散度和旋度

如何理解高等数学中的散度、旋度

李伯忍

(东莞理工学院 计算机学院, 广东东莞 523808)

摘要: 曲线积分和曲面积分是高等数学课程中的重点和难点, 格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是沟通上述几类积分内在联系的几个重要积分公式. 本文研究了高斯公式和斯托克斯公式中的散度和旋度的物理含义.

关键词: 曲线积分; 曲面积分; 散度; 旋度

中图分类号: O113, O335 文献标识码: A

1 引言

理工类专业学生在学习课程“高等数学”的过程中, 对曲线积分和曲面积分往往感到困难. 这是因为这部分的课程内容的理论性较强, 概念较抽象, 尤其是第二类曲线积分和第二类曲面积分以及两个重要的积分公式即高斯公式和斯托克斯公式, 它们涉及到场论中通量和散度、环流量和旋度等物理概念, 但在常见的“高等数学”教材中较少涉及这部分内容, 因此导致学生对这部分的教学内容难以理解. 据此本文将从这些概念的物理含义作较为详细地介绍, 以期减少学生学习中的困难.

曲线积分和曲面积分实际上是积分的区域分别是平面或空间中的一段曲线和一片曲面的情形, 这有别于积分的区域是数轴上的区间, 平面上的区域和空间

中的区域. 曲线积分和曲面积分分别有第一类曲线积分和曲面积分及第二类曲线积分和曲面积分. 格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是沟通上述几类积分内在联系的几个重要积分公式.

高斯公式可以认为是格林公式在三维空间中的推广. 格林公式揭示了平面区域上的二重积分与该区域边界曲线上的曲线积分之间的联系, 可以把在某一坐标平面上分段光滑的闭合曲线上的第二类曲线积分转化为相应坐标平面上的二重积分来计算. 而高斯公式揭示了空间闭合区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系, 可以把坐标空间中分片光滑的闭合曲面的第二类曲面积分转化为空间中闭合曲面围成的区域的三重积分来计算, 反之亦然. 斯托克斯公式建立了沿空间曲面的曲面积分与该曲面的边界闭合曲线的曲线积分的联系, 是联系第二类曲线积分和第二类曲面积分的桥梁, 是格林公式的推广. 本文着重研究了高斯公式和斯托克斯公式中的散度和旋度的物理含义.

2 通量与散度

定义向量微分算子

∂∂∂ ∇=i +j +k (2.1) ∂x ∂y ∂z

它被称为哈密尔顿算子, 也称之为矢量微商符.

→定义流速场V =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k , 取哈密尔顿算子∇与流

速场V 的数量积, 即

→⎛∂∂∂⎞∂P ∂Q ∂R ∇⋅V =⎜⎜∂x i +∂y j +∂z k ⎟⎟⋅(Pi +Qj +Rk ) =∂x +∂y +∂z =div V (2.2) ⎝⎠→→

现在我们要问, 这样运算得到的到底是一个什么样的物理量? 为什么称它为散度? 为了说明此问题, 引入体积通量F , 它定义为

F =∫∫V ⋅d σ (2.3)

σ→→

式中σ为流体中某一封闭曲面, V ⋅d σ=V ⋅n d σ为单位时间经d σ面元的流体体积的通量, 因此(2.3)式为单位时间内流经整个闭曲面σ的流体体积通量. 按曲面积分和体积积分之间转换的高斯公式, 于是(2.3)式的右端可改写为 →→→→→→→V ⋅d σ=∫∫∫∇⋅V d τ (2.4) ∫∫στ

式中τ为闭合曲面所围成的体积. 当闭合曲面向内无限缩小, 即τ→0时, 则

→⎡lim ⎢∫∫∫∇⋅V d ττ→0⎣τ

结合(2.2)-(2.5)式, 即有

→div V =lim τ→0

此时说明流体的散度其实就是单位体积的流体体积通量. 当σ为几何面时, 如果div V (M ) >0, 表示流点M 有外流的体积通量, 犹如泉水的源头, 在流体力学中称之为源, 它的大小表示源的强度; 如果div V (M ) 0, 表示流点M 的体积膨胀, 它的大小表示膨胀的强度; 反之, 表示流点M 的体积收缩, 它的大小表示收缩的强度.

3 环流量与旋度

→F →⎤d τ⎥=∇⋅V (2.5) ∫∫∫τ⎦ (2.6)

取哈密尔顿算子∇与流速场V 的矢量积, 即

i

→∂∇×V =∂x

P j ∂∂y Q k →∂=rot V (3.1) ∂z R →

在流体力学中称之为涡度或旋度, 同样要问, 这样运算得到的物理量究竟代表了什么样的物理意义? 为什么称它为旋度? 在微积分学中, 函数y =f (x ) 的几何图形通常为一曲线, 相应的一阶导数df dx 为该曲线在相应点的切线的斜率, 它是反映该曲线特征的一个量. 相仿地, 流场V 是空间坐标(x , y , z ) 的函数, 对它作一阶矢量微商运算即∇×V , 也应是反映该流速场特征的一个量. 所以, 旋度是流速场的一个微商量, 为了说明它的物理含义, 再引入一个与它密切有关的流速场的积分量即速度环流, 可清晰的说明(3.1)式的物理含义. 为此, 在流体中取一闭曲线l , 该曲线上某一点的矢量微元d l 与该点流速矢量V 的方向通常并不一致. 但是, 一般情况下该点的流速矢量V 在d l 方向总具有分量, 然后沿闭合曲线l 将所有这些流速分量进行求和, 记作Γ, 于是

→→→→→→→→Γ=V ⋅d l (3.2)

这个数值称作环流量, 实际上也是矢量函数V 沿有向闭合曲线l 的第二类曲线积分. 当l 为闭合曲线时, 环流量Γ表示了流体完全沿着闭合曲线l 流动; 环流量Γ也表示了流体沿闭合曲线流动趋势的程度. →

引用曲线积分和曲面积分的转换公式, 即斯托克斯公式, 有

→→→→σ

→Γ=V ⋅d l =∫∫∇×V ⋅d σ (3.3) l 式中σ为以闭合曲线l 为周界的任意曲面, 曲面的单位法向n 则顺着周界按右手

螺旋法则确定. 如果闭合曲线向内无限收缩, 即σ→0, 于是

→→⎡lim ⎢∇×V ⋅d σσ→0∫∫⎣σ→→⎤d σ⎥=∇×V ⋅n (3.4) ∫∫σ⎦

将(3.3)式代入(3.4)式, 可得

∇×V ⋅n =lim Γ (3.5) σ→0→→

由此可知, 流体某点的旋度矢量在相应单位面元法向的分量就是单位面积环流量的极限值. 在一般情况下, 由于旋度∇×V 是空间矢量, 而环流量Γ仅是一个标量, 因此只能认为旋度矢量的模(即|∇×V |), 正好等于跟旋度矢量相垂直的某面元上单位面积环流量的极限值. 若以运动员在闭合跑道上跑步比作速度环流量, 则当闭合跑到无限缩小时, 运动员就只能在原地打转了. 从这个比喻可知, 流体单位面积环流量的极限值(即∇×V ⋅n )是量度流体旋转程度的物理量, 故把∇×V 称作旋度. 由于流速矢量V 为场的分布, ∇×V 称作旋度矢量场. →→→→→→

下面以一个简单的例子来对旋度的含义作些解释.

→设有刚体绕定轴L 转动, 角速度为ω, M 为刚体内任意一点, 在定轴L 上任

取一点O 为坐标原点, 作空间直角坐标系, 使z 轴与定轴L 重合, 则ω=ωk , 而点M 可用向量r =OM =(x , y , z ) 来确定, 有力学知识知道, 点M 的线速度v 可表示为v =ω ×r , 由此有

→→→→→→i j k v =00ω=(−ωy , ωx, 0) , 而

x y z

i j

→∂∂rot v =∂x ∂y −ωy ωx k →∂=(0, 0, 2ω) =2ω ∂z 0 →→→

这说明对刚体上任意一点的旋度刚好等于角速度的两倍, 当刚体无限收缩的情况下即变为流点, 这表明旋度不但是量度流体旋转的物理量, 而且其值正好等于

流点角速度的两倍. 此结论对一般三维流动情况也成立.

4 结束语

高等数学是理工类专业的基础课程, 从本文的研究, 我们看到曲线积分和曲面积分等内容与流体力学的紧密联系. 可以说, 能够较好的掌握高等数学知识, 是理工类专业的学生进一步学习相关专业课程必备的专业技能.

参考文献

[1] 吴赣昌. 高等数学(下册)[M]. 北京: 中国人民大学出版社, 2007.

[2] 同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.

[3] 余志豪, 苗曼倩, 蒋全荣, 杨平章. 流体力学[M]. 北京: 气象出版社, 2004.

如何理解高等数学中的散度、旋度

李伯忍

(东莞理工学院 计算机学院, 广东东莞 523808)

摘要: 曲线积分和曲面积分是高等数学课程中的重点和难点, 格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是沟通上述几类积分内在联系的几个重要积分公式. 本文研究了高斯公式和斯托克斯公式中的散度和旋度的物理含义.

关键词: 曲线积分; 曲面积分; 散度; 旋度

中图分类号: O113, O335 文献标识码: A

1 引言

理工类专业学生在学习课程“高等数学”的过程中, 对曲线积分和曲面积分往往感到困难. 这是因为这部分的课程内容的理论性较强, 概念较抽象, 尤其是第二类曲线积分和第二类曲面积分以及两个重要的积分公式即高斯公式和斯托克斯公式, 它们涉及到场论中通量和散度、环流量和旋度等物理概念, 但在常见的“高等数学”教材中较少涉及这部分内容, 因此导致学生对这部分的教学内容难以理解. 据此本文将从这些概念的物理含义作较为详细地介绍, 以期减少学生学习中的困难.

曲线积分和曲面积分实际上是积分的区域分别是平面或空间中的一段曲线和一片曲面的情形, 这有别于积分的区域是数轴上的区间, 平面上的区域和空间

中的区域. 曲线积分和曲面积分分别有第一类曲线积分和曲面积分及第二类曲线积分和曲面积分. 格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是沟通上述几类积分内在联系的几个重要积分公式.

高斯公式可以认为是格林公式在三维空间中的推广. 格林公式揭示了平面区域上的二重积分与该区域边界曲线上的曲线积分之间的联系, 可以把在某一坐标平面上分段光滑的闭合曲线上的第二类曲线积分转化为相应坐标平面上的二重积分来计算. 而高斯公式揭示了空间闭合区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系, 可以把坐标空间中分片光滑的闭合曲面的第二类曲面积分转化为空间中闭合曲面围成的区域的三重积分来计算, 反之亦然. 斯托克斯公式建立了沿空间曲面的曲面积分与该曲面的边界闭合曲线的曲线积分的联系, 是联系第二类曲线积分和第二类曲面积分的桥梁, 是格林公式的推广. 本文着重研究了高斯公式和斯托克斯公式中的散度和旋度的物理含义.

2 通量与散度

定义向量微分算子

∂∂∂ ∇=i +j +k (2.1) ∂x ∂y ∂z

它被称为哈密尔顿算子, 也称之为矢量微商符.

→定义流速场V =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k , 取哈密尔顿算子∇与流

速场V 的数量积, 即

→⎛∂∂∂⎞∂P ∂Q ∂R ∇⋅V =⎜⎜∂x i +∂y j +∂z k ⎟⎟⋅(Pi +Qj +Rk ) =∂x +∂y +∂z =div V (2.2) ⎝⎠→→

现在我们要问, 这样运算得到的到底是一个什么样的物理量? 为什么称它为散度? 为了说明此问题, 引入体积通量F , 它定义为

F =∫∫V ⋅d σ (2.3)

σ→→

式中σ为流体中某一封闭曲面, V ⋅d σ=V ⋅n d σ为单位时间经d σ面元的流体体积的通量, 因此(2.3)式为单位时间内流经整个闭曲面σ的流体体积通量. 按曲面积分和体积积分之间转换的高斯公式, 于是(2.3)式的右端可改写为 →→→→→→→V ⋅d σ=∫∫∫∇⋅V d τ (2.4) ∫∫στ

式中τ为闭合曲面所围成的体积. 当闭合曲面向内无限缩小, 即τ→0时, 则

→⎡lim ⎢∫∫∫∇⋅V d ττ→0⎣τ

结合(2.2)-(2.5)式, 即有

→div V =lim τ→0

此时说明流体的散度其实就是单位体积的流体体积通量. 当σ为几何面时, 如果div V (M ) >0, 表示流点M 有外流的体积通量, 犹如泉水的源头, 在流体力学中称之为源, 它的大小表示源的强度; 如果div V (M ) 0, 表示流点M 的体积膨胀, 它的大小表示膨胀的强度; 反之, 表示流点M 的体积收缩, 它的大小表示收缩的强度.

3 环流量与旋度

→F →⎤d τ⎥=∇⋅V (2.5) ∫∫∫τ⎦ (2.6)

取哈密尔顿算子∇与流速场V 的矢量积, 即

i

→∂∇×V =∂x

P j ∂∂y Q k →∂=rot V (3.1) ∂z R →

在流体力学中称之为涡度或旋度, 同样要问, 这样运算得到的物理量究竟代表了什么样的物理意义? 为什么称它为旋度? 在微积分学中, 函数y =f (x ) 的几何图形通常为一曲线, 相应的一阶导数df dx 为该曲线在相应点的切线的斜率, 它是反映该曲线特征的一个量. 相仿地, 流场V 是空间坐标(x , y , z ) 的函数, 对它作一阶矢量微商运算即∇×V , 也应是反映该流速场特征的一个量. 所以, 旋度是流速场的一个微商量, 为了说明它的物理含义, 再引入一个与它密切有关的流速场的积分量即速度环流, 可清晰的说明(3.1)式的物理含义. 为此, 在流体中取一闭曲线l , 该曲线上某一点的矢量微元d l 与该点流速矢量V 的方向通常并不一致. 但是, 一般情况下该点的流速矢量V 在d l 方向总具有分量, 然后沿闭合曲线l 将所有这些流速分量进行求和, 记作Γ, 于是

→→→→→→→→Γ=V ⋅d l (3.2)

这个数值称作环流量, 实际上也是矢量函数V 沿有向闭合曲线l 的第二类曲线积分. 当l 为闭合曲线时, 环流量Γ表示了流体完全沿着闭合曲线l 流动; 环流量Γ也表示了流体沿闭合曲线流动趋势的程度. →

引用曲线积分和曲面积分的转换公式, 即斯托克斯公式, 有

→→→→σ

→Γ=V ⋅d l =∫∫∇×V ⋅d σ (3.3) l 式中σ为以闭合曲线l 为周界的任意曲面, 曲面的单位法向n 则顺着周界按右手

螺旋法则确定. 如果闭合曲线向内无限收缩, 即σ→0, 于是

→→⎡lim ⎢∇×V ⋅d σσ→0∫∫⎣σ→→⎤d σ⎥=∇×V ⋅n (3.4) ∫∫σ⎦

将(3.3)式代入(3.4)式, 可得

∇×V ⋅n =lim Γ (3.5) σ→0→→

由此可知, 流体某点的旋度矢量在相应单位面元法向的分量就是单位面积环流量的极限值. 在一般情况下, 由于旋度∇×V 是空间矢量, 而环流量Γ仅是一个标量, 因此只能认为旋度矢量的模(即|∇×V |), 正好等于跟旋度矢量相垂直的某面元上单位面积环流量的极限值. 若以运动员在闭合跑道上跑步比作速度环流量, 则当闭合跑到无限缩小时, 运动员就只能在原地打转了. 从这个比喻可知, 流体单位面积环流量的极限值(即∇×V ⋅n )是量度流体旋转程度的物理量, 故把∇×V 称作旋度. 由于流速矢量V 为场的分布, ∇×V 称作旋度矢量场. →→→→→→

下面以一个简单的例子来对旋度的含义作些解释.

→设有刚体绕定轴L 转动, 角速度为ω, M 为刚体内任意一点, 在定轴L 上任

取一点O 为坐标原点, 作空间直角坐标系, 使z 轴与定轴L 重合, 则ω=ωk , 而点M 可用向量r =OM =(x , y , z ) 来确定, 有力学知识知道, 点M 的线速度v 可表示为v =ω ×r , 由此有

→→→→→→i j k v =00ω=(−ωy , ωx, 0) , 而

x y z

i j

→∂∂rot v =∂x ∂y −ωy ωx k →∂=(0, 0, 2ω) =2ω ∂z 0 →→→

这说明对刚体上任意一点的旋度刚好等于角速度的两倍, 当刚体无限收缩的情况下即变为流点, 这表明旋度不但是量度流体旋转的物理量, 而且其值正好等于

流点角速度的两倍. 此结论对一般三维流动情况也成立.

4 结束语

高等数学是理工类专业的基础课程, 从本文的研究, 我们看到曲线积分和曲面积分等内容与流体力学的紧密联系. 可以说, 能够较好的掌握高等数学知识, 是理工类专业的学生进一步学习相关专业课程必备的专业技能.

参考文献

[1] 吴赣昌. 高等数学(下册)[M]. 北京: 中国人民大学出版社, 2007.

[2] 同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.

[3] 余志豪, 苗曼倩, 蒋全荣, 杨平章. 流体力学[M]. 北京: 气象出版社, 2004.