
1-v c
2
2
v j +∇x ∙(
ρ+p c 2
1-v c
2
2
vv j ) +∂xj p =0(j =1,2,3)
再次利用式( 20) 和( 21) ，上式可以化为
w V j v ∙V ρ+p 2w -1
∂t (v w (1-) -p ) +∇∙(v (v -w V +(V ∙v ) V )) j j 2222222x
1-v c c 1-v V
ρ+p 2
+∇x p
∂x
=0(j =1, 2,3) ∂x j
(23)
把
-11(1-w )
v j =⨯(V +w v +(v ∙V ) V j ) j j
v 21+V ∙v c 2
-1
代入到式( 23) 中，整理得到
⎡ρ+p c 2p ρ+p c 2⎤w V j ⎢∂t (-2) +∇x ∙(v ) ⎥2222c ⎢⎥1-v c ⎣1-v c ⎦
⎡ρ+p c 2⎤w -1ρ+p 2
+(δij +2VV ) ∂(v ) +∇∙(vv ) +∂p =0i j ⎢j j 2222⎥V 1-v ⎣1-v c ⎦
(24)
根据( 16) ～ ( 21) ，能量方程可以化为
⎡ρ+p c 2p ⎤ρ+p c 2⎤⎡ρ+p c 2ρ+p c 2
-2) +∇∙(v ) ⎥+⎢∂(v ) +∇⨯(v ⊗v ) +∇p ⎥=0⎢∂(22222222c ⎢⎥⎥1-v 1-v c ⎣1-v c ⎦⎢⎣1-v c ⎦
(25)
p ρ+p c 2
∂(-2) +∇∙(v ) 2222c 1-v c 结合式( 24) 和( 25) ，他们相当于关于变量1-v c 和
ρ+p c 2
变量
∂(
ρ+p c 2
1-v c
2
2
v j ) +∇∙(
ρ+p c 2
1-v c
2
2
vv j ) +∂p
(j =1,2,3) 的一个齐次线性方程组，
其系数矩阵的行列式为
1w V 1w V 2w V 3
111
V V V 312c 2c 2c 2w -1w -1w -11+2V 12VV VV 1213
-1V V 2V 2
=-w ≠0
w -1w -12w -1
VV 1+V 2V 2V 312V 2V 2V 2w -1w -1w -12
VV V V 1+V 31323V 2V 2V 2
所以根据克莱姆法则，得到方程组( 24) 和( 25) 只有零解。 即
p ρ+p c 2
∂(-2) +∇∙(v ) =02222c 1-v c 1-v c 和
ρ+p c 2
∂(
ρ+p c 2
1-v c
2
2
v j ) +∇∙(
ρ+p c 2
1-v c
2
2
vv j ) +∂p =0
这也就证明了相对论欧拉方程组( 5) 在洛仑兹变换( 6) 下保持形式不变性。
3.2 关于相容线性方程组的广义克莱姆法则
克莱姆法则给出了未知量个数等于方程个数的相容线性方程组的求解公式. 本文利用向量空间的有关知识，将克莱姆法则推广到一般相容线性方程组求解的情况，得到所谓的广义克莱则.
3.2.1 问题的提出
众所周知，线性方程组的克莱姆法则揭示了未知数的个数与方程组的方程个数相同的情况下，当系数行列式 det(A ) ≠0 时，非齐次线性方程组：
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2⎨
⎪
⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =b n
有唯一解。即
x j =其中
det(A j B ) det(A )
,(j =1,2, , n )
A j B
表示将矩阵A 的第j 列用列向量 B 替换后所得到的矩阵[1]。
对于如上非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组，当它们的系数行列
(≠) 时，非齐次线性方程组无解或无穷多解，而其对应的齐次线性方程0式 d e t A
组有非零解，此时用克莱姆法则却无法确定解空间的结构[2~3]。另一方面，高斯消元法虽然较克莱姆法则在求解非齐次线性方程组的解时简捷，并给出了求解的方法步骤，在计算机上编制程序较为简单，但它却不适用于一般线性方程组的求解。
现给定一个长方形线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1
⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2⎨
⎪
⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =b m (1)
将它写为矩阵的形式为：AX =B
这里
a 11
a A =21
a m 1a 12 a 1n x 1a 22 a 2n x , X =2, B = a m 2 a mn x n b 1b 2 b n
其中A 是一个m ⨯n 实矩阵，且rank (A ) =m
根据克朗奈克———卡波尔定理，显然rank (A ) =rank ((A , B )) =m
本文对一般相容线性方程组求解的上述问题，给出了求一般线性方程组一组特解的广义克莱姆法则。
3.2.2 引力及理论
为了得到本文的主要结果，首先我们给出如下预备知识：
引理 2.1 对于n 维向量空间V 的任意子空间W 且dim W =m ，总存在W 的正交补W ⊥，使得V =W ⊕W ⊥其中⊕表示线性空间的直和且 dim W ⊥=n -m [1]
引理 2.2 对于n 维向量空间V 的任意子空间W 且dim W =m ，设
a i =(a 1i a 2i a ni ) ∈W ,(i =1,2, , m ) 且线性无关，则总可以找到向量
c (m +1)2 c (m +1) n ) ∈W ⊥B m +1=(c (m +1)1使B m +1⊥a i ,(i =1,2, , m ) 进一步，可以找到
B m +2, , B n 使a 1, , a m , B m +1成为向量空间V 的一组基[1-2]。
证明 引理 2.2 的前一部分在文献[1-2]中已经证明. 下证后半部分。
因为B m +1⊥a i ,(1,2, , m ) ，所以向量组a 1, , a m , B m +1线性无关。事实上，设
k 1a 1+ +k m a m +k m +1a m +1
等式两边用B m +1作内积得 k m +1=0，于是上式成为
k 1a 1+k 2a 2+ +k m a m
而a 1, a 2, , a m 线性无关，因此k 1=k 2= =k m =0，即a 1, , a m , B m +1线性无关。
同理，我们可以找到向量组a 1, , a m , B m +1的正交补向量B m +2，使向量组
a 1, , a m , B m +1, B m +2线性无关，一直继续下去，经过n -m 步之后得到的向量组a 1, , a m , B m +1, B m +2, B n 线性无关。又由于dim V =n ，所以a 1, , a m , B m +1, B m +2, B n 成为向量空间V 的一组基。
引理 2.3 对于n 维向量空间V ，设线性方程组(2) 中向量组a i =(a i 1a i 2 a in ) ∈V ,(i =1,2, , m )
通过添加单位正交补向量扩充为V 的一组基a 1, , a 1, c m +1, , c n ，这里
cj =(c j 1c j 2 c jn ) T,(j =m +1, m +2, , n )
即
a i c j T=0, c j c T
j +1=0, c j =1,(i =1, 2, , m ; j =m +1, m +2, , n )
TC =(c c c ) m +1m +2n 如果记，则线性方程组
⎛A ⎫⎛B ⎫X = ⎪ ⎪) ⎝C ⎭⎝0⎭ (3 的解一定是线性方程组(2)的解. 反之未必。
注：对于矩阵 C 不是矩阵 A 的单位正交补矩阵的情况，该结论依然成立
[2~3]。
定理 2.1 （广义克莱姆法则）在线性方程组（2）中，若rank (A ) =m ，则 x j =d e t A (j B A T-) d A e j (A T0) , (j =1, 2, n , ) d e t AA (T) (4)
是线性方程组（2）的一组特解. 其中 Aj 〈B 〉和 Aj 〈0〉分别表示将矩阵 A 的第 j 列用列向量 B 和 0 替换后所得到的矩阵，AT 表示 A 的转置。
⎛A ⎫det( ⎪) ≠0⎝C ⎭证明 由引理 2.3 知，线性方程组（3）的系数矩阵行列式 [4]，
所以由克莱姆法则知，线性方程组（3）有唯一解
⎛A ⎫⎛B ⎫det( ⎪ ⎪) ⎝C ⎭⎝0⎭x j =,(j =1, 2, , n ) ⎛A ⎫det ⎪⎝C ⎭) (5
⎛A ⎫det ⎪≠0
在（5）的分子、分母上同乘以⎝C ⎭，得
⎛A ⎫⎛B ⎫⎛A ⎫det( ⎪ ⎪) det ⎪⎝C ⎭⎝0⎭⎝C ⎭x j =,(j =1, 2, , n ) T⎛A ⎫⎛A ⎫det ⎪ det ⎪⎝C ⎭⎝C ⎭ (6) T
由拉普拉斯（Laplace ）定理，上式可表为
⎛A j B ⎫⎛A ⎫det( ) det ⎪ C 0⎪⎪⎝C ⎭j x j =,(j =1, 2, , n ) T⎛A ⎫⎛A ⎫det( ⎪⎪) ⎝C ⎭⎝C ⎭T
根据分块矩阵乘法和分块矩阵行列式的性质，因为
⎛A ⎫⎛A ⎫⎛AA T
⎪ ⎪= T⎝C ⎭⎝C ⎭⎝CA TAC T⎫⎛AA T= T⎪CC ⎭⎝00⎫⎪I ⎭
所以
⎛AA T⎛A ⎫⎛A ⎫det( ⎪⎪) =det ⎝C ⎭⎝C ⎭⎝0T0⎫T⎪=det (AA )I ⎭
再根据行列式的性质
⎛A j B +0⎛A j B ⎫det( C 0⎪⎪) =det( C j c j -c j ⎝j ⎭⎝⎫⎛A j B ⎫⎛A j B +0⎫) =det -det ⎪ ⎪ ⎪⎪C C ⎝⎭⎝⎭ ⎭
TT所以 ⎛A j B ⎫⎛A j B ⎛A ⎫det( ) det =det ⎪ C 0⎪⎪C ⎝⎭⎝C ⎝j ⎭T⎫⎛A j 0⎛A ⎫ det -det ⎪ ⎪C ⎝⎭⎭⎝C ⎫⎛A ⎫ det ⎪ ⎪⎝C ⎭ ⎭
而
TT⎛A B det( j
⎝C ⎫⎛A j B ⎛A ⎫) det =det(⎪ ⎪⎝C ⎭⎭⎝C ⎛A j B A T⎫⎛A ⎫⎪ ⎪) =det T⎭⎝C ⎭⎝CA A j B C T⎫⎪CC T⎭
⎛A j B A T
=det 0⎝A j B C T⎫T⎪=det (A j B A )I ⎭
同理
⎛A 0det j
⎝C ⎫⎛A ⎫T det ⎪ ⎪=det (A j 0A )⎝C ⎭⎭ T
将上述结果代入（6）中得 x j =det (A j B A T)-det (A j 0A T)
det AA T,(j =1, 2, , n )
由引理 2.3 可知，上式也是线性方程组（2）的解. 定理证毕.
定理 2.2 在线性方程组（2）中，若 rank （A ）=rank（A ，B ）=r 且 r ＜min{m，n}，则线性方程组（2）与线性方程组
⎧a i 11x 1+a i 12x 2+ +a i 1n x n =b i 1⎪⎪a i 21x 1+a i 22x 2+ +a i 2n x n =b i 2⎨ ⎪⎪a x +a x + +a x =b i r n n i r ⎩i r 11i r 22 (7)
同解，其中是线性方程组（2）的个线性独立的方程，并且
(r )(r )det ⎡A B j ⎢⎣x j =((A ))-det (A ()⎤det ⎡A A ()⎢⎥⎣⎦(r )Tj r r T(r )0(r )(A )(r )T)⎤⎥⎦, (j =1, 2, , n )
(8)
是线性方程组（2）的一组特解. 这里 a i 11
A (r )a i 12 a i 1n a i 22 a i 2n
a i r 2 a i r n
b i 1, B (r )0,0()=r =a i 21 a i r 1=b i 2 b i r 0 0
分别是线性方程组（7）的系数矩阵和常数列向量，Aj （r ）〈B(r)〉和 Aj （r ）〈0(r)〉分别表示将矩阵 A(r)的第 j 列用列向量 B(r)和 0(r)替换后所得到的矩阵，（A(r)表示 A(r)的转置. 证明 因为 rank （A ）=rank（A ，B ）=r，所以线性方程组
（2）必有 r 个互相独立的方程. 这 r 个彼此独立的方程组成的线性方程组（7）与（1）同解[1，5].而线性方程组（7）的系数矩阵是行满秩的，根据定理 2.1 知本定理的结论（8）成立.
3.2.3 应用举例
例 求一般线性方程组
⎧2x 1+x 2-x 3+x 4=1⎪⎨4x 1+2x 2-2x 3+x 4=2
⎪2x +x -x -x =11234⎩
的一组特解[6]。
解：因为线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都等于 2，所以原线性方程组有解且与线性方程组
⎧2x 1+x 2-x 3+x 4=1⎨⎩4x 1+2x 2-2x 3+x 4=2
同解. 设该线性方程组的系数矩阵为A ，则通过计算知A 和AA 分别为 T
⎡21-11⎤⎡713⎤TA =⎢⎥, AA =⎢1325⎥42-21⎣⎦⎣⎦ 又A j B A T和A j 0A T(j =1, 2,3, 4)分别为
⎡59⎤⎡35⎤TA 1B A T=⎢, A 0A =; 1⎥⎢⎥⎣917⎦⎣59⎦
⎡713⎤⎡611⎤TA 2B A T=⎢, A 0A =⎥2⎢1121⎥⎣1325⎦⎣⎦
⎡59⎤⎡611⎤TTA 3B A =⎢⎥, A 30A =⎢1121⎥; 917⎣⎦⎣⎦
⎡713⎤⎡612⎤TA 4B A T=⎢, A 0A =⎥4⎢1224⎥⎣1426⎦⎣⎦
所以，分别可得
det (AA T)=6
det (A 1B A T)-det (A 10A T)=2
det (A 2B A T)-det (A 20A T)=1
det (A 3B A T)-det (A 30A T)=-1
det (A 4B A T)-det (A 40A T)=0
由广义克莱姆法则的公式（3）可得线性方程组的一组特解为
111x 1=, x 2=, x 3=, x 1=0366
从本题的求解过程可以看出，这种方法的计算量比高斯消去法的确复杂的多，但它毕竟为我们提供了一个求一般相容线性方程组特解的公式。 然而，需要强调的是：今后在实际计算中，我们应该尽可能避免使用这种方法。
结论 克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理. 它适用于变量和方程数目相等的线性方程组, 是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比, 克莱姆法则更具有重大的理论价值. 同时克莱姆法则也逐渐运用到现实生话中来，给我们带来了许多方便，我们利用它很好地解决了许多生活中的问题.
参考文献
[1]王文省，赵建立，于增海，王廷明．济南：山东大学出版社，2004.5．
[2] 北京大学数学系 高等代数（第二版）［Ｍ］。北京：高等教育出版社，1998．
[3] 贾启恒，高等代数，济南：山东大学出版社，1993．
[4]张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数[M]. 北京:高等教育出版社,
2007(6):63-78[2]Carl D.Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
[M].New York:Cambridge University Press,2001(2): 299-303．
［5］ Anile A M． Relativistic fluids and magneto-fluids，cambridge monographs on mathematical physics，Cambridge University Press， New York，1989:80 － 82． ［6］ Landau L D，Lifchitz E M． Fluid mechnics，2nd Edi-tion，Pergamon ，1987: 505 － 512．
［7］ Li T T，Qin T． Physics and parital differential equa-tions ( 2nd edition ) ，Higher Eudcation Press: Bei-jing，2005: 183 － 196．
［8］ Shi C C． Relativistic fluid dynamics，Science Press，Beijing ，1992: 161 － 232．
［9］ Geng Y C，Li Y． Non-relativistic global limits of entro-py solutions to the extremely relativistic Euler equa-tions，Z Angew Math Phys，2010，61: 201 － 220． ［10］ Li Y C，Geng Y． Non-relativistic global limits of Entro-py solutions to the isentropic relativistic Euler equa-tions，Z Angew Math Phys，2006，57: 960 － 983． ［11］ Guo Y，Tahhvildar-Zadeh S． Formation of singularitiesin relativistic fluid dynamics an in spherically sym-metric plasma dynamics［J ］． Cntemp Math，2009，238: 151 － 161．
［12］ Hao X W，Li Y C． Non-relativistic global limits of en-tropy solutions to the Cauchy problem of the three di-mensional relativistic Euler equations with
sphericalsymmetry ［J ］． Commun Pure Appl Anal，2010，9: 365－ 386．
[13]周禄新, 陶惠民. 非齐次线性方程组有解充要条件的讨论[J]. 天津理工学院学报, 1994(2):30-37．
[14]杨可. 用加边矩阵求解非其次线性方程组的尝试[J]. 内蒙古林学院学报, 1996(4):65-70．
[15]刘芳. 线性方程组与最简通解公式[J]. 攀枝花大学学报, 2000(4):68-79．
致 谢
这篇论文的选题与写作是在樊树芳老师的悉心指导与帮助下完成的， 樊老师对这篇文章的结构的调整，内容的修改及格式都给予了极大的帮助 .樊老师治学严谨，工作务实，待人热情，潜移默化的影响着我，是我学习和生活上的典范．在此向樊树芳老师表示衷心的感谢．
此外，感谢数学科学学院的其他领导、老师和我的同学们为我创造了良好的写作氛围，给予我的帮助与鼓励．
目录
前 言 . .................................................................................................................................................... 4 1. 克莱姆法则的定义 . ............................................................................................................... 4 2. 克莱姆法则的证明 . ............................................................................................................... 4
2.1 克莱姆法则的一般证明方法 ....................................... 4 2.2克莱姆法则的简易证明 ............................................ 9 2.3克莱姆法则的一个新证明 ......................... 错误！未定义书签。
3. 克莱姆法则的应用 . ............................................................................. 错误！未定义书签。
3.1 三维相对论欧拉方程组的洛仑兹不变性
———克莱姆法则的应用 ............................ 错误！未定义书签。 3.2 关于相容线性方程组的广义克莱姆法则
.................................................. 错误！未定义书签。
结论 .................................................................................................................................................. 26 参考文献 . .......................................................................................................................................... 27
摘要
克莱姆法则是高等代数中的重要内容. 本文首先介绍了克莱姆法则的定义，接着给出了克莱姆法则的证明，比如克莱姆法则的一般证明方法，简易证明以及有关它的新的证明方法，最后介绍了有关克莱姆法则在实际中的应用，比如三位相对论欧拉方程组的洛伦兹不变性和关于相容性线性方程组的广义克莱姆法则等.
关键词：克莱姆法则；定义；证明；应用；广义克莱姆法则
Abstract
Cramer law is an important content in the advanced algebra.This paper firstly introduces the definition of law cramer.Then gives cramer law proof,such as the laws of cramer general ways to prove, simple and easy proof and the relevant new ways to prove it.At last, the paper introduces the relevant cramer law in real application, such as three relativity euler equations of lorenz invariance and compatibility of linear equations about generalized cramer law, etc.
Key words: cramer law；Definition ；Proof ；Application ；General cramer law
克莱姆法则及其应用
前 言
克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cram er,Gabriel,1704-1752）, 瑞士数学家。生于瑞士，卒于法国。在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识
若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n =b 1
⎪a x +a x + +a =b ⎪2212222n 2⎨
⎪
⎪⎩a n 1+a n 2+ +a nn =b n
1-1）
其系数构成的行列式
D =
a 11
a 21
a 12a 22
a 1n a 2n
a n 1a n 2
a nn
称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义
克莱姆法则（Cram er Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1) 当它的系数行列式D ≠0时，有且仅有一个解：
x 1=
D 1D
, x 2=
D D 2
, , x n =n . D D （1-2）
其中
D J
b , b , , b n
是将D 的第j 列换成常数项12而其余列不变的行列式。即
a 1, j +1 a 1n
a 2, j +1 a 2n a n , j +1 a nn
a 11 a 1, j -1b 1a 21 a 2, j -1b 2
D j =
a n 1 a n , j -1b n
=b 1A 1j +b 2A 2j + +b n A nj ,(j =1,2, n ).
2. 克莱姆法则的证明方法
克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是 2.1克莱姆法则的一般证明方法 2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法
在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不加赘述，现在就用一般方法来证明克莱姆法则。
证 首先，证明（1-2）式确实是方程组（1-1）的解：把
代入（1-1）中第一个方程，得
x j =
D j D
,(j =1, 2, , n )
a 11
D D 1D 1
+a 122+ +a 1n n =(a 11D 1+a 12D 2+ +a 1n D n ) D D D D
1
[a 11(b 1A 11+b 2A 21+ b n A n 1) +a 12(b 1A 12+b 2A 22+ b n A n 2) + +a 1n (b 1A 1n +b 2A 2n + b n A nn ) ]D 1=⎡b 1(a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )+b 2(a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )+ +b n (a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )⎤⎦D ⎣1
=[b 1D +b 2⋅0+ +b n ⋅0]=b 1
D =
⎡a 11(b 1A 11+b 2A 21+ b n A n 1) ⎤1⎥=⎢+a (b A +b A + b A ) + 12112222n n 2⎥D ⎢⎢⎥⎣+a 1n (b 1A 1n +b 2A 2n + b n A nn ) ⎦⎡b 1(a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )⎤
⎥1⎢
=⎢+b 2(a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )+ ⎥D ⎢⎥⎣+b n (a 11A 11+a 12A 12+ a 1n A 1n )⎦=
1
[b 1D +b 2⋅0+ +b n ⋅0]=b 1D
这就是说，（1-2）式满满足方程组（1-1）中的第一个方程。同理可证（1-2）式也满足方程组（1-1）中其余n-1个方程。因此，(1-2)式确为方程组（1-1）的解。
其次，设
x 1=k 1, x 2=k 2, , x n =k n
是方程组（1-1）的任意解，将其代入方程组
a , a , , a nj （1-1）得n 个恒等式，再用D 的第j 列元素1j 2j 的代数余子式A 1J , A 2J , , A nj
依次乘所得的n 个恒等式的两端再相加，得
A 1j :a 11k 1+a 12k 2+ +a 1j k j + +a 1n k n =b 1, A 2j :a 21k 1+a 22k 2+ +a 2j k j + +a 2n k n =b 2
A nj :a n 1k 1+a n 2k 2+ +a nj k j + +a nn k n =b n , 0k 1+0k 2+ +Dk j + +a nn k n =D j ,
即 由D ≠0, 知
k j =
D j D
Dk j =D j , j =1,2, , n .
, j =1, 2, , n .
这就是说，如果
(k 1, k 2, , k n )是方程组（1-1）的一个解，则
k j =
D j D
, (j =1, 2, , n ).
即方程组只有一个解。
2.1.2 克莱姆法则的一般证明方法的应用 例1 解线性方程组
⎧3x 1⎪x ⎪1⎨⎪2x 1⎪⎩x 1
+
-++
x 2x 2x 2
-x 3+x 3+2x 3
2x 3
++-=+
x 4x 4x 4x 4
=-3, =4, =7, =6.
aaa
解 由于方程组的系数行列式
31-111-112D ==-13≠0,
212-11021
故由Cram er法则知此方程有唯一解，又因为
-31-11
4-112D 1==-13≠0,
712-16021
3-3-111412D 2==26,
272-1621 31-311-142D 3==-39,
217-11061 31-1-31-114D 4==13,
21271026
所以方程的唯一解是：
x 1=
D D 1D D
=1, x 2=2=-2, x 3=3=13, x 4=4=-1. D D D D
在线性方程组中，有一种特殊而重要的方程组，即常数项为零的方程组：
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0, ⎪a x +a x + +a x =0, ⎪2112222n n ⎨
⎪
⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =0.
x 1=0, x 2=0, , x n =0, 称其为零解。称此为其次线性方程组。这种方程组显然有解：其次线性方程组若有其他的解，即x i 不全为零的解，成为非零解。
对于方程个数与为质量的个数相同的其次线性方程组，利用Cram er法则，有
定理 若其次线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0,
⎪a x +a x + +a x =0, ⎪2112222n n ⎨
⎪
⎪a x +a x + +a nn x n =0. ⎩n 11n 22 （1-3）
的系数行列式
D =a ij ≠0,
则方程组（1-3）有唯一零解。
证 因为D =0, 故由Cramer 法则知，方程组（1-3）有唯一解。但零显然是其解，从而方程组（1-3）只有零解。
例2 如果n 阶行列式D =0, ，而D 中元素线性方程组（1-3）必有非零解。
证 因为D =0, ，故D 的每一行元素的代数余子式都是方程组（1-3）的解。又
a ij
的代数余子式
A ij ≠0
，则其次
A ij ≠0
，故方程组（1-3）必有非零解。
2.2 克莱姆法则的一个简易证明
在线性代数教学中, 一般是通过解二元和三元线性方程组引入行列式; 又为了完整和扣题, 是通过介绍克莱姆法则结束行列式教学的, 尽管在后面我们可以用逆阵的理论轻松地得到克莱姆法则. 由于此时, 我们还没有建立完整的线性方程组解的理论, 故一般我们是分解的存在性和唯一性两部分来证明克莱姆法则, 结果是讲的费劲, 学的迷惑. 特别是, 此刻只能指出(方程与未知数个数相同的) 齐次方程的系数行列式为零是此方程组有非零解的必要条件, 很难说明充分性也成立. 在本文中, 我们用消元法轻松、自然地给出一个有关线性方程组的基本引理. 用此引理, 我们又可以轻松地证明克莱姆法则及齐次方程组有非零解的充要
条件. 虽然我们多加了一个引理, 但此引理突显的是消元法, 而这也是线性代数中理应强调的.
引理 线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪
⎪a x +a 22x 2+ +a 2n x n =b 2
(a) ⎨211
⎪
⎪a x +a x + +a x =b
n 22nn n n ⎩n 11
可以通过消元变换变为同方程组
⎧b 11x 1+b 12x 2+ +b 1n x n =c 1
⎪
⎪ b 22x 2+ +b 2n x n =c 2
(b) ⎨.
⎪⎪⎩ b nn x n =c n
证明 首先, 通过消元法我们证明方程组(a)可化为下列形式的同解方程组
⎧b 11x 1+b 12x 2+ +b 1n x n =c 1⎪
b 22x 2+ +b 2n x n =c 2⎪
(c) ⎨.
⎪⎪b n 2x 2+ +b nn x n =c n ⎩
(1) 若a 11≠0, 用-11乘第1个方程加到第i 方程上, 方程组(a)就可以化为方
a
程组(c)的形式;
(2) 若a 11=0, 但某个a i 1≠0(i >1) , 则先将第i 个方程加到第1个方程上, 再进行按上面的方法进行;
(3) 若a 11= =a n 1=0, 结论成立.
对于方程组(c)的后n -1个方程再进行同样的处理即知本引理成立.
(a)D =|a ij |n ≠0,
D 1D D
, x 2=2, , x n =n , D D D
这里D i 是将D 中的第i 列a 1i , , a ni 换成b 1, , b n 得到的行列式.
x 1=
证明 由上述引理, 方程组(a)与(b)同解, 且它们的系数行列式相等, 即
b 11 b nn =D ≠0. 再对方程组(b)从下向上逐步消元知, 方程组(a)与
⎧a 1x 1 =d 1⎪
⎪ a 2x 2 =d 2
(c) ⎨
⎪⎪⎩ a n x n =d n
同解, 且D =a 1 a n ≠0. 再由行列式的性质, 我们还有
d 1
d D 1=2
d n
a 1
a 2
a n
=d 1a 2 a n , D 2=
d 1d 2
=a 1d 2 a n ,
d n a n
......,
a 1
d 1
=a 1 a n -1d n . d n -1d n
D n =
a n -1
于是
d D d D d D x 1=1=1, x 2=2=2, , x n =n =n . n 12定理 其次线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0
⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =0
(d) ⎨
⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =0
有非零解⇔系数行列式|a ij |n =0.
证明 (⇒) 设齐次方程组(d)有非零解, 我们用反证法来证实|a ij |n =0. 假设
|a ij |n ≠0, 由克莱姆法则知此方程组有唯一一组解; 又因为齐次方程组一定有零解,
故方程组(d)无非零解. 这与开始的假设矛盾.
(⇐) 此时, 以|a ij |n =0为已知条件, 来证明方程组(5)有非零解. 由引理知,
方程组(d)与方程组
⎧b 11x 1+b 12x 2+ +b 1n x n =0⎪
⎪ b 22x 2+ +b 2n x n =0
(e) ⎨
⎪
⎪ b x =0
nn n ⎩
同解, 且b 11 b nn =|a ij |n =0. 此刻, 至少有一个b ii =0. 设b 11, , b nn 中第一个为0
的是b kk . 现在, 取x k =1, x k +1= =x n =0代入方程组(e), 方程组(e)化为
⎧b 11x 1+b 12x 2+ +b 1, k -1x k -1=d 1⎪⎪ b 22x 2+ +b 2, k -1x k -1=d 2
. (f) ⎨
⎪⎪⎩ b k -1, k -1x k -1=d k -1
此时, 方程组(f)的系数行列式等于b 11 b k -1, k -1≠0. 由克莱姆法则, 此方程组有唯一一组解. 此解与x k =1, x k +1= =x n =0拼起来就是方程组(d)的一组非零解.
2.3 克莱姆法则的一个新证明
克莱姆法则是线性代数的一个基本定理，本文用一种简洁的的方法对该定理
给出了一种新的证。
克莱姆法则的定义已在1.1中学过，设含有n 个未知量n 个方程的
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n =b 1
⎪a x +a x + +a =b ⎪2212222n 2⎨
⎪
⎪⎩a n 1+a n 2+ +a nn =b n
其中各
a ij
为系数，各b i 为常数项，各x l 为未知量。用A E 1表示方程组
(E 1)的系
'
A det (A E 1)[b 数矩阵，表示系数矩阵的行列式值。用i , (E 1)表示用列向量1
b 2 b n ]
det A (Ei )≠0替换A E 1的第j 列得到的方阵。如果，则线性方程组有唯一的解向量如
⎡det A 1, (E 1)det A 2, (E 1)det A n , (E 1)⎤
, , , ⎢⎥'
det A det A det A ⎢(E 1)(E 1)(E 1)⎥⎦。 下：⎣
证明 由于步变成
det A (Ei )≠0
，知A E 1可逆，故可以经过有限次初等变换把A E 1逐
A (E 2), A (E 3), , A (Em )
（单位矩阵）。
对线性方程组
(E 1)一次做这些行初等变换，则线型方程组依次变成
A (E 2), A (E 3), , A (Em )
。由于
A (Em )=I
，可知
(Em )具有以下形式：
⎧x 1=c 1, ⎪x =c , 22
(Em ):⎪⎨
⎪ ⎪⎩x n =c n ,
一方面，这些线性方程组都是同解的，而显然
(Em )存在唯一的解向量
[c 1c 2 c 1=n ]'
。另一方面，对任意正整数t ，有
det A (Et +1)
⎧-det A (Et ), ⎪⎪
=⎨det A (Et ), ⎪⎪⎩k ⋅det A (Et ),
其中依次是做了如下的变换： （1）如果对（2）如果对
(Et )做了换行变换而变成(Et +1)， (Et )做了行消法变换而变成(Et +1)，
(Et )的某一个方程两端同乘以k 倍而变(Et +1)，
det A i , (Et +1)
⎧-det A i , (Et ), ⎪⎪
=⎨det A i , (Et ), ⎪⎪⎩k ⋅det A i , (Et ),
（3）（3) 如果对
其中依次做了如下变换： （1）如果对（2）如果对（3）如果对
(Et )做了换行变换而变成(Et +1)， (Et )做了行消法变换而变成(Et +1)，
(Et )的某一个方程两端同乘以k 倍而变(Et +1)，
det A i , (Et +1)det A (Et +1)
=det A i , (Et )det A (Et )
.
因此，对任意正整数t ，及任意i ，恒有以下各等式成立：意到
注
A i , (Em )
c 1⎡1
⎢1c 2⎢⎢ ⎢
1
=⎢⎢c i ⎢
⎢
⎢ ⎢
c n ⎢⎣A (Em )=I n ⨯n
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥, ⎥⎥
1⎥ ⎥
⎥1⎥⎦
det A (Em )=1
知∀i ，有方
det A i , (Em )=c i
，而为单位矩阵，故有因此，原线性
(EI )存在唯一的解向量为
[c 1, c 2, , c n , ]'
c ⎤c ⎡c
=⎢1, 2, , n ⎥'
11⎦⎣1
⎡det A 1, (Em )det A 2, (Em )det A n , (Em )⎤=⎢, , , , ⎥' det A det A det A ⎢(Em )(Em )(Em )⎥⎣⎦⎡det A 1, (E 1)det A 2, (E 1)det A n , (E 1)⎤=⎢, , , , ⎥' det A det A det A ⎢(E 1)(E 1)(E 1)⎥⎣⎦。
3 克莱姆法则的应用
3.1三维相对论欧拉方程组的洛伦兹不变性——克莱姆法则的应用
介绍有关三维相对论欧拉方程组的一个性质，即该方程组保持洛伦兹不变性。在证明的过程中，克莱姆法则起到了重要的作用，另一些向量运算的技巧也是必须的。
3.11简介
我们考虑4维闵科夫斯基时空中的相对论欧拉方程组，
∂αβ
T =0,(α, β=0, ,3) β∂x （1）
∂
(nu α) =0,(α, β=0, ,3) αβ2ααβαT =(p +qc ) u u β+pg ∂x 式中：表示能量张量；
g αβ表示平直的闵科夫斯基时空的度量，且g αβ=diag (-1,1,1,1) ，并且x 0=ct ，同时
p =n (1+
e ) 2
c ， （2）
是质能密度，n , e , c 分别表示粒子数，静止能量以及光速。p 表示压力；
1dx α
u =
c d t ，这里t 是固有的时间间隔，并且有 u α(α=0, ,3) 表示四维速度且
α
(u ) -∑(u i ) 2=1
02
i =1
3
(3)
令
v =
v 2=v
2
（4）
很容易得到三维相对论欧拉方程组的方程模型见参考文献[1-4]。
⎧⎛⎫⎛⎫⎪+∇x ∙=0, ∂1⎪⎪
222
⎪⎛⎫⎛⎫p c +p p c +p )()(⎪
v ⎪+∇x ∙ v ⊗v ⎪=0, ⎨∂1 2222
⎪ ⎪1-v c ⎪⎝1-v c ⎭⎝⎭⎪
⎛(p c 2+p )⎫⎪⎛p c 2+p p ⎫
-2⎪+∇x ∙ v ⎪=0, ⎪∂1 2222
⎪c ⎭1-v c ⎝1-v c ⎪⎝⎭⎩ （5）
式中：∇x ∙表示关于空间变量
x =(x 1, x 2, x 3)
求散度。上述方程中第一个方程表示
粒子数守恒方程，第二个方程表示动量守恒方程，（因为速度为向量，它其实包括三个方程），第三个方程为能量守恒方程。
关于上述方程组的一维情形，文献[5]中证明了极端相对论整体熵解的极限问题，文献[6]证明了其等熵子系统整体熵解的极限问题。对于三维情形，大多是球对称方面的结果，例如[7~12]。同时有关方程组( 5) 局部经典解的存在性和奇异性结果见参考文献[13~16]。并且文献[17]还从数学上揭示了方程组( 5) 的特殊相对论效应问题。
方程组( 5) 的保持洛仑兹不变性是相对论欧拉方程组的重要性质，但是在以往的工作中，只是运用这一结果，很少从理论上对其进行严格的证明，尤其对更有物理意义的三维相对论欧拉方程组而言运算比较复杂，在本文中，我们将对其
进行严格的数学证明。
3.12 方程组( 5) 保持洛伦兹变换不变性
命题1 系统( 5) 在下述洛伦兹变换下保持不变性。在证明该引理之前，首先讨论如下的洛伦兹变换。我们考虑从坐标系 K 到另外一个坐标系 K—的变换，并且坐标系 K—相对于坐标系 K 作速度为V = ( 1，V2，V3) 的运动，相应的坐标( t，x) 和( t—，x —) 应该满足下面的公式
⎧⎛V ∙x ⎫
t =w t -2⎪, ⎪c ⎭⎪⎝
⎨
⎪x =-w Vt +⎛I +w -1V ⊗V
⎪V 2⎝⎩
()
⎫
⎪x ⎭
(6)
w =
V 2=2
这里。
根据式( 6) ，得到两个坐标系K 和K 下粒子的运动速度分别为
v =
d x dx
v =
dt (7)dt 和
即
⎛-1(1-w -1) V ⊗V 1
v =(-V + w I +2
1-V ∙v c 2v ⎝
-1
⎫
⎪v ) ⎪
⎭ (8)
-11(1-w )
=(-V +w v +(V ∙v )V ) 221-V ∙v c v
这里，∙表示两个向量的点乘。
利用克莱姆法则，可以从式( 6) 中反解出来(t , x ) ，其中
t -w -
w c 2V 1c 2V 2-
w c 2V 3x w -1
w -1
11+w -12
V 2V 1V 2
VV 12V 2VV 13x w -1
w -1
2V 2VV 121+w -12
V 2V 2V 2V 2V 3x w -1
w -1
t =
3V
2VV 13V
2V 3V 21+w -12
V 2V 3w -w c 2V 1-w c 2V 2-w c 2V 3-w V w -1
w -1
11+w -12
V 2V 1V 2VV 12V 2VV 13-w V w -1
2V 2VV 121+w -12
w -1
V 2V 2V 2V 2V 3-w V w -1
w -1
3
V 2
VV 13V 2
V 3V 21+w -1V 2V 2
3 为简单起见，记
w -
w c 2V 1-w c 2V 2-w
c 2V 3-w V 1
1+w -12w -1w -1L =
V 2V 1V 2VV 12V 2VV 13
-w V w -12V 2VV w -12121+V 2V w -1
2V 2V 2V 3-w V w -1w -1w -3
V 2VV 13V 2V 3V 21+1V 2
V 2
3(10)
经过计算，可得 L =1。 所以，可以解得
w
t -
w c 2V w 2-c 2V 3-w V 1x w -11x =
1
V 2VV w -1
12V 2VV 131L
-w V 2x 21+w -12w -1V 2V 2V 2
V 2V 3
-w V w -13
x 3
V 2V 3V w -12
21+V 2V 3 (9)(11)
w
1x 2=
L
-w V 1-w V 2-w V 3
w V 1c 2w -11+2V 12
V w -1
VV 12V 2w -1
VV 132V -
t x 1x 2x 3
w c 2w -1
VV 13V 2w -1
V 2V 3V 2
w -11+2V 32
V (12)
-
w
-
w c 2V 1-w c 2V 2t -w V 11+w -12w -1x 1x 1
V 2V 1V 2VV 12
3=
L
-w V w -12V 2VV 121+w -1V 2V 2
2x 2-w V w -13
V 2VV w -1
13V 2V 2V 3x 3
因此，有
⎧⎪
⎪t =w ⎛ Vx ⎫⎨
⎝t +c 2⎪⎭, ⎪x =w V t +⎛I +(⎫
⎪⎩
⎝w -1) V ⊗V
V 2⎪⎭
x (14)
同样地，从(7)式和(14)式 可以得到
v =
11+V ∙c
2
⨯(V +(w -1) V ⊗V
V 2) x (15)
在以上各个式子的基础上，有如下的式子成立
v ∙V =
V 2+v ∙V
1+v ∙V 2 (13)(16)
1-
v ∙V w
=c 21+v ∙V 2 (17)
-2
v 2=v ∙v =
-2-21(v ∙V ) 2
⨯(V +w v +2v ∙V +) 222
c (1+v ∙V c ) (19)
另一方面，从式( 6) 和式( 14) 可得:
∂t ∂t V
=w , =-2w ∂t ∂x c (20)
∂x ∂t (w -1) =-w V , =I +V ⊗V 2∂t ∂x V (21)
根据式( 20) 和式( 21) ，则相对论欧拉方程组中的粒子数守恒方程变为
⎛∂ v ∙V 1-2
c ⎛⎛⎫⎫w -1⎫⎫
+∇⨯=0v -w V +2(v ∙V )V ⎪⎪⎪w ⎪⎪⎪V ⎭⎭⎭⎭
(22)
把式( 16) ～ ( 19) 代入到式( 22) 中，整理得
⎛∂t v ∙V 1-2
c ⎛⎫
⎫⎫=0+∇x ∙⎪⎪⎭⎪⎭
三个动量守恒方程可以化为
∂t (
ρ+p 2
1-v c
2
2
v j +∇x ∙(
ρ+p c 2
1-v c
2
2
vv j ) +∂xj p =0(j =1,2,3)
再次利用式( 20) 和( 21) ，上式可以化为
w V j v ∙V ρ+p 2w -1
∂t (v w (1-) -p ) +∇∙(v (v -w V +(V ∙v ) V )) j j 2222222x
1-v c c 1-v V
ρ+p 2
+∇x p
∂x
=0(j =1, 2,3) ∂x j
(23)
把
-11(1-w )
v j =⨯(V +w v +(v ∙V ) V j ) j j
v 21+V ∙v c 2
-1
代入到式( 23) 中，整理得到
⎡ρ+p c 2p ρ+p c 2⎤w V j ⎢∂t (-2) +∇x ∙(v ) ⎥2222c ⎢⎥1-v c ⎣1-v c ⎦
⎡ρ+p c 2⎤w -1ρ+p 2
+(δij +2VV ) ∂(v ) +∇∙(vv ) +∂p =0i j ⎢j j 2222⎥V 1-v ⎣1-v c ⎦
(24)
根据( 16) ～ ( 21) ，能量方程可以化为
⎡ρ+p c 2p ⎤ρ+p c 2⎤⎡ρ+p c 2ρ+p c 2
-2) +∇∙(v ) ⎥+⎢∂(v ) +∇⨯(v ⊗v ) +∇p ⎥=0⎢∂(22222222c ⎢⎥⎥1-v 1-v c ⎣1-v c ⎦⎢⎣1-v c ⎦
(25)
p ρ+p c 2
∂(-2) +∇∙(v ) 2222c 1-v c 结合式( 24) 和( 25) ，他们相当于关于变量1-v c 和
ρ+p c 2
变量
∂(
ρ+p c 2
1-v c
2
2
v j ) +∇∙(
ρ+p c 2
1-v c
2
2
vv j ) +∂p
(j =1,2,3) 的一个齐次线性方程组，
其系数矩阵的行列式为
1w V 1w V 2w V 3
111
V V V 312c 2c 2c 2w -1w -1w -11+2V 12VV VV 1213
-1V V 2V 2
=-w ≠0
w -1w -12w -1
VV 1+V 2V 2V 312V 2V 2V 2w -1w -1w -12
VV V V 1+V 31323V 2V 2V 2
所以根据克莱姆法则，得到方程组( 24) 和( 25) 只有零解。 即
p ρ+p c 2
∂(-2) +∇∙(v ) =02222c 1-v c 1-v c 和
ρ+p c 2
∂(
ρ+p c 2
1-v c
2
2
v j ) +∇∙(
ρ+p c 2
1-v c
2
2
vv j ) +∂p =0
这也就证明了相对论欧拉方程组( 5) 在洛仑兹变换( 6) 下保持形式不变性。
3.2 关于相容线性方程组的广义克莱姆法则
克莱姆法则给出了未知量个数等于方程个数的相容线性方程组的求解公式. 本文利用向量空间的有关知识，将克莱姆法则推广到一般相容线性方程组求解的情况，得到所谓的广义克莱则.
3.2.1 问题的提出
众所周知，线性方程组的克莱姆法则揭示了未知数的个数与方程组的方程个数相同的情况下，当系数行列式 det(A ) ≠0 时，非齐次线性方程组：
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2⎨
⎪
⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =b n
有唯一解。即
x j =其中
det(A j B ) det(A )
,(j =1,2, , n )
A j B
表示将矩阵A 的第j 列用列向量 B 替换后所得到的矩阵[1]。
对于如上非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组，当它们的系数行列
(≠) 时，非齐次线性方程组无解或无穷多解，而其对应的齐次线性方程0式 d e t A
组有非零解，此时用克莱姆法则却无法确定解空间的结构[2~3]。另一方面，高斯消元法虽然较克莱姆法则在求解非齐次线性方程组的解时简捷，并给出了求解的方法步骤，在计算机上编制程序较为简单，但它却不适用于一般线性方程组的求解。
现给定一个长方形线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1
⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2⎨
⎪
⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =b m (1)
将它写为矩阵的形式为：AX =B
这里
a 11
a A =21
a m 1a 12 a 1n x 1a 22 a 2n x , X =2, B = a m 2 a mn x n b 1b 2 b n
其中A 是一个m ⨯n 实矩阵，且rank (A ) =m
根据克朗奈克———卡波尔定理，显然rank (A ) =rank ((A , B )) =m
本文对一般相容线性方程组求解的上述问题，给出了求一般线性方程组一组特解的广义克莱姆法则。
3.2.2 引力及理论
为了得到本文的主要结果，首先我们给出如下预备知识：
引理 2.1 对于n 维向量空间V 的任意子空间W 且dim W =m ，总存在W 的正交补W ⊥，使得V =W ⊕W ⊥其中⊕表示线性空间的直和且 dim W ⊥=n -m [1]
引理 2.2 对于n 维向量空间V 的任意子空间W 且dim W =m ，设
a i =(a 1i a 2i a ni ) ∈W ,(i =1,2, , m ) 且线性无关，则总可以找到向量
c (m +1)2 c (m +1) n ) ∈W ⊥B m +1=(c (m +1)1使B m +1⊥a i ,(i =1,2, , m ) 进一步，可以找到
B m +2, , B n 使a 1, , a m , B m +1成为向量空间V 的一组基[1-2]。
证明 引理 2.2 的前一部分在文献[1-2]中已经证明. 下证后半部分。
因为B m +1⊥a i ,(1,2, , m ) ，所以向量组a 1, , a m , B m +1线性无关。事实上，设
k 1a 1+ +k m a m +k m +1a m +1
等式两边用B m +1作内积得 k m +1=0，于是上式成为
k 1a 1+k 2a 2+ +k m a m
而a 1, a 2, , a m 线性无关，因此k 1=k 2= =k m =0，即a 1, , a m , B m +1线性无关。
同理，我们可以找到向量组a 1, , a m , B m +1的正交补向量B m +2，使向量组
a 1, , a m , B m +1, B m +2线性无关，一直继续下去，经过n -m 步之后得到的向量组a 1, , a m , B m +1, B m +2, B n 线性无关。又由于dim V =n ，所以a 1, , a m , B m +1, B m +2, B n 成为向量空间V 的一组基。
引理 2.3 对于n 维向量空间V ，设线性方程组(2) 中向量组a i =(a i 1a i 2 a in ) ∈V ,(i =1,2, , m )
通过添加单位正交补向量扩充为V 的一组基a 1, , a 1, c m +1, , c n ，这里
cj =(c j 1c j 2 c jn ) T,(j =m +1, m +2, , n )
即
a i c j T=0, c j c T
j +1=0, c j =1,(i =1, 2, , m ; j =m +1, m +2, , n )
TC =(c c c ) m +1m +2n 如果记，则线性方程组
⎛A ⎫⎛B ⎫X = ⎪ ⎪) ⎝C ⎭⎝0⎭ (3 的解一定是线性方程组(2)的解. 反之未必。
注：对于矩阵 C 不是矩阵 A 的单位正交补矩阵的情况，该结论依然成立
[2~3]。
定理 2.1 （广义克莱姆法则）在线性方程组（2）中，若rank (A ) =m ，则 x j =d e t A (j B A T-) d A e j (A T0) , (j =1, 2, n , ) d e t AA (T) (4)
是线性方程组（2）的一组特解. 其中 Aj 〈B 〉和 Aj 〈0〉分别表示将矩阵 A 的第 j 列用列向量 B 和 0 替换后所得到的矩阵，AT 表示 A 的转置。
⎛A ⎫det( ⎪) ≠0⎝C ⎭证明 由引理 2.3 知，线性方程组（3）的系数矩阵行列式 [4]，
所以由克莱姆法则知，线性方程组（3）有唯一解
⎛A ⎫⎛B ⎫det( ⎪ ⎪) ⎝C ⎭⎝0⎭x j =,(j =1, 2, , n ) ⎛A ⎫det ⎪⎝C ⎭) (5
⎛A ⎫det ⎪≠0
在（5）的分子、分母上同乘以⎝C ⎭，得
⎛A ⎫⎛B ⎫⎛A ⎫det( ⎪ ⎪) det ⎪⎝C ⎭⎝0⎭⎝C ⎭x j =,(j =1, 2, , n ) T⎛A ⎫⎛A ⎫det ⎪ det ⎪⎝C ⎭⎝C ⎭ (6) T
由拉普拉斯（Laplace ）定理，上式可表为
⎛A j B ⎫⎛A ⎫det( ) det ⎪ C 0⎪⎪⎝C ⎭j x j =,(j =1, 2, , n ) T⎛A ⎫⎛A ⎫det( ⎪⎪) ⎝C ⎭⎝C ⎭T
根据分块矩阵乘法和分块矩阵行列式的性质，因为
⎛A ⎫⎛A ⎫⎛AA T
⎪ ⎪= T⎝C ⎭⎝C ⎭⎝CA TAC T⎫⎛AA T= T⎪CC ⎭⎝00⎫⎪I ⎭
所以
⎛AA T⎛A ⎫⎛A ⎫det( ⎪⎪) =det ⎝C ⎭⎝C ⎭⎝0T0⎫T⎪=det (AA )I ⎭
再根据行列式的性质
⎛A j B +0⎛A j B ⎫det( C 0⎪⎪) =det( C j c j -c j ⎝j ⎭⎝⎫⎛A j B ⎫⎛A j B +0⎫) =det -det ⎪ ⎪ ⎪⎪C C ⎝⎭⎝⎭ ⎭
TT所以 ⎛A j B ⎫⎛A j B ⎛A ⎫det( ) det =det ⎪ C 0⎪⎪C ⎝⎭⎝C ⎝j ⎭T⎫⎛A j 0⎛A ⎫ det -det ⎪ ⎪C ⎝⎭⎭⎝C ⎫⎛A ⎫ det ⎪ ⎪⎝C ⎭ ⎭
而
TT⎛A B det( j
⎝C ⎫⎛A j B ⎛A ⎫) det =det(⎪ ⎪⎝C ⎭⎭⎝C ⎛A j B A T⎫⎛A ⎫⎪ ⎪) =det T⎭⎝C ⎭⎝CA A j B C T⎫⎪CC T⎭
⎛A j B A T
=det 0⎝A j B C T⎫T⎪=det (A j B A )I ⎭
同理
⎛A 0det j
⎝C ⎫⎛A ⎫T det ⎪ ⎪=det (A j 0A )⎝C ⎭⎭ T
将上述结果代入（6）中得 x j =det (A j B A T)-det (A j 0A T)
det AA T,(j =1, 2, , n )
由引理 2.3 可知，上式也是线性方程组（2）的解. 定理证毕.
定理 2.2 在线性方程组（2）中，若 rank （A ）=rank（A ，B ）=r 且 r ＜min{m，n}，则线性方程组（2）与线性方程组
⎧a i 11x 1+a i 12x 2+ +a i 1n x n =b i 1⎪⎪a i 21x 1+a i 22x 2+ +a i 2n x n =b i 2⎨ ⎪⎪a x +a x + +a x =b i r n n i r ⎩i r 11i r 22 (7)
同解，其中是线性方程组（2）的个线性独立的方程，并且
(r )(r )det ⎡A B j ⎢⎣x j =((A ))-det (A ()⎤det ⎡A A ()⎢⎥⎣⎦(r )Tj r r T(r )0(r )(A )(r )T)⎤⎥⎦, (j =1, 2, , n )
(8)
是线性方程组（2）的一组特解. 这里 a i 11
A (r )a i 12 a i 1n a i 22 a i 2n
a i r 2 a i r n
b i 1, B (r )0,0()=r =a i 21 a i r 1=b i 2 b i r 0 0
分别是线性方程组（7）的系数矩阵和常数列向量，Aj （r ）〈B(r)〉和 Aj （r ）〈0(r)〉分别表示将矩阵 A(r)的第 j 列用列向量 B(r)和 0(r)替换后所得到的矩阵，（A(r)表示 A(r)的转置. 证明 因为 rank （A ）=rank（A ，B ）=r，所以线性方程组
（2）必有 r 个互相独立的方程. 这 r 个彼此独立的方程组成的线性方程组（7）与（1）同解[1，5].而线性方程组（7）的系数矩阵是行满秩的，根据定理 2.1 知本定理的结论（8）成立.
3.2.3 应用举例
例 求一般线性方程组
⎧2x 1+x 2-x 3+x 4=1⎪⎨4x 1+2x 2-2x 3+x 4=2
⎪2x +x -x -x =11234⎩
的一组特解[6]。
解：因为线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都等于 2，所以原线性方程组有解且与线性方程组
⎧2x 1+x 2-x 3+x 4=1⎨⎩4x 1+2x 2-2x 3+x 4=2
同解. 设该线性方程组的系数矩阵为A ，则通过计算知A 和AA 分别为 T
⎡21-11⎤⎡713⎤TA =⎢⎥, AA =⎢1325⎥42-21⎣⎦⎣⎦ 又A j B A T和A j 0A T(j =1, 2,3, 4)分别为
⎡59⎤⎡35⎤TA 1B A T=⎢, A 0A =; 1⎥⎢⎥⎣917⎦⎣59⎦
⎡713⎤⎡611⎤TA 2B A T=⎢, A 0A =⎥2⎢1121⎥⎣1325⎦⎣⎦
⎡59⎤⎡611⎤TTA 3B A =⎢⎥, A 30A =⎢1121⎥; 917⎣⎦⎣⎦
⎡713⎤⎡612⎤TA 4B A T=⎢, A 0A =⎥4⎢1224⎥⎣1426⎦⎣⎦
所以，分别可得
det (AA T)=6
det (A 1B A T)-det (A 10A T)=2
det (A 2B A T)-det (A 20A T)=1
det (A 3B A T)-det (A 30A T)=-1
det (A 4B A T)-det (A 40A T)=0
由广义克莱姆法则的公式（3）可得线性方程组的一组特解为
111x 1=, x 2=, x 3=, x 1=0366
从本题的求解过程可以看出，这种方法的计算量比高斯消去法的确复杂的多，但它毕竟为我们提供了一个求一般相容线性方程组特解的公式。 然而，需要强调的是：今后在实际计算中，我们应该尽可能避免使用这种方法。
结论 克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理. 它适用于变量和方程数目相等的线性方程组, 是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比, 克莱姆法则更具有重大的理论价值. 同时克莱姆法则也逐渐运用到现实生话中来，给我们带来了许多方便，我们利用它很好地解决了许多生活中的问题.
参考文献
[1]王文省，赵建立，于增海，王廷明．济南：山东大学出版社，2004.5．
[2] 北京大学数学系 高等代数（第二版）［Ｍ］。北京：高等教育出版社，1998．
[3] 贾启恒，高等代数，济南：山东大学出版社，1993．
[4]张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数[M]. 北京:高等教育出版社,
2007(6):63-78[2]Carl D.Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
[M].New York:Cambridge University Press,2001(2): 299-303．
［5］ Anile A M． Relativistic fluids and magneto-fluids，cambridge monographs on mathematical physics，Cambridge University Press， New York，1989:80 － 82． ［6］ Landau L D，Lifchitz E M． Fluid mechnics，2nd Edi-tion，Pergamon ，1987: 505 － 512．
［7］ Li T T，Qin T． Physics and parital differential equa-tions ( 2nd edition ) ，Higher Eudcation Press: Bei-jing，2005: 183 － 196．
［8］ Shi C C． Relativistic fluid dynamics，Science Press，Beijing ，1992: 161 － 232．
［9］ Geng Y C，Li Y． Non-relativistic global limits of entro-py solutions to the extremely relativistic Euler equa-tions，Z Angew Math Phys，2010，61: 201 － 220． ［10］ Li Y C，Geng Y． Non-relativistic global limits of Entro-py solutions to the isentropic relativistic Euler equa-tions，Z Angew Math Phys，2006，57: 960 － 983． ［11］ Guo Y，Tahhvildar-Zadeh S． Formation of singularitiesin relativistic fluid dynamics an in spherically sym-metric plasma dynamics［J ］． Cntemp Math，2009，238: 151 － 161．
［12］ Hao X W，Li Y C． Non-relativistic global limits of en-tropy solutions to the Cauchy problem of the three di-mensional relativistic Euler equations with
sphericalsymmetry ［J ］． Commun Pure Appl Anal，2010，9: 365－ 386．
[13]周禄新, 陶惠民. 非齐次线性方程组有解充要条件的讨论[J]. 天津理工学院学报, 1994(2):30-37．
[14]杨可. 用加边矩阵求解非其次线性方程组的尝试[J]. 内蒙古林学院学报, 1996(4):65-70．
[15]刘芳. 线性方程组与最简通解公式[J]. 攀枝花大学学报, 2000(4):68-79．
致 谢
这篇论文的选题与写作是在樊树芳老师的悉心指导与帮助下完成的， 樊老师对这篇文章的结构的调整，内容的修改及格式都给予了极大的帮助 .樊老师治学严谨，工作务实，待人热情，潜移默化的影响着我，是我学习和生活上的典范．在此向樊树芳老师表示衷心的感谢．
此外，感谢数学科学学院的其他领导、老师和我的同学们为我创造了良好的写作氛围，给予我的帮助与鼓励．