爱思考爱数学
不同版本“周期函数”定义的比较与思考
246740安徽省枞阳县会宫中学朱贤良
E-MAIL:[email protected]
“周期性”是研究函数时的须重点考察的性质之一，利用函数的周期性使我们对函数图象与其它性质的认识更加简洁、有效.近日阅读文[1]时，对其中提出的问题进行了深入的思考.现整理成文，求教于方家.
一、问题呈现
摘录文[1]提出的问题如下：
问题函数g (x ) =sin x （x ≥0）是不是周期函数？
对于函数周期性的概念，人教A 版必修4第34页是这样写的：
“对于函数f (x ) ，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 就叫做周期函数，非零实数T 叫做这个函数的周期.
周期函数的周期不止一个，例如2π,4π,6π, ⋯以及−2π, −4π, −6π, ⋯都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数2k π（k ∈Z 且k ≠0）都是它的周期.
如果在周期函数f (x ) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x ) 的最小正周期.例如，正弦函数的最小正周期是2π.”
观点1由周期性的定义，存在一个非零常数2π，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有g (x +2π) =g (x ) ，因此，函数g (x ) 是周期函数.
观点2若g (x ) 是周期函数，2π是周期，那么任何一个常数2k π（k ∈Z 且k ≠0）都是它的周期，即−2π也是函数g (x ) 的周期.但是当x 取定义域内的每一个值时，x −2π未必在定义域内，因而不满足周期函数的定义，故函数g (x ) 不是周期函数.
两种观点，孰对孰错？
应该说，文[1]中提出的这个问题表明对课本的研读还是比较细致的，能从阅读课本中提出问题，这比解决一个问题更难能可贵！
二、依据教材与教师教学用书辨析两种观点
观点2中认为，“若g (x ) 是周期函数，2π是周期，那么任何一个常数2k π（k ∈Z 且k ≠0）都是它的周期，即−2π也是函数g (x ) 的周期.”这是没有依据的，因为教材中只是说2π,4π,6π, ⋯以及−2π, −4π, −6π, ⋯，包括2k π（k ∈Z 且k ≠0），都是正弦函数的周期，这并不意味着“若T 是一个函数的周期，则kT （k ∈Z 且k ≠0）都是它的周期”，最起码教材上的定义没有这样说明.也就是说，从教材的角度看，观点2的推理过程犯了以偏概全的错误.
这是否意味着观点1是正确的？从教材中给出的周期函数的定义出发，由演绎推理得出结论，
爱思考无懈可击！爱数学
笔者翻阅了配套的教师教学用书，书中指出：“在引导学生学习周期性概念时，可以强调以下几点……②周期函数的周期不唯一.例如2k π（k ∈Z 且k ≠0）都是正弦函数的周期.这点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上证明：设T 是函数f (x ) 的周期，那么对于任意的k ∈Z 且k ≠0，kT 也是函数f (x ) 的周期……”按照这种说法，观点2正确，观点1中的演绎推理顿失大前提.
到底“周期函数”应该如何定义？
“周期函数”定义三、不同版本的三、不同版本的“周期函数”
教材与教师教学用书中对“周期函数”的不同描述着实让人纳闷，其分歧的根源在于对“周而复始”现象的不同理解.根据教材中的定义，如果T >0，函数图象只须往y 轴右侧无限延伸（可以不连续）、“周而复始”，这是周期函数；如果T
，周期为负数；函数y =sin x 的图象可以往x →+∞与x →−∞这两侧“周x →−∞一侧“周而复始”
而复始”.而根据教师教学用书的描述，“设T 是函数f (x ) 的周期，那么对于任意的k ∈Z 且k ≠0，
，这表明周期函数图象必须能够往x →+∞与x →−∞双侧“周而复始”，kT 也是函数f (x ) 的周期”
只往单侧“周而复始”的函数不是周期函数.
哪种“周而复始”更准确？哪个“周期函数”定义更合理？
笔者随即查找了相关文献，人民教育出版社的教材从上个世纪九十年代初的甲种本教材、九十年代中后期的代数课本，到2003年出版的全日制普通高级中学教科书（即大纲版教材），直至普通高中课程标准实验教科书A 版数学4（即新课标教材），其说法大同小异.笔者又查看了江苏教育出版社、北京师范大学出版社这两个版本的教材，尽管“周期函数”定义的引入时间与人教版教材有出入，但其内容并无实质差异，不一一摘录（读者可查看本文参考文献中相关著作）.这不仅让笔者大为不解，为什么人教版教材与教师教学用书不一致，但众多版本的中学教材说法几乎都一致……
笔者又努力从几种比较权威的大学数学分析教材（文[9]、[10]）中去寻找答案，却发现三者对“周期函数”的定义与前述的教师教学用书说法一致，仅摘录文[9]的定义如下：
设函数f (x ) 定义在数集A .若∃l >0，∀x ∈A ，有x ±l ∈A 且f (x ±l ) =f (x ) ，则称f (x ) 是周期函数，l 称为函数f (x ) 的一个周期.
若l 是函数f (x ) 的周期，则2l 也是它的周期.事实上，f (x +2l ) =f (x +l +l ) =f (x +l ) =f (x ) =f (x −l ) =f (x −l −l ) =f (x −l ) .不难用归纳法证明，若l 是函数f (x ) 的周期，则nl （n 是正整数）也是它的周期.
……
描绘周期函数的图象，只要在一个周期长的区间上描出函数的图象，然后将此图象一个周期一个周期向左、右平移，就得到了整个周期函数的图象.
爱思考爱数学
很明显，与中学教材中定义相比，大学教材“周期函数”的定义不仅要求f (x +T ) =f (x ) ，还要求f (x −T ) =f (x ) ，这就保证了周期函数的图象必须向x →+∞和x →−∞这两侧都“周而复始”.
顺便指出，当函数的定义域为实数集R 时，中学教材与大学教材中对“周期函数”的定义是统一的.
“周而复始”的“周期函数”定义的合理简化四、双侧四、双侧“周而复始”周期函数”
仔细思考上述双侧“周而复始”的“周期函数”的定义，不难发现其中“l >0”与“f (x ±l ) =f (x ) ”稍嫌重复：既然f (x ±l ) =f (x ) ，何须要l >0！颇有代表性的同济版《高等数学》（文[11]）与湖南教育出版社新课标数学教材（文[12]）对“周期函数”的定义更为简洁，两者异曲同工，摘录如下（分别记为同济版与湘教版），以飨读者：
同济版设函数f (x ) 定义在数集D .如果存在一个正数l ，使得对于任一x ∈D ，有x ±l ∈D 且f (x +l ) =f (x ) 恒成立，则称f (x ) 为周期函数，l 为函数f (x ) 的周期.
湘教版一般地，对于函数y =f (x ) ，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，x ±T 都有定义，并且f (x ±T ) =f (x ) ，则这个函数y =f (x ) 称为周期函数，T 称为这个函数的一个周期.
如果T 是函数y =f (x ) 的周期，则由f (x ) =f (x +T ) =f ((x +T ) +T ) =f (x +2T ) 知道2T 也是它的周期，同理可知T 的所有非零整数倍都是y =f (x ) 的周期.
笔者以为，湘教版的“周期函数”定义更容易为中学生所理解.
“周期函数”定义的一点思考五、对五、对“周期函数”
笔者以为，作为中学两本重要的数学教学用书，不应该对同一概念出现不同的说法，这只是人为地给中学数学教学增添无聊的烦恼.由此，笔者认为应该统一两种不同的定义：不妨称单侧“周而复始”的函数具有弱周期性，称双侧“周而复始”的函数具有强周期性.
正是：本来和谐事，何故乱平添.
参考文献：
[1]
[2]郝明泉.争鸣·问题223[J]．数学通讯（教师刊），2013（3）：36.人民教育出版社等．普通高中课程标准实验教科书A 版数学4（必修）[M]．北京：人民教育出版社，2007：34-35.
[3]人民教育出版社等．普通高中课程标准实验教科书A 版数学4（必修）教师教学用书[M]．北京：人民教育出版社，2007：34-35.
[4]
2005：15.
[5]北京师范大学出版社.普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）[M]．北京：北京师单墫主编．普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）[M]．南京：江苏教育出版社，
爱思考范大学出版社，2010：15.
[6]爱数学人民教育出版社中学数学室．全日制普通高级中学教科书数学第一册（下）[M]．北京：人民教育出版社，2003：51.
[7]人民教育出版社中学数学室．高级中学课本代数上册（必修）[M]．北京：人民教育出版社，1995：172.
[8]人民教育出版社中小学数学编辑室．高级中学课本（试用）代数第一册（甲种本）[M]．北京：人民教育出版社，1983：137-138.
[9]数学分析讲义（第五版上册）[M]．北京：人民教育出版社，2008：18--20.
[10]华东师范大学数学系．数学分析（第三版上册）[M]．北京：高等教育出版社，2001：19.
[11]
刘玉琏等．
[12]张景中主编.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学第二册[M]．长沙：湖南教育同济大学数学系．高等数学（第六版上册）[M]．北京：高等教育出版社，2007：13-14.出版社，2005：37-39.
爱思考爱数学
不同版本“周期函数”定义的比较与思考
246740安徽省枞阳县会宫中学朱贤良
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“周期性”是研究函数时的须重点考察的性质之一，利用函数的周期性使我们对函数图象与其它性质的认识更加简洁、有效.近日阅读文[1]时，对其中提出的问题进行了深入的思考.现整理成文，求教于方家.
一、问题呈现
摘录文[1]提出的问题如下：
问题函数g (x ) =sin x （x ≥0）是不是周期函数？
对于函数周期性的概念，人教A 版必修4第34页是这样写的：
“对于函数f (x ) ，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 就叫做周期函数，非零实数T 叫做这个函数的周期.
周期函数的周期不止一个，例如2π,4π,6π, ⋯以及−2π, −4π, −6π, ⋯都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数2k π（k ∈Z 且k ≠0）都是它的周期.
如果在周期函数f (x ) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x ) 的最小正周期.例如，正弦函数的最小正周期是2π.”
观点1由周期性的定义，存在一个非零常数2π，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有g (x +2π) =g (x ) ，因此，函数g (x ) 是周期函数.
观点2若g (x ) 是周期函数，2π是周期，那么任何一个常数2k π（k ∈Z 且k ≠0）都是它的周期，即−2π也是函数g (x ) 的周期.但是当x 取定义域内的每一个值时，x −2π未必在定义域内，因而不满足周期函数的定义，故函数g (x ) 不是周期函数.
两种观点，孰对孰错？
应该说，文[1]中提出的这个问题表明对课本的研读还是比较细致的，能从阅读课本中提出问题，这比解决一个问题更难能可贵！
二、依据教材与教师教学用书辨析两种观点
观点2中认为，“若g (x ) 是周期函数，2π是周期，那么任何一个常数2k π（k ∈Z 且k ≠0）都是它的周期，即−2π也是函数g (x ) 的周期.”这是没有依据的，因为教材中只是说2π,4π,6π, ⋯以及−2π, −4π, −6π, ⋯，包括2k π（k ∈Z 且k ≠0），都是正弦函数的周期，这并不意味着“若T 是一个函数的周期，则kT （k ∈Z 且k ≠0）都是它的周期”，最起码教材上的定义没有这样说明.也就是说，从教材的角度看，观点2的推理过程犯了以偏概全的错误.
这是否意味着观点1是正确的？从教材中给出的周期函数的定义出发，由演绎推理得出结论，
爱思考无懈可击！爱数学
笔者翻阅了配套的教师教学用书，书中指出：“在引导学生学习周期性概念时，可以强调以下几点……②周期函数的周期不唯一.例如2k π（k ∈Z 且k ≠0）都是正弦函数的周期.这点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上证明：设T 是函数f (x ) 的周期，那么对于任意的k ∈Z 且k ≠0，kT 也是函数f (x ) 的周期……”按照这种说法，观点2正确，观点1中的演绎推理顿失大前提.
到底“周期函数”应该如何定义？
“周期函数”定义三、不同版本的三、不同版本的“周期函数”
教材与教师教学用书中对“周期函数”的不同描述着实让人纳闷，其分歧的根源在于对“周而复始”现象的不同理解.根据教材中的定义，如果T >0，函数图象只须往y 轴右侧无限延伸（可以不连续）、“周而复始”，这是周期函数；如果T
，周期为负数；函数y =sin x 的图象可以往x →+∞与x →−∞这两侧“周x →−∞一侧“周而复始”
而复始”.而根据教师教学用书的描述，“设T 是函数f (x ) 的周期，那么对于任意的k ∈Z 且k ≠0，
，这表明周期函数图象必须能够往x →+∞与x →−∞双侧“周而复始”，kT 也是函数f (x ) 的周期”
只往单侧“周而复始”的函数不是周期函数.
哪种“周而复始”更准确？哪个“周期函数”定义更合理？
笔者随即查找了相关文献，人民教育出版社的教材从上个世纪九十年代初的甲种本教材、九十年代中后期的代数课本，到2003年出版的全日制普通高级中学教科书（即大纲版教材），直至普通高中课程标准实验教科书A 版数学4（即新课标教材），其说法大同小异.笔者又查看了江苏教育出版社、北京师范大学出版社这两个版本的教材，尽管“周期函数”定义的引入时间与人教版教材有出入，但其内容并无实质差异，不一一摘录（读者可查看本文参考文献中相关著作）.这不仅让笔者大为不解，为什么人教版教材与教师教学用书不一致，但众多版本的中学教材说法几乎都一致……
笔者又努力从几种比较权威的大学数学分析教材（文[9]、[10]）中去寻找答案，却发现三者对“周期函数”的定义与前述的教师教学用书说法一致，仅摘录文[9]的定义如下：
设函数f (x ) 定义在数集A .若∃l >0，∀x ∈A ，有x ±l ∈A 且f (x ±l ) =f (x ) ，则称f (x ) 是周期函数，l 称为函数f (x ) 的一个周期.
若l 是函数f (x ) 的周期，则2l 也是它的周期.事实上，f (x +2l ) =f (x +l +l ) =f (x +l ) =f (x ) =f (x −l ) =f (x −l −l ) =f (x −l ) .不难用归纳法证明，若l 是函数f (x ) 的周期，则nl （n 是正整数）也是它的周期.
……
描绘周期函数的图象，只要在一个周期长的区间上描出函数的图象，然后将此图象一个周期一个周期向左、右平移，就得到了整个周期函数的图象.
爱思考爱数学
很明显，与中学教材中定义相比，大学教材“周期函数”的定义不仅要求f (x +T ) =f (x ) ，还要求f (x −T ) =f (x ) ，这就保证了周期函数的图象必须向x →+∞和x →−∞这两侧都“周而复始”.
顺便指出，当函数的定义域为实数集R 时，中学教材与大学教材中对“周期函数”的定义是统一的.
“周而复始”的“周期函数”定义的合理简化四、双侧四、双侧“周而复始”周期函数”
仔细思考上述双侧“周而复始”的“周期函数”的定义，不难发现其中“l >0”与“f (x ±l ) =f (x ) ”稍嫌重复：既然f (x ±l ) =f (x ) ，何须要l >0！颇有代表性的同济版《高等数学》（文[11]）与湖南教育出版社新课标数学教材（文[12]）对“周期函数”的定义更为简洁，两者异曲同工，摘录如下（分别记为同济版与湘教版），以飨读者：
同济版设函数f (x ) 定义在数集D .如果存在一个正数l ，使得对于任一x ∈D ，有x ±l ∈D 且f (x +l ) =f (x ) 恒成立，则称f (x ) 为周期函数，l 为函数f (x ) 的周期.
湘教版一般地，对于函数y =f (x ) ，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，x ±T 都有定义，并且f (x ±T ) =f (x ) ，则这个函数y =f (x ) 称为周期函数，T 称为这个函数的一个周期.
如果T 是函数y =f (x ) 的周期，则由f (x ) =f (x +T ) =f ((x +T ) +T ) =f (x +2T ) 知道2T 也是它的周期，同理可知T 的所有非零整数倍都是y =f (x ) 的周期.
笔者以为，湘教版的“周期函数”定义更容易为中学生所理解.
“周期函数”定义的一点思考五、对五、对“周期函数”
笔者以为，作为中学两本重要的数学教学用书，不应该对同一概念出现不同的说法，这只是人为地给中学数学教学增添无聊的烦恼.由此，笔者认为应该统一两种不同的定义：不妨称单侧“周而复始”的函数具有弱周期性，称双侧“周而复始”的函数具有强周期性.
正是：本来和谐事，何故乱平添.
参考文献：
[1]
[2]郝明泉.争鸣·问题223[J]．数学通讯（教师刊），2013（3）：36.人民教育出版社等．普通高中课程标准实验教科书A 版数学4（必修）[M]．北京：人民教育出版社，2007：34-35.
[3]人民教育出版社等．普通高中课程标准实验教科书A 版数学4（必修）教师教学用书[M]．北京：人民教育出版社，2007：34-35.
[4]
2005：15.
[5]北京师范大学出版社.普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）[M]．北京：北京师单墫主编．普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）[M]．南京：江苏教育出版社，
爱思考范大学出版社，2010：15.
[6]爱数学人民教育出版社中学数学室．全日制普通高级中学教科书数学第一册（下）[M]．北京：人民教育出版社，2003：51.
[7]人民教育出版社中学数学室．高级中学课本代数上册（必修）[M]．北京：人民教育出版社，1995：172.
[8]人民教育出版社中小学数学编辑室．高级中学课本（试用）代数第一册（甲种本）[M]．北京：人民教育出版社，1983：137-138.
[9]数学分析讲义（第五版上册）[M]．北京：人民教育出版社，2008：18--20.
[10]华东师范大学数学系．数学分析（第三版上册）[M]．北京：高等教育出版社，2001：19.
[11]
刘玉琏等．
[12]张景中主编.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学第二册[M]．长沙：湖南教育同济大学数学系．高等数学（第六版上册）[M]．北京：高等教育出版社，2007：13-14.出版社，2005：37-39.