第十五讲 矩阵序列与矩阵级数
[回顾]
a k }a ∈C 1，数列{k =1,2,...... i
数列收敛：lim a k =a
k
一、向量序列的两种收敛 1，按分量收敛；
C n 中{x (k ) }
k =1,2,......
, x (k ) =(x (k ) 1,..., x (k ) n ) ∈C n
如果向量序列的每一个分量序列（为数列）都收敛，即
k
lim x (k ) i =a i , i =1,2,..., n .
k =1,2,......
则称向量序列{x (k ) }
是按分量收敛的。
令α=(a 1,..., a n ) T ∈C n ，是极限，即 lim x (k ) =α. 或者x (k ) →α.
k →∞
如果至少有一个分量序列极限不存在，则称向量序列是发散的。
例：二维向量x (k )
⎡1⎤
⎢2k ⎥=⎢⎥ ⎢sin k ⎥⎢⎣k ⎥⎦
二维向量x (k )
⎡1⎤=⎢2k ⎥ ⎢⎥⎣sin k ⎦
2，按向量范数收敛
定义：设{x (k ) }是C n 空间的一个向量序列，向量范数为||x ||.如果存在向量
α∈C n ，当k →∞时，||x (k ) −α||→0，则称向量序列按向量范数收敛于α。
与第一种收敛之间的关系？
P116,定理5.4. 向量序列按分量收敛的充分必要条件是它按C n 空间的任何一种范数收敛。
矩阵收敛和向量收敛类似： 二、 矩阵序列
(k)(k)(k)A =(a) a k →∞, 且当时1. 定义: 设有矩阵序列{A }, 其中ij ij →a ij ,
(k )
则称
{}收敛, 并把A =(a) 叫做{A }的极限, 或称{A }收敛于A . 记为
A (k)
(k)
(k)
ij
lim A (k)=A 或A (k)→A
k→∝
k→∝
不收敛的序列则称为发散的。
例：A (k )
1k ⎡
+(1⎢k =⎢
⎢−1⎢⎣
1+
1⎤
k ⎥⎥ k
(−1) ⎥k ⎥⎦
2. 按元素数列收敛矩阵的性质: 设A (K)、B (K)分别收敛于A、B, 则 (1) αA(k)+βB(k)→αA+βB
k→∝
(2) A (k)B (k)→AB
k→∝
(3) (A(k)) -1→A -1，若(A(k)) -1，A -1同时存在
k→∝
（3）注意：如果不是同时，比如仅有(A(k)) -1存在时，可能收敛矩阵并不可逆，的结论不成立，如
A (k )
⎡1⎤+11⎢k ⎥=⎢⎥
1⎥⎢11+
⎢k ⎥⎣⎦
k→∝
(4) PA (k)Q →PAQ 3. 按矩阵范数收敛
两种矩阵收敛的等价性(P118,定理5.5.)
特殊的矩阵序列，由方阵的幂构成的矩阵序列：
4. 收敛矩阵: 设A 为方阵,且当k →∝时A k →0, 则称A 为收敛矩阵. [定理] 方阵A 为收敛矩阵的充要条件是A 的所有特征值的模值均小于1. 证明: 对任何方阵A ,均存在可逆矩阵P , 使得 A =PJP -1 其中J 为A 的Jordan 标准形
⎡J 1
⎢J 2⎢J =⎢⎢⎣10⎤⎤⎡λi
⎢λ ⎥⎥
i ⎥ ⎥, J =⎢
i
⎢⎥ 1⎥⎢⎥⎥
J s ⎦0λi ⎦⎣
J k 2
k
⎡J 1⎢
A k =PJ k P -1=P ⎢
⎢⎢⎣⎤⎥⎥P -1 ⎥
k ⎥J s ⎦
⎡k
i ⎢λ⎢k
J i =⎢
⎢⎢⎢⎣
k
2λ
k-1
i
k! k-m i ⎤... i ⎥m!(k-m )! i i
⎥
当k >m i ⎥,
⎥ ⎥
⎥⎦
k
2, ..., s) , 等价于λA k →0就等价于J i →0(i=1, 2, L , s) , 而这i →0(i=1,
等价于i
三、 矩阵级数 1.定义: 矩阵序列而S
(N)
N
{A }的无穷和A
(k)
(1)
+A (2)+...+A (k)+...叫做矩阵级数,
(N)
=∑A (k)称为其部分和, 若矩阵序列S 收敛,且有极限S , 则称该级
k=1
{}
数收敛,且有极限S，称为和矩阵. 记为
(k)A ∑=S k=1∝
不收敛的级数必为发散的. 2．方阵的幂级数
A 为方阵, ∑c k A k ，(A0=I)称为A 的幂级数.
k=0
∝
①方阵谱半径
定义:设矩阵A ∈C n ×n 的全部特征值λ1, λ2,..., λn ，则称ρ(A ) =max |λi |为A 的谱
i
半径。
Remark: A的全部特征值分布在复平面上以原点为中心，ρ(A ) 为半径的圆盘内。
k k
性质1：ρ(A ) =(ρ(A )) .
k
性质2：A →0⇔ρ(A )
体现谱半径与矩阵范数之间关系：
P119,定理5.6. 对于C n ×n 上的任意一种矩阵范||A ||，都有ρ(A ) ≤||A ||.
推论：
P119,定理5.7 对于任意ε>0，存在某种矩阵范数||A ||，使得||A ||≤ρ(A ) +ε.
②收敛判别法
对一般矩阵级数：
对方阵幂级数：
∝
[定理] 若幂级数∑a k z k 的收敛半径为R, (lim |
a k
k=0
k →∞
a |=R ) k +1
A 的谱半径为ρ(A )
∝
则ρ(A )
(A0=I)是收敛的. k=0
∝
ρ(A ) >R , 矩阵幂级数ϕ(A)=∑a k 0k A , (A=I)是发散的；
k=0
ρ(A ) =R , 敛散性无法用此方法判别。
证明略.
[推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A ,
(A)均收敛. ϕ
第十五讲 矩阵序列与矩阵级数
[回顾]
a k }a ∈C 1，数列{k =1,2,...... i
数列收敛：lim a k =a
k
一、向量序列的两种收敛 1，按分量收敛；
C n 中{x (k ) }
k =1,2,......
, x (k ) =(x (k ) 1,..., x (k ) n ) ∈C n
如果向量序列的每一个分量序列（为数列）都收敛，即
k
lim x (k ) i =a i , i =1,2,..., n .
k =1,2,......
则称向量序列{x (k ) }
是按分量收敛的。
令α=(a 1,..., a n ) T ∈C n ，是极限，即 lim x (k ) =α. 或者x (k ) →α.
k →∞
如果至少有一个分量序列极限不存在，则称向量序列是发散的。
例：二维向量x (k )
⎡1⎤
⎢2k ⎥=⎢⎥ ⎢sin k ⎥⎢⎣k ⎥⎦
二维向量x (k )
⎡1⎤=⎢2k ⎥ ⎢⎥⎣sin k ⎦
2，按向量范数收敛
定义：设{x (k ) }是C n 空间的一个向量序列，向量范数为||x ||.如果存在向量
α∈C n ，当k →∞时，||x (k ) −α||→0，则称向量序列按向量范数收敛于α。
与第一种收敛之间的关系？
P116,定理5.4. 向量序列按分量收敛的充分必要条件是它按C n 空间的任何一种范数收敛。
矩阵收敛和向量收敛类似： 二、 矩阵序列
(k)(k)(k)A =(a) a k →∞, 且当时1. 定义: 设有矩阵序列{A }, 其中ij ij →a ij ,
(k )
则称
{}收敛, 并把A =(a) 叫做{A }的极限, 或称{A }收敛于A . 记为
A (k)
(k)
(k)
ij
lim A (k)=A 或A (k)→A
k→∝
k→∝
不收敛的序列则称为发散的。
例：A (k )
1k ⎡
+(1⎢k =⎢
⎢−1⎢⎣
1+
1⎤
k ⎥⎥ k
(−1) ⎥k ⎥⎦
2. 按元素数列收敛矩阵的性质: 设A (K)、B (K)分别收敛于A、B, 则 (1) αA(k)+βB(k)→αA+βB
k→∝
(2) A (k)B (k)→AB
k→∝
(3) (A(k)) -1→A -1，若(A(k)) -1，A -1同时存在
k→∝
（3）注意：如果不是同时，比如仅有(A(k)) -1存在时，可能收敛矩阵并不可逆，的结论不成立，如
A (k )
⎡1⎤+11⎢k ⎥=⎢⎥
1⎥⎢11+
⎢k ⎥⎣⎦
k→∝
(4) PA (k)Q →PAQ 3. 按矩阵范数收敛
两种矩阵收敛的等价性(P118,定理5.5.)
特殊的矩阵序列，由方阵的幂构成的矩阵序列：
4. 收敛矩阵: 设A 为方阵,且当k →∝时A k →0, 则称A 为收敛矩阵. [定理] 方阵A 为收敛矩阵的充要条件是A 的所有特征值的模值均小于1. 证明: 对任何方阵A ,均存在可逆矩阵P , 使得 A =PJP -1 其中J 为A 的Jordan 标准形
⎡J 1
⎢J 2⎢J =⎢⎢⎣10⎤⎤⎡λi
⎢λ ⎥⎥
i ⎥ ⎥, J =⎢
i
⎢⎥ 1⎥⎢⎥⎥
J s ⎦0λi ⎦⎣
J k 2
k
⎡J 1⎢
A k =PJ k P -1=P ⎢
⎢⎢⎣⎤⎥⎥P -1 ⎥
k ⎥J s ⎦
⎡k
i ⎢λ⎢k
J i =⎢
⎢⎢⎢⎣
k
2λ
k-1
i
k! k-m i ⎤... i ⎥m!(k-m )! i i
⎥
当k >m i ⎥,
⎥ ⎥
⎥⎦
k
2, ..., s) , 等价于λA k →0就等价于J i →0(i=1, 2, L , s) , 而这i →0(i=1,
等价于i
三、 矩阵级数 1.定义: 矩阵序列而S
(N)
N
{A }的无穷和A
(k)
(1)
+A (2)+...+A (k)+...叫做矩阵级数,
(N)
=∑A (k)称为其部分和, 若矩阵序列S 收敛,且有极限S , 则称该级
k=1
{}
数收敛,且有极限S，称为和矩阵. 记为
(k)A ∑=S k=1∝
不收敛的级数必为发散的. 2．方阵的幂级数
A 为方阵, ∑c k A k ，(A0=I)称为A 的幂级数.
k=0
∝
①方阵谱半径
定义:设矩阵A ∈C n ×n 的全部特征值λ1, λ2,..., λn ，则称ρ(A ) =max |λi |为A 的谱
i
半径。
Remark: A的全部特征值分布在复平面上以原点为中心，ρ(A ) 为半径的圆盘内。
k k
性质1：ρ(A ) =(ρ(A )) .
k
性质2：A →0⇔ρ(A )
体现谱半径与矩阵范数之间关系：
P119,定理5.6. 对于C n ×n 上的任意一种矩阵范||A ||，都有ρ(A ) ≤||A ||.
推论：
P119,定理5.7 对于任意ε>0，存在某种矩阵范数||A ||，使得||A ||≤ρ(A ) +ε.
②收敛判别法
对一般矩阵级数：
对方阵幂级数：
∝
[定理] 若幂级数∑a k z k 的收敛半径为R, (lim |
a k
k=0
k →∞
a |=R ) k +1
A 的谱半径为ρ(A )
∝
则ρ(A )
(A0=I)是收敛的. k=0
∝
ρ(A ) >R , 矩阵幂级数ϕ(A)=∑a k 0k A , (A=I)是发散的；
k=0
ρ(A ) =R , 敛散性无法用此方法判别。
证明略.
[推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A ,
(A)均收敛. ϕ