§6.3二次函数
6.3.1
1. 设抛物线y=2x2，把它向右平移P 个单位，或向下平移q 个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，求p 、q 的值；
2. 把抛物线y=2x2向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点（1,3）与（4,9），求p,q 的值。
3. 把抛物线
y =a x2+bx+c向左平移三个单位后，所得的图像是经过点 −1，−2 的抛物线y =a x2, 求原二次函数的解析式。
1
6.3.2 已知抛物线y =a x2+bx+c的一段图像如图所示
（1）确定a ，b ，c 的符号；
（2）求a+b+c的取值范围
6.3.3 一条抛物线y =a x2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（）
6.3.4已知二次函数y =a x2+bx+c（其中a 是正整数）的图像经过点A （-1,4）与点B （2,1），并且与x 轴有两个不同的交点，求b+c的最大值。
6.3.5 RT三角形ABC ，的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线
y =x2上，并且斜边AB 平行于X 轴，若斜边上的高位h ，则（）
A ．h2
6.3.6 在直角坐标系中，抛物线y =x2+mx−4m2(m>0）与X 轴交与A 、B 两点，若A 、B 两点到原点的距离分别为OA,OB ，且满足OB−OA=3M 的值。
6.3.7不论M 取任何实数，抛物线y =x2+2mx +m2+m −1的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式。
1123
6.3.8设a 、b 为常数，并且b
6.3.9已知抛物线y =ax2− a +c x +c(其中a ≠c) 不经过第二象限。
（1）判断这条抛物线的顶点A （x 0, y0) 所在象限，并说明理由。
（2）若经过这条抛物线顶点A （x 0, y0) 的直线
y =−x +k 与抛物线的另一个交点为B(
a+ca, −c), 求抛物线的解析式
6.3.10设二次函数f(x) =ax2+bx+c满足条件：f 0 =2, f(1)=−1, 且其图像在X 轴上所截得的线段长为2
6.3.11 设二次函数f(x) =ax2+bx+c, 当x =3时取得的最大值10 ，并且它的图像在x 轴上截得的线段长度为4，求a 、b 、c 的值。
6.3.12 如图, 点A ，C 在函数
y =3 x x>0 的图像上，点B, D 都在x 轴上，使得∆OAB ，
∆BCD 都是等边三角形，求D 点的坐标
6.3.13 已知点A 、B 的坐标分别为A （1,0）、B （2,0），若二次函数y =x2+ a−3 x+3的图像与线段AB 恰有一个交点，求a 的取值范围。
6.3.14 已知关于正整数n 的二次式y =n2+an(a为常实数），若当且仅当n=5 时，Y 有最小值，求实数a 的取值范围。
6.3.15已知f(x) =x2+6ax−a, y=f x 的图像与x 轴有两个不同的交点（x 1, 0) 、(x2, 0) , 且a
（1+x1)(1+x2) − 1−6a−x31 1−6a−x2 =8a−3, 求a 的值。
6.3.16已知二次函数y =x 2− m−3 x−m, 求所有的m 值，使得此二次函数图像与x 轴的两个交点不可能都落在x 轴的正半轴上。
6.3.17设有二次函数 f x =x2+bx+c与x 轴交于两点A 、B ，现有直线y =x −1过其中一交点且与抛物线交于另一点C ，又若s ∆abc=3, 求抛物线的方程。
6.3.18 已知二次函数y =(m−m2) x2+2m2−2m+1 m≠0,1 , 求证：对任意m ≠0,1的实数，这些二次函数的图像恒过定点A,B ，并求出A,B 的坐标。
6.3.19 设A,B 是抛物线y =2x2+4x−2上的点，原点位于线段AB 的中点处，试求：A,B 两点的坐标。
6.3．20已知二次函数y =x2+2 m+1 x−m+1
(1)随着m 的变化，该二次函数图像的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；
（2）如果直线y =x +1经过二次函数y =x2+2 m+1 x−m+1图像的顶点P ，求此时的m 的值。
6.3.21设有整系数二次函数
f(x) =ax2+bx+c, 其图像开口方向朝上，且与x 轴有两个交点，分别在（-1,0），（1，+∞）内，且f x =0. 的判断式等于5，试求a,b,c 的值。
6.3.22求所有的整系数二次函数f(x) =ax2+bx+c a≠b , 使得f a =b, f(b) =a
6.3.23 已知二次函数y =ax2+bx+c(a恒成立，求实数m 的取值范围。
6.3.24 已知方程x2+bx+c=0有两个实数根s, t ，并且 s
（1） c
(2) b
6.3.25设函数f x =x2+x +2 n≤x≤n+1 ,
这里n 是正整数，则在f(x) 的值域中有多少个整数？
6.3.26设m,n 为正整数，且m ≠2, 如果对一切实数t, 二次函数y =x2+ 3−mt x−3mt的图像与x 轴的两个交点间的距离不小于1
2t +n , 求m, n 的值。
6.3.27 设m,n 为正整数，且m ≠2, 二次函数y =x2+ 3−mt x−3mt的图像与x 轴的两个交点间的距离为d 1, 二次函数y =−x2+ 2t −n x+2nt的图像与x 轴的两个交点间的距离为d2, 如果d 1≥d2，对于一切实数t 恒成立，求m,n 的值。
6.3.28已知函数f(x) =−9x2−6ax −a2+2a −3≤x≤3, 有最大值−3，求实数a 的值
11
6.3.29设a,b 为常实数，当k 取任意实数时，函数y = k2+K+1 x2−2 a+k 2x+k2+3ak+b的图像与x 轴都交于点A 1，0
（1）求a,b 的值
（2）若函数图像与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求 AB 的最大值。
6.3.30若抛物线y =x2+ax+2
与连结两点M 0,1 、N 2,3 的线段 包括M, N 两点 有两个相异的交点，求a 的取值范围。
§6.3二次函数
6.3.1
1. 设抛物线y=2x2，把它向右平移P 个单位，或向下平移q 个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，求p 、q 的值；
2. 把抛物线y=2x2向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点（1,3）与（4,9），求p,q 的值。
3. 把抛物线
y =a x2+bx+c向左平移三个单位后，所得的图像是经过点 −1，−2 的抛物线y =a x2, 求原二次函数的解析式。
1
6.3.2 已知抛物线y =a x2+bx+c的一段图像如图所示
（1）确定a ，b ，c 的符号；
（2）求a+b+c的取值范围
6.3.3 一条抛物线y =a x2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（）
6.3.4已知二次函数y =a x2+bx+c（其中a 是正整数）的图像经过点A （-1,4）与点B （2,1），并且与x 轴有两个不同的交点，求b+c的最大值。
6.3.5 RT三角形ABC ，的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线
y =x2上，并且斜边AB 平行于X 轴，若斜边上的高位h ，则（）
A ．h2
6.3.6 在直角坐标系中，抛物线y =x2+mx−4m2(m>0）与X 轴交与A 、B 两点，若A 、B 两点到原点的距离分别为OA,OB ，且满足OB−OA=3M 的值。
6.3.7不论M 取任何实数，抛物线y =x2+2mx +m2+m −1的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式。
1123
6.3.8设a 、b 为常数，并且b
6.3.9已知抛物线y =ax2− a +c x +c(其中a ≠c) 不经过第二象限。
（1）判断这条抛物线的顶点A （x 0, y0) 所在象限，并说明理由。
（2）若经过这条抛物线顶点A （x 0, y0) 的直线
y =−x +k 与抛物线的另一个交点为B(
a+ca, −c), 求抛物线的解析式
6.3.10设二次函数f(x) =ax2+bx+c满足条件：f 0 =2, f(1)=−1, 且其图像在X 轴上所截得的线段长为2
6.3.11 设二次函数f(x) =ax2+bx+c, 当x =3时取得的最大值10 ，并且它的图像在x 轴上截得的线段长度为4，求a 、b 、c 的值。
6.3.12 如图, 点A ，C 在函数
y =3 x x>0 的图像上，点B, D 都在x 轴上，使得∆OAB ，
∆BCD 都是等边三角形，求D 点的坐标
6.3.13 已知点A 、B 的坐标分别为A （1,0）、B （2,0），若二次函数y =x2+ a−3 x+3的图像与线段AB 恰有一个交点，求a 的取值范围。
6.3.14 已知关于正整数n 的二次式y =n2+an(a为常实数），若当且仅当n=5 时，Y 有最小值，求实数a 的取值范围。
6.3.15已知f(x) =x2+6ax−a, y=f x 的图像与x 轴有两个不同的交点（x 1, 0) 、(x2, 0) , 且a
（1+x1)(1+x2) − 1−6a−x31 1−6a−x2 =8a−3, 求a 的值。
6.3.16已知二次函数y =x 2− m−3 x−m, 求所有的m 值，使得此二次函数图像与x 轴的两个交点不可能都落在x 轴的正半轴上。
6.3.17设有二次函数 f x =x2+bx+c与x 轴交于两点A 、B ，现有直线y =x −1过其中一交点且与抛物线交于另一点C ，又若s ∆abc=3, 求抛物线的方程。
6.3.18 已知二次函数y =(m−m2) x2+2m2−2m+1 m≠0,1 , 求证：对任意m ≠0,1的实数，这些二次函数的图像恒过定点A,B ，并求出A,B 的坐标。
6.3.19 设A,B 是抛物线y =2x2+4x−2上的点，原点位于线段AB 的中点处，试求：A,B 两点的坐标。
6.3．20已知二次函数y =x2+2 m+1 x−m+1
(1)随着m 的变化，该二次函数图像的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；
（2）如果直线y =x +1经过二次函数y =x2+2 m+1 x−m+1图像的顶点P ，求此时的m 的值。
6.3.21设有整系数二次函数
f(x) =ax2+bx+c, 其图像开口方向朝上，且与x 轴有两个交点，分别在（-1,0），（1，+∞）内，且f x =0. 的判断式等于5，试求a,b,c 的值。
6.3.22求所有的整系数二次函数f(x) =ax2+bx+c a≠b , 使得f a =b, f(b) =a
6.3.23 已知二次函数y =ax2+bx+c(a恒成立，求实数m 的取值范围。
6.3.24 已知方程x2+bx+c=0有两个实数根s, t ，并且 s
（1） c
(2) b
6.3.25设函数f x =x2+x +2 n≤x≤n+1 ,
这里n 是正整数，则在f(x) 的值域中有多少个整数？
6.3.26设m,n 为正整数，且m ≠2, 如果对一切实数t, 二次函数y =x2+ 3−mt x−3mt的图像与x 轴的两个交点间的距离不小于1
2t +n , 求m, n 的值。
6.3.27 设m,n 为正整数，且m ≠2, 二次函数y =x2+ 3−mt x−3mt的图像与x 轴的两个交点间的距离为d 1, 二次函数y =−x2+ 2t −n x+2nt的图像与x 轴的两个交点间的距离为d2, 如果d 1≥d2，对于一切实数t 恒成立，求m,n 的值。
6.3.28已知函数f(x) =−9x2−6ax −a2+2a −3≤x≤3, 有最大值−3，求实数a 的值
11
6.3.29设a,b 为常实数，当k 取任意实数时，函数y = k2+K+1 x2−2 a+k 2x+k2+3ak+b的图像与x 轴都交于点A 1，0
（1）求a,b 的值
（2）若函数图像与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求 AB 的最大值。
6.3.30若抛物线y =x2+ax+2
与连结两点M 0,1 、N 2,3 的线段 包括M, N 两点 有两个相异的交点，求a 的取值范围。