第26卷 第5期
2007年10月理 工 高 教 研 究Journal of T echnology College Education Vol. 26 No. 5 Octember 2007
引导学生理解信号频谱的概念和意义
国防科学技术大学 刘芸 李宗伯 刘芳
摘要: 针对教学难点, 就如何引导学生有效理解信号频谱的概念和频域分析的意义, 提出信号频域分析的教学思路和方法。即先用单个正弦信号说明频谱的定义, 从信号分解的角度理解频谱与信号的关系, 再分析周期信号频谱的特点, 进而引导出求非周期信号频谱的傅里叶变换, 说明其意义, 通过傅里叶变换的性质强调频域分析的实际应用。在“信号与系统”课程中, , 涉及傅里叶级数、傅里叶变换、系统的频域分析和抽样定理等。从这一章节起, 、离, 学推导和计算中, 而忽视了对概念、, 也是教学的难点。, 以下谈谈我们在实践中总结的教学思路和方法。
一、信号的频谱就是信号的频域表示, 是关于频率的幅度函数和相位函数, 这两个函数分别称为幅度谱和相位谱, 它们完全反映了信号的特性。学生比较容易理解信号的时域表示方式, 即用时间函数或波形来描述信号的特性, 为了让学生建立起频谱的初步概念, 可以用单一正弦信号与其频谱来说明。例如考虑用余弦函数表示的正弦信号x (t )
(1) x (t ) =A cos (ω1t +θf 1t +θ1) =A cos (2π1)
x (t ) 可以用三个参数表示其特征:振幅A 、初相位θf 1) 。如果以频率(角频率) 作为变量, 可以1和频率f 1(或角频率ω1=2π
画出作为频率函数的幅度和初相位的波形, 如图1所示, 它们就是x (t ) 的幅度谱A (f ) 和相位谱θ(f ) , 即频谱。已知信号频谱(图1(b ) ) , 可以画出信号的时域波形(图1(a ) ) , 或写出信号的时间函数, 因此可以说频谱是信号的一种表示方式, 称为频域表示。这里要提醒或强调:频率和频谱是与正弦波对应的
。
图1 信号x (t ) =4cos[2π(5) t -πΠ3]的波形和
图1(b ) 所表示的是单边谱, 它是和余弦函数相对应的。为了引出双边谱的概念, 将式(2) 表示为
x (t ) =A cos (ω1t +θ1) =θj j 2πf
2e 1e
e θj 11t +2e -θj 1e j (-2πf ) t 1(2) 式(2) 说明余弦函数可以表示成两个复指数函数的和, 其中复数2与频率f 1有关, 2e -θj 1与频率-f 1有关, 即它们是频
率的函数。这些复数的模和辐角分别称为余弦信号的双边幅度谱和相位谱, 如图2所示。余弦函数的幅度值是双边幅度谱在正频率的值的两倍, 余弦函数的相位值是双边相位谱在正频率的值, 因此, 正弦信号的幅度和相位很容易从双边谱确定。这里要强调:双边谱中的负频率项, 并不意味着存在负频率, 而是为了用复指数函数表示正弦信号而引入的。
二、从信号分解的角度来理解频谱与信号的关系
在以单一正弦信号建立起频谱概念的基础上, 我们可以用由多个正弦信号叠加组成的信号波形和其频谱举例, 进一步说
120 刘芸 李宗伯 刘芳:引导学生理解信号频谱的概念和意义
图2 图1所示信号的双边谱
明信号频谱表示的意义。例如
(3) +3cos 2π(15) t +43
式(3) 表示x 1(t ) 可以分解为三个不同频率的余弦函数之和, 它的波形和频谱如图3所示。单从x 1(t ) 的时域波形, 看不出信号是由哪些余弦函数叠加而成。如果已知信号的频谱, 则可以很清楚地了解信号所含各频率余弦函数分量的大小和相位, 同时, 也可以根据频谱写出x 1(t ) 的时域表达式。可见, 信号的频谱表示与信号的时域函数或波形表示是完全相当的
, 而且信号频谱所反映的某些特性, 如包含不同频率分量的幅度和相位特性, 要比时域表示更加清晰有效。x 1(t ) =5cos[2π(5) t ]+cos 2π(10) t -
图3 x 1(t ) 的波形和频谱
三、由傅里叶级数分解来分析周期信号频谱的特点
周期为T 1、基频为ω1=2πf 1=2πΠT 1的周期函数f (t ) , 满足狄义赫利条件, 可分解为傅里叶级数
∞
f (t ) =c 0+
n =1∑c cos (n ωn 1+θn ) (4)
式(4) 为三角形式傅里叶级数, 其中c 0相当于频率为0的余弦函数分量。因此, 完全可以在以频率为变量的轴上分别画出每个余弦函数分量(也称为谐波分量) 的幅度和相位, 即频谱。通过把余弦函数表示成共轭复指数函数之和, 可将f (t ) 分解为复指数形式的傅里叶级数, 即
∞
f (t ) =
n =-∞∑F e n ωt jn 1(5)
F n 一般为复数, 以频率为变量, 可画出F n 的模和辐角的图, 当n 取值为负时, 相当于负频率项, 所得的波形即为f (t ) 的双边谱。以上要强调:傅里叶级数是时域周期信号的一种分解方式, 不同的信号其傅里叶级数表示形式一样, 只是各项系数不同。这些系数即是信号的频谱, 它可以反映信号各谐波分量的幅度和相位特性, 已知信号的频谱, 则可以按照式(4) 或式(5) 写出周期信号的时域表示式。而周期信号频谱的特点, 可以用周期矩形脉冲信号为例进行说明。设该信号的脉宽为τ, 周期为T 1, 按照傅里叶级数的求解公式求出各项系数c n 或F n , 然后做出频谱图。通过分析让学生理解以下一些重要结论:(1) 幅度谱和
ω1(或频率nf 1) 上有值。这是因为展开式中的每个谐波分量的频率都是基频ω1的相位谱是离散谱线, 仅在离散点角频率n
整数倍; (2) 离散间隔就是基频ω1=2πΠT 1, 与周期有关, 周期越大, 间隔越小, 谱线越密; (3) 谱线包络为Sa 函数的主要特点, 由此引出频带宽度的概念。
四、随傅里叶变换的引出来理解非周期信号频谱的意义
傅里叶变换是分析非周期信号频谱的数学工具。傅里叶变换的引出, 许多典型的教科书都是按照这样的思路:将非周期
刘芸 李宗伯 刘芳:引导学生理解信号频谱的概念和意义 121
信号做周期延拓, 求其傅里叶级数, 然后令周期为无穷大取极限, 从而引出非周期信号的频谱密度函数, 即傅里叶变换。学生在理解了周期信号频谱的特点后, 容易理解当周期趋于无穷大时, 谱线间隔趋于无穷小, 即离散谱变为连续谱。但由于此时频谱值也趋于无穷小, 所以转而用单位频带内的频谱值, 即频谱密度函数作为非周期信号的频谱。频谱密度的概念是模糊的, 学生难以理解。在这个问题的讲解上, 我们觉得要强调它作为信号频谱的意义, 而淡化对密度的理解。
1设f (t ) 为一非周期信号, f T
p (t ) =n =-∞∑f (t -n T 1) 为其做周期延拓得到的周期信号, 则有
T f (t ) =lim f p 1(t ) T →∞∞(6) 1
1将f T
p 展开成傅里叶级数, 其系数为
F n 1=
f n =lim F n 1=lim T →∞T T T 1T f T 1p ωt 1d t (t ) e -jn (7) T 1→∞111T →∞T 1T f T 1p (t ) e -jn ωt 1d t 0(8)
1
可以这样理解F n :信号必然含有一定的能量, 其总能量不会因信号的分解方式而发生改变。周期增大, 谱线增多, 即分解的谐波分量增多, 相应的幅度值减小, 所含的能量减小以保证总能量不变。当周期增至无穷大时, f (t ) 将分解为无穷多频率分量之和, 此时每一分量的幅度值趋于无穷小, 但信号的频谱分布依然存在。从数学上解释:在极限情况下, 无穷多个无穷小量之和, 可能等于一个有限值, 它取决于信号的能量。而频谱密度函数为
T T ω) 2π・F 1(n 2π・F 1(ω) T 1(9) f (ω) =lim F n T 1=lim =lim ω1ω1ω→T →∞T →∞0111
) 可以收敛到确定的值。从式(9) 可以看出F (ω) 仍然反映了F n 的特性, 与F n 不同的是它的单位不再是数值的大小, 而F (ω
是密度单位。用F (ω) 作为f (t ) 分解成频率分量的系数, 可以得到傅里叶变换式
∞ωj t f (t ) =F (ω) e d 2π-∞(10) ∞-t F (ω) t t -式(10) :f (t ) F (ω) d ωΠ2π的复指数函数之和, 其幅度大小取决于F (ω) , , , 所以频率变成连续变量, 求和式变成积分式。。:傅里叶变换可以看作是函数的一种变量变换, 将以t 为变量的函数变换为以ω为变量的函数, , ω为频率变量, 所以傅里叶变换是一种时频变换, 它们之间具有一一对应的关系, 简记为
(11) f (t ) ΖF (ω)
由这种变换的一一对应关系, 可进一步阐明信号的频谱和信号的时间函数表示所包含的信息量是完全相当的, 它们可以相互转换。另外, 我们还可以用傅里叶变换对周期信号进行频谱分析, 因而将任何信号的频谱分析统一在傅里叶变换的框架之下。用傅里叶变换和用傅里叶级数求解周期信号的频谱, 要注意强调其结果的异同, 异:傅里叶变换频谱是离散的冲激函数序列, 而傅里叶级数频谱是离散的幅度值。同:它们都是离散谱, 离散间隔相同, 频谱包络相同, 即所反映的特性一致。进而还可以得出结论:时域周期Ζ频域离散。
五、通过傅里叶变换的性质来说明频谱分析的实用意义
傅里叶变换作为一种数学运算, 有许多性质。在这部分内容的教学中, 我们认为要注意数学与物理意义相结合, 加强性质的应用举例, 强调由性质所揭示出的时域和频域对应关系, 挖掘性质在实际中的应用事例。例如利用性质计算复杂信号的频谱; 傅里叶变换可以将时域中的微分运算变换成频域中的乘法运算, 这个微分性质为我们分析L TI 系统带来了极大的方便; 可以用以不同的速度重放录制好的磁带, 听到声音会变化, 这一日常生活中大家熟悉的现象为例帮助理解尺度变换性质; 频移性质最现实的应用就是通信系统中的调制与解调, 等。通过这些事例的形象说明, 使学生进一步加深对信号频谱的认识, 学会运用。
总之, 信号频谱是建立在用三角函数分解信号基础上的, 先用简单的信号分解建立起频谱的概念, 再用傅里叶级数分析周期信号的频谱, 进而引出傅里叶变换, 按此思路开展教学, 学生比较容易理解傅里叶变换的意义所在。另外, 信号的频谱分析作为提取信号特征的重要手段, 在信号处理领域有着广泛的实际应用, 也有不少分析工具, 如频谱分析仪、计算机上的软件分析工具等。我们在教学中, 应加强实践性教学环节, 例如介绍频谱分析仪的基本原理和使用方法, 利用MA TLAB 分析语音信号的频谱特征等, 使学生能真正体会信号频谱分析的实用意义, 同时也能进一步提高学生的学习兴趣, 激发他们不断探索的好奇心和钻研精神。
参考文献
[1] 曾朝阳等译. 信号与线性系统分析[M ].(原书第2版) . 北京:机械工业出版社,2004.
[2] 郑方, 徐明星. 信号处理原理[M ].北京:清华大学出版社,2003.
[3] 刘树棠译. 信号与系统[M ].(第二版) . 陕西:西安交通大学出版社,2000.
第26卷 第5期
2007年10月理 工 高 教 研 究Journal of T echnology College Education Vol. 26 No. 5 Octember 2007
引导学生理解信号频谱的概念和意义
国防科学技术大学 刘芸 李宗伯 刘芳
摘要: 针对教学难点, 就如何引导学生有效理解信号频谱的概念和频域分析的意义, 提出信号频域分析的教学思路和方法。即先用单个正弦信号说明频谱的定义, 从信号分解的角度理解频谱与信号的关系, 再分析周期信号频谱的特点, 进而引导出求非周期信号频谱的傅里叶变换, 说明其意义, 通过傅里叶变换的性质强调频域分析的实际应用。在“信号与系统”课程中, , 涉及傅里叶级数、傅里叶变换、系统的频域分析和抽样定理等。从这一章节起, 、离, 学推导和计算中, 而忽视了对概念、, 也是教学的难点。, 以下谈谈我们在实践中总结的教学思路和方法。
一、信号的频谱就是信号的频域表示, 是关于频率的幅度函数和相位函数, 这两个函数分别称为幅度谱和相位谱, 它们完全反映了信号的特性。学生比较容易理解信号的时域表示方式, 即用时间函数或波形来描述信号的特性, 为了让学生建立起频谱的初步概念, 可以用单一正弦信号与其频谱来说明。例如考虑用余弦函数表示的正弦信号x (t )
(1) x (t ) =A cos (ω1t +θf 1t +θ1) =A cos (2π1)
x (t ) 可以用三个参数表示其特征:振幅A 、初相位θf 1) 。如果以频率(角频率) 作为变量, 可以1和频率f 1(或角频率ω1=2π
画出作为频率函数的幅度和初相位的波形, 如图1所示, 它们就是x (t ) 的幅度谱A (f ) 和相位谱θ(f ) , 即频谱。已知信号频谱(图1(b ) ) , 可以画出信号的时域波形(图1(a ) ) , 或写出信号的时间函数, 因此可以说频谱是信号的一种表示方式, 称为频域表示。这里要提醒或强调:频率和频谱是与正弦波对应的
。
图1 信号x (t ) =4cos[2π(5) t -πΠ3]的波形和
图1(b ) 所表示的是单边谱, 它是和余弦函数相对应的。为了引出双边谱的概念, 将式(2) 表示为
x (t ) =A cos (ω1t +θ1) =θj j 2πf
2e 1e
e θj 11t +2e -θj 1e j (-2πf ) t 1(2) 式(2) 说明余弦函数可以表示成两个复指数函数的和, 其中复数2与频率f 1有关, 2e -θj 1与频率-f 1有关, 即它们是频
率的函数。这些复数的模和辐角分别称为余弦信号的双边幅度谱和相位谱, 如图2所示。余弦函数的幅度值是双边幅度谱在正频率的值的两倍, 余弦函数的相位值是双边相位谱在正频率的值, 因此, 正弦信号的幅度和相位很容易从双边谱确定。这里要强调:双边谱中的负频率项, 并不意味着存在负频率, 而是为了用复指数函数表示正弦信号而引入的。
二、从信号分解的角度来理解频谱与信号的关系
在以单一正弦信号建立起频谱概念的基础上, 我们可以用由多个正弦信号叠加组成的信号波形和其频谱举例, 进一步说
120 刘芸 李宗伯 刘芳:引导学生理解信号频谱的概念和意义
图2 图1所示信号的双边谱
明信号频谱表示的意义。例如
(3) +3cos 2π(15) t +43
式(3) 表示x 1(t ) 可以分解为三个不同频率的余弦函数之和, 它的波形和频谱如图3所示。单从x 1(t ) 的时域波形, 看不出信号是由哪些余弦函数叠加而成。如果已知信号的频谱, 则可以很清楚地了解信号所含各频率余弦函数分量的大小和相位, 同时, 也可以根据频谱写出x 1(t ) 的时域表达式。可见, 信号的频谱表示与信号的时域函数或波形表示是完全相当的
, 而且信号频谱所反映的某些特性, 如包含不同频率分量的幅度和相位特性, 要比时域表示更加清晰有效。x 1(t ) =5cos[2π(5) t ]+cos 2π(10) t -
图3 x 1(t ) 的波形和频谱
三、由傅里叶级数分解来分析周期信号频谱的特点
周期为T 1、基频为ω1=2πf 1=2πΠT 1的周期函数f (t ) , 满足狄义赫利条件, 可分解为傅里叶级数
∞
f (t ) =c 0+
n =1∑c cos (n ωn 1+θn ) (4)
式(4) 为三角形式傅里叶级数, 其中c 0相当于频率为0的余弦函数分量。因此, 完全可以在以频率为变量的轴上分别画出每个余弦函数分量(也称为谐波分量) 的幅度和相位, 即频谱。通过把余弦函数表示成共轭复指数函数之和, 可将f (t ) 分解为复指数形式的傅里叶级数, 即
∞
f (t ) =
n =-∞∑F e n ωt jn 1(5)
F n 一般为复数, 以频率为变量, 可画出F n 的模和辐角的图, 当n 取值为负时, 相当于负频率项, 所得的波形即为f (t ) 的双边谱。以上要强调:傅里叶级数是时域周期信号的一种分解方式, 不同的信号其傅里叶级数表示形式一样, 只是各项系数不同。这些系数即是信号的频谱, 它可以反映信号各谐波分量的幅度和相位特性, 已知信号的频谱, 则可以按照式(4) 或式(5) 写出周期信号的时域表示式。而周期信号频谱的特点, 可以用周期矩形脉冲信号为例进行说明。设该信号的脉宽为τ, 周期为T 1, 按照傅里叶级数的求解公式求出各项系数c n 或F n , 然后做出频谱图。通过分析让学生理解以下一些重要结论:(1) 幅度谱和
ω1(或频率nf 1) 上有值。这是因为展开式中的每个谐波分量的频率都是基频ω1的相位谱是离散谱线, 仅在离散点角频率n
整数倍; (2) 离散间隔就是基频ω1=2πΠT 1, 与周期有关, 周期越大, 间隔越小, 谱线越密; (3) 谱线包络为Sa 函数的主要特点, 由此引出频带宽度的概念。
四、随傅里叶变换的引出来理解非周期信号频谱的意义
傅里叶变换是分析非周期信号频谱的数学工具。傅里叶变换的引出, 许多典型的教科书都是按照这样的思路:将非周期
刘芸 李宗伯 刘芳:引导学生理解信号频谱的概念和意义 121
信号做周期延拓, 求其傅里叶级数, 然后令周期为无穷大取极限, 从而引出非周期信号的频谱密度函数, 即傅里叶变换。学生在理解了周期信号频谱的特点后, 容易理解当周期趋于无穷大时, 谱线间隔趋于无穷小, 即离散谱变为连续谱。但由于此时频谱值也趋于无穷小, 所以转而用单位频带内的频谱值, 即频谱密度函数作为非周期信号的频谱。频谱密度的概念是模糊的, 学生难以理解。在这个问题的讲解上, 我们觉得要强调它作为信号频谱的意义, 而淡化对密度的理解。
1设f (t ) 为一非周期信号, f T
p (t ) =n =-∞∑f (t -n T 1) 为其做周期延拓得到的周期信号, 则有
T f (t ) =lim f p 1(t ) T →∞∞(6) 1
1将f T
p 展开成傅里叶级数, 其系数为
F n 1=
f n =lim F n 1=lim T →∞T T T 1T f T 1p ωt 1d t (t ) e -jn (7) T 1→∞111T →∞T 1T f T 1p (t ) e -jn ωt 1d t 0(8)
1
可以这样理解F n :信号必然含有一定的能量, 其总能量不会因信号的分解方式而发生改变。周期增大, 谱线增多, 即分解的谐波分量增多, 相应的幅度值减小, 所含的能量减小以保证总能量不变。当周期增至无穷大时, f (t ) 将分解为无穷多频率分量之和, 此时每一分量的幅度值趋于无穷小, 但信号的频谱分布依然存在。从数学上解释:在极限情况下, 无穷多个无穷小量之和, 可能等于一个有限值, 它取决于信号的能量。而频谱密度函数为
T T ω) 2π・F 1(n 2π・F 1(ω) T 1(9) f (ω) =lim F n T 1=lim =lim ω1ω1ω→T →∞T →∞0111
) 可以收敛到确定的值。从式(9) 可以看出F (ω) 仍然反映了F n 的特性, 与F n 不同的是它的单位不再是数值的大小, 而F (ω
是密度单位。用F (ω) 作为f (t ) 分解成频率分量的系数, 可以得到傅里叶变换式
∞ωj t f (t ) =F (ω) e d 2π-∞(10) ∞-t F (ω) t t -式(10) :f (t ) F (ω) d ωΠ2π的复指数函数之和, 其幅度大小取决于F (ω) , , , 所以频率变成连续变量, 求和式变成积分式。。:傅里叶变换可以看作是函数的一种变量变换, 将以t 为变量的函数变换为以ω为变量的函数, , ω为频率变量, 所以傅里叶变换是一种时频变换, 它们之间具有一一对应的关系, 简记为
(11) f (t ) ΖF (ω)
由这种变换的一一对应关系, 可进一步阐明信号的频谱和信号的时间函数表示所包含的信息量是完全相当的, 它们可以相互转换。另外, 我们还可以用傅里叶变换对周期信号进行频谱分析, 因而将任何信号的频谱分析统一在傅里叶变换的框架之下。用傅里叶变换和用傅里叶级数求解周期信号的频谱, 要注意强调其结果的异同, 异:傅里叶变换频谱是离散的冲激函数序列, 而傅里叶级数频谱是离散的幅度值。同:它们都是离散谱, 离散间隔相同, 频谱包络相同, 即所反映的特性一致。进而还可以得出结论:时域周期Ζ频域离散。
五、通过傅里叶变换的性质来说明频谱分析的实用意义
傅里叶变换作为一种数学运算, 有许多性质。在这部分内容的教学中, 我们认为要注意数学与物理意义相结合, 加强性质的应用举例, 强调由性质所揭示出的时域和频域对应关系, 挖掘性质在实际中的应用事例。例如利用性质计算复杂信号的频谱; 傅里叶变换可以将时域中的微分运算变换成频域中的乘法运算, 这个微分性质为我们分析L TI 系统带来了极大的方便; 可以用以不同的速度重放录制好的磁带, 听到声音会变化, 这一日常生活中大家熟悉的现象为例帮助理解尺度变换性质; 频移性质最现实的应用就是通信系统中的调制与解调, 等。通过这些事例的形象说明, 使学生进一步加深对信号频谱的认识, 学会运用。
总之, 信号频谱是建立在用三角函数分解信号基础上的, 先用简单的信号分解建立起频谱的概念, 再用傅里叶级数分析周期信号的频谱, 进而引出傅里叶变换, 按此思路开展教学, 学生比较容易理解傅里叶变换的意义所在。另外, 信号的频谱分析作为提取信号特征的重要手段, 在信号处理领域有着广泛的实际应用, 也有不少分析工具, 如频谱分析仪、计算机上的软件分析工具等。我们在教学中, 应加强实践性教学环节, 例如介绍频谱分析仪的基本原理和使用方法, 利用MA TLAB 分析语音信号的频谱特征等, 使学生能真正体会信号频谱分析的实用意义, 同时也能进一步提高学生的学习兴趣, 激发他们不断探索的好奇心和钻研精神。
参考文献
[1] 曾朝阳等译. 信号与线性系统分析[M ].(原书第2版) . 北京:机械工业出版社,2004.
[2] 郑方, 徐明星. 信号处理原理[M ].北京:清华大学出版社,2003.
[3] 刘树棠译. 信号与系统[M ].(第二版) . 陕西:西安交通大学出版社,2000.