代数在经济管理
中的应用
目录
摘要………………………………………………………… 3 问题提出…………………………………………………… 4 实际应用举例……………………………………………… 4 论文总结…………………………………………………… 10 参考文献…………………………………………………… 11
【摘要】
科学技术的发展使我们的生活水平有了很大的提高，也促进了整体的经济水平和管理层次的提升。我们所学的知识源于生活，同时这些知识也最终会服务于生活，在高等代数的学习过程中，我们发现代数在经济管理中有着很多用途，为经济管理等方面的计算提供了便利。本篇论文中，我们就对代数在经济学和管理学方面的应用进行了探究。
【关键词】
高等代数，经济管理，实际，应用
【Abstract 】
The development of science and technology not only make our living standard greatly improved, but also promote the whole economic level and management level. We learned lots of knowledge from life, at the same time this knowledge will eventually serve in life. In the learning process of the advanced algebra, we found that the algebra in economic and management has many uses. It provide Economic and management convenience. In this thesis, we do research on the algebra about the economics and management.
【Key words】
Advanced Algebra, Economic and management, Practical, Application
【问题提出】
学习高等代数已经两个学期，马上就要结束这门课程了。在上学
期李思泽老师讲的《高等代数在信息安全中的应用》一课中我们了解到了高等代数与我们的生活密切相关，可以为我们解决实际中的许多问题。在上学期的期末论文中，我们也对此进行了一系列探索。这学期我们小组成员又对高等代数在经济管理方面的应用进行了学习与研究，代数为我们生活中经济和管理方面的解决问题和计算提供了方便，加快了我们解决实际问题的步伐，但具体它在经济和管理方面是怎样解决问题的呢？下面我们来看一下
【实际应用举例】
一、经济线性数学模型（投入产出问题）
利用投入产出法解决问题
投入产出法，又叫投入产出分析，是利用数学和计算机研究经济活动中各产业（行业）之间、各企业之间、企业内部各工序之间或各产品之间投入量和产出平衡关系的一门科学方法。
编制投入产出表是进行投入产出分析的前提，然后要建立平衡方程组，这里解方程组就需要用到矩阵的知识来解决。为了说明问题方便，下面我们来看一个例子
【例】由甲、乙、丙3个装修公司组成一个施工单位，它们分别对外服务，在施工期间又商定互相提供服务，已知公司甲每创造单位产值分别需要公司乙提供0.1单位服务，公司丙提供0.3单位服务；公司乙每创造单位产值分别需要公司甲提供0.2单位服务，公司丙提供0.4单位服务；公司丙每创造单位产值分别需要公司甲提供0.3单位服务，公司乙提供0.4单位服务。又知在该时期内，3个公司分别创造的产值为：公司甲500万元，公司乙700万元，公司丙600万元。
问：（1）在这个时期内，每个公司创造的总产值分别是多少？ （2）3个公司相互支付多少金额？
解：（1）
公司乙0.1单位服务 公司甲每创造单位产值分别需要
公司丙0.3单位服务
公司甲0.2单位服务
公司乙每创造单位产值分别需要 公司丙0.4单位服务
公司甲0.3单位服务 公司丙每创造单位产值分别需要
公司乙0.4单位服务
设甲公司总产值为x 1，公司乙总产值为x 2，公司丙总产值为x 3，作出投入产出分析表
根据表格建立方程组 x 2=0.1x1+0.4x3+700 X 3=0.3x1+0.4x2+600
用矩阵形式表示为
0.20.3⎫⎛X 1⎫⎛500⎫⎛X 1⎫⎛0
⎪ ⎪⎪ ⎪
X 2⎪= -0.100.4⎪X 2⎪+ 600⎪
X 3⎪ 0.30.40⎪X 3⎪ 700⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即X=AX=Y,故(E-A)X=Y,进而有
-0.2-0.3⎫⎛1
⎪
X =(E -A ) -1Y = -0.11-0.4 ⎪
-0.3-0.41⎪⎝⎭
-1
⎛500⎫⎛1256.49⎫
⎪ ⎪700=1448.16 ⎪ ⎪ 600⎪ 1556.20⎪⎝⎭⎝⎭
即 x 1=1 256.49万元 x 2=1 448.16万元 x3=1 556.20万元
从中可以看出，消耗系数矩阵A 反映了生产过程的技术结构。矩阵(E-A)建立了总产品与最终产品之间的关系，矩阵(E-A)-1建立了最终产品与总产品之间的关系。
（2）3个公司相互支付多少金额？ 由于
00⎫⎛a 11a 12a 13⎫⎛x 11/x 1x 12/x 2x 13/x 3⎫⎛x 11x 12x 13⎫⎛1/x 1
⎪ ⎪ ⎪⎪A = a 21a 22a 23⎪= x 21/x 1x 22/x 2x 33/x 3⎪= x 21x 22x 23⎪01/x 20⎪
a 31a 32a 33⎪ x 31/x 1x 32/x 2x 33/x 3⎪ x 31x 32x 33⎪001/x 3⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以
⎛x 11x 12
x 21x 22
x 31x 32⎝x 13⎫⎛a 11a 12a 13⎫⎛1/x 100⎫⎪ ⎪⎪x 23⎪= a 21a 22a 23⎪01/x 20⎪
⎪x 33⎪01/x 3⎪⎭⎝a 31a 32a 33⎭⎝0⎭
-1
⎛a 11a 12a 13⎫⎛x 10 ⎪
= a 21a 22a 23⎪0x 2
a 31a 32a 33⎪00⎝⎭⎝0⎫
⎪0⎪ x 3⎪⎭
这样
⎛x 11x 12
x 21x 22 x 31x 32⎝
x 13⎫⎛00.20.3⎫⎛1256.4900⎫⎪ ⎪⎪x 23⎪= 0.100.4⎪01448.160⎪
⎪x 33⎪01556.20⎪⎭⎝0.30.40⎭⎝0⎭
289. 6346⎫6. 8⎛0 ⎪
062⎪2. = 125. 65 48
376. 95579. 26⎪0⎝⎭
因而可作图如下：
公司乙125.65万元
公司甲支付
公司丙376.95万元 公司甲289.63万元
公司乙支付
公司丙579.26万元 466.86万元
公司丙支付
公司乙622.48万元
【例】设经由经济系统由三个部门组成——制造业、农业、服务业，其中单位消
费向量C 1 C 2 C3如图表格所示
（1）如果制造业决定生产100个单位产品，它将消费多少投入？
解：计算出
⎡0. 50⎤⎡⎢00. ⎥=⎢C =1020 100⎢⎥⎢⎢0⎢⎣0. 1⎥⎦⎣
50⎤
⎥ ⎥2 0⎥1⎦0
结果表明，要生产一百个单位产品，制造业要订购（即需求）且消费制造业的50个单位产品，20个单位的农业产品，10个单位的服务业产品。
如果制造业决定生产X 1个单位产出，则X 1C 1表示制造业的中间需求，因为在制造X 1的单位产出过程中将消费掉的总量是X 1C 1. 类似的，如果X 2和X 3 表示农业和服务业的计划产出，则X 2 C 2 和X 3C 3 列出了它们的对应中间需求。三个部门的总中间需求可以表示为
{中间需求}=X1C 1+X2C 2+X3C 3=CX
其中C 为消耗矩阵[C1 C 2 C 3]，即
⎡0. 50
c =⎢⎢0. 20
⎢⎣0. 10
0. 400. 30
0. 10
0. ⎤2⎥ 0. （1-2） ⎥1 0⎥0. ⎦30
实际上方程给出了列昂惕夫模型。
把X 写成EX, 应用矩阵代数，可以重新写出方程：
E X - C X = Y 或 ( E - C ) X = Y
（1-3）
(2) 考虑消耗矩阵为上面（1-2）矩阵的经济系统。假设最终需求是，制造业为50 个单位，农业为30个单位，服务业为20个单位，求这个需求的生产水平X 。
解：方程（1-3）中的系数矩阵是
⎡1
E -C =⎢⎢0
⎢⎣0
01
0⎤⎡0. 5⎥-⎢0. 20⎥⎢⎥1⎦⎢⎣0. 10. 4⎤0. ⎡2
⎢-0. 3⎥=0. ⎥⎢1⎢0. 1⎥-⎦0. ⎣3-0. 5-0. ⎤4
0. 2-0. ⎥7 ⎥
⎥-0. 10. ⎦1
0. 1
0. 7
为了解方程组，对增广矩阵做初等行变换，
⎡0.5-0.4-0.250⎤⎡5-4-2500⎤⎡100226⎤⎢-0.20.7-0.130⎥→⎢-27-1300⎥→……→⎢010119⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣-0.1-0.10.720⎥⎦⎢⎣-1-17200⎥⎦⎣00178⎥⎦
最后一列四舍五入为整数单位。制造业大致需要生产226个单位，农业 119个单位，服务业78个单位。
如果矩阵E-C 是可逆的，则由方程（E-C ）X=Y得出 X=(E-C)-1Y. 就大多数情况而言，E-C 是可逆的，而且产出向量X 是经济上可行的。在这个意义下，X 元素是非负的。
通常情况下，一个消耗矩阵的各列之和小于1，因为一个部门理应用小于一的投入生产一个单位的出产值。
小结：在这类问题的求解过程中，我们应用到矩阵的加减乘除法、增广矩阵、逆矩阵等，将一个实际经济类问题数学化，进而解决了生活生产中的投入产出问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。
二、代数在管理学中的应用（市场营销调查预测）
1、销售某种产品，调查顾客买该产品的比例。
设
⎛P ι⎫X (0)= ⎪
⎝P κ⎭
表示调查中得到的占有相应产品的市场份额的初始状态，P t 表示顾客购买该产品的比例，P K 代表顾客不购买该产品的比例，并满足P t +PK =1, 0≤P t ,PK ≤1。X （k ）表示K 年后市场占有的状态向量。
在调查中要调查P 11 （在原来购买该产品的顾客中，准备继续购买的比例）、P 12 （在原来未购买该产品的人群中，准备购买该产品的人的比例）、P 21（在原来购买该产品的人群中，不打算在购买该产品的人的比例）P 22 (原来未购买，将来也不打算购买该产品的人的比例)
⎛P 11P 1⎫2令 P = ⎪ 且满足0≤P i j≤1 ，
P 21P 2⎝⎭2则得该产品市场占有份额的动态状态方程为
X(k) = PX ( k-1 )
∑P
n =1
2
ij
=1
又称P 为状态转移矩阵，由状态方程可得 X(k)=PK X(0) ， 对于具体数值，如：
⎛0.60.25⎫⎛0.6⎫
p = ， x (0)=⎪ ⎪
⎝0.40.75⎭⎝0.4⎭
运用矩阵特征值以及特征向量理论，可将P 相似于对角矩阵，以便计算P 的高次幂。 经计算可得
9⎛0. 3⎫
X (5) = ⎪
1⎝0. 6⎭
这说明按现有情况，该产品5年后市场占有率将下降到不到40%，因此该公司应根据这份预测报告认真分析原因，采取有效措施，保持现有的市场优势。
小结：本例把代数的应用进一步扩展，它不一定只局限与数学方面的计算，它也为我们生活中做调查，做市场营销提供了方便。本例中运用到了，矩阵特征值以及特征向量及对角矩阵等数学概念，很好的体现了，代数在管理学等方面的应用。
【论文总结】
以上就是我们小组查阅图书馆资料，一起讨论，分工明细，研究之后完成的小论文。通过一年的高等代数学习和上学期写论文的经验，这次的论文编写的很顺利。在研究经济管理方面的高等代数应用上，我们又一次收获了很多知识，也在团队合作中收获了友谊和明白了集体的凝聚力。也许这篇论文有些浅显，没有用到太深奥的知识，但它是我们用心写下的，也让我们对除数学以外的其他领域有了新的了解。
最后要特别感谢李思泽老师一年以来的辛勤工作，你慈祥和蔼的笑容，条理的课件，认真严谨的工作态度一直以来感动着我们，让我们轻松地融入了您的课堂中。接下来我们见到您的机会就少了，但您的身影会一直在我们的脑海中，让我们更加努力地去钻研学术，去营造一个充实的大学生活。
【参考文献】
《线性代数及其应用》 北京邮电大学出版社 白同亮 高桂英编著 《线性代数及其应用》（第二版） 高等教育出版社 河北农业大学理学院 《线性代数及其应用》（第二版） 科学出版社 天津大学数学系代数教研组 编著
《线性代数及其应用》（第二版） 人民邮电出版社 [美]Peter D. Lax 著 《线性优化及其扩展》 国防工业出版社 李炜 著
《高等代数》（第三版） 高等教育出版社 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编
代数在经济管理
中的应用
目录
摘要………………………………………………………… 3 问题提出…………………………………………………… 4 实际应用举例……………………………………………… 4 论文总结…………………………………………………… 10 参考文献…………………………………………………… 11
【摘要】
科学技术的发展使我们的生活水平有了很大的提高，也促进了整体的经济水平和管理层次的提升。我们所学的知识源于生活，同时这些知识也最终会服务于生活，在高等代数的学习过程中，我们发现代数在经济管理中有着很多用途，为经济管理等方面的计算提供了便利。本篇论文中，我们就对代数在经济学和管理学方面的应用进行了探究。
【关键词】
高等代数，经济管理，实际，应用
【Abstract 】
The development of science and technology not only make our living standard greatly improved, but also promote the whole economic level and management level. We learned lots of knowledge from life, at the same time this knowledge will eventually serve in life. In the learning process of the advanced algebra, we found that the algebra in economic and management has many uses. It provide Economic and management convenience. In this thesis, we do research on the algebra about the economics and management.
【Key words】
Advanced Algebra, Economic and management, Practical, Application
【问题提出】
学习高等代数已经两个学期，马上就要结束这门课程了。在上学
期李思泽老师讲的《高等代数在信息安全中的应用》一课中我们了解到了高等代数与我们的生活密切相关，可以为我们解决实际中的许多问题。在上学期的期末论文中，我们也对此进行了一系列探索。这学期我们小组成员又对高等代数在经济管理方面的应用进行了学习与研究，代数为我们生活中经济和管理方面的解决问题和计算提供了方便，加快了我们解决实际问题的步伐，但具体它在经济和管理方面是怎样解决问题的呢？下面我们来看一下
【实际应用举例】
一、经济线性数学模型（投入产出问题）
利用投入产出法解决问题
投入产出法，又叫投入产出分析，是利用数学和计算机研究经济活动中各产业（行业）之间、各企业之间、企业内部各工序之间或各产品之间投入量和产出平衡关系的一门科学方法。
编制投入产出表是进行投入产出分析的前提，然后要建立平衡方程组，这里解方程组就需要用到矩阵的知识来解决。为了说明问题方便，下面我们来看一个例子
【例】由甲、乙、丙3个装修公司组成一个施工单位，它们分别对外服务，在施工期间又商定互相提供服务，已知公司甲每创造单位产值分别需要公司乙提供0.1单位服务，公司丙提供0.3单位服务；公司乙每创造单位产值分别需要公司甲提供0.2单位服务，公司丙提供0.4单位服务；公司丙每创造单位产值分别需要公司甲提供0.3单位服务，公司乙提供0.4单位服务。又知在该时期内，3个公司分别创造的产值为：公司甲500万元，公司乙700万元，公司丙600万元。
问：（1）在这个时期内，每个公司创造的总产值分别是多少？ （2）3个公司相互支付多少金额？
解：（1）
公司乙0.1单位服务 公司甲每创造单位产值分别需要
公司丙0.3单位服务
公司甲0.2单位服务
公司乙每创造单位产值分别需要 公司丙0.4单位服务
公司甲0.3单位服务 公司丙每创造单位产值分别需要
公司乙0.4单位服务
设甲公司总产值为x 1，公司乙总产值为x 2，公司丙总产值为x 3，作出投入产出分析表
根据表格建立方程组 x 2=0.1x1+0.4x3+700 X 3=0.3x1+0.4x2+600
用矩阵形式表示为
0.20.3⎫⎛X 1⎫⎛500⎫⎛X 1⎫⎛0
⎪ ⎪⎪ ⎪
X 2⎪= -0.100.4⎪X 2⎪+ 600⎪
X 3⎪ 0.30.40⎪X 3⎪ 700⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即X=AX=Y,故(E-A)X=Y,进而有
-0.2-0.3⎫⎛1
⎪
X =(E -A ) -1Y = -0.11-0.4 ⎪
-0.3-0.41⎪⎝⎭
-1
⎛500⎫⎛1256.49⎫
⎪ ⎪700=1448.16 ⎪ ⎪ 600⎪ 1556.20⎪⎝⎭⎝⎭
即 x 1=1 256.49万元 x 2=1 448.16万元 x3=1 556.20万元
从中可以看出，消耗系数矩阵A 反映了生产过程的技术结构。矩阵(E-A)建立了总产品与最终产品之间的关系，矩阵(E-A)-1建立了最终产品与总产品之间的关系。
（2）3个公司相互支付多少金额？ 由于
00⎫⎛a 11a 12a 13⎫⎛x 11/x 1x 12/x 2x 13/x 3⎫⎛x 11x 12x 13⎫⎛1/x 1
⎪ ⎪ ⎪⎪A = a 21a 22a 23⎪= x 21/x 1x 22/x 2x 33/x 3⎪= x 21x 22x 23⎪01/x 20⎪
a 31a 32a 33⎪ x 31/x 1x 32/x 2x 33/x 3⎪ x 31x 32x 33⎪001/x 3⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以
⎛x 11x 12
x 21x 22
x 31x 32⎝x 13⎫⎛a 11a 12a 13⎫⎛1/x 100⎫⎪ ⎪⎪x 23⎪= a 21a 22a 23⎪01/x 20⎪
⎪x 33⎪01/x 3⎪⎭⎝a 31a 32a 33⎭⎝0⎭
-1
⎛a 11a 12a 13⎫⎛x 10 ⎪
= a 21a 22a 23⎪0x 2
a 31a 32a 33⎪00⎝⎭⎝0⎫
⎪0⎪ x 3⎪⎭
这样
⎛x 11x 12
x 21x 22 x 31x 32⎝
x 13⎫⎛00.20.3⎫⎛1256.4900⎫⎪ ⎪⎪x 23⎪= 0.100.4⎪01448.160⎪
⎪x 33⎪01556.20⎪⎭⎝0.30.40⎭⎝0⎭
289. 6346⎫6. 8⎛0 ⎪
062⎪2. = 125. 65 48
376. 95579. 26⎪0⎝⎭
因而可作图如下：
公司乙125.65万元
公司甲支付
公司丙376.95万元 公司甲289.63万元
公司乙支付
公司丙579.26万元 466.86万元
公司丙支付
公司乙622.48万元
【例】设经由经济系统由三个部门组成——制造业、农业、服务业，其中单位消
费向量C 1 C 2 C3如图表格所示
（1）如果制造业决定生产100个单位产品，它将消费多少投入？
解：计算出
⎡0. 50⎤⎡⎢00. ⎥=⎢C =1020 100⎢⎥⎢⎢0⎢⎣0. 1⎥⎦⎣
50⎤
⎥ ⎥2 0⎥1⎦0
结果表明，要生产一百个单位产品，制造业要订购（即需求）且消费制造业的50个单位产品，20个单位的农业产品，10个单位的服务业产品。
如果制造业决定生产X 1个单位产出，则X 1C 1表示制造业的中间需求，因为在制造X 1的单位产出过程中将消费掉的总量是X 1C 1. 类似的，如果X 2和X 3 表示农业和服务业的计划产出，则X 2 C 2 和X 3C 3 列出了它们的对应中间需求。三个部门的总中间需求可以表示为
{中间需求}=X1C 1+X2C 2+X3C 3=CX
其中C 为消耗矩阵[C1 C 2 C 3]，即
⎡0. 50
c =⎢⎢0. 20
⎢⎣0. 10
0. 400. 30
0. 10
0. ⎤2⎥ 0. （1-2） ⎥1 0⎥0. ⎦30
实际上方程给出了列昂惕夫模型。
把X 写成EX, 应用矩阵代数，可以重新写出方程：
E X - C X = Y 或 ( E - C ) X = Y
（1-3）
(2) 考虑消耗矩阵为上面（1-2）矩阵的经济系统。假设最终需求是，制造业为50 个单位，农业为30个单位，服务业为20个单位，求这个需求的生产水平X 。
解：方程（1-3）中的系数矩阵是
⎡1
E -C =⎢⎢0
⎢⎣0
01
0⎤⎡0. 5⎥-⎢0. 20⎥⎢⎥1⎦⎢⎣0. 10. 4⎤0. ⎡2
⎢-0. 3⎥=0. ⎥⎢1⎢0. 1⎥-⎦0. ⎣3-0. 5-0. ⎤4
0. 2-0. ⎥7 ⎥
⎥-0. 10. ⎦1
0. 1
0. 7
为了解方程组，对增广矩阵做初等行变换，
⎡0.5-0.4-0.250⎤⎡5-4-2500⎤⎡100226⎤⎢-0.20.7-0.130⎥→⎢-27-1300⎥→……→⎢010119⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣-0.1-0.10.720⎥⎦⎢⎣-1-17200⎥⎦⎣00178⎥⎦
最后一列四舍五入为整数单位。制造业大致需要生产226个单位，农业 119个单位，服务业78个单位。
如果矩阵E-C 是可逆的，则由方程（E-C ）X=Y得出 X=(E-C)-1Y. 就大多数情况而言，E-C 是可逆的，而且产出向量X 是经济上可行的。在这个意义下，X 元素是非负的。
通常情况下，一个消耗矩阵的各列之和小于1，因为一个部门理应用小于一的投入生产一个单位的出产值。
小结：在这类问题的求解过程中，我们应用到矩阵的加减乘除法、增广矩阵、逆矩阵等，将一个实际经济类问题数学化，进而解决了生活生产中的投入产出问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。
二、代数在管理学中的应用（市场营销调查预测）
1、销售某种产品，调查顾客买该产品的比例。
设
⎛P ι⎫X (0)= ⎪
⎝P κ⎭
表示调查中得到的占有相应产品的市场份额的初始状态，P t 表示顾客购买该产品的比例，P K 代表顾客不购买该产品的比例，并满足P t +PK =1, 0≤P t ,PK ≤1。X （k ）表示K 年后市场占有的状态向量。
在调查中要调查P 11 （在原来购买该产品的顾客中，准备继续购买的比例）、P 12 （在原来未购买该产品的人群中，准备购买该产品的人的比例）、P 21（在原来购买该产品的人群中，不打算在购买该产品的人的比例）P 22 (原来未购买，将来也不打算购买该产品的人的比例)
⎛P 11P 1⎫2令 P = ⎪ 且满足0≤P i j≤1 ，
P 21P 2⎝⎭2则得该产品市场占有份额的动态状态方程为
X(k) = PX ( k-1 )
∑P
n =1
2
ij
=1
又称P 为状态转移矩阵，由状态方程可得 X(k)=PK X(0) ， 对于具体数值，如：
⎛0.60.25⎫⎛0.6⎫
p = ， x (0)=⎪ ⎪
⎝0.40.75⎭⎝0.4⎭
运用矩阵特征值以及特征向量理论，可将P 相似于对角矩阵，以便计算P 的高次幂。 经计算可得
9⎛0. 3⎫
X (5) = ⎪
1⎝0. 6⎭
这说明按现有情况，该产品5年后市场占有率将下降到不到40%，因此该公司应根据这份预测报告认真分析原因，采取有效措施，保持现有的市场优势。
小结：本例把代数的应用进一步扩展，它不一定只局限与数学方面的计算，它也为我们生活中做调查，做市场营销提供了方便。本例中运用到了，矩阵特征值以及特征向量及对角矩阵等数学概念，很好的体现了，代数在管理学等方面的应用。
【论文总结】
以上就是我们小组查阅图书馆资料，一起讨论，分工明细，研究之后完成的小论文。通过一年的高等代数学习和上学期写论文的经验，这次的论文编写的很顺利。在研究经济管理方面的高等代数应用上，我们又一次收获了很多知识，也在团队合作中收获了友谊和明白了集体的凝聚力。也许这篇论文有些浅显，没有用到太深奥的知识，但它是我们用心写下的，也让我们对除数学以外的其他领域有了新的了解。
最后要特别感谢李思泽老师一年以来的辛勤工作，你慈祥和蔼的笑容，条理的课件，认真严谨的工作态度一直以来感动着我们，让我们轻松地融入了您的课堂中。接下来我们见到您的机会就少了，但您的身影会一直在我们的脑海中，让我们更加努力地去钻研学术，去营造一个充实的大学生活。
【参考文献】
《线性代数及其应用》 北京邮电大学出版社 白同亮 高桂英编著 《线性代数及其应用》（第二版） 高等教育出版社 河北农业大学理学院 《线性代数及其应用》（第二版） 科学出版社 天津大学数学系代数教研组 编著
《线性代数及其应用》（第二版） 人民邮电出版社 [美]Peter D. Lax 著 《线性优化及其扩展》 国防工业出版社 李炜 著
《高等代数》（第三版） 高等教育出版社 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编