费马大定理的初等巧妙证明(省略版)

费马大定理的初等巧妙证明(省略版)

李联忠

（营山中学 四川 营山 637700）

费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程znxny当n≥3时无正整数解。

2n证明： 当n=2时，有 z

∴ x2x2y 2z2y

22(zy)(zy) （1） 2 设 (zy)2m 则 zy2m 代入（1）得

x2z2y22m(2y2m)2m(ym)2ml

[1**********]2 ∴ x2ml ylm zlm

当n=3时，有 zxy

∴ xzy(zy)(zzyy) （2）

设 (zy)3m 则 zy3m代入（2）得

xzy3m［(y3m)(y3m)yy］

3m(3y

[***********]233332233333my3m)3m(y[1**********]3my3m) 2336设 (y3my3m)l （3）

则 x3ml （4）

zy3m （5）

3 若z,y的公约数为k,即 (z,y)=k ，k>1时，方程xzy两边可以除以k，下面33323

分析k=1 即（z,y）=1 , 方程xzy的正整数解

因为（z,y）=1，分析（2），（3），（4），（5）式，只有m,l为正整数时，x,y,z可能有正整数解，由（3）得

y(y3m)l2333333m36(l3m)(l223ml3m) （6） 224

∵ y,m,l都取正整数

∴y(y3m) (l3m)(l3ml3m) 2322224

∴ y(l3ml3m)

∴ y没有形如y(l3ml3m)的正整数解。 又∵（6）式左边分解为y和y的（3－2）次式，右边分解为(l3m)和l的（3－1）次式，且y, m, l都取正整数，如果y=(l3m),则y3my3m[1**********]224(l23ml3m)，如果224(l23ml3m)，则y>(l3m).

2232242∴y(l3m)和y3m

2(l23ml3m)不能同时成立 224∴ y没有形如y(l3m)的正整数解

若 (l3m)=ab , (l3ml3m)=cd (a,b,c,d为正整数)可得相应方程组yal3mycl3myacl3m或或232323y3mbcdy3mabdy3mbd

222224222这些方程组里的m, l没有正整数解，若有正整数解，则与y没有形如y(l3m)或y(l3ml3m)的正整

数解矛盾。

又 ∵ y(l3m)在m,l取正整数的条件下，y可取到任意正整数 ∴ y没有正整数解。

∴ 当n=3时，方程zxy无正整数解。

当n>3时，同理可证方程z

定理得证。

n33322224xny无正整数解。 n

费马大定理的初等巧妙证明(省略版)

李联忠

（营山中学 四川 营山 637700）

费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程znxny当n≥3时无正整数解。

2n证明： 当n=2时，有 z

∴ x2x2y 2z2y

22(zy)(zy) （1） 2 设 (zy)2m 则 zy2m 代入（1）得

x2z2y22m(2y2m)2m(ym)2ml

[1**********]2 ∴ x2ml ylm zlm

当n=3时，有 zxy

∴ xzy(zy)(zzyy) （2）

设 (zy)3m 则 zy3m代入（2）得

xzy3m［(y3m)(y3m)yy］

3m(3y

[***********]233332233333my3m)3m(y[1**********]3my3m) 2336设 (y3my3m)l （3）

则 x3ml （4）

zy3m （5）

3 若z,y的公约数为k,即 (z,y)=k ，k>1时，方程xzy两边可以除以k，下面33323

分析k=1 即（z,y）=1 , 方程xzy的正整数解

因为（z,y）=1，分析（2），（3），（4），（5）式，只有m,l为正整数时，x,y,z可能有正整数解，由（3）得

y(y3m)l2333333m36(l3m)(l223ml3m) （6） 224

∵ y,m,l都取正整数

∴y(y3m) (l3m)(l3ml3m) 2322224

∴ y(l3ml3m)

∴ y没有形如y(l3ml3m)的正整数解。 又∵（6）式左边分解为y和y的（3－2）次式，右边分解为(l3m)和l的（3－1）次式，且y, m, l都取正整数，如果y=(l3m),则y3my3m[1**********]224(l23ml3m)，如果224(l23ml3m)，则y>(l3m).

2232242∴y(l3m)和y3m

2(l23ml3m)不能同时成立 224∴ y没有形如y(l3m)的正整数解

若 (l3m)=ab , (l3ml3m)=cd (a,b,c,d为正整数)可得相应方程组yal3mycl3myacl3m或或232323y3mbcdy3mabdy3mbd

222224222这些方程组里的m, l没有正整数解，若有正整数解，则与y没有形如y(l3m)或y(l3ml3m)的正整

数解矛盾。

又 ∵ y(l3m)在m,l取正整数的条件下，y可取到任意正整数 ∴ y没有正整数解。

∴ 当n=3时，方程zxy无正整数解。

当n>3时，同理可证方程z

定理得证。

n33322224xny无正整数解。 n