第四节实对称矩阵的对角化

第四节 实对称矩阵的对角化

一个n阶矩阵A具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对A为实对称矩阵的情况进行讨论. 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.

内容分布图示

★ 实对称矩阵的性质 ( 1 )

★ 实对称矩阵的性质 ( 2 )

★ 对称矩阵对角化的方法

★ 例1

★ 例3

★ 内容小结

★ 习题4-4

★ 返回

★ 例2 ★ 例4 ★ 课堂练习

内容要点：

定理1 实对称矩阵的特征值都为实数.

注: 对实对称矩阵A，因其特征值i为实数, 故方程组

(AiE)X0

是实系数方程组, 由|AiE|0知它必有实的基础解系, 所以A的特征向量可以取实向量.

定理2 设1,2是对称矩阵A的两个特征值, p1,p2是对应的特征向量. 若12, 则p1与p2正交. 定理3 设A为n阶实对称矩阵,是A的特征方程的k重根,则矩阵AE的秩r(AE)nk,从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量.

定理4 设A为n阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P,使

P1AP,

其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.

与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵P将实对称矩阵A对角化的步骤为：

(1) 求出A的全部特征值1,2,,s;

(2) 对每一个特征值i, 由(iEA)X0求出基础解系（特征向量）;

(3) 将基础解系（特征向量）正交化；再单位化;

(4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P，使

P1AP.

注：P中列向量的次序与矩阵对角线上的特征值的次序相对应.

例题选讲：

120例1 (讲义例1) 设实对称矩阵A222, 求正交矩阵P, 使P1AP为对角矩阵. 023

400例2 (讲义例2) 设有对称矩阵A031, 试求出正交矩阵P, 使P1AP为对角阵. 013

200例3 (讲义例3) 已知A0a2(其中a0)有一特征值为1, 求正交矩阵P使得P1AP为对角矩02a

.

例4 (讲义例4) 设A2112, 求An. 课堂练习

220

1.设实对称矩阵A212, 试求出正交矩阵P, 使P1AP为对角阵.

020

2.设n阶实对称矩阵A满足A2A,且A的秩为r, 试求行列式|2EA|的值. 阵

第四节 实对称矩阵的对角化

一个n阶矩阵A具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对A为实对称矩阵的情况进行讨论. 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.

内容分布图示

★ 实对称矩阵的性质 ( 1 )

★ 实对称矩阵的性质 ( 2 )

★ 对称矩阵对角化的方法

★ 例1

★ 例3

★ 内容小结

★ 习题4-4

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内容要点：

定理1 实对称矩阵的特征值都为实数.

注: 对实对称矩阵A，因其特征值i为实数, 故方程组

(AiE)X0

是实系数方程组, 由|AiE|0知它必有实的基础解系, 所以A的特征向量可以取实向量.

定理2 设1,2是对称矩阵A的两个特征值, p1,p2是对应的特征向量. 若12, 则p1与p2正交. 定理3 设A为n阶实对称矩阵,是A的特征方程的k重根,则矩阵AE的秩r(AE)nk,从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量.

定理4 设A为n阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P,使

P1AP,

其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.

与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵P将实对称矩阵A对角化的步骤为：

(1) 求出A的全部特征值1,2,,s;

(2) 对每一个特征值i, 由(iEA)X0求出基础解系（特征向量）;

(3) 将基础解系（特征向量）正交化；再单位化;

(4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P，使

P1AP.

注：P中列向量的次序与矩阵对角线上的特征值的次序相对应.

例题选讲：

120例1 (讲义例1) 设实对称矩阵A222, 求正交矩阵P, 使P1AP为对角矩阵. 023

400例2 (讲义例2) 设有对称矩阵A031, 试求出正交矩阵P, 使P1AP为对角阵. 013

200例3 (讲义例3) 已知A0a2(其中a0)有一特征值为1, 求正交矩阵P使得P1AP为对角矩02a

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例4 (讲义例4) 设A2112, 求An. 课堂练习

220

1.设实对称矩阵A212, 试求出正交矩阵P, 使P1AP为对角阵.

020

2.设n阶实对称矩阵A满足A2A,且A的秩为r, 试求行列式|2EA|的值. 阵