1. 用测量范围为-50~150kPa的压力传感器测量140kPa 压力时，传感器测得示值为142kPa ，求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。
解：真值L=140kPa, 测量值x=142 kPa 绝对误差Δ=x-L=142-140=2 kPa
∆2⨯100%==1.43%L 140∆2
=1.41% 标称相对误差 δ'=⨯100%=
x 142
∆∆
⨯100% 引用误差 γ=⨯100%=
x m 测量上限－测量下限
实际相对误差 δ=
=
2
=1%
150-(-50)
2 .用电位差计测量电势信号E x （如图所示）, 已知:
I 1=4mA , I 2=2mA , R 1=5Ω, R 2=10Ω, r p =10Ω, 电路中电阻
R 1, R 2, r p 的定值系统误差分别为
∆R 1=+0. 01Ω, ∆R 2=+0. 01Ω, ∆r p =+0. 005Ω, 设检流计A 、上支
路电流I 1和下支路电流I 2的误差忽略不计。求修正后的E x 的大小。
解：E x =(r p +R 1) I 1-R 2I 2
当不考虑系统误差时，有E x 0=(10+5) ⨯4-10⨯2=40mV 已知r p , R 1, R 2存在系统误差，按照误差合成理论，可得
∆E x =I 1∆r p +I 1∆R 1-I 2∆R 2
=4⨯0.005+4⨯0.01-2⨯0.01=0.04mV
修正后的E x 为E x =E x 0-∆E x =40-0.04=39.96mV
3. 某压力传感器测试数据如表所示，计算非线性误差、迟滞和重复性误差。
2) ． 再用最小二乘法拟合直线： 设拟合直线为：y =kx +b
则误差方程为：
⎧-2. 7-(0k +b ) =v 1⎪0. 64-(0. 02k +b ) =v
2⎪
⎪⎪4. 04-(0. 04k +b ) =v 3
⎨
7. 47-(0. 06k +b ) =v 4⎪
⎪10. 93-(0. 08k +b ) =v 5⎪⎪⎩14. 45-(0. 10k +b ) =v 6
其正规方程为：
⎧0. 022k +0. 3b =2. 942
⎨
0. 3k +6b =34. 83⎩
解得⎨
⎧k =171. 5
⎩b =-2. 77
所以，用最小二乘法拟合后的直线为：y =171. 5x -2. 77 3) ．
满量程值为：Y FS =(x m ax -x 1) k =0. 1⨯171. 5=17. 15mV 由表知，∆L m ax =0. 09667，所以： 非线性误差为：γL =
∆L m ax 0. 09667
⨯100%=⨯100%≈0. 56%； Y FS 17. 15
又∆H m ax =0.09333，所以： 迟滞误差为：γH =
∆H max 0. 09333
⨯100%=⨯100%≈0. 54%； Y FS 17. 15
求重复性误差的标准差σ： 正反行程的子样方差的平方根：σ=
-1⎛⎫
y i -y ⎪ 3-1⎝⎭
2
其标准差σ=
6
1⎛622⎫ ∑σ正i +∑σ反i ⎪=2⨯6⎝i =1i =1⎭
0.009033
=0.027437；
12
所以重复性误差为：
γR =
(2~3) σ3⨯0. 027437
⨯100%=⨯100%≈0. 48%
Y FS 17. 15
4. 当被测介质温度为t 1，测温传感器示值温度为t 2时，有下列方程式成立：
t 1=t 2+τ0
dt 2
。 d τ
当被测介质温度从25℃突然变化到300℃时，测温传感器的时间常数τ0＝120s ，试确定经过350s 后的动态误差。
已知：t 1=t 2+τ0
⎧25(t ≤0) dt 2
，t 1=⎨，τ0=120s d τ⎩300(t >0)
求：t=350s时，t 1-t 2=?
解：
灵敏度k=1时，一阶传感器的单位阶跃响应为y (t ) =1-e
-t 。
-τ0
类似地，该测温传感器的瞬态响应函数可表示为：t 2(τ) =25+(300-25) ⨯(1-e 当τ=350s 时，t 2=25+(300-25) ⨯(1-e
-) 。
) =285.15( C ) 。
所以，动态误差t 1-t 2=300-285.15=14.85(C ) 。
5. 交流电路的电抗数值方程为 X =wL -
1 wC
当角频率w 1=5Hz , 测得电抗X 1为0. 8Ω； w 2=2Hz , 测得电抗X 2为0. 2Ω； w 3=1Hz , 测得电抗X 3为-0. 3Ω； 试用最小二乘法求电感L 、电容C 的值。
6. 对某轴直径进行了15次测量，测量数据如下：26.2，26.2，26.21，26.23，26.19，26.22，26.21，26.19，26.09，26.22，26.21，26.23，26.21，26.18试用格拉布斯准则判断上述数据是否含有粗大误差，并
写出其测量结果。
解: (1)求算数平均值及标准差估计值 15次算数平均值: 标准差的估计值:
σs 1=
1U =
15
∑U =26. 199
i
i =1
15
15-1v
2i
=
(x -)
i
2
15-1=
0. 015695
=0. 0335mV 14
(2)判断有无粗大误差：采用格拉布斯准则 取置信概率
P α=0. 95
G ⨯σs =2. 41⨯0. 0335=0. 0807
查表2-4，可得系数G=2.41，则有： 故剔除U9
(3)剔除粗大误差后的算术平均值及标准差估计值如下： 算数平均值为： 标准差的估计值为：
重新判断粗大误差： 取置信概率
σs 2=
1
U =
14
∑U =26. 207
i
i =1
14
14-12v i
=
2
()x -∑i
14-1=
0. 00817
=0. 02507mV 13
P α=0. 95
查表2-4，可得系数G=2.41，则有： G ⨯σs =2. 37⨯0. 02507=0. 0594>i 2故无粗大误差。 (4) 测量结果表示： 算术平均值的标准差：
所以测量结果为：
σ=
σs 2
n
＝
0. 02507
≈0. 0067mV x =±3σ=(26.207±0.02) mV
(P a =99. 73%)
7. 有一个以空气为介质的变面积型平板电容传感器, 其中a=8mm，b=12mm，两极板间距离为1mm 。一块极板在原始位置上平移了5mm 后，求该传感器的位移灵敏度K （已知空气相对介电常数ε=1F /m ，真空时的介电常数ε0=8. 854⨯10-12F /m ）解：C 0=
ε0εr A
d
εε(∆a ⋅b )
∆C =0r
d
=
ε0εr (a ⋅b )
d
∆C ∆a 3C a
K =0=0= 改为5
∆A ∆A 5⨯12
8. 用一个时间常数为0.355秒的一阶传感器去测量周期分别为1秒、2秒和3秒的正弦信号，问幅值误差为多少？ 解：
由ω=
2π
T
τω=
0. 71πT
幅值A (ω) =
A 1%=
1+(τω) 2
当T 1=1s 时，当T 3=3s 时，
A (ω1) ≈0. 409A (ω3) ≈0. 803
当T 2=2s 时，A (ω2) ≈0. 668
1-A (ω1)
⨯100%=59. 1%1
A 2%=33. 2%A 3%=19. 7%
9. 如下图（a ）所示为传感器上的圆形实芯弹性体，四个应变片粘贴方向为R 1、R 4轴向，
R 2、R 3圆周向。应变片的初始值R 1= R2=R3=R4＝200Ω，灵敏度系数K ＝3，弹性体的泊松系数μ＝0.35，当弹性体受拉时，测得R 1、R 4的变化为∆R 1=∆R 4=0.5Ω，如将四个应变片如图（b ）所示接入电桥，当供电电压U=5V时，试求输出电压U 0。
10.
一应变片的电阻R=120Ω，K=2.05，用做最大应变为
ε=800μm /m 的传感元件。当弹性体受力形变至最大应变时，
（1）
求∆R 和∆R /R ；（2）若将应变片接入电桥单臂，其余桥臂电阻均为120Ω固定电阻，供桥电压U=3V，求传感元件最大应变时单臂电桥的输出电压U o 和非线性误差。 解：(1)
(2)
∆R
=k ε=2. 05⨯800⨯10-6=1. 64⨯10-3R
∴∆R =1. 64⨯10-3⨯120=0. 1968Ω
E ∆R 3u 0=⋅=⨯1. 64⨯10-3=1. 23mv
4R 4
R 3R 1+∆R 1'
u 0=E (-) =1. 229mv
R 1+∆R 1+R 2R 3+R 4∴非线性误差γL =
'
u 0-u 0
u 0
⨯100%=0. 082%
11. 用等强度梁作为弹性元件的电子秤，在梁的上方贴一个应变片，如题4-4图所示，应变片的灵敏度系数K=2,每受1kg 力在应变片处产生的平均应变ε’=8×10-311/kg。已知电子秤末放置重物时，应变片的初始电阻R1=100 Ω, 当电子秤上放置500g 重物时，求 （1）应变片的电阻变化量ΔR1和相对变化ΔR1/R1 ;
（2）用单臂电桥做转换电路（R2=R3=R4=100Ω）, 电桥电压U=5V时的输出电压U 。，以及考虑非线性因素时单臂电桥的实际输出； （3）用单臂电桥做转换电路导致的非线性误差。 解：（1）
ε=m ε' =0. 5⨯8⨯10-3=4⨯10-3
∆R 1
∴=k ε=2⨯4⨯10-3=8⨯10-3
R 1∴∆R 1=k εR 1=0. 8Ω
E ∆R 5
(2) u 0=⋅=⨯8⨯10-3=10m v
4R 4 '
n ∆R 1R 1∆R 1R 1
u 0=u 0=u 0=9. 96m v
(1+n +∆R 1R 1)(1+n ) (2+∆R 1R 1) ⨯2
(3) 非线性误差为：
' u 0-u 0
γL =⨯100%=0. 4%
u 0
12. 一应电阻应变片的电阻R=120Ω，灵敏度系数K=2，粘贴在某钢质弹性元件上，已知电阻应变丝的材料为钢镍合金，其电阻温度系数
-60
为20⨯10/C ，线膨胀温度系数为16⨯10-6/0C ；钢质弹性元件的线-60
膨胀系数为12⨯10/C ，试求：
（1）
温度变化200C 时，引起的附加电阻变化；
（2） 单位温度变化引起的虚应变。
解：(1)若假设电阻应变与钢质弹性元件不粘贴，温度变化20℃之后长度变化为：
应变片：L s -L s 0=L s 0⋅βs ⋅20=3. 2⨯10-4L s 0∴L s =(1+3. 2⨯10-4) L s 0
弹性元件：L g -L g 0=L g 0⋅βg ⋅20=2. 4⨯10-4L g 0∴L g =(1+2. 4⨯10-4) L g 0
粘贴在一起后，L =L g 0=L 0则附加应变为：
s
∆L L s -L g
εβ===8⨯10-5
L 0L 0
∴附加电阻变化为：∆R β=KR 0εβ=0. 0192Ω
(2)应变片粘贴后的电阻温度系数为：
α=α0+K (βs -βg ) =2. 8⨯10-5
∴单位温度变化引起的虚应变为：
εt =
α
K
∆t =1. 4⨯10-5
与书本的公式中的减数与被减数位置颠倒 13. 对光速进行测量，的到如下四组测量结果：
c 1=(2. 98000±0. 01000) ⨯108m /s c 2=(2. 98500±0. 01000) ⨯108m /s c 3=(2. 99990±0. 00200) ⨯108m /s c 4=(2. 99930±0. 00100) ⨯108m /s
求光速的加权平均值及其标准差。
解：权重计算：用各组测量列的标准差平方的倒数的比值表示。
P 1:P 2:P 3:P 4=
1
σ
2
1
:
1
σ
22
:
1
σ
23
:
1
σ
24
=1:1:25:100
加权算术平均值为：
x p =∑x i P i /∑P i =2. 99915⨯108m /s
i =1
i =1
44
加权算术平均值的标准差为：
v 1=0. 01915⨯108
v 2=0. 01415⨯108
v 3=-0. 00075⨯108
v 4=-0. 00015⨯108
σx =
p
∑P v
i =1
4
4
2i i
(4-1)∑P i
i =1
=0. 00124⨯108m /s
14. 某中变压器油的粘度随温度的升高而降低，经测量得到不同温度下的粘度值数据，如下表所示，求粘度与温度之间的经验公式。
解：用矩阵求解
由最小二乘法估计的矩阵解 ( A ' A 得： X =) - 1 A ' L
由于 A ' A =105000≠0(有解)
⎡1
A ' A =⎢
⎣10
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
⎡1⎢⎢1⎢1⎢⎢1⎢1⎢⎢1⎢11⎤⎢⎥⎢180⎦⎢
⎢1⎢1⎢⎢1⎢⎢1⎢1⎢⎢1⎢1⎣
10⎤⎥15⎥20⎥⎥25⎥30⎥⎥35⎥⎥40⎥
⎡1545⎥=⎢
675⎥
50⎥⎣55⎥⎥60⎥⎥65⎥70⎥⎥75⎥80⎥⎦
675⎤
⎥37375⎦
则：
(A ' A ) -1=
1A ' A
⎡A 11⎢⎣A 21A 12⎤1⎡37375-675⎤
=⎥⎢⎥A 22⎦105000⎣-67515⎦
⎡4. 24⎤⎢⎥3. 51⎢⎥⎢2. 92⎥⎢⎥2. 52⎢⎥⎢2. 20⎥⎢⎥2. 00⎢⎥⎢⎥1. 81⎥⎡30. 66⎤1111111⎤⎢
⎥⎢1. 7⎥=⎢⎥
[1**********]580⎦⎢. 85⎦⎥⎣1127
⎢1. 6⎥⎢1. 5⎥⎢⎥⎢1. 43⎥⎢⎥⎢1. 37⎥⎢1. 32⎥⎢⎥
-675⎤⎡30. 66⎤⎡-0. 036⎤⎢1. 29⎥
⎥⎢⎥=⎢⎥⎥15⎦⎣1127. 85⎦⎣3. 72⎦⎢⎣1. 25⎦
⎡11111111
A ' L =⎢
⎣[**************]5
b ⎤-1所以：X =⎡⎢⎥=(A ' A ) A ' L =
⎣b 0⎦
1⎡37375
⎢
105000⎣-675
b =-0. 036b 0=3. 72
拟合方程为：y =3. 72-0. 036x
2
15. 已知变化气隙电感传感器的铁心截面积s =1. 5cm ，磁路长度
l =20cm ，相对磁导率μ1=5000, 气隙宽度δ0=0. 5cm , ∆δ=±0. 1mm , 真空磁
μ=4π⨯10-7H /m , 0导率线圈匝数W =3000, 求单端式传感器的灵敏度
(∆L /L 0) /∆δ
。若将其做成差动结构形式，灵敏度将如何变化？
解：初始电感量为：
W 2μ0S 0
L 0=
2δ0
30002⨯4⨯3. 14⨯10-7⨯1. 5⨯10-4
==169. 6(mH )-2
2⨯0. 5⨯10
气隙变化后的电感量为：
W 2μ0S 0
L =L 0+∆L =
2δ
30002⨯4⨯3. 14⨯10-7⨯1. 5⨯10-4
=
2⨯0. 5±0. 01⨯10-2
=169. 6±3. 4(mH )
单端式传感器的灵敏度：
∆L /L 03. 4⨯10-31-1-1
K 0===200. 47m 或K ==200m (忽略高此项) 0-3
∆δ0. 1⨯10δ0
差动结构传感器的灵敏度：
∆L /L 06. 8⨯10-32-1-1
K 0===400. 94m 或K ==400m (忽略高此项) 0-3
∆δ0. 1⨯10δ0
因此差动结构比单端结构传感器灵敏度提高一倍
16. 用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知加速度计的灵敏度为5pC/g,电荷放大器的灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压为2V ，试求该机器的振动加速度（用重力加速度的相对值表示）。
解：系统灵敏度等于加速度计灵敏度和电荷放大器灵敏度乘积 S n =5pC g ⨯50mV pC =250mV g
由输出电压幅值与被测加速度关系式S n =V 0a 得
2⨯103mv a =V 0S n ==8g 250g
17. 石英晶体压电式传感器的面积为1cm2 厚度为1mm, 固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料弹性模量为9×1010Pa ，电荷灵敏度为2pC/N，相对介电常数为5.1，材料相对两面间的电阻为1014Ω。压电传感器后接放大电路，放大电路的输入电容为20pF, 输入电阻为100M Ω(与极板并联) 。若所加力F=0.01sin(103t)N，求： （1）两极板间的电压峰峰值；（2）晶体厚度的最大变化（应力=应变弹性模量，σ=εE ）。
2
7-5 (a ) 由题意知S =1cm
d =1m m
q r =5. 1ε0=8. 85⨯10-12m
∴传感器电容量C a =
d 又 所加外力幅值F m =0. 01N
εr ε0s
=4. 5135⨯10-12F
S q =2pC /N
∴无负载时电荷量幅值q m =S q ⋅F m =0. 02pC 输出电压幅值V m =q m C a =4. 43m v 输出电压峰峰值V p -p =2V m =8. 86m v
当接入负载时，实际输出电压与理想输出电压之比的
相对幅频特性为A (ω) = w =1⨯103rad /s 由题意
∴τ=RC =2. 45135⨯10-3∴A (w ) ≈0. 926
w τH (w τ) 2R i =100Ω
R a =104Ω
C i =20pF
∴有负载时，两板间电压峰峰值为： V p ' -p =A (w ) ⋅V p -p =0. 926⨯8. 86≈8. 20m v
7 -5(b ) 当所受外力为最大压力时，厚度减小量最大；当所受外力为最大拉力时厚度量增加量最大。由题意d =1mm
s =1cm 2E =9⨯1010Pa
2F m ⋅d ∴∆d ==2. 22⨯10-12m
E ⋅S
8 -4已知某霍尔元件的尺寸为长L =10mm , 宽b =3. 5mm , 厚d =1mm 。沿长度L 方向通以电流I =1. 0A , 在垂直与b ⨯d 两个方向上加均匀
磁场B =0. 3T , 输出霍尔电势U H =6. 55mV 。求该霍尔元件的灵敏度系数n 。 K H 和载流子浓度解：(1) 由U H =K H IB 可得
U H 6. 55⨯10-3
灵敏度系数K H ===21. 83V /AT -3 IB 1. 0⨯10⨯0. 3(2e =-1. 6⨯10-19C ) 已知电子电荷量为IB 由U H =-可得
ned
IB 1. 0⨯10-3⨯0. 3
载流子浓度n =-=-
edU H -1. 6⨯10-19⨯10-3⨯6. 55⨯10-3
≈2. 86⨯1020C /m 3
1. 用测量范围为-50~150kPa的压力传感器测量140kPa 压力时，传感器测得示值为142kPa ，求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。
解：真值L=140kPa, 测量值x=142 kPa 绝对误差Δ=x-L=142-140=2 kPa
∆2⨯100%==1.43%L 140∆2
=1.41% 标称相对误差 δ'=⨯100%=
x 142
∆∆
⨯100% 引用误差 γ=⨯100%=
x m 测量上限－测量下限
实际相对误差 δ=
=
2
=1%
150-(-50)
2 .用电位差计测量电势信号E x （如图所示）, 已知:
I 1=4mA , I 2=2mA , R 1=5Ω, R 2=10Ω, r p =10Ω, 电路中电阻
R 1, R 2, r p 的定值系统误差分别为
∆R 1=+0. 01Ω, ∆R 2=+0. 01Ω, ∆r p =+0. 005Ω, 设检流计A 、上支
路电流I 1和下支路电流I 2的误差忽略不计。求修正后的E x 的大小。
解：E x =(r p +R 1) I 1-R 2I 2
当不考虑系统误差时，有E x 0=(10+5) ⨯4-10⨯2=40mV 已知r p , R 1, R 2存在系统误差，按照误差合成理论，可得
∆E x =I 1∆r p +I 1∆R 1-I 2∆R 2
=4⨯0.005+4⨯0.01-2⨯0.01=0.04mV
修正后的E x 为E x =E x 0-∆E x =40-0.04=39.96mV
3. 某压力传感器测试数据如表所示，计算非线性误差、迟滞和重复性误差。
2) ． 再用最小二乘法拟合直线： 设拟合直线为：y =kx +b
则误差方程为：
⎧-2. 7-(0k +b ) =v 1⎪0. 64-(0. 02k +b ) =v
2⎪
⎪⎪4. 04-(0. 04k +b ) =v 3
⎨
7. 47-(0. 06k +b ) =v 4⎪
⎪10. 93-(0. 08k +b ) =v 5⎪⎪⎩14. 45-(0. 10k +b ) =v 6
其正规方程为：
⎧0. 022k +0. 3b =2. 942
⎨
0. 3k +6b =34. 83⎩
解得⎨
⎧k =171. 5
⎩b =-2. 77
所以，用最小二乘法拟合后的直线为：y =171. 5x -2. 77 3) ．
满量程值为：Y FS =(x m ax -x 1) k =0. 1⨯171. 5=17. 15mV 由表知，∆L m ax =0. 09667，所以： 非线性误差为：γL =
∆L m ax 0. 09667
⨯100%=⨯100%≈0. 56%； Y FS 17. 15
又∆H m ax =0.09333，所以： 迟滞误差为：γH =
∆H max 0. 09333
⨯100%=⨯100%≈0. 54%； Y FS 17. 15
求重复性误差的标准差σ： 正反行程的子样方差的平方根：σ=
-1⎛⎫
y i -y ⎪ 3-1⎝⎭
2
其标准差σ=
6
1⎛622⎫ ∑σ正i +∑σ反i ⎪=2⨯6⎝i =1i =1⎭
0.009033
=0.027437；
12
所以重复性误差为：
γR =
(2~3) σ3⨯0. 027437
⨯100%=⨯100%≈0. 48%
Y FS 17. 15
4. 当被测介质温度为t 1，测温传感器示值温度为t 2时，有下列方程式成立：
t 1=t 2+τ0
dt 2
。 d τ
当被测介质温度从25℃突然变化到300℃时，测温传感器的时间常数τ0＝120s ，试确定经过350s 后的动态误差。
已知：t 1=t 2+τ0
⎧25(t ≤0) dt 2
，t 1=⎨，τ0=120s d τ⎩300(t >0)
求：t=350s时，t 1-t 2=?
解：
灵敏度k=1时，一阶传感器的单位阶跃响应为y (t ) =1-e
-t 。
-τ0
类似地，该测温传感器的瞬态响应函数可表示为：t 2(τ) =25+(300-25) ⨯(1-e 当τ=350s 时，t 2=25+(300-25) ⨯(1-e
-) 。
) =285.15( C ) 。
所以，动态误差t 1-t 2=300-285.15=14.85(C ) 。
5. 交流电路的电抗数值方程为 X =wL -
1 wC
当角频率w 1=5Hz , 测得电抗X 1为0. 8Ω； w 2=2Hz , 测得电抗X 2为0. 2Ω； w 3=1Hz , 测得电抗X 3为-0. 3Ω； 试用最小二乘法求电感L 、电容C 的值。
6. 对某轴直径进行了15次测量，测量数据如下：26.2，26.2，26.21，26.23，26.19，26.22，26.21，26.19，26.09，26.22，26.21，26.23，26.21，26.18试用格拉布斯准则判断上述数据是否含有粗大误差，并
写出其测量结果。
解: (1)求算数平均值及标准差估计值 15次算数平均值: 标准差的估计值:
σs 1=
1U =
15
∑U =26. 199
i
i =1
15
15-1v
2i
=
(x -)
i
2
15-1=
0. 015695
=0. 0335mV 14
(2)判断有无粗大误差：采用格拉布斯准则 取置信概率
P α=0. 95
G ⨯σs =2. 41⨯0. 0335=0. 0807
查表2-4，可得系数G=2.41，则有： 故剔除U9
(3)剔除粗大误差后的算术平均值及标准差估计值如下： 算数平均值为： 标准差的估计值为：
重新判断粗大误差： 取置信概率
σs 2=
1
U =
14
∑U =26. 207
i
i =1
14
14-12v i
=
2
()x -∑i
14-1=
0. 00817
=0. 02507mV 13
P α=0. 95
查表2-4，可得系数G=2.41，则有： G ⨯σs =2. 37⨯0. 02507=0. 0594>i 2故无粗大误差。 (4) 测量结果表示： 算术平均值的标准差：
所以测量结果为：
σ=
σs 2
n
＝
0. 02507
≈0. 0067mV x =±3σ=(26.207±0.02) mV
(P a =99. 73%)
7. 有一个以空气为介质的变面积型平板电容传感器, 其中a=8mm，b=12mm，两极板间距离为1mm 。一块极板在原始位置上平移了5mm 后，求该传感器的位移灵敏度K （已知空气相对介电常数ε=1F /m ，真空时的介电常数ε0=8. 854⨯10-12F /m ）解：C 0=
ε0εr A
d
εε(∆a ⋅b )
∆C =0r
d
=
ε0εr (a ⋅b )
d
∆C ∆a 3C a
K =0=0= 改为5
∆A ∆A 5⨯12
8. 用一个时间常数为0.355秒的一阶传感器去测量周期分别为1秒、2秒和3秒的正弦信号，问幅值误差为多少？ 解：
由ω=
2π
T
τω=
0. 71πT
幅值A (ω) =
A 1%=
1+(τω) 2
当T 1=1s 时，当T 3=3s 时，
A (ω1) ≈0. 409A (ω3) ≈0. 803
当T 2=2s 时，A (ω2) ≈0. 668
1-A (ω1)
⨯100%=59. 1%1
A 2%=33. 2%A 3%=19. 7%
9. 如下图（a ）所示为传感器上的圆形实芯弹性体，四个应变片粘贴方向为R 1、R 4轴向，
R 2、R 3圆周向。应变片的初始值R 1= R2=R3=R4＝200Ω，灵敏度系数K ＝3，弹性体的泊松系数μ＝0.35，当弹性体受拉时，测得R 1、R 4的变化为∆R 1=∆R 4=0.5Ω，如将四个应变片如图（b ）所示接入电桥，当供电电压U=5V时，试求输出电压U 0。
10.
一应变片的电阻R=120Ω，K=2.05，用做最大应变为
ε=800μm /m 的传感元件。当弹性体受力形变至最大应变时，
（1）
求∆R 和∆R /R ；（2）若将应变片接入电桥单臂，其余桥臂电阻均为120Ω固定电阻，供桥电压U=3V，求传感元件最大应变时单臂电桥的输出电压U o 和非线性误差。 解：(1)
(2)
∆R
=k ε=2. 05⨯800⨯10-6=1. 64⨯10-3R
∴∆R =1. 64⨯10-3⨯120=0. 1968Ω
E ∆R 3u 0=⋅=⨯1. 64⨯10-3=1. 23mv
4R 4
R 3R 1+∆R 1'
u 0=E (-) =1. 229mv
R 1+∆R 1+R 2R 3+R 4∴非线性误差γL =
'
u 0-u 0
u 0
⨯100%=0. 082%
11. 用等强度梁作为弹性元件的电子秤，在梁的上方贴一个应变片，如题4-4图所示，应变片的灵敏度系数K=2,每受1kg 力在应变片处产生的平均应变ε’=8×10-311/kg。已知电子秤末放置重物时，应变片的初始电阻R1=100 Ω, 当电子秤上放置500g 重物时，求 （1）应变片的电阻变化量ΔR1和相对变化ΔR1/R1 ;
（2）用单臂电桥做转换电路（R2=R3=R4=100Ω）, 电桥电压U=5V时的输出电压U 。，以及考虑非线性因素时单臂电桥的实际输出； （3）用单臂电桥做转换电路导致的非线性误差。 解：（1）
ε=m ε' =0. 5⨯8⨯10-3=4⨯10-3
∆R 1
∴=k ε=2⨯4⨯10-3=8⨯10-3
R 1∴∆R 1=k εR 1=0. 8Ω
E ∆R 5
(2) u 0=⋅=⨯8⨯10-3=10m v
4R 4 '
n ∆R 1R 1∆R 1R 1
u 0=u 0=u 0=9. 96m v
(1+n +∆R 1R 1)(1+n ) (2+∆R 1R 1) ⨯2
(3) 非线性误差为：
' u 0-u 0
γL =⨯100%=0. 4%
u 0
12. 一应电阻应变片的电阻R=120Ω，灵敏度系数K=2，粘贴在某钢质弹性元件上，已知电阻应变丝的材料为钢镍合金，其电阻温度系数
-60
为20⨯10/C ，线膨胀温度系数为16⨯10-6/0C ；钢质弹性元件的线-60
膨胀系数为12⨯10/C ，试求：
（1）
温度变化200C 时，引起的附加电阻变化；
（2） 单位温度变化引起的虚应变。
解：(1)若假设电阻应变与钢质弹性元件不粘贴，温度变化20℃之后长度变化为：
应变片：L s -L s 0=L s 0⋅βs ⋅20=3. 2⨯10-4L s 0∴L s =(1+3. 2⨯10-4) L s 0
弹性元件：L g -L g 0=L g 0⋅βg ⋅20=2. 4⨯10-4L g 0∴L g =(1+2. 4⨯10-4) L g 0
粘贴在一起后，L =L g 0=L 0则附加应变为：
s
∆L L s -L g
εβ===8⨯10-5
L 0L 0
∴附加电阻变化为：∆R β=KR 0εβ=0. 0192Ω
(2)应变片粘贴后的电阻温度系数为：
α=α0+K (βs -βg ) =2. 8⨯10-5
∴单位温度变化引起的虚应变为：
εt =
α
K
∆t =1. 4⨯10-5
与书本的公式中的减数与被减数位置颠倒 13. 对光速进行测量，的到如下四组测量结果：
c 1=(2. 98000±0. 01000) ⨯108m /s c 2=(2. 98500±0. 01000) ⨯108m /s c 3=(2. 99990±0. 00200) ⨯108m /s c 4=(2. 99930±0. 00100) ⨯108m /s
求光速的加权平均值及其标准差。
解：权重计算：用各组测量列的标准差平方的倒数的比值表示。
P 1:P 2:P 3:P 4=
1
σ
2
1
:
1
σ
22
:
1
σ
23
:
1
σ
24
=1:1:25:100
加权算术平均值为：
x p =∑x i P i /∑P i =2. 99915⨯108m /s
i =1
i =1
44
加权算术平均值的标准差为：
v 1=0. 01915⨯108
v 2=0. 01415⨯108
v 3=-0. 00075⨯108
v 4=-0. 00015⨯108
σx =
p
∑P v
i =1
4
4
2i i
(4-1)∑P i
i =1
=0. 00124⨯108m /s
14. 某中变压器油的粘度随温度的升高而降低，经测量得到不同温度下的粘度值数据，如下表所示，求粘度与温度之间的经验公式。
解：用矩阵求解
由最小二乘法估计的矩阵解 ( A ' A 得： X =) - 1 A ' L
由于 A ' A =105000≠0(有解)
⎡1
A ' A =⎢
⎣10
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
⎡1⎢⎢1⎢1⎢⎢1⎢1⎢⎢1⎢11⎤⎢⎥⎢180⎦⎢
⎢1⎢1⎢⎢1⎢⎢1⎢1⎢⎢1⎢1⎣
10⎤⎥15⎥20⎥⎥25⎥30⎥⎥35⎥⎥40⎥
⎡1545⎥=⎢
675⎥
50⎥⎣55⎥⎥60⎥⎥65⎥70⎥⎥75⎥80⎥⎦
675⎤
⎥37375⎦
则：
(A ' A ) -1=
1A ' A
⎡A 11⎢⎣A 21A 12⎤1⎡37375-675⎤
=⎥⎢⎥A 22⎦105000⎣-67515⎦
⎡4. 24⎤⎢⎥3. 51⎢⎥⎢2. 92⎥⎢⎥2. 52⎢⎥⎢2. 20⎥⎢⎥2. 00⎢⎥⎢⎥1. 81⎥⎡30. 66⎤1111111⎤⎢
⎥⎢1. 7⎥=⎢⎥
[1**********]580⎦⎢. 85⎦⎥⎣1127
⎢1. 6⎥⎢1. 5⎥⎢⎥⎢1. 43⎥⎢⎥⎢1. 37⎥⎢1. 32⎥⎢⎥
-675⎤⎡30. 66⎤⎡-0. 036⎤⎢1. 29⎥
⎥⎢⎥=⎢⎥⎥15⎦⎣1127. 85⎦⎣3. 72⎦⎢⎣1. 25⎦
⎡11111111
A ' L =⎢
⎣[**************]5
b ⎤-1所以：X =⎡⎢⎥=(A ' A ) A ' L =
⎣b 0⎦
1⎡37375
⎢
105000⎣-675
b =-0. 036b 0=3. 72
拟合方程为：y =3. 72-0. 036x
2
15. 已知变化气隙电感传感器的铁心截面积s =1. 5cm ，磁路长度
l =20cm ，相对磁导率μ1=5000, 气隙宽度δ0=0. 5cm , ∆δ=±0. 1mm , 真空磁
μ=4π⨯10-7H /m , 0导率线圈匝数W =3000, 求单端式传感器的灵敏度
(∆L /L 0) /∆δ
。若将其做成差动结构形式，灵敏度将如何变化？
解：初始电感量为：
W 2μ0S 0
L 0=
2δ0
30002⨯4⨯3. 14⨯10-7⨯1. 5⨯10-4
==169. 6(mH )-2
2⨯0. 5⨯10
气隙变化后的电感量为：
W 2μ0S 0
L =L 0+∆L =
2δ
30002⨯4⨯3. 14⨯10-7⨯1. 5⨯10-4
=
2⨯0. 5±0. 01⨯10-2
=169. 6±3. 4(mH )
单端式传感器的灵敏度：
∆L /L 03. 4⨯10-31-1-1
K 0===200. 47m 或K ==200m (忽略高此项) 0-3
∆δ0. 1⨯10δ0
差动结构传感器的灵敏度：
∆L /L 06. 8⨯10-32-1-1
K 0===400. 94m 或K ==400m (忽略高此项) 0-3
∆δ0. 1⨯10δ0
因此差动结构比单端结构传感器灵敏度提高一倍
16. 用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知加速度计的灵敏度为5pC/g,电荷放大器的灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压为2V ，试求该机器的振动加速度（用重力加速度的相对值表示）。
解：系统灵敏度等于加速度计灵敏度和电荷放大器灵敏度乘积 S n =5pC g ⨯50mV pC =250mV g
由输出电压幅值与被测加速度关系式S n =V 0a 得
2⨯103mv a =V 0S n ==8g 250g
17. 石英晶体压电式传感器的面积为1cm2 厚度为1mm, 固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料弹性模量为9×1010Pa ，电荷灵敏度为2pC/N，相对介电常数为5.1，材料相对两面间的电阻为1014Ω。压电传感器后接放大电路，放大电路的输入电容为20pF, 输入电阻为100M Ω(与极板并联) 。若所加力F=0.01sin(103t)N，求： （1）两极板间的电压峰峰值；（2）晶体厚度的最大变化（应力=应变弹性模量，σ=εE ）。
2
7-5 (a ) 由题意知S =1cm
d =1m m
q r =5. 1ε0=8. 85⨯10-12m
∴传感器电容量C a =
d 又 所加外力幅值F m =0. 01N
εr ε0s
=4. 5135⨯10-12F
S q =2pC /N
∴无负载时电荷量幅值q m =S q ⋅F m =0. 02pC 输出电压幅值V m =q m C a =4. 43m v 输出电压峰峰值V p -p =2V m =8. 86m v
当接入负载时，实际输出电压与理想输出电压之比的
相对幅频特性为A (ω) = w =1⨯103rad /s 由题意
∴τ=RC =2. 45135⨯10-3∴A (w ) ≈0. 926
w τH (w τ) 2R i =100Ω
R a =104Ω
C i =20pF
∴有负载时，两板间电压峰峰值为： V p ' -p =A (w ) ⋅V p -p =0. 926⨯8. 86≈8. 20m v
7 -5(b ) 当所受外力为最大压力时，厚度减小量最大；当所受外力为最大拉力时厚度量增加量最大。由题意d =1mm
s =1cm 2E =9⨯1010Pa
2F m ⋅d ∴∆d ==2. 22⨯10-12m
E ⋅S
8 -4已知某霍尔元件的尺寸为长L =10mm , 宽b =3. 5mm , 厚d =1mm 。沿长度L 方向通以电流I =1. 0A , 在垂直与b ⨯d 两个方向上加均匀
磁场B =0. 3T , 输出霍尔电势U H =6. 55mV 。求该霍尔元件的灵敏度系数n 。 K H 和载流子浓度解：(1) 由U H =K H IB 可得
U H 6. 55⨯10-3
灵敏度系数K H ===21. 83V /AT -3 IB 1. 0⨯10⨯0. 3(2e =-1. 6⨯10-19C ) 已知电子电荷量为IB 由U H =-可得
ned
IB 1. 0⨯10-3⨯0. 3
载流子浓度n =-=-
edU H -1. 6⨯10-19⨯10-3⨯6. 55⨯10-3
≈2. 86⨯1020C /m 3