烟台师范学院学报(自然科学版)
Yantai N o r m al U niversity Journal (N atural Science ) 2002, 18(4) :241—246教学研究438000)
摘要:, 利用粒子动量关系的几何描述, 直观形象地研究了两粒子二维弹性碰撞的各种情况.
关键词:弹性碰撞; 动量; 几何研究; 偏转角
中图分类号:O 311. 2 文献标识码:A 文章编号:100424930(2002) 0320318203
碰撞是物理学研究的重要对象, 如果碰撞后两粒子的内部状态不发生改变(即恢复系数e =1) , 则称其为完全弹性碰撞(以下简称为弹性碰撞) [1]. 对于二维弹性碰撞的研究, 采用质心坐标系比较方便.
设m 1, m 2为相互碰撞两粒子的质量, 带撇的物理量为相对于质心系的量, 碰撞前的物理量用注有右下角标“0”表示, v 10′为粒子m 1在质心系中碰撞前的速度, v 2为粒子m 2在实验室系中碰撞后的速度. 对于弹性碰撞, 在质心坐标系中, 有
(1) m 1v 10′+m 2v 20′=m 1v 1′+m 2v 2′=0.
21v 10′+2
(2) 式可解得由(1) 、
v 2′=-v 1′, v 1′=-m 2v 10′, 22v 20′=221v 1′+222v 2′2(2) (3)
(m 1+m 2) [1]. 碰撞前m 1对实验室坐标系的速又质心的速度v c 为 v c =(m 1v 10+m 2v 20)
度v 10为v 10=v 10′+v c , 所以
v 10′=v 10-v c =m 1+m 2u 0. (4)
式中u 0=v 10-v 20为碰撞前m 1对m 2在实验室系中的相对速度.
(4) 式可得 设碰撞后m 1在质心系中速度的单位矢量为n (由初始条件确定) , 由(3) 、
v 1′=m 1+m 2u 0n , v 2′=-m 1+m 2u 0n . 于是, 碰撞后两粒子在实验室系中的速度分别为
m 1+m 2
m 1+m 2u 0n +, m 1+m 2m 1+m 2v 1=v 1′+v c =v 2=v 2′+v c =-u 0n +
收稿日期:2002205220
作者简介:郭茂政(1948—) , 男, 副教授, 大学, 主要从事力学教学和研究.
第3期郭茂政:二维弹性碰撞与动量关系的几何研究319其相应的动量p 1=Λu 0n +
[2]m 1+m 2m 1+m 2其折合质量, p 0=m 1v 10+m 2v 20为实验室系中系统的初动量(即系统的动量) . p 0, p 2=-Λu 0n +p 0. 式中Λ=为m 1+m 2
如果m 1运动而m 2静止, 则u 0=v 10, p 0=p 10, 于是有p 1=Λv 10n +
-Λv 10n +m 1+m 2p 10. 这时, 1m 2p 10, p 2=
测到的情形如图1所示Η2为1, m 2(2) , 设OC v 10n , =m 1+m 2p 10, AO =图1 实验室系内两粒子二维弹性碰撞的动量
=p 10, 则有p 10=AO +OB =AB , p 1=OC +AO =AC , p 2=-OC +OB m 2m 1+m 2
=CB . C 点可取圆周上除B 点外(与B 点对应的实际碰撞方式不存在) 的任何一点, 每一点代表一种碰撞方式, B 点在圆周上, Η′1, Η2为m 1, m 2在实验室系中的碰撞后的偏转角, Η为m 1在质心系中碰撞后的偏转角. 由图2可得
tg Η1==′A O +OC co s Η′m 1+m 2co s Η
(Π-Η) . 因OB , OC , OA 皆与 v 10 成正比, 故′2
v 10 只改变圆周的大小, 而与偏转角无关. 下面, 从两粒子的质量关系的三个方面对其进化简, 得sin Η′-Η1=sin (Η1) , Η2=m 2
行研究.
1) m 1Π
OB , 于是Η′, 这时可以近似地将m 2看成在碰撞过程中是不动的粒子, 这正与通常的Α1≈Η
粒子散射情况相同. 由图2a 可见, 当Η1=Π时, Η2=0, C 点在B A 的延长线与圆周的交点D 处, 这是弹性正碰的情形, 碰撞后粒子m 1向左反冲, m 2获得向右的动量, 即
(5) p 1=AO +OC =p 10, p 2=-OC +OB =p 10. m 1+m 2m 1+m 2
显然, 碰撞后两粒子的速度分别为
v 1=v 10, v 2=v 10. m 1+m 2m 1+m 2(6)
这与流行教材中相应的速度公式相同[3].
(图2b ) , Η 2) m 1=m 2. 这时A O =OB , A 点在圆周上, Η2Η′ 2. 即无论1=1 1+Η2=Π
碰撞后二粒子如何运动, 其运动方向始终相互垂直, 这是熟知的一种斜碰情形. 如果Η1=Π 2, 则Η. 可见, 碰撞后二粒2=0, 由图2b 可知, 此时p 1=0, p 2=p 10, 即v 1=0, v 2=v 10
子交换速度、动量、能量, 这是一种特殊的弹性正碰情况, 常用作核反应堆选择减速剂材料的依据.
3) m 1>m 2. 这时A O >OB , A 点在圆外(图2c ) , Η 2, 入射粒子的偏转角Η1+Η2
sin ΗOA =m 2 m 1. 1m ax =OC
320烟台师范学院学报(自然科学版) 第18卷 在这种情形中, 每一个偏转角Η1都对应有两种情况, 即碰撞后m 1在质心系中的速度, 既可沿OC 方向, 也可沿OC ′方向, 因为当m 1>m 2时, v c > v 1′ , 此时, 即使m 1在质心系中是向后散射(Η′>Π 2) , 而在实验室系中仍为向前偏转(Η 2) . 因此, 对于m 1>m 2时, 1
实验室系的速度v 10是质心速度v 1′的二值函数. 又由图2c 知, 当Η1=0, 2=0, C 点位于直线A B 与圆周的左交点D 处, , p 1=+p m 1p =+OB =v 1=p 10, m 1+m 2v 10, v 2=v 10. m 1+m 2m 1+m 2
(6) 式相同, 但正碰后运动情形不尽相同, 粒子m 1碰撞后减速而不是反冲结果与(5) 、.
图2 两粒子碰撞前后动量的几何关系
参考文献:
[1] 赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程:力学[M ]. 北京:高等教育出版社, 1995. 141—144.
[2] 周衍柏. 理论力学教程(第二版) [M ]. 北京:高等教育出版社, 1986. 129—136.
[3] 漆安慎, 杜婵英. 普通物理学教程:力学[M ]. 北京:高等教育出版社, 1997. 129—131.
Research about the rela tion between two -d i m en siona l
ela stic coll ision and m om en tun i n geom etry
GUO M ao 2zheng
(D epartm ent of Physics, H uanggang T eacher’sCo llege, H uangzhou 438000, Ch ina )
Abstract :B ased on the research of cen ter 2of 2m ass fram e of coo rdinate , and by u sing the geom etrical descri p ti on of the m om en tun of p article , the tw o 2di m eu si onal elastic co llisi on betw een tw o p articles in differen t conditi on s is studed .
Key words :elastic co llisi on ; m onm en tun ; geom etrical research ; defleti on angle
(责任编辑 迟玉华)
烟台师范学院学报(自然科学版)
Yantai N o r m al U niversity Journal (N atural Science ) 2002, 18(4) :241—246教学研究438000)
摘要:, 利用粒子动量关系的几何描述, 直观形象地研究了两粒子二维弹性碰撞的各种情况.
关键词:弹性碰撞; 动量; 几何研究; 偏转角
中图分类号:O 311. 2 文献标识码:A 文章编号:100424930(2002) 0320318203
碰撞是物理学研究的重要对象, 如果碰撞后两粒子的内部状态不发生改变(即恢复系数e =1) , 则称其为完全弹性碰撞(以下简称为弹性碰撞) [1]. 对于二维弹性碰撞的研究, 采用质心坐标系比较方便.
设m 1, m 2为相互碰撞两粒子的质量, 带撇的物理量为相对于质心系的量, 碰撞前的物理量用注有右下角标“0”表示, v 10′为粒子m 1在质心系中碰撞前的速度, v 2为粒子m 2在实验室系中碰撞后的速度. 对于弹性碰撞, 在质心坐标系中, 有
(1) m 1v 10′+m 2v 20′=m 1v 1′+m 2v 2′=0.
21v 10′+2
(2) 式可解得由(1) 、
v 2′=-v 1′, v 1′=-m 2v 10′, 22v 20′=221v 1′+222v 2′2(2) (3)
(m 1+m 2) [1]. 碰撞前m 1对实验室坐标系的速又质心的速度v c 为 v c =(m 1v 10+m 2v 20)
度v 10为v 10=v 10′+v c , 所以
v 10′=v 10-v c =m 1+m 2u 0. (4)
式中u 0=v 10-v 20为碰撞前m 1对m 2在实验室系中的相对速度.
(4) 式可得 设碰撞后m 1在质心系中速度的单位矢量为n (由初始条件确定) , 由(3) 、
v 1′=m 1+m 2u 0n , v 2′=-m 1+m 2u 0n . 于是, 碰撞后两粒子在实验室系中的速度分别为
m 1+m 2
m 1+m 2u 0n +, m 1+m 2m 1+m 2v 1=v 1′+v c =v 2=v 2′+v c =-u 0n +
收稿日期:2002205220
作者简介:郭茂政(1948—) , 男, 副教授, 大学, 主要从事力学教学和研究.
第3期郭茂政:二维弹性碰撞与动量关系的几何研究319其相应的动量p 1=Λu 0n +
[2]m 1+m 2m 1+m 2其折合质量, p 0=m 1v 10+m 2v 20为实验室系中系统的初动量(即系统的动量) . p 0, p 2=-Λu 0n +p 0. 式中Λ=为m 1+m 2
如果m 1运动而m 2静止, 则u 0=v 10, p 0=p 10, 于是有p 1=Λv 10n +
-Λv 10n +m 1+m 2p 10. 这时, 1m 2p 10, p 2=
测到的情形如图1所示Η2为1, m 2(2) , 设OC v 10n , =m 1+m 2p 10, AO =图1 实验室系内两粒子二维弹性碰撞的动量
=p 10, 则有p 10=AO +OB =AB , p 1=OC +AO =AC , p 2=-OC +OB m 2m 1+m 2
=CB . C 点可取圆周上除B 点外(与B 点对应的实际碰撞方式不存在) 的任何一点, 每一点代表一种碰撞方式, B 点在圆周上, Η′1, Η2为m 1, m 2在实验室系中的碰撞后的偏转角, Η为m 1在质心系中碰撞后的偏转角. 由图2可得
tg Η1==′A O +OC co s Η′m 1+m 2co s Η
(Π-Η) . 因OB , OC , OA 皆与 v 10 成正比, 故′2
v 10 只改变圆周的大小, 而与偏转角无关. 下面, 从两粒子的质量关系的三个方面对其进化简, 得sin Η′-Η1=sin (Η1) , Η2=m 2
行研究.
1) m 1Π
OB , 于是Η′, 这时可以近似地将m 2看成在碰撞过程中是不动的粒子, 这正与通常的Α1≈Η
粒子散射情况相同. 由图2a 可见, 当Η1=Π时, Η2=0, C 点在B A 的延长线与圆周的交点D 处, 这是弹性正碰的情形, 碰撞后粒子m 1向左反冲, m 2获得向右的动量, 即
(5) p 1=AO +OC =p 10, p 2=-OC +OB =p 10. m 1+m 2m 1+m 2
显然, 碰撞后两粒子的速度分别为
v 1=v 10, v 2=v 10. m 1+m 2m 1+m 2(6)
这与流行教材中相应的速度公式相同[3].
(图2b ) , Η 2) m 1=m 2. 这时A O =OB , A 点在圆周上, Η2Η′ 2. 即无论1=1 1+Η2=Π
碰撞后二粒子如何运动, 其运动方向始终相互垂直, 这是熟知的一种斜碰情形. 如果Η1=Π 2, 则Η. 可见, 碰撞后二粒2=0, 由图2b 可知, 此时p 1=0, p 2=p 10, 即v 1=0, v 2=v 10
子交换速度、动量、能量, 这是一种特殊的弹性正碰情况, 常用作核反应堆选择减速剂材料的依据.
3) m 1>m 2. 这时A O >OB , A 点在圆外(图2c ) , Η 2, 入射粒子的偏转角Η1+Η2
sin ΗOA =m 2 m 1. 1m ax =OC
320烟台师范学院学报(自然科学版) 第18卷 在这种情形中, 每一个偏转角Η1都对应有两种情况, 即碰撞后m 1在质心系中的速度, 既可沿OC 方向, 也可沿OC ′方向, 因为当m 1>m 2时, v c > v 1′ , 此时, 即使m 1在质心系中是向后散射(Η′>Π 2) , 而在实验室系中仍为向前偏转(Η 2) . 因此, 对于m 1>m 2时, 1
实验室系的速度v 10是质心速度v 1′的二值函数. 又由图2c 知, 当Η1=0, 2=0, C 点位于直线A B 与圆周的左交点D 处, , p 1=+p m 1p =+OB =v 1=p 10, m 1+m 2v 10, v 2=v 10. m 1+m 2m 1+m 2
(6) 式相同, 但正碰后运动情形不尽相同, 粒子m 1碰撞后减速而不是反冲结果与(5) 、.
图2 两粒子碰撞前后动量的几何关系
参考文献:
[1] 赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程:力学[M ]. 北京:高等教育出版社, 1995. 141—144.
[2] 周衍柏. 理论力学教程(第二版) [M ]. 北京:高等教育出版社, 1986. 129—136.
[3] 漆安慎, 杜婵英. 普通物理学教程:力学[M ]. 北京:高等教育出版社, 1997. 129—131.
Research about the rela tion between two -d i m en siona l
ela stic coll ision and m om en tun i n geom etry
GUO M ao 2zheng
(D epartm ent of Physics, H uanggang T eacher’sCo llege, H uangzhou 438000, Ch ina )
Abstract :B ased on the research of cen ter 2of 2m ass fram e of coo rdinate , and by u sing the geom etrical descri p ti on of the m om en tun of p article , the tw o 2di m eu si onal elastic co llisi on betw een tw o p articles in differen t conditi on s is studed .
Key words :elastic co llisi on ; m onm en tun ; geom etrical research ; defleti on angle
(责任编辑 迟玉华)