编号
学士学位论文
学生姓名:阿依古丽·阿瓦克
学 号:[1**********]
系 部:数学系
专 业:信息与计算科学
年 级:指导教师:阿布拉江·阿布都瓦克
完成日期: 2011 年 5 月 19 日
摘要
本论文主要用举例法来介绍求异面直线距离的定义法,直接法,线面平行
法, 面面平行法,公垂线法,射影法,二面角法,补行法,极值法,体积法,公
式法,平面法向量法等一些方法。
关键词:异面直线 ; 距离
目 录
摘要 ............................................................................................................................ 1
引言 ............................................................................................................................ 1
1. 定义法 .................................................................................................................... 1
2. 直接法 .................................................................................................................... 2
3. 线面平行法 ............................................................................................................ 2
4. 面面平行法 ............................................................................................................ 4
5. 公垂线法 ................................................................................................................ 5
6. 摄影法 .................................................................................................................... 6
7. 二面角法 ................................................................................................................ 6
8. 补形法 .................................................................................................................... 8
9. 极值法 .................................................................................................................... 9
10. 体积法 ................................................................................................................ 10
11. 公式法 ................................................................................................................ 11
12. 平面法向量法 .................................................................................................... 12
总结 .......................................................................................................................... 14
参考文献 .................................................................................................................. 15
致谢 .......................................................................................................................... 16
2
引言
如果两条直线不在同一平面内, 即它们既不相交, 又不平行, 那么这两条直线
称为异面直线.
空间的两条直线一般不相交, 但在任何情况下,它们的彼此的点与点之间的
距离总有一个最短的, 称为两条异面直线间的最短距离(或距离),下面我们来
讨论求异面直线距离的几种方法。
1. 定义法
两条异面直线的公垂线在两条异面直线间线段的长度, 叫做两条异面直线
的距离. 按照这个定义作出或找出两条异面直线的公垂线, 解这个公垂线所在的
矩形或三角形, 求出这个公垂线的长度, 就可得到两条异面直线的距离
例1. 如图1所示, 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, 棱长为a , 求:
(1)AB 与B'C 之间的距离
(2)AB 与B'D 之间的距离
解:(1)连接BC ' 交B ' C 于O , 则BO ⊥B ' C , 又因为
AB ⊥平面BB ' C ' C , 所以AB ⊥BO ,
∴BO 是异面直线 AB 与 B ' C 之间的公垂线段 求得BO =即 AB 与 2a . 2B ' C 之间的距离为
(2)∵AB ∥DC , AB ⊄
平面B ' DC , DC ⊂平面B ' DC , 图1
∴AB ∥平面B ' DC , 从而AB 与平面B ' DC 间的距离即为AB 与 B ' D 间
的距离.
∵BO ⊥B ' C , CD ⊥BO , B ' C DC =C
1
∴BO ⊥平面DB ' C , BO 的长为B 到平面
B ' DC 间的距离, 解得BO =
a . 2a ,
即AB 与B ' D 间的距离为
2. 直接法
分析图形的特征, 通过辅助线将空间线段转化为同一平面中的相关关系, 可
以直接求出异面直线间的距离.
例2.在棱长为a 的正方
体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, 求BD ' 和 B ' C 间的距离.
解:如图2, 由B ' C ⊥BC ' , B ' C ⊥C ' D ' , 知B ' C ⊥平面BC ' D '
且B ' C 面BC ' D ' =G ,作GH ⊥BD ' , 则GH 为所求距离 .
GH BG 由Rt ∆BGH ∼Rt ∆BC ' D ' 有, 图2 =C ' D ' BD '
a ⋅a BG ⋅C ' D ' ∴GH === BD ' 3. 线面平行法
如图3, 若平面α过直线b ,
且有直线a ∥α, A ∈a , 过A 到平面α的距离AB 就是异面
直线a ,b 的距离
例3. 三棱锥P -ABC 底面ABC 是 直角三角形,斜边AB =10 , 图3
2 作α的垂线,垂足为B , 则
侧面PAB 和PAC 都垂直于底面, 它们的二面角是30º, 侧面PBC 和底面成60º的
角, 求三棱锥相对棱AC 和PB 之间的距离。
解:如图4, 把Rt ∆ABC 补成矩形ACBD 。由A C ∥B D , 知AC ∥平面PBD , AC
和PB 之间的距离, 即AC 和平面PBD 之间的距离, 设为h .
由侧面PAB , PAC 都垂直
于底 面ABC , 知PA ⊥面ABC , ∠BAC =30 .
∵AC 是PC 在平面ABC 上的射 影, 且BC ⊥AC , 由三垂线定理得 BC ⊥PC , 即侧面PBC 和底面成60º 角, 所以∠PCA =60 , 图4
∵AB =10, ∴BC =5, AC =PA =ACtg 60 ==15.
故PD ==∴AD 是PD 在底面上的射影, 且BD ⊥AD , 由三垂线定理得BD ⊥PD
11∴V P -ABD =⋅15⋅⋅5⋅=32111V A -PBD =h ⋅S ∆PBD =h ⋅⋅= 332∵V P -ABD =V A -PBD
∴= 26
故h =111V A -PBD =h ⋅S ∆PBD =h ⋅⋅= 332∵V P -ABD =V A -PBD
3
=
故h =4. 面面平行法
如图5, 若两个平面α, β分
别过直线a b , 且α∥
β, A ∈a ,
过A 作β的垂线, 垂足为B ,
则平行平面α, β间的距离
AB 就是异面直线a , b 间的距. 图5
例4. 求棱长为a 的正方体相邻两个面上不相交的对角线BC ' 和B ' D ' 间的距
离. 解:如图6, 平面
AB ' D ' ∥平面C ' BD , 且A ' C 与 平面AB ' D ' , 平面C ' BD 分别交
于G , H .
在平面ABB ' A ' 上的射影, ∵AB ' ⊥A ' B , 而A ' B 是A ' C 由三垂线定理有AB ' ⊥A ' C , 同理AD ' ⊥A ' C . 图6
∴A ' C ⊥面AB ' D ' , 同理可得A ' C ⊥面C ' BD . 所以GH 为异面直线BC ' 和
B ' D ' 间的距离.
11由C ' C ⋅S ∆BCD =CH ⋅S ∆C ' BD , ∆BCD 是直角三角形, ∆C ' BD 是长为的33
正三角形. 可解得CH =a , 同理可得A ' G = . 故GH =
4
5. 公垂线法
如果AB ⊥a 于A , AB ⊥b 于B , 那么AB 的长就是异面直线a , b 间的距离.
例5. 已知平行四边形ABCD 的一个锐角∠A =60 , AB >BC , 两对角线
AC , BD 的平方比是7:3, 现将平行四边形所在平面沿对角线BD 翻折成为直二
面角, 翻折后A , C 两点间的距离为, 求异面直线AC 与BD 间的距离.
解:在图7中, 由
AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos120 7=, 有(2AB -BC )(AB -2BC ) =0 AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos 60 3
∴AB =2BC , 从而∠ADB =∠CBD =90 , 即CB ⊥BD
图7 图8 在图8中, 取AC 的中点F ,
∵EA =EC , ∴EF ⊥AC , 又由FB =FD 知FE ⊥BD , 故EF 是异面直线
AC , BD 的公垂线. 由于∆AFE 是直角三角形, AE 是斜边, 故只只须求EF . 在Rt ∆ABC 中, 由AB =2BC , AC =, 可得AB =4a , BC =2a , 把这个关
系用于图7中, 由余弦定理得AC =, 即AE =, 故异面直线AC , BD 间的
距离EF =.
5
6. 摄影法
如图9, 对于异面直线a , b , 作辅助平面——正投影α, 使a ⊥α, 设a , b 在α上
的射影分别为 A ' 和直线b ' , 公垂线AB 在 α上的射影为A ' B ' , 则A ' B ' ∥AB , 于是射影A ' B ' 之长即为a , b 间的距离
图9 图10 例6. 在长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, AA ' =a , AB =b , AD =c , 求AA ' 与B ' D
的距离
解:在图10中, 由AA ' ⊥平面AC , BB ' ⊥平面AC , 可知AA ' , B ' D 在平面AC
内的射影分别是A 点和BD , 从而A 点到BD 的距离就是 AA ' 到B ' D 的距离.
在Rt ∆ABD 中, 作BD 上的高线AE , 由AE ⋅BD =AB ⋅AD , BD = 得AE =故AA ' 与B ' D 。
7. 二面角法
若异面直线a , b 所在平面成θ度的二面角α-ι-β, 且b ∥ι, b与ι间的距离
为c , 则以异面直线a , b 间的离d =c sin θ.
证 : 设a ⊂α, b ⊂β, 在b 上任取一点P , 作PM ⊥ι, PN ⊥α, M , N 为垂足,
6
⎛π⎫连结MN , 由三垂线定理知MN ⊥ι, 当θ∈ , π⎪时由图11知∠PMN =π-θ; 当⎝2⎭⎛π⎤θ∈ 0, ⎥时, 由图12知∠PMN =θ. ⎝
2⎦
图11
图12 又sin(π-θ) =sin θ, 所以b 到平面α的距离即为异面直线a , b 间的距离d =PN =PM sin θ=c sin θ
例7. 在长方体AC ' 中, AB =a , AD =b , AA ' =c , 求AC 与BD ' 间的距离. 标 解:如图13, 易证面 ACC ' A ' 经过D ' B 的中点O , 过O 作EF ∥AC , 设EF AA ' =E , EF CC ' =F , 结BE , BF , 则 ∆ABC 为∆EBF 在面AC 内的射影, 若面ABC 与面EBF 的夹角为θ, 因为 图13
BE =BF =EF = 且EF 2=BE 2+BF 2-2BE ⋅BF cos ∠EBF ,
所以cos ∠EBF =2
7
∴S ∆EBF =
1. 又S ∆ABC =ab , 2
∴cos θ=
,
∴sin θ= , 过B 作BG
⊥AC 于G ,则BG =
,
故
AC 与BD ' 间的距离d =
8. 补形法
有些里立几题目, 若采用添补配置, 使原有图形成为正(长)方体, 三棱柱(锥)……等等我们所熟知的图形, 可以较为简捷地求出异面直线间的距离.
例8. 已知直线ι上有两定点A , B , 线段AC ⊥ι, BD ⊥ι, 如AC =BD =a , 且
AC 与BD 所成角为120 , 求AB 与CD 间的距离. (如图14)
解:如图15. 以AB 为棱作一个三棱柱,使AC , BD 各位底面的一边, 则
∠DBF =120
图14 图15 过A 作AH ⊥EC 于H , 又DE ⊥面ACE , ∴DE ⊥AH ,
∴AH ⊥面CEDF . 从而计算AB , CD 之间的距离, 转化为求AB 与平面
8
CEDF 之间的距离.
∵∠EAC =120 , AC =AE =a
∴∆ACE 为顶角等于120 的等腰三角形. 从而知 ∠ACE =30 , 在Rt ∆AHC 中AH =
1a a AC =. 故异面直线AB , CD 间的距离为 222
9. 极值法
由于”两条异面直线的距离, 是分别在两条异面直线上的两点的距离中最小的”, 由此, 可将这类几何问题转化为代数中函数的最值问题.
例9. 已知定边圆锥的底面半径为R , 轴截面SAB 的底角A 的平分线为AC , 又BD 为底面的一条弦, ∠ABD =30 , 求异面直线AC 和BD 间的距离.
解:如图16, 取AC 上任一点P , 过P 作PQ ⊥AB , EQ ⊥BD ,连结PE 由平面
SAB ⊥底面,
知PQ ⊥底面,Q 在AB 上, 且QE 为PE 在平面ABD 上的 射影, 由三垂线定理有BD ⊥PE . 设PQ =x ,则AQ =
x
=, tg 30
QB =2R -AQ =2R ,
QE =QB sin 30 =
QB =R x
图16 2 在Rt ∆PQE 中,
PE === 9
当x =
R 时, PE min =
故异面直线AC 与BD 10. 体积法
如图17, 在四面体S -ABC 中,若 SB =a , AC =b , SB 与AC 间的距离为 h ,
1
且SB 与AC 所成的角为θ, 则V S -ABC =abh sin θ.
6
证; 取AC 的中点O , 连 结BO 并延长至D , 使OD =BO , 为四棱锥,在面SBD 内作OE ∥BS , 连EA , EC , 则SB ∥面EAC , 所以 SB 与平面EAC 的距离就是异面直 则ABCD 为平行四边形, S -ABCD
线SB 与AC 间的距离h , SB 与SB 所
成的角θ=∠EOC , 1
由O , E 是BD , SD 的中点, 知OE =a . 2
1
设S 到平面ABCD 间的距离为d , 则E 到平面ABCD 的距离为d .
2
∴V S -ABC =2V E -ABC =2V B -EAC =
22
h ⋅S ∆EAC =h (S ∆EOA +S ∆EOC ) 33
(1)
211
=h ⋅(AO +OC ) OE sin θ=h ⋅AC ⋅SB sin θ=abh ⋅sin θ366
例10. 正四面体ABCD 棱长为a ,
求对棱BC 和AD 间的距离. (如图18)
解:取BC 中点E , 连AE 和DE , 则BC ⊥AE , BC ⊥DE .
∴BC ⊥面AED . 从而BC ⊥AD , 即BC 与AD 所成的角θ=90 , 过A 作AO ⊥面BCD , 点O 在 DE 上.
10
∵AE =
=
11, , EO
=DE =AE =
33∴AO =
, ∴由公式(1) 3
有V A -
BCD =
1
BC ⋅AD ⋅h sin 90 ,
6
121
⋅a =⋅a ⋅a ⋅h sin 90
即⋅3436
从而h =
a ,
故对棱BC 与AD 间的距 2
离为
a 图18 2
11. 公式法
如图19, 设m , n 是异面直线, A , B ∈m , A , n 确定平面α; B , n 确定平面
β, α β=n ,
过B 作BC ∥n , 在α内作AD ⊥n 与D , 在β内作DC ⊥n 与D , BC DC =C , 连AC , 在面ADC 内过D 作DE ⊥AC 与E , 设AD =a ,
CD =b , α-n -β的平面角为θ,
则DE 就是异面直线m , n 间的距离; 图19
DE =
证:由n ∥BC 知n ∥面ABC , 即n 与面ABC 间的距离就等于异面直线m , n 间的距离.
11
AD ⊥n ⎫n ⊥面ADC ⎫BC ⊥面ADC ⎫面ADC ⊥面ABC ⎫
⎬⇒⎬⇒⎬⇒⎬⇒DE ⊥面ABC
DC ⊥n ⎭n ∥BC ⎭BC ⊂面ABC ⎭DE ⊥AC ⎭
, 即DE 就是异面即直线
m , n 间的距离。
∴DE =h =
(1)
当θ=90 时h =
(2)
当a =b 时h =a cos
θ
2
例11:如图20, 底面半径为R 的圆柱,
(3)
两底面半径OM , O ' N ' 成60 角, 求异
面直线MN ' 与圆柱轴OO ' 的距离. 图20
解:图20中N ' N 相当于图19中的BC , ∠MON 相当于∠ADC , 从而OM =ON =R , ∠MON =60 , 由公式(3)得异面直线MN ' 于OO '
60 =R 间的距离h =R cos 22
12. 平面法向量法
用法向量法求异面直线a 与b 之间的距离的一般方法是:(1)作直线a , b 的方向向量a , b , 求a , b 的法向量n , 即为异面直线a , b 公垂线的方向向量:(2)在直
线a , b 上各取一点A , B ,作向量AB ; (3)求向量AB 在n 上的射影d , 此即异面直线a 与b 之间的距离.
例12. 在长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, AB =4, AD =3, AA ' =2, M , N 分别为DC , BB ' 的中点, 求异面直线MN 与A ' B 的距离.
解:以A 为原点, 以AD , AB , AA ' 为坐标轴, 建立直角坐标系, 如图21, 则
12
M (3,2,0),
N (0,4,1), 即 MN =(-3, 2,1) ,
A ' B =(0,4, -2) , 设MN , A ' B 公垂线的方向向量为
n =(x , y , z ) , 则有
⎧⎪n ⋅MN =0⎧-3x +2y +z =0
⇒⎨ ⎨
⎪⎩n ⋅A ' B =0⎩4y -2z =044
令y =1, 则z =2, x =, 即n =(,1, 2) , 图21
33
MA ' ⋅n =n =, MA ' =(-3, -2, 2) 在n 上的射影的长度为d =. 即异面直n 613
线MN 与A ' B
. 13
总结
求异面直线间距离的问题是一个经常碰到而又比较困难的问题. 学习求异面直线距离的几种方法后, 用这些方法求异面直线的距离, 不仅开拓了题思路, 还能促进对异面直线的深刻理解, 建立运动和变化观点.
14
参考文献
[1] 熊光汉. 异面直线间距离求法种种[J].中学数学, 高等教育出版.1994.1-12 ,
(6页).
[2] 周国富. 异面直线的距离[J].中学数学, 北京教育出版社. 1994.1-12,(23页). [3] 周华生. 异面直线距离的求法探讨[J].数学教学通讯, 北京教育出
社.2000.1-12,(36页).
[4] 刘桃春. 求异面直线的距离的几种方法[J].中学数学教学参考, 高等教育出版社, 1993.1-12,(18页).
[5] 胡炳生. 空间两条直线[j].数学教学通讯. 南京大学出版社.2006.9
(45页)
15
致谢
在喀什师范学院经过五年的学习, 使我在做人, 做事等各种方面得到了很大的提进和完善.
首先感谢我的指导老师阿布拉江. 阿布都瓦克老师! 在写论文期间老师给予我舒心的知道和很大的帮助, 在我完成毕业论文期间无论工作有多忙, 老师以最快的速度仔细阅读我的论文, 对我的论文做出悉心的指导, 提出修改方面的宝贵意见和建议. 老师严谨的治学态度和认真的工作作风, 让我终身受益. 在老师的关心和帮助下, 我的论文才能够顺利的完成. 再次表示哀心的感谢, 在以后的学习和工作生涯中以他们为榜样, 学习他们的认真, 刻苦工作的态度. 此致
敬礼:
阿依古丽. 阿瓦克 2011年5月 19日
16
编号
学士学位论文
学生姓名:阿依古丽·阿瓦克
学 号:[1**********]
系 部:数学系
专 业:信息与计算科学
年 级:指导教师:阿布拉江·阿布都瓦克
完成日期: 2011 年 5 月 19 日
摘要
本论文主要用举例法来介绍求异面直线距离的定义法,直接法,线面平行
法, 面面平行法,公垂线法,射影法,二面角法,补行法,极值法,体积法,公
式法,平面法向量法等一些方法。
关键词:异面直线 ; 距离
目 录
摘要 ............................................................................................................................ 1
引言 ............................................................................................................................ 1
1. 定义法 .................................................................................................................... 1
2. 直接法 .................................................................................................................... 2
3. 线面平行法 ............................................................................................................ 2
4. 面面平行法 ............................................................................................................ 4
5. 公垂线法 ................................................................................................................ 5
6. 摄影法 .................................................................................................................... 6
7. 二面角法 ................................................................................................................ 6
8. 补形法 .................................................................................................................... 8
9. 极值法 .................................................................................................................... 9
10. 体积法 ................................................................................................................ 10
11. 公式法 ................................................................................................................ 11
12. 平面法向量法 .................................................................................................... 12
总结 .......................................................................................................................... 14
参考文献 .................................................................................................................. 15
致谢 .......................................................................................................................... 16
2
引言
如果两条直线不在同一平面内, 即它们既不相交, 又不平行, 那么这两条直线
称为异面直线.
空间的两条直线一般不相交, 但在任何情况下,它们的彼此的点与点之间的
距离总有一个最短的, 称为两条异面直线间的最短距离(或距离),下面我们来
讨论求异面直线距离的几种方法。
1. 定义法
两条异面直线的公垂线在两条异面直线间线段的长度, 叫做两条异面直线
的距离. 按照这个定义作出或找出两条异面直线的公垂线, 解这个公垂线所在的
矩形或三角形, 求出这个公垂线的长度, 就可得到两条异面直线的距离
例1. 如图1所示, 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, 棱长为a , 求:
(1)AB 与B'C 之间的距离
(2)AB 与B'D 之间的距离
解:(1)连接BC ' 交B ' C 于O , 则BO ⊥B ' C , 又因为
AB ⊥平面BB ' C ' C , 所以AB ⊥BO ,
∴BO 是异面直线 AB 与 B ' C 之间的公垂线段 求得BO =即 AB 与 2a . 2B ' C 之间的距离为
(2)∵AB ∥DC , AB ⊄
平面B ' DC , DC ⊂平面B ' DC , 图1
∴AB ∥平面B ' DC , 从而AB 与平面B ' DC 间的距离即为AB 与 B ' D 间
的距离.
∵BO ⊥B ' C , CD ⊥BO , B ' C DC =C
1
∴BO ⊥平面DB ' C , BO 的长为B 到平面
B ' DC 间的距离, 解得BO =
a . 2a ,
即AB 与B ' D 间的距离为
2. 直接法
分析图形的特征, 通过辅助线将空间线段转化为同一平面中的相关关系, 可
以直接求出异面直线间的距离.
例2.在棱长为a 的正方
体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, 求BD ' 和 B ' C 间的距离.
解:如图2, 由B ' C ⊥BC ' , B ' C ⊥C ' D ' , 知B ' C ⊥平面BC ' D '
且B ' C 面BC ' D ' =G ,作GH ⊥BD ' , 则GH 为所求距离 .
GH BG 由Rt ∆BGH ∼Rt ∆BC ' D ' 有, 图2 =C ' D ' BD '
a ⋅a BG ⋅C ' D ' ∴GH === BD ' 3. 线面平行法
如图3, 若平面α过直线b ,
且有直线a ∥α, A ∈a , 过A 到平面α的距离AB 就是异面
直线a ,b 的距离
例3. 三棱锥P -ABC 底面ABC 是 直角三角形,斜边AB =10 , 图3
2 作α的垂线,垂足为B , 则
侧面PAB 和PAC 都垂直于底面, 它们的二面角是30º, 侧面PBC 和底面成60º的
角, 求三棱锥相对棱AC 和PB 之间的距离。
解:如图4, 把Rt ∆ABC 补成矩形ACBD 。由A C ∥B D , 知AC ∥平面PBD , AC
和PB 之间的距离, 即AC 和平面PBD 之间的距离, 设为h .
由侧面PAB , PAC 都垂直
于底 面ABC , 知PA ⊥面ABC , ∠BAC =30 .
∵AC 是PC 在平面ABC 上的射 影, 且BC ⊥AC , 由三垂线定理得 BC ⊥PC , 即侧面PBC 和底面成60º 角, 所以∠PCA =60 , 图4
∵AB =10, ∴BC =5, AC =PA =ACtg 60 ==15.
故PD ==∴AD 是PD 在底面上的射影, 且BD ⊥AD , 由三垂线定理得BD ⊥PD
11∴V P -ABD =⋅15⋅⋅5⋅=32111V A -PBD =h ⋅S ∆PBD =h ⋅⋅= 332∵V P -ABD =V A -PBD
∴= 26
故h =111V A -PBD =h ⋅S ∆PBD =h ⋅⋅= 332∵V P -ABD =V A -PBD
3
=
故h =4. 面面平行法
如图5, 若两个平面α, β分
别过直线a b , 且α∥
β, A ∈a ,
过A 作β的垂线, 垂足为B ,
则平行平面α, β间的距离
AB 就是异面直线a , b 间的距. 图5
例4. 求棱长为a 的正方体相邻两个面上不相交的对角线BC ' 和B ' D ' 间的距
离. 解:如图6, 平面
AB ' D ' ∥平面C ' BD , 且A ' C 与 平面AB ' D ' , 平面C ' BD 分别交
于G , H .
在平面ABB ' A ' 上的射影, ∵AB ' ⊥A ' B , 而A ' B 是A ' C 由三垂线定理有AB ' ⊥A ' C , 同理AD ' ⊥A ' C . 图6
∴A ' C ⊥面AB ' D ' , 同理可得A ' C ⊥面C ' BD . 所以GH 为异面直线BC ' 和
B ' D ' 间的距离.
11由C ' C ⋅S ∆BCD =CH ⋅S ∆C ' BD , ∆BCD 是直角三角形, ∆C ' BD 是长为的33
正三角形. 可解得CH =a , 同理可得A ' G = . 故GH =
4
5. 公垂线法
如果AB ⊥a 于A , AB ⊥b 于B , 那么AB 的长就是异面直线a , b 间的距离.
例5. 已知平行四边形ABCD 的一个锐角∠A =60 , AB >BC , 两对角线
AC , BD 的平方比是7:3, 现将平行四边形所在平面沿对角线BD 翻折成为直二
面角, 翻折后A , C 两点间的距离为, 求异面直线AC 与BD 间的距离.
解:在图7中, 由
AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos120 7=, 有(2AB -BC )(AB -2BC ) =0 AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos 60 3
∴AB =2BC , 从而∠ADB =∠CBD =90 , 即CB ⊥BD
图7 图8 在图8中, 取AC 的中点F ,
∵EA =EC , ∴EF ⊥AC , 又由FB =FD 知FE ⊥BD , 故EF 是异面直线
AC , BD 的公垂线. 由于∆AFE 是直角三角形, AE 是斜边, 故只只须求EF . 在Rt ∆ABC 中, 由AB =2BC , AC =, 可得AB =4a , BC =2a , 把这个关
系用于图7中, 由余弦定理得AC =, 即AE =, 故异面直线AC , BD 间的
距离EF =.
5
6. 摄影法
如图9, 对于异面直线a , b , 作辅助平面——正投影α, 使a ⊥α, 设a , b 在α上
的射影分别为 A ' 和直线b ' , 公垂线AB 在 α上的射影为A ' B ' , 则A ' B ' ∥AB , 于是射影A ' B ' 之长即为a , b 间的距离
图9 图10 例6. 在长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, AA ' =a , AB =b , AD =c , 求AA ' 与B ' D
的距离
解:在图10中, 由AA ' ⊥平面AC , BB ' ⊥平面AC , 可知AA ' , B ' D 在平面AC
内的射影分别是A 点和BD , 从而A 点到BD 的距离就是 AA ' 到B ' D 的距离.
在Rt ∆ABD 中, 作BD 上的高线AE , 由AE ⋅BD =AB ⋅AD , BD = 得AE =故AA ' 与B ' D 。
7. 二面角法
若异面直线a , b 所在平面成θ度的二面角α-ι-β, 且b ∥ι, b与ι间的距离
为c , 则以异面直线a , b 间的离d =c sin θ.
证 : 设a ⊂α, b ⊂β, 在b 上任取一点P , 作PM ⊥ι, PN ⊥α, M , N 为垂足,
6
⎛π⎫连结MN , 由三垂线定理知MN ⊥ι, 当θ∈ , π⎪时由图11知∠PMN =π-θ; 当⎝2⎭⎛π⎤θ∈ 0, ⎥时, 由图12知∠PMN =θ. ⎝
2⎦
图11
图12 又sin(π-θ) =sin θ, 所以b 到平面α的距离即为异面直线a , b 间的距离d =PN =PM sin θ=c sin θ
例7. 在长方体AC ' 中, AB =a , AD =b , AA ' =c , 求AC 与BD ' 间的距离. 标 解:如图13, 易证面 ACC ' A ' 经过D ' B 的中点O , 过O 作EF ∥AC , 设EF AA ' =E , EF CC ' =F , 结BE , BF , 则 ∆ABC 为∆EBF 在面AC 内的射影, 若面ABC 与面EBF 的夹角为θ, 因为 图13
BE =BF =EF = 且EF 2=BE 2+BF 2-2BE ⋅BF cos ∠EBF ,
所以cos ∠EBF =2
7
∴S ∆EBF =
1. 又S ∆ABC =ab , 2
∴cos θ=
,
∴sin θ= , 过B 作BG
⊥AC 于G ,则BG =
,
故
AC 与BD ' 间的距离d =
8. 补形法
有些里立几题目, 若采用添补配置, 使原有图形成为正(长)方体, 三棱柱(锥)……等等我们所熟知的图形, 可以较为简捷地求出异面直线间的距离.
例8. 已知直线ι上有两定点A , B , 线段AC ⊥ι, BD ⊥ι, 如AC =BD =a , 且
AC 与BD 所成角为120 , 求AB 与CD 间的距离. (如图14)
解:如图15. 以AB 为棱作一个三棱柱,使AC , BD 各位底面的一边, 则
∠DBF =120
图14 图15 过A 作AH ⊥EC 于H , 又DE ⊥面ACE , ∴DE ⊥AH ,
∴AH ⊥面CEDF . 从而计算AB , CD 之间的距离, 转化为求AB 与平面
8
CEDF 之间的距离.
∵∠EAC =120 , AC =AE =a
∴∆ACE 为顶角等于120 的等腰三角形. 从而知 ∠ACE =30 , 在Rt ∆AHC 中AH =
1a a AC =. 故异面直线AB , CD 间的距离为 222
9. 极值法
由于”两条异面直线的距离, 是分别在两条异面直线上的两点的距离中最小的”, 由此, 可将这类几何问题转化为代数中函数的最值问题.
例9. 已知定边圆锥的底面半径为R , 轴截面SAB 的底角A 的平分线为AC , 又BD 为底面的一条弦, ∠ABD =30 , 求异面直线AC 和BD 间的距离.
解:如图16, 取AC 上任一点P , 过P 作PQ ⊥AB , EQ ⊥BD ,连结PE 由平面
SAB ⊥底面,
知PQ ⊥底面,Q 在AB 上, 且QE 为PE 在平面ABD 上的 射影, 由三垂线定理有BD ⊥PE . 设PQ =x ,则AQ =
x
=, tg 30
QB =2R -AQ =2R ,
QE =QB sin 30 =
QB =R x
图16 2 在Rt ∆PQE 中,
PE === 9
当x =
R 时, PE min =
故异面直线AC 与BD 10. 体积法
如图17, 在四面体S -ABC 中,若 SB =a , AC =b , SB 与AC 间的距离为 h ,
1
且SB 与AC 所成的角为θ, 则V S -ABC =abh sin θ.
6
证; 取AC 的中点O , 连 结BO 并延长至D , 使OD =BO , 为四棱锥,在面SBD 内作OE ∥BS , 连EA , EC , 则SB ∥面EAC , 所以 SB 与平面EAC 的距离就是异面直 则ABCD 为平行四边形, S -ABCD
线SB 与AC 间的距离h , SB 与SB 所
成的角θ=∠EOC , 1
由O , E 是BD , SD 的中点, 知OE =a . 2
1
设S 到平面ABCD 间的距离为d , 则E 到平面ABCD 的距离为d .
2
∴V S -ABC =2V E -ABC =2V B -EAC =
22
h ⋅S ∆EAC =h (S ∆EOA +S ∆EOC ) 33
(1)
211
=h ⋅(AO +OC ) OE sin θ=h ⋅AC ⋅SB sin θ=abh ⋅sin θ366
例10. 正四面体ABCD 棱长为a ,
求对棱BC 和AD 间的距离. (如图18)
解:取BC 中点E , 连AE 和DE , 则BC ⊥AE , BC ⊥DE .
∴BC ⊥面AED . 从而BC ⊥AD , 即BC 与AD 所成的角θ=90 , 过A 作AO ⊥面BCD , 点O 在 DE 上.
10
∵AE =
=
11, , EO
=DE =AE =
33∴AO =
, ∴由公式(1) 3
有V A -
BCD =
1
BC ⋅AD ⋅h sin 90 ,
6
121
⋅a =⋅a ⋅a ⋅h sin 90
即⋅3436
从而h =
a ,
故对棱BC 与AD 间的距 2
离为
a 图18 2
11. 公式法
如图19, 设m , n 是异面直线, A , B ∈m , A , n 确定平面α; B , n 确定平面
β, α β=n ,
过B 作BC ∥n , 在α内作AD ⊥n 与D , 在β内作DC ⊥n 与D , BC DC =C , 连AC , 在面ADC 内过D 作DE ⊥AC 与E , 设AD =a ,
CD =b , α-n -β的平面角为θ,
则DE 就是异面直线m , n 间的距离; 图19
DE =
证:由n ∥BC 知n ∥面ABC , 即n 与面ABC 间的距离就等于异面直线m , n 间的距离.
11
AD ⊥n ⎫n ⊥面ADC ⎫BC ⊥面ADC ⎫面ADC ⊥面ABC ⎫
⎬⇒⎬⇒⎬⇒⎬⇒DE ⊥面ABC
DC ⊥n ⎭n ∥BC ⎭BC ⊂面ABC ⎭DE ⊥AC ⎭
, 即DE 就是异面即直线
m , n 间的距离。
∴DE =h =
(1)
当θ=90 时h =
(2)
当a =b 时h =a cos
θ
2
例11:如图20, 底面半径为R 的圆柱,
(3)
两底面半径OM , O ' N ' 成60 角, 求异
面直线MN ' 与圆柱轴OO ' 的距离. 图20
解:图20中N ' N 相当于图19中的BC , ∠MON 相当于∠ADC , 从而OM =ON =R , ∠MON =60 , 由公式(3)得异面直线MN ' 于OO '
60 =R 间的距离h =R cos 22
12. 平面法向量法
用法向量法求异面直线a 与b 之间的距离的一般方法是:(1)作直线a , b 的方向向量a , b , 求a , b 的法向量n , 即为异面直线a , b 公垂线的方向向量:(2)在直
线a , b 上各取一点A , B ,作向量AB ; (3)求向量AB 在n 上的射影d , 此即异面直线a 与b 之间的距离.
例12. 在长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, AB =4, AD =3, AA ' =2, M , N 分别为DC , BB ' 的中点, 求异面直线MN 与A ' B 的距离.
解:以A 为原点, 以AD , AB , AA ' 为坐标轴, 建立直角坐标系, 如图21, 则
12
M (3,2,0),
N (0,4,1), 即 MN =(-3, 2,1) ,
A ' B =(0,4, -2) , 设MN , A ' B 公垂线的方向向量为
n =(x , y , z ) , 则有
⎧⎪n ⋅MN =0⎧-3x +2y +z =0
⇒⎨ ⎨
⎪⎩n ⋅A ' B =0⎩4y -2z =044
令y =1, 则z =2, x =, 即n =(,1, 2) , 图21
33
MA ' ⋅n =n =, MA ' =(-3, -2, 2) 在n 上的射影的长度为d =. 即异面直n 613
线MN 与A ' B
. 13
总结
求异面直线间距离的问题是一个经常碰到而又比较困难的问题. 学习求异面直线距离的几种方法后, 用这些方法求异面直线的距离, 不仅开拓了题思路, 还能促进对异面直线的深刻理解, 建立运动和变化观点.
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参考文献
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(6页).
[2] 周国富. 异面直线的距离[J].中学数学, 北京教育出版社. 1994.1-12,(23页). [3] 周华生. 异面直线距离的求法探讨[J].数学教学通讯, 北京教育出
社.2000.1-12,(36页).
[4] 刘桃春. 求异面直线的距离的几种方法[J].中学数学教学参考, 高等教育出版社, 1993.1-12,(18页).
[5] 胡炳生. 空间两条直线[j].数学教学通讯. 南京大学出版社.2006.9
(45页)
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致谢
在喀什师范学院经过五年的学习, 使我在做人, 做事等各种方面得到了很大的提进和完善.
首先感谢我的指导老师阿布拉江. 阿布都瓦克老师! 在写论文期间老师给予我舒心的知道和很大的帮助, 在我完成毕业论文期间无论工作有多忙, 老师以最快的速度仔细阅读我的论文, 对我的论文做出悉心的指导, 提出修改方面的宝贵意见和建议. 老师严谨的治学态度和认真的工作作风, 让我终身受益. 在老师的关心和帮助下, 我的论文才能够顺利的完成. 再次表示哀心的感谢, 在以后的学习和工作生涯中以他们为榜样, 学习他们的认真, 刻苦工作的态度. 此致
敬礼:
阿依古丽. 阿瓦克 2011年5月 19日
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