第二章 气体动理论
1. 气体的微观图像与宏观性质
·气体是由大量分子组成的，1mol 气体所包含的分子数为6. 023⨯1023。分子之间存在相互作用力。分子在做永不停息的无规则的运动，其运动程度与温度有关。
·在分子层次上，理想气体满足如下条件：
（1）分子本身的大小与分子之间平均距离相比可以忽略不计，分子可看作质点。
（2）除碰撞的瞬间以外，分子之间的相互作用力可以忽略不计，分子所受的重力也忽略不计。
（3）气体分子间的碰撞以及分子与器壁之间的碰撞为完全弹性碰撞。
2. 理想气体压强与温度
·理想气体的压强公式
12
p =nm v 2=n
33
1
其中， =m v 2，称分子平均平动动能，它表征了分子运动的剧烈程度。。
2
·理想气体的温度公式
=kT
温度公式表明，温度是大量分子热运动剧烈程度的标志。
3. 阿伏伽德罗定律
在相同的温度和压强下，各种气体在相同体积内所包含的分子数相同。
4. 道尔顿分压定律
混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。
5. 麦克斯韦速率分布
·在平衡态下，气体分子服从如下麦克斯韦速率分布规律
d N ⎛m ⎫
=4π ⎪N ⎝2πkT ⎭
32
3
2
e
-
mv 22kT
v 2d v
·麦克斯韦速率分布函数
d N ⎛m ⎫
f (v ) ==4π ⎪
N d v ⎝2πkT ⎭
e
-
mv 2
2kT
v 2
其表征了处于起点速率为v 的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。
6. 分子速率的三种统计值
从麦克斯韦速率分布规律可以导出分子速率的三种统计值 ·最概然速率
v P =
v P 表明气体分子速率并非从小到大平均分配，速率太大或太小的分子数很少，速
率在v P 附近的分子数最多。
·平均速率
=
平均速率是描述分子运动状况的重要参量，为所有分子的速率之和除以总分子数。
·方均根速率
=
7. 能量均分定理
·描述一个物体空间位置所需的独立坐标数称该物体的自由度。单原子分子的自由度为3，刚性双原子分子的自由度为5，非刚性双原子分子的自由度为6。
·能量均分定理
在温度为T 的气体中，分子热运动动能平均分配到分子的每个自由度上，每
1
个自由度的平均动能都是kT 。
2
8. 理想气体的内能
· 每个气体分子的热运动动能以及分子与分子之间相互作用势能的和构成了气体的总能量，这个能量称为气体的内能。
· 1mol 理想气体的内能为
⎛i ⎫i
E 0=N A kT ⎪=RT
⎝2⎭2
质量为M ，摩尔质量为μ 的理想气体的内能为
E =
M i
RT μ2
由此可见，对于一定量的理想气体，其内能只是温度的单值函数。
9. 气体分子的输运规律
·气体的黏滞现象
牛顿黏滞定律对气体同样适用
f =η
d u
∆S d y
其中，η为气体黏度，f 为作用在相互接触的两气层上的作用力，∆S 为两气层的作用面积。
·气体的热传导现象
气体的热传导遵守如下的傅立叶热传导定律
∆Q ∆T
=-κ∆S ∆t ∆x
该定律表明，单位时间内沿x 方向通过面积∆S 的热量与该方向上的温度梯度成
正比，与面积∆S 也成正比。负号表示传热的方向与温度梯度的方向相反。其中的比例系数κ称热导率。
·气体分子的扩散
气体扩散的基本规律是菲克扩散定律，其表达式为
∆N d n
=-D ∆S ∆t d x
其中，D 为比例系数，称扩散系数，负号表示气体分子扩散的方向与分子数密度
梯度的方向相反。
思考题
2-1 若给出一个矩形容器，设内部充有同一种气体，每一个分子的质量为m ，分子数密度为n ，由此可以导出理想气体的压强公式。若容器是一个球形的，压强公式的形式仍然是不变的。请证明之。
答：在球形容器内，分子运动的轨迹如图2-1中带箭头实线所示。设分子i 的速率为v i ，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞，分子碰撞器壁只改变分子运动方向，不改变速度的大小，并且，“入射角”等于“反射角”。
对分子i 来说，在每次和器壁的碰撞中，分子对器壁作用的法向冲量为2mv i cos θ。该分子每秒钟内与器壁的碰撞次数为v i 2R cos θ，所以，该分子每秒内作用在器壁上的作用力为
m N 2
F =∑v i
R i =1
图2-1
4
由于球形内壁的总面积为4πR 2，气体的体积为πR 3。所以，按照压强的定
3
义得
N
m N
v i v i ∑F R ∑1N 12i =1i =1
p ===⋅⋅m ⋅=nmv 2
4S 4πR 3N 3πR 33
证毕。
2-2 对汽车轮胎打气，使之达到所需要的压强。在冬天与夏天，打入轮胎内的空气质量是否相同？为什么？
答：不相同，在冬天打入轮胎内的空气质量要大一些。因为夏天气温高，空气分子的平均平动能较大；冬天气温低，空气分子的平均平动能较小。根据理想气体的压强公式
2p =n
3
可知，当压强相同时，在冬天打入轮胎内的空气密度（即质量）要大一些。
2-3 根据理想气体的温度公式，当T =0K 时，由此可推断，＝0。T =0K (即－273℃)时，分子将停止运动。对此推论，你有何看法？请评判之。
答：这种看法是错误的。因为理想气体的温度公式只适用于理想气体，而在－273℃时，已经不存在理想气体了，温度公式也就不成立了，如此的推论自然也就是错误的。事实上，即使达到－273℃，分子也还在作微小的振动，运动仍不会停止。
2-4 范德瓦耳斯方程是从理论上推出的，更精确的昂内斯方程则是一个半经验方程。从形式上看，范德瓦耳斯方程可视为昂内斯方程的一个特例，请证明之。式（2-31）是由体积V 表达的昂内斯方程，你能否给出由压强p 表达的昂内斯方程？
答：（1）由
a
(p +2)(V -b ) =RT
V
得
pV -pb +
a ab -=RT 2V V
整理得
pV =pb +RT -
a ab
+ ① V V 2
令
A =pb +RT
②
则
B =-a ，C =ab
③
把②、③带入①
pV =A +
B C
+
V V 2
此式即为昂内斯方程。
（2）以压强展开的昂内斯方程为
pV =A '+B 'p +C 'p 2+
2-5 麦克斯韦速率分布是指气体在平衡态下的统计分布。一般而言，速率分布函数还可以有其他形式。但是，无论何种形式，它们的意义是相同的。设f (v ) 为速率分布函数，请思考下列各式所代表的意义：
（1） f (v )d v ； （2）Nf (v )d v ； （3）⎰f (v )d v ； （4）⎰Nf (v )d v 。
v 1
v 1
v 2
v 2
答：（1）f (v )d v 表示速率分布在v ~v +d v 区间内的分子数占总分子数的百分比。
（2）Nf (v )d v 表示速率分布在v ~v +d v 区间内的气体分子数。
（3）⎰f (v )d v 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子数占总分子数的百分
v 1v 2
比。
（4）⎰Nf (v )d v 表示速率分布在v 1~v 2区间内的气体分子数。
v 1v 2
2-6 若引入无量纲的量u =v p ，试证明麦克斯韦速率分布规律可表达为
f (u )d u =
-u u 2d u
2
并由此说明v
答：令u =v v p ，则
d v =d u v p
带入麦克斯韦速度分布公式可得
mv
-u 22⎛m ⎫-2kT 2
f (v )d v =4π e v d v =u d u
⎪
⎝2πkT ⎭
2
令f (u ) =
-u 2
u 2，即有
2
f (u )d u =
-u u 2d u
v
1∆N =⎰f (u )d u =0N 1
u 2e -u d u
2
用分布积分法可解出
∆N
=0.4276 N
由此可见，v
2-7 气体分子的平均速率、最概然速率和均方根速率的物理意义有什么区别？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在数值上，这三个速率哪个最大？那个最小？
答：由平均速率可以了解气体分子平均的运动快慢，由方均根速率可知分子平均平动动能的大小，而最概然速率则表明速率在此速率附近的分子数占总分子数的比率最大。显然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。
在数值上，此三个速率大小关系是
v p
v 2
2-8 1mol 的水蒸汽（H 2O ）分解成同温度的氧气和氢气，内能增加了百分之几？（提示：将水蒸汽视为理想气体，不计振动自由度，水蒸汽的自由度为6）
答：由水分解成同温度的氧气和氢气的化学方程式为
1
H 2O →H 2+O 2
2
i
根据理想气体的内能公式E =RT ，分别计算H 2O 、H 2、O 2的内能为
2
6
RT =3RT 25
E H 2=RT
25E O 2=RT
2
根据化学方程式可知水分解后的内能E 2为
151515
E 2=E H 2+E O 2=RT +⋅RT =RT
22224
水分解前的内能为
6
E 1=E H 2O =RT =3RT
2
分解前后内能增量为
153
∆E =E 2-E 1=RT -3RT =RT
44
于是，内能增加的百分比为
E H 2O =
3RT
∆E 1===25% E 13RT 4
2-9 若盛有某种理想气体的容器漏气，使气体的压强和分子数密度各减为原来的一半，气体的内能和分子平均动能是否改变？为什么？
答： 根据理想气体的温度公式
3ε=kT
2
由于温度不变，气体分子平均动能没有改变。但由于分子数密度减少了，容器中的气体质量减小，根据理想气体的内能公式
E =
M i
RT μ2
可知，气体的内能减少。
2-10 在气体的迁移现象中本质上是那些量在迁移？分子热运动和分子碰撞在迁移现象中起什么作用？
答：在气体的迁移现象中本质上是气体的动量、能量或质量从一部分向另一部分的定向迁移。动量、能量或质量的定向迁移是通过分子热运动和分子碰撞实现的。
练习题
2-1 每秒有1023个氧分子以500m ·s -1的速度沿与器壁法线成45º角的方向撞在面积为2⨯10-4m 2的器壁上，问这群分子作用在器壁上的压强为多大?
解：每个分子对器壁碰撞时，对器壁的作用冲量为
f ∆t =2mv cos 450 每秒内全部N 个分子对器壁的作用冲量，即冲力为
F =N ⋅2mv cos 450
根据压强定义式得：
F N 2mv cos 450
p ===
S S 1023创232创10-3500 cos 450= 23-4
6状0210创210
=1状88104(Pa)
2-2 目前，真空设备内部的压强可达1. 01⨯10-10Pa ，在此压强下温度为27℃时1m 3体积中有多少个气体分子?
解：由 p =nKT 得
p 1⋅01⨯10-1010-3
n ===2⋅45⨯10(m)
-23
KT 1⋅38⨯10⨯300
（2） 设氧气分子的密度为ρ，每个分子的质量为m , 则 （3） 分子平均平动动能可由温度公式求出
2-6 在容积为1 m3的密闭容器内，有900g 水和1.6kg 的氧气。计算温度为500℃时容器中的压强。
解：在500℃时，水变为水蒸汽，容器内的压强为
p =p 1+p 2=n 1kT +n 2kT =(n 1+n 2) kT
带入已知条件可得
得
第二章 气体动理论
带入已知数据得
（2）若将气体当作理想气体，由pV =RT 可得
23
第二章 气体动理论
1. 气体的微观图像与宏观性质
·气体是由大量分子组成的，1mol 气体所包含的分子数为6. 023⨯1023。分子之间存在相互作用力。分子在做永不停息的无规则的运动，其运动程度与温度有关。
·在分子层次上，理想气体满足如下条件：
（1）分子本身的大小与分子之间平均距离相比可以忽略不计，分子可看作质点。
（2）除碰撞的瞬间以外，分子之间的相互作用力可以忽略不计，分子所受的重力也忽略不计。
（3）气体分子间的碰撞以及分子与器壁之间的碰撞为完全弹性碰撞。
2. 理想气体压强与温度
·理想气体的压强公式
12
p =nm v 2=n
33
1
其中， =m v 2，称分子平均平动动能，它表征了分子运动的剧烈程度。。
2
·理想气体的温度公式
=kT
温度公式表明，温度是大量分子热运动剧烈程度的标志。
3. 阿伏伽德罗定律
在相同的温度和压强下，各种气体在相同体积内所包含的分子数相同。
4. 道尔顿分压定律
混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。
5. 麦克斯韦速率分布
·在平衡态下，气体分子服从如下麦克斯韦速率分布规律
d N ⎛m ⎫
=4π ⎪N ⎝2πkT ⎭
32
3
2
e
-
mv 22kT
v 2d v
·麦克斯韦速率分布函数
d N ⎛m ⎫
f (v ) ==4π ⎪
N d v ⎝2πkT ⎭
e
-
mv 2
2kT
v 2
其表征了处于起点速率为v 的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。
6. 分子速率的三种统计值
从麦克斯韦速率分布规律可以导出分子速率的三种统计值 ·最概然速率
v P =
v P 表明气体分子速率并非从小到大平均分配，速率太大或太小的分子数很少，速
率在v P 附近的分子数最多。
·平均速率
=
平均速率是描述分子运动状况的重要参量，为所有分子的速率之和除以总分子数。
·方均根速率
=
7. 能量均分定理
·描述一个物体空间位置所需的独立坐标数称该物体的自由度。单原子分子的自由度为3，刚性双原子分子的自由度为5，非刚性双原子分子的自由度为6。
·能量均分定理
在温度为T 的气体中，分子热运动动能平均分配到分子的每个自由度上，每
1
个自由度的平均动能都是kT 。
2
8. 理想气体的内能
· 每个气体分子的热运动动能以及分子与分子之间相互作用势能的和构成了气体的总能量，这个能量称为气体的内能。
· 1mol 理想气体的内能为
⎛i ⎫i
E 0=N A kT ⎪=RT
⎝2⎭2
质量为M ，摩尔质量为μ 的理想气体的内能为
E =
M i
RT μ2
由此可见，对于一定量的理想气体，其内能只是温度的单值函数。
9. 气体分子的输运规律
·气体的黏滞现象
牛顿黏滞定律对气体同样适用
f =η
d u
∆S d y
其中，η为气体黏度，f 为作用在相互接触的两气层上的作用力，∆S 为两气层的作用面积。
·气体的热传导现象
气体的热传导遵守如下的傅立叶热传导定律
∆Q ∆T
=-κ∆S ∆t ∆x
该定律表明，单位时间内沿x 方向通过面积∆S 的热量与该方向上的温度梯度成
正比，与面积∆S 也成正比。负号表示传热的方向与温度梯度的方向相反。其中的比例系数κ称热导率。
·气体分子的扩散
气体扩散的基本规律是菲克扩散定律，其表达式为
∆N d n
=-D ∆S ∆t d x
其中，D 为比例系数，称扩散系数，负号表示气体分子扩散的方向与分子数密度
梯度的方向相反。
思考题
2-1 若给出一个矩形容器，设内部充有同一种气体，每一个分子的质量为m ，分子数密度为n ，由此可以导出理想气体的压强公式。若容器是一个球形的，压强公式的形式仍然是不变的。请证明之。
答：在球形容器内，分子运动的轨迹如图2-1中带箭头实线所示。设分子i 的速率为v i ，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞，分子碰撞器壁只改变分子运动方向，不改变速度的大小，并且，“入射角”等于“反射角”。
对分子i 来说，在每次和器壁的碰撞中，分子对器壁作用的法向冲量为2mv i cos θ。该分子每秒钟内与器壁的碰撞次数为v i 2R cos θ，所以，该分子每秒内作用在器壁上的作用力为
m N 2
F =∑v i
R i =1
图2-1
4
由于球形内壁的总面积为4πR 2，气体的体积为πR 3。所以，按照压强的定
3
义得
N
m N
v i v i ∑F R ∑1N 12i =1i =1
p ===⋅⋅m ⋅=nmv 2
4S 4πR 3N 3πR 33
证毕。
2-2 对汽车轮胎打气，使之达到所需要的压强。在冬天与夏天，打入轮胎内的空气质量是否相同？为什么？
答：不相同，在冬天打入轮胎内的空气质量要大一些。因为夏天气温高，空气分子的平均平动能较大；冬天气温低，空气分子的平均平动能较小。根据理想气体的压强公式
2p =n
3
可知，当压强相同时，在冬天打入轮胎内的空气密度（即质量）要大一些。
2-3 根据理想气体的温度公式，当T =0K 时，由此可推断，＝0。T =0K (即－273℃)时，分子将停止运动。对此推论，你有何看法？请评判之。
答：这种看法是错误的。因为理想气体的温度公式只适用于理想气体，而在－273℃时，已经不存在理想气体了，温度公式也就不成立了，如此的推论自然也就是错误的。事实上，即使达到－273℃，分子也还在作微小的振动，运动仍不会停止。
2-4 范德瓦耳斯方程是从理论上推出的，更精确的昂内斯方程则是一个半经验方程。从形式上看，范德瓦耳斯方程可视为昂内斯方程的一个特例，请证明之。式（2-31）是由体积V 表达的昂内斯方程，你能否给出由压强p 表达的昂内斯方程？
答：（1）由
a
(p +2)(V -b ) =RT
V
得
pV -pb +
a ab -=RT 2V V
整理得
pV =pb +RT -
a ab
+ ① V V 2
令
A =pb +RT
②
则
B =-a ，C =ab
③
把②、③带入①
pV =A +
B C
+
V V 2
此式即为昂内斯方程。
（2）以压强展开的昂内斯方程为
pV =A '+B 'p +C 'p 2+
2-5 麦克斯韦速率分布是指气体在平衡态下的统计分布。一般而言，速率分布函数还可以有其他形式。但是，无论何种形式，它们的意义是相同的。设f (v ) 为速率分布函数，请思考下列各式所代表的意义：
（1） f (v )d v ； （2）Nf (v )d v ； （3）⎰f (v )d v ； （4）⎰Nf (v )d v 。
v 1
v 1
v 2
v 2
答：（1）f (v )d v 表示速率分布在v ~v +d v 区间内的分子数占总分子数的百分比。
（2）Nf (v )d v 表示速率分布在v ~v +d v 区间内的气体分子数。
（3）⎰f (v )d v 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子数占总分子数的百分
v 1v 2
比。
（4）⎰Nf (v )d v 表示速率分布在v 1~v 2区间内的气体分子数。
v 1v 2
2-6 若引入无量纲的量u =v p ，试证明麦克斯韦速率分布规律可表达为
f (u )d u =
-u u 2d u
2
并由此说明v
答：令u =v v p ，则
d v =d u v p
带入麦克斯韦速度分布公式可得
mv
-u 22⎛m ⎫-2kT 2
f (v )d v =4π e v d v =u d u
⎪
⎝2πkT ⎭
2
令f (u ) =
-u 2
u 2，即有
2
f (u )d u =
-u u 2d u
v
1∆N =⎰f (u )d u =0N 1
u 2e -u d u
2
用分布积分法可解出
∆N
=0.4276 N
由此可见，v
2-7 气体分子的平均速率、最概然速率和均方根速率的物理意义有什么区别？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在数值上，这三个速率哪个最大？那个最小？
答：由平均速率可以了解气体分子平均的运动快慢，由方均根速率可知分子平均平动动能的大小，而最概然速率则表明速率在此速率附近的分子数占总分子数的比率最大。显然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。
在数值上，此三个速率大小关系是
v p
v 2
2-8 1mol 的水蒸汽（H 2O ）分解成同温度的氧气和氢气，内能增加了百分之几？（提示：将水蒸汽视为理想气体，不计振动自由度，水蒸汽的自由度为6）
答：由水分解成同温度的氧气和氢气的化学方程式为
1
H 2O →H 2+O 2
2
i
根据理想气体的内能公式E =RT ，分别计算H 2O 、H 2、O 2的内能为
2
6
RT =3RT 25
E H 2=RT
25E O 2=RT
2
根据化学方程式可知水分解后的内能E 2为
151515
E 2=E H 2+E O 2=RT +⋅RT =RT
22224
水分解前的内能为
6
E 1=E H 2O =RT =3RT
2
分解前后内能增量为
153
∆E =E 2-E 1=RT -3RT =RT
44
于是，内能增加的百分比为
E H 2O =
3RT
∆E 1===25% E 13RT 4
2-9 若盛有某种理想气体的容器漏气，使气体的压强和分子数密度各减为原来的一半，气体的内能和分子平均动能是否改变？为什么？
答： 根据理想气体的温度公式
3ε=kT
2
由于温度不变，气体分子平均动能没有改变。但由于分子数密度减少了，容器中的气体质量减小，根据理想气体的内能公式
E =
M i
RT μ2
可知，气体的内能减少。
2-10 在气体的迁移现象中本质上是那些量在迁移？分子热运动和分子碰撞在迁移现象中起什么作用？
答：在气体的迁移现象中本质上是气体的动量、能量或质量从一部分向另一部分的定向迁移。动量、能量或质量的定向迁移是通过分子热运动和分子碰撞实现的。
练习题
2-1 每秒有1023个氧分子以500m ·s -1的速度沿与器壁法线成45º角的方向撞在面积为2⨯10-4m 2的器壁上，问这群分子作用在器壁上的压强为多大?
解：每个分子对器壁碰撞时，对器壁的作用冲量为
f ∆t =2mv cos 450 每秒内全部N 个分子对器壁的作用冲量，即冲力为
F =N ⋅2mv cos 450
根据压强定义式得：
F N 2mv cos 450
p ===
S S 1023创232创10-3500 cos 450= 23-4
6状0210创210
=1状88104(Pa)
2-2 目前，真空设备内部的压强可达1. 01⨯10-10Pa ，在此压强下温度为27℃时1m 3体积中有多少个气体分子?
解：由 p =nKT 得
p 1⋅01⨯10-1010-3
n ===2⋅45⨯10(m)
-23
KT 1⋅38⨯10⨯300
（2） 设氧气分子的密度为ρ，每个分子的质量为m , 则 （3） 分子平均平动动能可由温度公式求出
2-6 在容积为1 m3的密闭容器内，有900g 水和1.6kg 的氧气。计算温度为500℃时容器中的压强。
解：在500℃时，水变为水蒸汽，容器内的压强为
p =p 1+p 2=n 1kT +n 2kT =(n 1+n 2) kT
带入已知条件可得
得
第二章 气体动理论
带入已知数据得
（2）若将气体当作理想气体，由pV =RT 可得
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