江西省红色七校2016届高三第二次联考
理科数学试题
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5
页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知复数z =
1+i
（其中i 为虚数单位），则复数z 在坐标平面内对应的点在（ ） 2+i
B ．第二象限
2
A ．第一象限 C ．第三象限 D ．第四象限 ）
2、已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x+2x+3}，则
(C R M ) N =（
A． {x|0＜x ＜1} B． {x|x＞1} C． {x|x≥2} D． {x|1＜x ＜2}
⎧x 1>3⎧x 1+x 2>63、⎨是⎨成立的（ ）
x >3x x >9⎩2⎩12
A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、已知M =
π
⎰
1
-x dx , N =⎰2cos xdx ，
2
由如右程序框图输出的S =（ ）
A.1 B.
π
2
C.
π
4
D. -1
5、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形， 该四棱锥的体积等于（ ）
A
．
．
．
⎧3x -y -6≤0⎪
6、设x ，y 满足约束条件⎨x -y +2≥0，若目标函数z =ax +by (a >0, b >0) 的最大值为12，
⎪x ≥0, y ≥0⎩
则
23
+的最小值为（ ） a b
25811
B． C． D．4 633
A ．
7、二面角α－l －β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分 别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB =AC =BD =1，则CD 的长等于（ ） A 2
B ．3
C ．2
D 5
8、设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
AB AC OP =OA +λ(+) ，λ∈[0, +∞)，则点P 的轨迹经过△ABC 的（ ） AB ⋅cos B AC ⋅cos C
A ．外心 B．内心 C．重心 D．垂心． 9、等差数列{a n }{, b n }的前n 项和分别为S n , T n ，若
S n 38n +14
(n ∈N +)，则a 6=（ ） =
b 7T n 2n +1
A 、16 B 、
242
15
C 、
432
23
D 、
494
27
12x 2y 222
10、过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左焦点F 作圆x +y =a 的切线，切点为E ，直线EF
4a b
1
交双曲线右支于点P ，若OE =(OF +OP ) ，则双曲线的离心率是（ ）
2
A
B
C
D
．
)+(y -2s i θn )
2
2
{}
P ∈(x , y )x 2+y 2≤4的概率（ ）
A 、
{}
1
2
B 、
4 9
C 、
3 8
D 、
1 3
12. 已知定义在(0, +∞)上的单调函数f (x )，对∀x ∈(0, +∞)，都有f ⎡⎣f (x )-log 3x ⎤⎦=4，则函数g (x )=f (x -1)-f ' (x -1)-3的零点所在区间是（ ）
A . (4,5) B. (2,3) C. (3,4) D . (1,2)
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13
、若二项式(6
的展开式的常数项为160，则a = ⎧2x , x
14、已知函数f (x ) =⎨, 则f (log27) ⎩f (x -1), x ≥1
⎧n , n 为奇数时⎪*
15、利用数列{a n }的递推公式a n =⎨a , n 为偶数时（n ∈N ）可以求出这个数列各项的值，使
n ⎪⎩2
得这个数列中的每一项都是奇数，且该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第 项
16、抛物线N 1：y =ax +bx +c 与抛物线N 2：y =-ax +dx +e 的顶点分别为P 1(x 1, y 1)与
2
2
P 2(x 2, y 2)，且两抛物线相交于点A (12, 21)与B (28, 3)（均异于顶点），则
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本小题满分12分） 在△ABC
中, 角
x 1+x 2
=y 1+y 2
A , B , C 所对的边分别为a , b , c . 已知
=s i C , n b 2-a 2-c 2, =2s i A n -s i C , n c 2-a 2-b 2且//；
()()
（Ⅰ）求角B 的大小;
（Ⅱ）设T =sin 2A +sin 2B +sin 2C , 求T 的取值范围.
18. （本小题满分12分）
为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛. 先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．
（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺
序. 已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， AC ⊥BD 于O ，E 为线段PC 上一点，且AC ⊥BE ，
（1）求证：PA //平面BED ；
（2）若BC //AD ，BC =正弦值。
2，AD =22，PA =3且AB =CD 求PB 与面PCD 所成角的
20、（本小题满分12分）
已知动圆C 过点A (-2,0), 且与圆M :(x -2)2+y 2=64相内切. （1）求动圆C 的圆心的轨迹方程；
（2）设直线l :y =kx +m （其中k , m ∈Z ) 与(1)中所求轨迹交于不同两点B,D , 与双曲线
x 2y 2
-=1交于不同两点E,F , 问是否存在直线l ，使得DF +BE =0，若存在，指出这样的直线412
有多少条？若不存在，请说明理由．
21、（本小题满分12分） 已知函数f (x ) =ln x -
1
，g (x ) =ax +b ． x
(1)若函数h (x ) =f (x ) -g (x ) 在(0,+∞) 上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线g (x ) =ax +b 是函数f (x ) =ln x -
1
图象的切线，求a +b 的最小值； x
2
(3)当b =0时，若f (x ) 与g (x ) 的图象有两个交点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，试比较x 1x 2与2e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.7
1.4）
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，
做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. （选修4—1 ：几何证明选讲）（本小题满分10分）
如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O的直径，AE⊥CD于点E ，DA 平分∠BDE． （1）证明：AE 是⊙O的切线； （2）如果AB=2
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程⎨
，AE=
，求CD ．
⎧⎪x =222
（t 为参数），圆C 的方程为x +y =4，
⎪⎩y =t
以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；
（2）求直线l 和圆C 的交点的极坐标（要求极角θ∈[0,2π)）．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数f (x ) =x -
4
+x +m , (m >0) m
(1)证明：f(x)≥4；
(2)若f(2)＞5，求m 的取值范围.
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数学（理）参考答案
一、选择题（共12小题，共60分，每小题5分）
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 13. -2 14.
三．解答题
222
17. 解:（1）=2===,……1分 222sin A -sin C c -a -b -2ab cos C b cos C sin B cos C
75
15. 640 16. 43
因为sin C ≠0, 所以sin B cos C =2sin A cos B -sin C cos B , ……2分 所以2sin A cos B =sin B cos C +sin C
cos B =sin(B +C ) =sin A ,……4分 因为sin A ≠0, 所以cos B =, 因为0
2（Ⅱ）T =sin 2A +sin 2B +sin 2C =(1-cos2A ) ++(1-cos2C ) ……7分
242
=7-1(cos2A +cos2C ) =7-1⎡cos2A +cos 4π-2A
4242⎢3⎣
(
⎤ ……8分
)⎦⎥
=-cos2A 2A =-cos 2A + ……9分
422423
()
()
因为0
33333因此-1≤cos 2A +
2432
()
18. 解：（1）由题意知，x =0.18, y =19, z =6, s =0.12, p =50 „„„„3分 （2）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人， „„„„4分
①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ，
11
C 5+C174C 4
则P (A ) = =2
A 610
所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为
7
. „„„„-6分 10
②随机变量X 的可能取值为0,1, 2 „„„„7分
32112C 4C 4C 23C 4C 211
, P (X =0) =3=，P (X =1) ==P (X =2) ==， „„„„10分 33
C 65C 65C 65
随机变量X 的分布列为：
„„„„11分
因为 EX =0⨯
131
+1⨯+2⨯=1， 555
所以随机变量X 的数学期望为1. „„„„12分
19. 解：（1） AC ⊥BD , AC ⊥BE , BD ⋂BE =B ， ∴AC ⊥平面BDE , ……2分 连接OE ，
所以AC ⊥OE ，又PA ⊥平面ABCD ，……3分
∴AC ⊥PA ，又OE , PA 都是平面PAC 中的直线， ∴OE ∥PA ， ……5分
且OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴PA ∥平面BDE „„„„6分 （2） BC //AD ，BC =
2，AD =22且AB =CD
∴在等腰梯形中OB =OC =1, OA =OD =2 ……7分
由（1）知OE ⊥平面ABCD ，分别以OB , OC , OE 为x , y , z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ， 则B (1,0,0),C (0,1,0),D (-2,0,0), P (0,-2,3) ……8分
⎧⎪n ⋅CD =0
设平面PCD 的法向量为n =(x , y , z ) 则⎨ ，
⎪⎩n ⋅PC =0
所以⎨
⎧-2x -y =0
⎩3y -3z =0
取x =1，则y =z =-2，n =(1, -2, -2) ，……9分
又PB =(1,2, -3) ，……10分
PB ⋅n ……11分 cos PB , n ==14PB n
所以PB 与平面PCD
所成角的正弦值为
20. 解：（1）圆M :(x -2)+y 2=64， 圆心M 的坐标为(2, 0)，半径R =8.
2
„„„„12分
14
∵AM =4
设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得r =CA ，且CM =R -r ，
即CM +CA =8>AM . ……2分 ∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以A , M 两点为焦点，长轴长为8的椭圆, 设其方程为
x 2y 2222
()+=1a >b >0b =a -c =12. ……3分 , 则. ∴a =4, c =222
a b x 2y 2
+=1. ………………………4分 ∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为
1612
⎧y =kx +m , ⎪222
(2)由⎨x 2 消去y 化简整理得：3+4k x +8kmx +4m -48=0………5分 y 2
+=1. ⎪⎩1612
()
设B (x 1, y 1) ，D (x 2, y 2) ， 则x 1+x 2=-
8km 2
. =(8km )-43+4k 24m 2-48>0. ①………………6分 2∆1
3+4k
()()
⎧y =kx +m , ⎪222由⎨x 2 消去y 化简整理得：3-k x -2kmx -m -12=0. …………7分 y 2
-=1. ⎪⎩412
()
设E (x 3, y 3), F (x 4, y 4)， 则x 3+x 4=
2km 2
, ∆2=(-2km )+43-k 2m 2+12>0. ②……………………8分 2
3-k
()()
∵DF +BE =0，∴(x 4-x 2) +(x 3-x 1) =0，即x 1+x 2=x 3+x 4，…………………9分
∴-
8km 2km 41
2km =0=-=. ∴或. 解得k =0或m =0. ………10分
3+4k 23-k 23+4k 23-k 2
当k =0时, 由①、②得 -2
∴m 的值为-3, -2 -1，0，1, 2, 3; 当m =0，由①、②得 -
3，∵k ∈Z, ，∴k =-1, 0, 1.
∴满足条件的直线共有9条．………………………………………………………………12分
21. （1）h (x ) =f (x ) -g (x )
=ln x -
111-ax -b h '(x ) =+2-a x x x , 则，……1分
11
+2-a ≥0，…2分 x x
∵h (x ) =f (x ) -g (x ) 在(0,+∞) 上单调递增，∴对∀x >0，都有h '(x ) =即对∀x >0，都有a ≤
1111
+2，∵+2>0，∴a ≤0， x x x x
故实数a 的取值范围是(-∞,0]． ……3分 (2) 设切点(x 0,ln x 0-即y =(
1111
) ，则切线方程为y -(lnx 0-) =(+2)(x -x 0) ， x 0x 0x 0x 0
11111112
+2) x -(+2) x 0+(lnx 0-) ，亦即y =(+2) x +(lnx 0--1) ，……4分 x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0
11122=t >0a =+=t +t , b =ln x --1=-ln t -2t -1，……5分 令，由题意得02x 0x 0x 0x 0
令a +b =ϕ(t ) =-ln t +t 2-t -1，则ϕ'(t ) =-+2t -1=当t ∈(0,1)时 ，ϕ'(t ) 0，ϕ(t ) 在(1,+∞) 上单调递增， ∴a +b =ϕ(t ) ≥ϕ(1)=-1，故a +b 的最小值为-1．……7分 （3）由题意知ln x 1-两式相加得ln x 1x 2-
1
t (2t +1)(t -1)
，……6分
t
11
=ax 1，ln x 2-=ax 2， x 1x 2
x 1+x 2x x -x
=a (x 1+x 2) ，两式相减得ln 2-12=a (x 2-x 1) ，……8分 x 1x 2x 1x 1x 2
x 2x
ln 2
x 11x +x x 11即，∴，
+=a ln x 1x 2-12=(+)(x 1+x 2) x 2-x 1x 1x 2x 1x 2x 2-x 1x 1x 2
ln
即ln x 1x 2-
2(x 1+x 2) x 1+x 2x 2
=ln ， ……9分
x 1x 2x 2-x 1x 1
不妨令01， x 1
2(t -1) (t -1) 2
(t >1) ，则F '(t ) =>0，令F (t ) =ln t -。。。。。10分 t +1t (t +1)
∴F (t ) =ln t -2(t -1) 2(t -1) >F (1)=0， 在(1,+∞) 上单调递增，则F (t ) =ln t -t +1t +1∴ln t >x 22(x 2-x 1) 2(x 1+x 2) x 1+x 2x 22(t -1) ln >ln x x -=ln >2，
，则，∴12x x +x x 1x 2x 2-x 1x 1t +1112
2(x 1+x 2)
x 1x 212又ln x 1x 2-
∴>
2，即>1，……11分 212，则x >0时，G '(x ) =+2>0，∴G (x ) 在(0,+∞) 上单调递增，
x x x 令G (x ) =ln x -
又1=ln 2+1≈0.85
2
>1>G =∴
>2x x >2e 12，即．……12分
22. （1）证明：连结OA ，在△ADE 中，AE ⊥CD 于点E ，
∴∠DAE+∠ADE=90°
∵DA 平分∠BDC ．∴∠ADE=∠BDA
∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD
∴∠OAD=∠ADE ∴∠DAE+∠OAD=90°
即：AE 是⊙O 的切线 „„„„5分
（2）在△ADE 和△BDA 中，
∵BD 是⊙O 的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD
又∵∠BAD=∠AED,
∵AB=2求得：BD=4，AD=2
∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°, 进一步求得：
CD=2 „„„„10分
23. 解：（1）直线l
的普通方程为x -2=0，
将x =ρcos θ, y =ρsin θ带入（*）
，得ρcos θsin θ-2=0，……2分 化简得直线l 的方程为ρcos θ-⎛
⎝π⎫⎪=1，……3分 3⎭
圆C 的极坐标方程为ρ=2．……5分
⎧ρ=2π⎫1⎪⎛（2）联立方程组⎨π⎫，消去ρ得cos θ-⎪=，……6分 ⎛3⎭2⎝⎪ρcos θ-3⎪=1⎝⎭⎩
因为θ∈[0,2π)，所以-
所以θ-π3≤θ-π3
3=-π
3或θ-π
3=π
3，……9分
所以直线l 和圆C 的交点的极坐标为(2,0)， 2,
24. 解：
⎛⎝2π3⎫⎪．……10分 ⎭
江西省红色七校2016届高三第二次联考
理科数学试题
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5
页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知复数z =
1+i
（其中i 为虚数单位），则复数z 在坐标平面内对应的点在（ ） 2+i
B ．第二象限
2
A ．第一象限 C ．第三象限 D ．第四象限 ）
2、已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x+2x+3}，则
(C R M ) N =（
A． {x|0＜x ＜1} B． {x|x＞1} C． {x|x≥2} D． {x|1＜x ＜2}
⎧x 1>3⎧x 1+x 2>63、⎨是⎨成立的（ ）
x >3x x >9⎩2⎩12
A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、已知M =
π
⎰
1
-x dx , N =⎰2cos xdx ，
2
由如右程序框图输出的S =（ ）
A.1 B.
π
2
C.
π
4
D. -1
5、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形， 该四棱锥的体积等于（ ）
A
．
．
．
⎧3x -y -6≤0⎪
6、设x ，y 满足约束条件⎨x -y +2≥0，若目标函数z =ax +by (a >0, b >0) 的最大值为12，
⎪x ≥0, y ≥0⎩
则
23
+的最小值为（ ） a b
25811
B． C． D．4 633
A ．
7、二面角α－l －β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分 别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB =AC =BD =1，则CD 的长等于（ ） A 2
B ．3
C ．2
D 5
8、设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
AB AC OP =OA +λ(+) ，λ∈[0, +∞)，则点P 的轨迹经过△ABC 的（ ） AB ⋅cos B AC ⋅cos C
A ．外心 B．内心 C．重心 D．垂心． 9、等差数列{a n }{, b n }的前n 项和分别为S n , T n ，若
S n 38n +14
(n ∈N +)，则a 6=（ ） =
b 7T n 2n +1
A 、16 B 、
242
15
C 、
432
23
D 、
494
27
12x 2y 222
10、过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左焦点F 作圆x +y =a 的切线，切点为E ，直线EF
4a b
1
交双曲线右支于点P ，若OE =(OF +OP ) ，则双曲线的离心率是（ ）
2
A
B
C
D
．
)+(y -2s i θn )
2
2
{}
P ∈(x , y )x 2+y 2≤4的概率（ ）
A 、
{}
1
2
B 、
4 9
C 、
3 8
D 、
1 3
12. 已知定义在(0, +∞)上的单调函数f (x )，对∀x ∈(0, +∞)，都有f ⎡⎣f (x )-log 3x ⎤⎦=4，则函数g (x )=f (x -1)-f ' (x -1)-3的零点所在区间是（ ）
A . (4,5) B. (2,3) C. (3,4) D . (1,2)
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13
、若二项式(6
的展开式的常数项为160，则a = ⎧2x , x
14、已知函数f (x ) =⎨, 则f (log27) ⎩f (x -1), x ≥1
⎧n , n 为奇数时⎪*
15、利用数列{a n }的递推公式a n =⎨a , n 为偶数时（n ∈N ）可以求出这个数列各项的值，使
n ⎪⎩2
得这个数列中的每一项都是奇数，且该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第 项
16、抛物线N 1：y =ax +bx +c 与抛物线N 2：y =-ax +dx +e 的顶点分别为P 1(x 1, y 1)与
2
2
P 2(x 2, y 2)，且两抛物线相交于点A (12, 21)与B (28, 3)（均异于顶点），则
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本小题满分12分） 在△ABC
中, 角
x 1+x 2
=y 1+y 2
A , B , C 所对的边分别为a , b , c . 已知
=s i C , n b 2-a 2-c 2, =2s i A n -s i C , n c 2-a 2-b 2且//；
()()
（Ⅰ）求角B 的大小;
（Ⅱ）设T =sin 2A +sin 2B +sin 2C , 求T 的取值范围.
18. （本小题满分12分）
为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛. 先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．
（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺
序. 已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， AC ⊥BD 于O ，E 为线段PC 上一点，且AC ⊥BE ，
（1）求证：PA //平面BED ；
（2）若BC //AD ，BC =正弦值。
2，AD =22，PA =3且AB =CD 求PB 与面PCD 所成角的
20、（本小题满分12分）
已知动圆C 过点A (-2,0), 且与圆M :(x -2)2+y 2=64相内切. （1）求动圆C 的圆心的轨迹方程；
（2）设直线l :y =kx +m （其中k , m ∈Z ) 与(1)中所求轨迹交于不同两点B,D , 与双曲线
x 2y 2
-=1交于不同两点E,F , 问是否存在直线l ，使得DF +BE =0，若存在，指出这样的直线412
有多少条？若不存在，请说明理由．
21、（本小题满分12分） 已知函数f (x ) =ln x -
1
，g (x ) =ax +b ． x
(1)若函数h (x ) =f (x ) -g (x ) 在(0,+∞) 上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线g (x ) =ax +b 是函数f (x ) =ln x -
1
图象的切线，求a +b 的最小值； x
2
(3)当b =0时，若f (x ) 与g (x ) 的图象有两个交点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，试比较x 1x 2与2e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.7
1.4）
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，
做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. （选修4—1 ：几何证明选讲）（本小题满分10分）
如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O的直径，AE⊥CD于点E ，DA 平分∠BDE． （1）证明：AE 是⊙O的切线； （2）如果AB=2
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程⎨
，AE=
，求CD ．
⎧⎪x =222
（t 为参数），圆C 的方程为x +y =4，
⎪⎩y =t
以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；
（2）求直线l 和圆C 的交点的极坐标（要求极角θ∈[0,2π)）．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数f (x ) =x -
4
+x +m , (m >0) m
(1)证明：f(x)≥4；
(2)若f(2)＞5，求m 的取值范围.
江西省红色七校2016届高三第二次联考
数学（理）参考答案
一、选择题（共12小题，共60分，每小题5分）
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 13. -2 14.
三．解答题
222
17. 解:（1）=2===,……1分 222sin A -sin C c -a -b -2ab cos C b cos C sin B cos C
75
15. 640 16. 43
因为sin C ≠0, 所以sin B cos C =2sin A cos B -sin C cos B , ……2分 所以2sin A cos B =sin B cos C +sin C
cos B =sin(B +C ) =sin A ,……4分 因为sin A ≠0, 所以cos B =, 因为0
2（Ⅱ）T =sin 2A +sin 2B +sin 2C =(1-cos2A ) ++(1-cos2C ) ……7分
242
=7-1(cos2A +cos2C ) =7-1⎡cos2A +cos 4π-2A
4242⎢3⎣
(
⎤ ……8分
)⎦⎥
=-cos2A 2A =-cos 2A + ……9分
422423
()
()
因为0
33333因此-1≤cos 2A +
2432
()
18. 解：（1）由题意知，x =0.18, y =19, z =6, s =0.12, p =50 „„„„3分 （2）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人， „„„„4分
①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ，
11
C 5+C174C 4
则P (A ) = =2
A 610
所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为
7
. „„„„-6分 10
②随机变量X 的可能取值为0,1, 2 „„„„7分
32112C 4C 4C 23C 4C 211
, P (X =0) =3=，P (X =1) ==P (X =2) ==， „„„„10分 33
C 65C 65C 65
随机变量X 的分布列为：
„„„„11分
因为 EX =0⨯
131
+1⨯+2⨯=1， 555
所以随机变量X 的数学期望为1. „„„„12分
19. 解：（1） AC ⊥BD , AC ⊥BE , BD ⋂BE =B ， ∴AC ⊥平面BDE , ……2分 连接OE ，
所以AC ⊥OE ，又PA ⊥平面ABCD ，……3分
∴AC ⊥PA ，又OE , PA 都是平面PAC 中的直线， ∴OE ∥PA ， ……5分
且OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴PA ∥平面BDE „„„„6分 （2） BC //AD ，BC =
2，AD =22且AB =CD
∴在等腰梯形中OB =OC =1, OA =OD =2 ……7分
由（1）知OE ⊥平面ABCD ，分别以OB , OC , OE 为x , y , z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ， 则B (1,0,0),C (0,1,0),D (-2,0,0), P (0,-2,3) ……8分
⎧⎪n ⋅CD =0
设平面PCD 的法向量为n =(x , y , z ) 则⎨ ，
⎪⎩n ⋅PC =0
所以⎨
⎧-2x -y =0
⎩3y -3z =0
取x =1，则y =z =-2，n =(1, -2, -2) ，……9分
又PB =(1,2, -3) ，……10分
PB ⋅n ……11分 cos PB , n ==14PB n
所以PB 与平面PCD
所成角的正弦值为
20. 解：（1）圆M :(x -2)+y 2=64， 圆心M 的坐标为(2, 0)，半径R =8.
2
„„„„12分
14
∵AM =4
设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得r =CA ，且CM =R -r ，
即CM +CA =8>AM . ……2分 ∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以A , M 两点为焦点，长轴长为8的椭圆, 设其方程为
x 2y 2222
()+=1a >b >0b =a -c =12. ……3分 , 则. ∴a =4, c =222
a b x 2y 2
+=1. ………………………4分 ∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为
1612
⎧y =kx +m , ⎪222
(2)由⎨x 2 消去y 化简整理得：3+4k x +8kmx +4m -48=0………5分 y 2
+=1. ⎪⎩1612
()
设B (x 1, y 1) ，D (x 2, y 2) ， 则x 1+x 2=-
8km 2
. =(8km )-43+4k 24m 2-48>0. ①………………6分 2∆1
3+4k
()()
⎧y =kx +m , ⎪222由⎨x 2 消去y 化简整理得：3-k x -2kmx -m -12=0. …………7分 y 2
-=1. ⎪⎩412
()
设E (x 3, y 3), F (x 4, y 4)， 则x 3+x 4=
2km 2
, ∆2=(-2km )+43-k 2m 2+12>0. ②……………………8分 2
3-k
()()
∵DF +BE =0，∴(x 4-x 2) +(x 3-x 1) =0，即x 1+x 2=x 3+x 4，…………………9分
∴-
8km 2km 41
2km =0=-=. ∴或. 解得k =0或m =0. ………10分
3+4k 23-k 23+4k 23-k 2
当k =0时, 由①、②得 -2
∴m 的值为-3, -2 -1，0，1, 2, 3; 当m =0，由①、②得 -
3，∵k ∈Z, ，∴k =-1, 0, 1.
∴满足条件的直线共有9条．………………………………………………………………12分
21. （1）h (x ) =f (x ) -g (x )
=ln x -
111-ax -b h '(x ) =+2-a x x x , 则，……1分
11
+2-a ≥0，…2分 x x
∵h (x ) =f (x ) -g (x ) 在(0,+∞) 上单调递增，∴对∀x >0，都有h '(x ) =即对∀x >0，都有a ≤
1111
+2，∵+2>0，∴a ≤0， x x x x
故实数a 的取值范围是(-∞,0]． ……3分 (2) 设切点(x 0,ln x 0-即y =(
1111
) ，则切线方程为y -(lnx 0-) =(+2)(x -x 0) ， x 0x 0x 0x 0
11111112
+2) x -(+2) x 0+(lnx 0-) ，亦即y =(+2) x +(lnx 0--1) ，……4分 x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0x 0
11122=t >0a =+=t +t , b =ln x --1=-ln t -2t -1，……5分 令，由题意得02x 0x 0x 0x 0
令a +b =ϕ(t ) =-ln t +t 2-t -1，则ϕ'(t ) =-+2t -1=当t ∈(0,1)时 ，ϕ'(t ) 0，ϕ(t ) 在(1,+∞) 上单调递增， ∴a +b =ϕ(t ) ≥ϕ(1)=-1，故a +b 的最小值为-1．……7分 （3）由题意知ln x 1-两式相加得ln x 1x 2-
1
t (2t +1)(t -1)
，……6分
t
11
=ax 1，ln x 2-=ax 2， x 1x 2
x 1+x 2x x -x
=a (x 1+x 2) ，两式相减得ln 2-12=a (x 2-x 1) ，……8分 x 1x 2x 1x 1x 2
x 2x
ln 2
x 11x +x x 11即，∴，
+=a ln x 1x 2-12=(+)(x 1+x 2) x 2-x 1x 1x 2x 1x 2x 2-x 1x 1x 2
ln
即ln x 1x 2-
2(x 1+x 2) x 1+x 2x 2
=ln ， ……9分
x 1x 2x 2-x 1x 1
不妨令01， x 1
2(t -1) (t -1) 2
(t >1) ，则F '(t ) =>0，令F (t ) =ln t -。。。。。10分 t +1t (t +1)
∴F (t ) =ln t -2(t -1) 2(t -1) >F (1)=0， 在(1,+∞) 上单调递增，则F (t ) =ln t -t +1t +1∴ln t >x 22(x 2-x 1) 2(x 1+x 2) x 1+x 2x 22(t -1) ln >ln x x -=ln >2，
，则，∴12x x +x x 1x 2x 2-x 1x 1t +1112
2(x 1+x 2)
x 1x 212又ln x 1x 2-
∴>
2，即>1，……11分 212，则x >0时，G '(x ) =+2>0，∴G (x ) 在(0,+∞) 上单调递增，
x x x 令G (x ) =ln x -
又1=ln 2+1≈0.85
2
>1>G =∴
>2x x >2e 12，即．……12分
22. （1）证明：连结OA ，在△ADE 中，AE ⊥CD 于点E ，
∴∠DAE+∠ADE=90°
∵DA 平分∠BDC ．∴∠ADE=∠BDA
∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD
∴∠OAD=∠ADE ∴∠DAE+∠OAD=90°
即：AE 是⊙O 的切线 „„„„5分
（2）在△ADE 和△BDA 中，
∵BD 是⊙O 的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD
又∵∠BAD=∠AED,
∵AB=2求得：BD=4，AD=2
∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°, 进一步求得：
CD=2 „„„„10分
23. 解：（1）直线l
的普通方程为x -2=0，
将x =ρcos θ, y =ρsin θ带入（*）
，得ρcos θsin θ-2=0，……2分 化简得直线l 的方程为ρcos θ-⎛
⎝π⎫⎪=1，……3分 3⎭
圆C 的极坐标方程为ρ=2．……5分
⎧ρ=2π⎫1⎪⎛（2）联立方程组⎨π⎫，消去ρ得cos θ-⎪=，……6分 ⎛3⎭2⎝⎪ρcos θ-3⎪=1⎝⎭⎩
因为θ∈[0,2π)，所以-
所以θ-π3≤θ-π3
3=-π
3或θ-π
3=π
3，……9分
所以直线l 和圆C 的交点的极坐标为(2,0)， 2,
24. 解：
⎛⎝2π3⎫⎪．……10分 ⎭