周长最小值专题（试题部分 生用）
A. 线段和最小值 两种基本模型
如图，要在街道旁修建一个奶站P ，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站P 应建在什么地方，才能使从A ，B 到它的距离之和最短？为什么？
求线段和最小值的一般步骤：
①选点P 所在直线l 为对称轴；画出点A 的对称点A ’ ②连结对称点A ’与B 之间的线段，交直线l 于点P ， 点P 即为所求的点，线段A ’B 的长就是AP+BP的最小值。 基本解法::利用对称性, 将“折”转“直”
基础训练
1. 如图11，梯形ABCD 中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD的最小值为
A. 1 B.
2. 如图4，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，
P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。
C.
D.2
图4
2. 如图，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙
O 的半径长为1，则AP+BP的最小值为___。
B. 三角形周长最小值
1. （福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．
2. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x 轴交于A(1，0) ，B(-3，0) 两点， （1）求该抛物线的解析式。 （2）设（1）中的抛物线交y 轴于点C ，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 QAC 的周长最小？如果存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，是△PBC的面积最大? 若存在，求出点P 坐标及△PBC面积的最大值; 若不存在，请说明理由
3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A （3，3.5）、B （4，2）、C （0，2）三点，点P 是x 轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲所示，连接AC 、CP 、PB 、BA ，是否存在点P ，使四边形ABPC 为等腰梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点H 是题中抛物线对称轴l 上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB 周长的最小值．
（1）利用待定系数法，将点A ，B ，C 的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PC ∥AB 与BP ∥AC 去分析，注意不要漏解； （3）首先确定点P 与点H 的位置，再求解各线段的长即可．
B. 四边形周长最小值
基本模型（一）定长不动：做双对称
思路与方法
1）总有两个已知点，即一条边是定值。
2）分别做两个已知点关于xy 轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点 3）此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最小。
1. 在直角坐标系中, 设A （4，-5）B （8，-3）C （m ，0）D （0，n ）, 当四边形的周长最短时,m/n的值为_________.
2. 在直角坐标系中有四个点A （-6，3），B （-2，5），C （0，m ），D （n ，
0），当四边形ABCD 周长最短时，则m+n=_________
基本模型（二）定长移动:做单对称
思路与方法
1) 做一个定点的对称点
2) 过另一定点做移动边的平行线
3) 做出平行四边形，找到定长的两个端点。
1. 如图，A 、B 是直线a 同侧的两定点，定长线段PQ 在a 上平行移动，问PQ 移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？
作法：(假设P'Q' 就是在直线a 上移动的定长线段)
1) 过点B
作直线a 的平行线, 并在这条平行线上截取线段BB', 使它等于定长P'Q' ； 2) 作出点A 关于直线a 的对称点A' ，连接A'B' ，交直线a 于P ； 3) 在直线a 上截取线段PQ=P'Q. . 则此时AP+PQ+BQ最小.
略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB' 与P'Q'BB' 均为平行四边形. 下面只要说明AP+BQ
点A 与A' 关于直线a 对称，则AP=A'P,AP'=A'P'. 故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';
AP'+BQ'=A'P'+B'P'.显然,A'B'
2. 如图, 在直线l 上有动线段CD, 在直线l 的同侧有两定点A,B 在CD 运动过程中请画出使四边形ABCD 周长最短的CD 的位置
专题训练
2. （浙江省湖州市）如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3）、B （4，－1）。（1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p=__________时，△PAB 的周长最短；（2）若C （a ，0），D （a+3，0）是x 轴上的两个动点，则当a=__________时，四边形ABDC 的周长最短；（3）设M 、N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=__________，n=__________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。
3在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点． （1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标。 （2）若E 、F 为线段边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．
4. 已
知顶点为(1)
求
抛
A(1,5)的抛物线
物轴、
线
的
解
经过点析
式
B(5,1).
;
(2)
如图(1),设C,D 分别是轴上的两个动点，求四边形ABCD 周长的最小值；
)(
) 是直线
(3)在(2)中，当四边形ABCD 的周长最小时，作直线CD. 设点P(
上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形PRQ. ①当△PBR 与直线CD 有公共点时, 求的取值范围； ②在①的条件下，记△PBR 与△COD 的公共部分的面积为S. 求S 关于的函数关系式，并求S 的最大值。
周长最小值专题（试题部分 生用）
A. 线段和最小值 两种基本模型
如图，要在街道旁修建一个奶站P ，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站P 应建在什么地方，才能使从A ，B 到它的距离之和最短？为什么？
求线段和最小值的一般步骤：
①选点P 所在直线l 为对称轴；画出点A 的对称点A ’ ②连结对称点A ’与B 之间的线段，交直线l 于点P ， 点P 即为所求的点，线段A ’B 的长就是AP+BP的最小值。 基本解法::利用对称性, 将“折”转“直”
基础训练
1. 如图11，梯形ABCD 中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD的最小值为
A. 1 B.
2. 如图4，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，
P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。
C.
D.2
图4
2. 如图，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙
O 的半径长为1，则AP+BP的最小值为___。
B. 三角形周长最小值
1. （福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．
2. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x 轴交于A(1，0) ，B(-3，0) 两点， （1）求该抛物线的解析式。 （2）设（1）中的抛物线交y 轴于点C ，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 QAC 的周长最小？如果存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，是△PBC的面积最大? 若存在，求出点P 坐标及△PBC面积的最大值; 若不存在，请说明理由
3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A （3，3.5）、B （4，2）、C （0，2）三点，点P 是x 轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲所示，连接AC 、CP 、PB 、BA ，是否存在点P ，使四边形ABPC 为等腰梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点H 是题中抛物线对称轴l 上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB 周长的最小值．
（1）利用待定系数法，将点A ，B ，C 的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PC ∥AB 与BP ∥AC 去分析，注意不要漏解； （3）首先确定点P 与点H 的位置，再求解各线段的长即可．
B. 四边形周长最小值
基本模型（一）定长不动：做双对称
思路与方法
1）总有两个已知点，即一条边是定值。
2）分别做两个已知点关于xy 轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点 3）此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最小。
1. 在直角坐标系中, 设A （4，-5）B （8，-3）C （m ，0）D （0，n ）, 当四边形的周长最短时,m/n的值为_________.
2. 在直角坐标系中有四个点A （-6，3），B （-2，5），C （0，m ），D （n ，
0），当四边形ABCD 周长最短时，则m+n=_________
基本模型（二）定长移动:做单对称
思路与方法
1) 做一个定点的对称点
2) 过另一定点做移动边的平行线
3) 做出平行四边形，找到定长的两个端点。
1. 如图，A 、B 是直线a 同侧的两定点，定长线段PQ 在a 上平行移动，问PQ 移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？
作法：(假设P'Q' 就是在直线a 上移动的定长线段)
1) 过点B
作直线a 的平行线, 并在这条平行线上截取线段BB', 使它等于定长P'Q' ； 2) 作出点A 关于直线a 的对称点A' ，连接A'B' ，交直线a 于P ； 3) 在直线a 上截取线段PQ=P'Q. . 则此时AP+PQ+BQ最小.
略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB' 与P'Q'BB' 均为平行四边形. 下面只要说明AP+BQ
点A 与A' 关于直线a 对称，则AP=A'P,AP'=A'P'. 故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';
AP'+BQ'=A'P'+B'P'.显然,A'B'
2. 如图, 在直线l 上有动线段CD, 在直线l 的同侧有两定点A,B 在CD 运动过程中请画出使四边形ABCD 周长最短的CD 的位置
专题训练
2. （浙江省湖州市）如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3）、B （4，－1）。（1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p=__________时，△PAB 的周长最短；（2）若C （a ，0），D （a+3，0）是x 轴上的两个动点，则当a=__________时，四边形ABDC 的周长最短；（3）设M 、N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=__________，n=__________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。
3在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点． （1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标。 （2）若E 、F 为线段边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．
4. 已
知顶点为(1)
求
抛
A(1,5)的抛物线
物轴、
线
的
解
经过点析
式
B(5,1).
;
(2)
如图(1),设C,D 分别是轴上的两个动点，求四边形ABCD 周长的最小值；
)(
) 是直线
(3)在(2)中，当四边形ABCD 的周长最小时，作直线CD. 设点P(
上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形PRQ. ①当△PBR 与直线CD 有公共点时, 求的取值范围； ②在①的条件下，记△PBR 与△COD 的公共部分的面积为S. 求S 关于的函数关系式，并求S 的最大值。