数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲
课程编码( ) 课程总学时：54 学分：3
一、课程说明 1．课程性质
《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy 、Weierstrass 及Riemann 等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。 2．课程教学目标与要求
（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。 3．选用教材与参考书目 选用教材：
《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。 参考书目：
《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。 《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。 《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。 《解析函数的边界性质》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。 《函数论习题集》远木幸成[日] 湖南科技出版社 1979年 4．课程教学重点与难点
复变函数主要研究解析函数。复变函数论的基本理论由柯西的积分理论、Weierstrass 的级数理论、Riemann 的几何理论三大部分组成。留数定理为柯西定理的推广，罗朗级数是泰勒级数的推广，保形变换是复变函数几何理论的基本概念。留数理论、级数理论和保形变换为实际应用提供了特有的复变函数论方法。因此课程的教学重点是： （1）解析函数，柯西积分定理和积分公式
（2）级数，泰勒展开式和罗朗展开式，解析函数的唯一性定理 （3）留数定理及应用 （4）线性变换，保形映射 （5）解析开拓和黎曼面介绍 课程教学的难点是： （1）多值函数 （2）保形映射
5．课程教学方法与手段
1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析； 2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于发表自己的见解； 3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；
4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。 6．课程考核方法与要求
本课程考核以笔试为主，是一门考试课程，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。平时作业成绩占10%，期中考试成绩占20%，期末考试成绩占70%。 7．先修课程与后续课程
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，
后续课程：数学建模，常微分方程，概率论与数理统计，实变函数，泛函分析 8．其他有关说明
课时期中考试。 二、教学内容
第一章 复数与复变函数
一、复数与复变函数是研究复变函数的基础。 二、主要内容：（6 学时） 1. 复数：
复数的定义，代数表达，四则运算，共轭；复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用； 复平面与平面向量的关系，复数的模与辐角、三角表达式。 2. 复平面上的点集
初步概念：内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等，约当曲线、区域的概念 3 复变函数
复变函数的概念，复变函数的的极限与连续 4 复球面与无穷远点
复球面，扩充复球面上的几个概念 三、要求：
1. 复数的运算，复数与平面点、平面向量的对应关系、模，辐角的概念、性质； 2. 区域（单、复连通）光滑曲线、无穷远点复平面，扩充复平面
3 复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。
4 有界闭集上连续函数的性质。 四、难点：辐角 无穷远点
第二章 解析函数
一、 复变函数及其理论与微分学的相应内容有相似亦有不同，并有一定的联系。解析函数是本课程主要研究对象，解析函数的实、虚部之间深刻的内在联系，体现在Cauchy —Riemann 方程中。 二、 主要内容（8学时）
1. 解析函数的概念与柯西—黎曼条件
复变函数的导数与微分、解析函数极其简单性质、柯西—黎曼条件 2. 初等解析函数：指数函数、三角函数与双曲函数
3. 初等多值函数：根式函数、对数函数、具有多个有限支点的情形、一般幂函数与一般指数函数、反三角函数与
反双曲函数。
三、 要求：
1. 解析的概念、复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系、Cauchy —Riemann 方程。 2 基本初等函数的定义、性质、与相应实函数的同与不同之处 3 多值函数的概念、分支、分支点的概念。
四、重点：Cauchy —Riemann 方程和基本初等函数的定义和性质
难点：辐角函数、多值函数的分支点
第三章 复变函数的积分
一、 本章研究复积分。它从柯西积分定理出发得出柯西积分公式，从而得到解析函数的积分表达及其导数的存在性和积分表达，这是实分析中所没有的性质。 二、 主要内容：（8学时）
1. 复积分的概念与简单性质：复积分的定义、复变函数积分的计算问题、积分的基本性质。 2. 柯西积分定理：柯西积分定理、柯西积分定理的证明、不定积分、柯西积分定理的推广等
3 柯西积分公式及其推论：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西积分不等式与Liouville 定理、Morera 定理
4 解析函数与调和函数的关系 三、 要求：
1. 积分的定义、性质、将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算 2. 柯西积分定理、积分公式、导数公式的内容、推广及应用它们求积分 3. 掌握柯西不等式、Liouville 定理；Morera 定理是柯西积分定理的逆定理。 四、重点：柯西积分定理和柯西积分公式。
难点：掌握柯西不等式、Liouville 定理
第四章 解析函数的幂级数表示法
一、级数是研究解析函数的一个重要工具。泰勒定理肯定了解析函数在解析点展成幂级数的可能性。它在理论上的应用使我们得到了体现解析函数重要特性和内在联系的定理：解析函数的唯一性定理。 二、主要内容：（6学时）
1. 复级数的基本性质：复数项级数、一致收敛的复数项级数、解析函数项级数。 2. 幂级数：幂级数的敛散性、收敛半径的求法、柯西—阿达玛公式、幂级数和的解析性
3 解析函数的泰勒展开式：泰勒定理、幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况、一些初等函数的泰勒级数 4. 解析函数零点的孤立性及唯一性定理：解析函数零点的孤立性，唯一性定理、最大模原理、 三、 要求：
1. 泰勒定理及将函数泰勒展开
2. 解析函数唯一性定理的内容，意义，证明思路 3. 幂级数的收敛范围及性质
四、 重点：泰勒展开 解析函数唯一性定理 难点：唯一性定理、最大模原理的理解
第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
一、级数是研究解析函数的一个重要工具。罗朗定理肯定了解析函数在解析环中展成罗朗级数的可能性。它们在理论上的应用使我们得到了体现解析函数的重要特性：孤立奇点的性质。
二、主要内容：（8学时）
1. 解析函数的罗朗展式：双边幂级数、解析函数的罗朗展式、罗朗级数与泰勒级数的关系、解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式、
2. 解析函数的孤立奇点：解析函数的孤立奇点的分类、可去奇点、席瓦尔兹引理、极点、本性奇点、毕卡（Picard ）定理。
3. 解析函数在无穷远点的性质
4. 整函数和亚纯函数的概念：整函数、亚纯函数。 三、 要求：
1. 罗朗定理及将函数罗朗展开 2. 孤立奇点的分类判别
3. 本性奇点的Weierstrass 定理和Picard 定理 四、难点：无穷远点的性质
重点： 孤立奇点 罗朗展开式
第六章 留数理论及其应用
一、 留数在复变函数论本身及应用中较为主要，留数定理的应用在本章中包含两个方面：一是计算积分，二是考察区域内函数的零点分布情况
二、 主要内容：（10学时） 1. 留数 、定义、求法、留数定理 2. 利用留数定理求积分（I ） 3. 辐角原理及应用（Rouche 定理） 三、 要求：
1. 留数的定义、求留数、留数定理 2. 利用留数定理求积分的方法
3. 幅角原理及其应用：对数留数、幅角原理、Rouche 定理，
四、 难点：幅角原则及Rouche 定理 重点：留数定理
第七章 保形映射
一、保形映射是复变函数理论的基本概念。线性变换及其他基本初等函数的变换有某些重要的特性，在实际问题中有重要的应用。
二、主要内容（8学时）
1. 解析变换特性：保域性、保角性，保形性。
2. 线性变换：线性变换及其分解、线性变换的保形性，保交比性、保圆性，保对称性及应用
3. 某些初等函数线性变换所构成的保性变换：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数由圆弧构成两角形区域的保形
变换。
4 关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理 三、要求：
1. 导数的几何意义及保形变换，线性变换的概念，性质，单叶解析函数的概念 2. 利用两个特殊的分式线性函数求保形变换 四、 难点： 单叶解析函数
重点： 保形变换 三、授 课 进 度 表
第 2页
授 课 进 度 表
数学与系统科学 系（部） 函数论教研室（组） 任课教师 朱殿利
数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲
课程编码( ) 课程总学时：54 学分：3
一、课程说明 1．课程性质
《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy 、Weierstrass 及Riemann 等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。 2．课程教学目标与要求
（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。 3．选用教材与参考书目 选用教材：
《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。 参考书目：
《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。 《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。 《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。 《解析函数的边界性质》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。 《函数论习题集》远木幸成[日] 湖南科技出版社 1979年 4．课程教学重点与难点
复变函数主要研究解析函数。复变函数论的基本理论由柯西的积分理论、Weierstrass 的级数理论、Riemann 的几何理论三大部分组成。留数定理为柯西定理的推广，罗朗级数是泰勒级数的推广，保形变换是复变函数几何理论的基本概念。留数理论、级数理论和保形变换为实际应用提供了特有的复变函数论方法。因此课程的教学重点是： （1）解析函数，柯西积分定理和积分公式
（2）级数，泰勒展开式和罗朗展开式，解析函数的唯一性定理 （3）留数定理及应用 （4）线性变换，保形映射 （5）解析开拓和黎曼面介绍 课程教学的难点是： （1）多值函数 （2）保形映射
5．课程教学方法与手段
1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析； 2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于发表自己的见解； 3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；
4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。 6．课程考核方法与要求
本课程考核以笔试为主，是一门考试课程，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。平时作业成绩占10%，期中考试成绩占20%，期末考试成绩占70%。 7．先修课程与后续课程
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，
后续课程：数学建模，常微分方程，概率论与数理统计，实变函数，泛函分析 8．其他有关说明
课时期中考试。 二、教学内容
第一章 复数与复变函数
一、复数与复变函数是研究复变函数的基础。 二、主要内容：（6 学时） 1. 复数：
复数的定义，代数表达，四则运算，共轭；复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用； 复平面与平面向量的关系，复数的模与辐角、三角表达式。 2. 复平面上的点集
初步概念：内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等，约当曲线、区域的概念 3 复变函数
复变函数的概念，复变函数的的极限与连续 4 复球面与无穷远点
复球面，扩充复球面上的几个概念 三、要求：
1. 复数的运算，复数与平面点、平面向量的对应关系、模，辐角的概念、性质； 2. 区域（单、复连通）光滑曲线、无穷远点复平面，扩充复平面
3 复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。
4 有界闭集上连续函数的性质。 四、难点：辐角 无穷远点
第二章 解析函数
一、 复变函数及其理论与微分学的相应内容有相似亦有不同，并有一定的联系。解析函数是本课程主要研究对象，解析函数的实、虚部之间深刻的内在联系，体现在Cauchy —Riemann 方程中。 二、 主要内容（8学时）
1. 解析函数的概念与柯西—黎曼条件
复变函数的导数与微分、解析函数极其简单性质、柯西—黎曼条件 2. 初等解析函数：指数函数、三角函数与双曲函数
3. 初等多值函数：根式函数、对数函数、具有多个有限支点的情形、一般幂函数与一般指数函数、反三角函数与
反双曲函数。
三、 要求：
1. 解析的概念、复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系、Cauchy —Riemann 方程。 2 基本初等函数的定义、性质、与相应实函数的同与不同之处 3 多值函数的概念、分支、分支点的概念。
四、重点：Cauchy —Riemann 方程和基本初等函数的定义和性质
难点：辐角函数、多值函数的分支点
第三章 复变函数的积分
一、 本章研究复积分。它从柯西积分定理出发得出柯西积分公式，从而得到解析函数的积分表达及其导数的存在性和积分表达，这是实分析中所没有的性质。 二、 主要内容：（8学时）
1. 复积分的概念与简单性质：复积分的定义、复变函数积分的计算问题、积分的基本性质。 2. 柯西积分定理：柯西积分定理、柯西积分定理的证明、不定积分、柯西积分定理的推广等
3 柯西积分公式及其推论：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西积分不等式与Liouville 定理、Morera 定理
4 解析函数与调和函数的关系 三、 要求：
1. 积分的定义、性质、将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算 2. 柯西积分定理、积分公式、导数公式的内容、推广及应用它们求积分 3. 掌握柯西不等式、Liouville 定理；Morera 定理是柯西积分定理的逆定理。 四、重点：柯西积分定理和柯西积分公式。
难点：掌握柯西不等式、Liouville 定理
第四章 解析函数的幂级数表示法
一、级数是研究解析函数的一个重要工具。泰勒定理肯定了解析函数在解析点展成幂级数的可能性。它在理论上的应用使我们得到了体现解析函数重要特性和内在联系的定理：解析函数的唯一性定理。 二、主要内容：（6学时）
1. 复级数的基本性质：复数项级数、一致收敛的复数项级数、解析函数项级数。 2. 幂级数：幂级数的敛散性、收敛半径的求法、柯西—阿达玛公式、幂级数和的解析性
3 解析函数的泰勒展开式：泰勒定理、幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况、一些初等函数的泰勒级数 4. 解析函数零点的孤立性及唯一性定理：解析函数零点的孤立性，唯一性定理、最大模原理、 三、 要求：
1. 泰勒定理及将函数泰勒展开
2. 解析函数唯一性定理的内容，意义，证明思路 3. 幂级数的收敛范围及性质
四、 重点：泰勒展开 解析函数唯一性定理 难点：唯一性定理、最大模原理的理解
第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
一、级数是研究解析函数的一个重要工具。罗朗定理肯定了解析函数在解析环中展成罗朗级数的可能性。它们在理论上的应用使我们得到了体现解析函数的重要特性：孤立奇点的性质。
二、主要内容：（8学时）
1. 解析函数的罗朗展式：双边幂级数、解析函数的罗朗展式、罗朗级数与泰勒级数的关系、解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式、
2. 解析函数的孤立奇点：解析函数的孤立奇点的分类、可去奇点、席瓦尔兹引理、极点、本性奇点、毕卡（Picard ）定理。
3. 解析函数在无穷远点的性质
4. 整函数和亚纯函数的概念：整函数、亚纯函数。 三、 要求：
1. 罗朗定理及将函数罗朗展开 2. 孤立奇点的分类判别
3. 本性奇点的Weierstrass 定理和Picard 定理 四、难点：无穷远点的性质
重点： 孤立奇点 罗朗展开式
第六章 留数理论及其应用
一、 留数在复变函数论本身及应用中较为主要，留数定理的应用在本章中包含两个方面：一是计算积分，二是考察区域内函数的零点分布情况
二、 主要内容：（10学时） 1. 留数 、定义、求法、留数定理 2. 利用留数定理求积分（I ） 3. 辐角原理及应用（Rouche 定理） 三、 要求：
1. 留数的定义、求留数、留数定理 2. 利用留数定理求积分的方法
3. 幅角原理及其应用：对数留数、幅角原理、Rouche 定理，
四、 难点：幅角原则及Rouche 定理 重点：留数定理
第七章 保形映射
一、保形映射是复变函数理论的基本概念。线性变换及其他基本初等函数的变换有某些重要的特性，在实际问题中有重要的应用。
二、主要内容（8学时）
1. 解析变换特性：保域性、保角性，保形性。
2. 线性变换：线性变换及其分解、线性变换的保形性，保交比性、保圆性，保对称性及应用
3. 某些初等函数线性变换所构成的保性变换：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数由圆弧构成两角形区域的保形
变换。
4 关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理 三、要求：
1. 导数的几何意义及保形变换，线性变换的概念，性质，单叶解析函数的概念 2. 利用两个特殊的分式线性函数求保形变换 四、 难点： 单叶解析函数
重点： 保形变换 三、授 课 进 度 表
第 2页
授 课 进 度 表
数学与系统科学 系（部） 函数论教研室（组） 任课教师 朱殿利