有关复合函数单调性的定义和解题方法
高一数学组
一、 复合函数的定义
设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的
y=f［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、 函数的单调区间
1. 一次函数y=kx+b(k≠0).
当k ＞0时，(－≦，+≦) 是这个函数的单调增区间；
当k ＜0时，(－≦，+≦) 是这个函数的单调减区间.
k 2. 反比例函数y=x (k≠
0).
当k ＞0时，(－≦，0) 和(0，+≦) 都是这个函数的单调减区间，
当k ＜0时，(－≦，0) 和(0，+≦) 都是这个函数的单调增区间.
3. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
b b
当a ＞0时(－≦，－2a ) 是函数的单调减区间，(－2a ，+≦) 是单调增区间；
b b
当a ＜0时(－≦，－2a ) 是函数的单调增区间，(－2a ，+≦) 是单调减区间；
4. 指数函数y=ax(a＞0，a ≠1).
当a ＞1时，(－≦，+≦) 是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－≦，
+≦) 是这个函数的单调减区间.
5. 对数函数y=loga x(a＞0，a ≠1).
当a ＞1时，(0，+≦) 是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+≦)
是它的单调减区间.
三、复合函数单调性相关定理
引理1 已知函数y=f［g(x)］. 若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值
域为(c，d) ，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函
数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
引理2 已知函数y=f［g(x)］. 若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域
为(c，d) ，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f
［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。
例1 求函数y=log4(x－4x+3)的单调区间：
解法一：设 y=log4u,u=x2－4x+3.由 ＞0,
2－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.
当x ∈(－≦，1) 时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u 为增函数，所以(－
≦，1) 是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±≦) 时，u=x2－4x+3为增函
数y=log4u 为增函数，所以，(3，+≦) 是复合函数的单调增区间.
解法二：u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)
x ＜2 (u减)
解得x ＜1. 所以x ∈(－≦，1) 时，函数u 单调递减.
由于y=log4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2) 2－1的单调性
与复合函数的单调性一致，所以(－≦，1) 是复合函数的单调减区间. 下面我们求一下复合函数的单调增区间.
u=x2－4x+3=(x－2) 2－1,
x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)
x ＞2 (u增)
解得x ＞3. 所以(3，+≦) 是复合函数的单调增区间.
2
例2 求函数y=log (2x－x ) 的单调区间： 1
32
解：设 y=log1u,u=2x－x 2. 由
3
＞0
－x 2
解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2.
由于y=log1u 在定义域(0，+≦) 内是减函数，所以，原复合函数的单调性
3
与二次函数u=2x－x 2的单调性正好相反.
易知u=2x－x 2=－(x－1) 2+1在x ≤1时单调增. 由
0＜x ＜2 （复合函数定义域）
x≤1，(u增)
解得0＜x ≤1, 所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.
又u=－(x－1) 2+1在x ≥1时单调减，由
x＜2， (复合函数定义域)
x≥1， (u减)
解得1≤x ＜2, 所以[1，2) 是原复合函数的单调增区间.
2例3 求y=7-6x -x 的单调区间.
解： 设y=u ,u=7－6x －x 2, 由
u≥0,
u=7－6x －x 2
解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.
因为y=在定义域［0+≦］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单
调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.
易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。由
-7≤x ≤1, （复合函数定义域）
x≤-3, （u 增）
解得-7≤x ≤-3. 所以[-7，3]是复合函数的单调增区间.
易知u=－x 2－6x+7=－(x+3)2+16在x ≥－3时单调减，由
－7≤x ≤1 (复合函数定义域)
x≥－3， (u减)
解得－3≤x ≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.
例4 求 12() x -2x -1y=2的单调区间.
1() u
解 ： 设y=2. 由
u∈R,
u=x2－2x －1,
解得原复合函数的定义域为x ∈R.
1() u
因为y=2在定义域R 内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x －1
的单调性与复合函数的单调性相反.
易知,u=x2－2x －1=(x－1) 2－2在x ≤1时单调减，由
x∈R, (复合函数定义域)
x≤1， (u减)
解得x ≤1. 所以(－≦，1］是复合函数的单调增区间. 同理［1，+≦) 是复合
函数的单调减区间.
注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复
合函数的定义域. 另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，
一定要按要求做，不要跳步.
练习
求下列复合函数的单调区间.
1.y=log3(x2－2x);(答：(－≦，0) 是单调减区间，(2，+≦) 是单调增区间.)
1
2.y=log2(x2－3x+2)；(答：(－≦，1) 是单调增区间，(2，+≦) 是单调减
区间.) 55
3.y=-x +5x -6,(答：［2，2是单调增区间，］［2，3］是单调减区间.) 2
4.y=0. 7;(答：(－≦，0) ，(0，+≦) 均为单调增区间. 注意，单调区间之间
不可以取并集.)
5.y=23-x ;(答(－≦，0) 为单调增区间，(0，+≦) 为单调减区间)
1() x +3
6.y=3,(答(－≦，+≦) 为单调减区间.) 21x
7.y=3
8.y=log 2x ；(答：(0，+≦) 为单调减区间.) (4x -x 2) log 1
π；(答：(0，2) 为单调减区间，(2，4) 为单调增区间.) 29.y=x -6x ；(答：(0，3) 为单调减区间，(3，6) 为单调增区间.)
10.y=7；(答(－≦，1) 为单调增区间，(1，+≦) 为单调减区间.)
2x -x 2
有关复合函数单调性的定义和解题方法
高一数学组
一、 复合函数的定义
设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的
y=f［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、 函数的单调区间
1. 一次函数y=kx+b(k≠0).
当k ＞0时，(－≦，+≦) 是这个函数的单调增区间；
当k ＜0时，(－≦，+≦) 是这个函数的单调减区间.
k 2. 反比例函数y=x (k≠
0).
当k ＞0时，(－≦，0) 和(0，+≦) 都是这个函数的单调减区间，
当k ＜0时，(－≦，0) 和(0，+≦) 都是这个函数的单调增区间.
3. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
b b
当a ＞0时(－≦，－2a ) 是函数的单调减区间，(－2a ，+≦) 是单调增区间；
b b
当a ＜0时(－≦，－2a ) 是函数的单调增区间，(－2a ，+≦) 是单调减区间；
4. 指数函数y=ax(a＞0，a ≠1).
当a ＞1时，(－≦，+≦) 是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－≦，
+≦) 是这个函数的单调减区间.
5. 对数函数y=loga x(a＞0，a ≠1).
当a ＞1时，(0，+≦) 是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+≦)
是它的单调减区间.
三、复合函数单调性相关定理
引理1 已知函数y=f［g(x)］. 若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值
域为(c，d) ，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函
数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
引理2 已知函数y=f［g(x)］. 若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域
为(c，d) ，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f
［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。
例1 求函数y=log4(x－4x+3)的单调区间：
解法一：设 y=log4u,u=x2－4x+3.由 ＞0,
2－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.
当x ∈(－≦，1) 时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u 为增函数，所以(－
≦，1) 是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±≦) 时，u=x2－4x+3为增函
数y=log4u 为增函数，所以，(3，+≦) 是复合函数的单调增区间.
解法二：u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)
x ＜2 (u减)
解得x ＜1. 所以x ∈(－≦，1) 时，函数u 单调递减.
由于y=log4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2) 2－1的单调性
与复合函数的单调性一致，所以(－≦，1) 是复合函数的单调减区间. 下面我们求一下复合函数的单调增区间.
u=x2－4x+3=(x－2) 2－1,
x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)
x ＞2 (u增)
解得x ＞3. 所以(3，+≦) 是复合函数的单调增区间.
2
例2 求函数y=log (2x－x ) 的单调区间： 1
32
解：设 y=log1u,u=2x－x 2. 由
3
＞0
－x 2
解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2.
由于y=log1u 在定义域(0，+≦) 内是减函数，所以，原复合函数的单调性
3
与二次函数u=2x－x 2的单调性正好相反.
易知u=2x－x 2=－(x－1) 2+1在x ≤1时单调增. 由
0＜x ＜2 （复合函数定义域）
x≤1，(u增)
解得0＜x ≤1, 所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.
又u=－(x－1) 2+1在x ≥1时单调减，由
x＜2， (复合函数定义域)
x≥1， (u减)
解得1≤x ＜2, 所以[1，2) 是原复合函数的单调增区间.
2例3 求y=7-6x -x 的单调区间.
解： 设y=u ,u=7－6x －x 2, 由
u≥0,
u=7－6x －x 2
解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.
因为y=在定义域［0+≦］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单
调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.
易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。由
-7≤x ≤1, （复合函数定义域）
x≤-3, （u 增）
解得-7≤x ≤-3. 所以[-7，3]是复合函数的单调增区间.
易知u=－x 2－6x+7=－(x+3)2+16在x ≥－3时单调减，由
－7≤x ≤1 (复合函数定义域)
x≥－3， (u减)
解得－3≤x ≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.
例4 求 12() x -2x -1y=2的单调区间.
1() u
解 ： 设y=2. 由
u∈R,
u=x2－2x －1,
解得原复合函数的定义域为x ∈R.
1() u
因为y=2在定义域R 内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x －1
的单调性与复合函数的单调性相反.
易知,u=x2－2x －1=(x－1) 2－2在x ≤1时单调减，由
x∈R, (复合函数定义域)
x≤1， (u减)
解得x ≤1. 所以(－≦，1］是复合函数的单调增区间. 同理［1，+≦) 是复合
函数的单调减区间.
注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复
合函数的定义域. 另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，
一定要按要求做，不要跳步.
练习
求下列复合函数的单调区间.
1.y=log3(x2－2x);(答：(－≦，0) 是单调减区间，(2，+≦) 是单调增区间.)
1
2.y=log2(x2－3x+2)；(答：(－≦，1) 是单调增区间，(2，+≦) 是单调减
区间.) 55
3.y=-x +5x -6,(答：［2，2是单调增区间，］［2，3］是单调减区间.) 2
4.y=0. 7;(答：(－≦，0) ，(0，+≦) 均为单调增区间. 注意，单调区间之间
不可以取并集.)
5.y=23-x ;(答(－≦，0) 为单调增区间，(0，+≦) 为单调减区间)
1() x +3
6.y=3,(答(－≦，+≦) 为单调减区间.) 21x
7.y=3
8.y=log 2x ；(答：(0，+≦) 为单调减区间.) (4x -x 2) log 1
π；(答：(0，2) 为单调减区间，(2，4) 为单调增区间.) 29.y=x -6x ；(答：(0，3) 为单调减区间，(3，6) 为单调增区间.)
10.y=7；(答(－≦，1) 为单调增区间，(1，+≦) 为单调减区间.)
2x -x 2