矩阵分解原理在唯一稳态消谐法中的应用
- 以零序电阻消除铁磁谐振分析为例
摘 要
唯一稳态消谐法是近年出现的消除非线性系统谐振新的分析方法。该方法的基本思想是如果非线性系统存在一个非谐振的正常解, 并且该系统具有唯一的稳态, 则此时对应的条件就是系统不发生谐振的条件。本文将这一方法应用在中性点接地电力系统铁磁谐振的分析中, 以矩阵分解为工具, 得到了相应的消谐条件。本文的结果表明,消除谐振的条件可以用分解矩阵的稳定性条件来决定, 并用数值模拟进行验证, 表明结果正确, 同时也说明唯一稳态消谐法有效性。
[关键词] 电力系统; 铁磁谐振; 中性点接地系统; 非线性系统; 唯一稳态消谐法
1概述
在中性点直接接地电力系统,例如110-220kV 等中性点接地的电力系统,经常发生断口电容与电压互感器形成的铁磁谐振,给电力系统造成很大的危害。围绕这种谐振的机理及消除方法,国内外进行了广泛的研究[1,2] 。
从方法上看,目前对这种铁磁谐振问题所主要采用的方法有如下几种。第一是实验研究[3,4]。即通过大量的实验数据得到各种经验结论。第二是进行数值模拟和仿真[ 5, 6] 。通过建立模型,在大范围内改变参数, 通过计算机计算得到或验证参数的范围。第三是理论研究[7,8]。即对这种谐振建立相应的数学模型,通过对模型的理论分析, 了解这种谐振的机理, 并且寻找消除谐振的方法。这三种方法中,理论分析具有决定性的意义, 主要有作图法[1,8] 、谐波平衡法[5,6] 、平面相图法[4] , 幅频法、描述函数法[1,2,3] 、非线性动态系统理论[4,7] 等。
大量实验表明[7, 8] , 在某些情况下,零序电阻可以消除这种谐振,但在某些情况下又不能消除谐振。究竟在哪些情况下可以消除谐振, 满足的参数关系是什么;而哪些情况下不能消除谐振, 其原因又是什么,由于缺乏深入的理论分析作指导,这一工程上迫切需要解决的主要问题至今一直没有确切的答案。
唯一稳态消谐法是近年出现的消除非线性系统谐振新的分析方法[ 6] 。该方法的基本思想是如果非线性系统存在一个非谐振的正常解, 并且该系统具有唯一的稳态,则此时对应的条件就是系统不发生谐振的条件。本文将这一方法应用在零序电阻消除中性点接地电力系统铁磁谐振的分析中, 以矩阵分解为工具, 得到了相应的消谐条件。本文的结果表明, 消除谐振的条件可以用分解矩阵的稳定性条件来决定, 并用数值模拟进行验证, 表明结果正确, 同时也说明唯一稳态消谐法有效性。
2等效电路及其数学模型
以如下图1的电路作为中性点接地电力系统铁磁谐振的模型[1] 。
图1 中性点接地电力系统中的三相铁磁谐振的等效电路
C>0, 为断口电容与对地电容的等效电容, RN > 0为零序消谐电阻。La> 0, Lb> 0, Lc > 0 为铁磁式电压互感器的非线性电感, La, Lb , Lc 具有相同i- W曲线, 并可表示为分段线性形式。互感器磁链与电流关系如图2。
图2 电流- 磁链曲线
设W1a( t) , i1a( t) ; W2a( t) , i2a ( t) 为系统a 相的两个不同的稳态解。并且记
:
其中0Ka、0Kb、Kc0为Ka, Kb , Kc 的线性部分, 对应于图2中的L1 段。而δKa，δKb, δKc 对应于Ka, Kb, Kc 围绕线性部分的变化分量。对图1,不难得到其状态方程为
:
其中, iLa ~ Wa, iLb~ Wb, iLc ~ Wc 的关系由图2 确定,各量参考方向如图1。对电
路周期解存在性, 可以证明, 系统至少存在一个以T 为周期的解[ 11] 。
假设对于状态方程组式(1)的任意两个有界的稳态解为
:
当系统受到扰动时, 磁链及系统电压都要发生改变, 令
:
于是得到对应于状态方程组式(1)的增量微分方程为
:
注意到
:
式( 2)又可以写为
:
于是, 式(3) 改写为
:
考虑( 4)的一般形式
:
显然,如果( 5) 的零解X= 0 是全局渐进稳定的, 则( 1) 式、即图1 所示电路的稳态唯一, 即系统的不谐振条件。
3 电路唯一稳态的条件( 消除谐振条件) 的求取
唯一稳态消谐法是近年出现的消除非线性系统谐振新的分析方法[ 6] 。该方法的基本思想是如果非线性系统存在一个非谐振的正常解, 并且该系统具有唯一的稳态, 则此时对应的条件就是系统不发生谐振的条件。按照这一方法, 对于图1 和状态方程( 1) ,大量实验和运行经验表明其有多个稳态解, 其中最常见的稳态解, 就是没有发生谐振时, 对应于系统正常工作状态的稳态解。系统的其他非正常的稳态解, 则是由于扰动, 引起C 与L之间的铁磁谐振造成的稳态解。显然这些非正常的稳态解对于系统是有害的, 如果我们能够使经扰动后的非正常稳态解趋于正常的稳态解, 即使系统的稳态解唯一,那就可以达到消除系统铁磁谐振的目的。这样, 消除铁磁谐振的问题此时就转化为求系统的唯一稳态的问题。
为了求得系统的唯一稳态, 我们首先给出如下引理。
设A( t) 为n×n 矩阵, 即: A ( t) = [ aij ( t) ]n×n定义范数
:
如有常数矩阵
:
并设P, Q 有相应的分解。引入记号：
所以
,
同时, 由代数结果[11] , 有
:
取
:
则对子系统
:
有
:
因此
,
同理可得
,
作辅助方程组
:
系统是一常系数线性常微分方程组, 如其系数矩阵满足HURWITZ 条件,
解渐进稳定
,
注意到
:
故: dx / dt = A ( t)x 的零解渐进稳定, 也就是电路的稳态唯一。
综合上述的分析, 我们有如下的定理:
定理1 对于( 5) , 如其有分解形式(6) ,并有: 该系统的零
使得的特征值特征值有负实部, ( 1) 有唯一稳态。 下面根据定理1, 推导消除谐振的条件。
比较式( 3) 、式(5) , 有
:
根据定理1的计算规则, 可以得到其对应的消除谐振的条件为定理2:
定理2对于图1所示电路, 其不发生谐振的条件为
:
求解方法见[ 10]
因此, 根据定理2, 对于不同的实际参数, 选择不同的RN 使系统不发生谐振。
根据文献[5] 取参数( 均为标幺值) :
假设各相电流磁链曲线特性相差10%。C= 0. 33334时, 将数据代入得到定理2, 得到RN 变化范围为:1. 5
4 结论
本文根据唯一稳态消谐法基本思想, 利用矩阵分解,分析了零序电阻消除中性点接地电力系统铁磁谐振的参数条件, 得到了相应的消谐条件。同时通过数值模拟进行验证, 表明结果正确, 同时也说明唯一稳态消谐法有效性。
参考文献
[1] 解广润.电力系统过电压[ M].北京:水利电力出版社. 1985.
[2] 张纬钹,高玉明.电力系统过电压与绝缘配合[M].北京:清华大学出版社,1988.
[3] Jacobson D.,P.W.Menzies,Stbailiy domain calculations of period- l ferroresonnace in a nonlinear resonant circuit[ J] . Power Delive, IEEE Transactions on, 2002,17(3):865- 871.
[4]郑盛琼,陈维贤,鲁铁成. 110- 220 kV 变电所中互感器引起的铁磁谐振及吸能消谐[ J] ,高压电器, 1996,18(6) : 26- 30.
[5]Thor Henriksen. How to avoid unstable time domain responses caused by transformer models[J] .IFEE Trans . on Power Delivery, 2002, 17( 2) ,516- 522.
[6] 冯平,王尔智. 中性点接地电力系统三相铁磁谐振理论分析[ J].电工技术学报, 2004, 23(4) :
35- 39.
[7] Yunge Li, Wei Shi; A Systematical Method for Suppressing Ferroresonance at Neutral- Grounded Substations[J] . IEEE Transactions on Power Delivery. 2003.18( 3) : 1009~ 1014.
[8]李兴斌,王晨新.断路器均压电容引起的铁磁谐振分析[J].东北电力技术,1994,24(9): 39- 43.
[9]贾红琴.电磁式PT 所致铁磁谐振过电压分析及抑制[ J] .高电压术, 2000 ,43(1) : 69- 70.
[10]冯平.一种混沌分析与抑制方法及其在电力系统铁磁谐振中的应用[ D] .沈阳工业大学博士论文, 2010.
[11]尤秉礼.常微分方程补充教程[ M].北京:人民教育出版社, 1981.
矩阵分解原理在唯一稳态消谐法中的应用
- 以零序电阻消除铁磁谐振分析为例
摘 要
唯一稳态消谐法是近年出现的消除非线性系统谐振新的分析方法。该方法的基本思想是如果非线性系统存在一个非谐振的正常解, 并且该系统具有唯一的稳态, 则此时对应的条件就是系统不发生谐振的条件。本文将这一方法应用在中性点接地电力系统铁磁谐振的分析中, 以矩阵分解为工具, 得到了相应的消谐条件。本文的结果表明,消除谐振的条件可以用分解矩阵的稳定性条件来决定, 并用数值模拟进行验证, 表明结果正确, 同时也说明唯一稳态消谐法有效性。
[关键词] 电力系统; 铁磁谐振; 中性点接地系统; 非线性系统; 唯一稳态消谐法
1概述
在中性点直接接地电力系统,例如110-220kV 等中性点接地的电力系统,经常发生断口电容与电压互感器形成的铁磁谐振,给电力系统造成很大的危害。围绕这种谐振的机理及消除方法,国内外进行了广泛的研究[1,2] 。
从方法上看,目前对这种铁磁谐振问题所主要采用的方法有如下几种。第一是实验研究[3,4]。即通过大量的实验数据得到各种经验结论。第二是进行数值模拟和仿真[ 5, 6] 。通过建立模型,在大范围内改变参数, 通过计算机计算得到或验证参数的范围。第三是理论研究[7,8]。即对这种谐振建立相应的数学模型,通过对模型的理论分析, 了解这种谐振的机理, 并且寻找消除谐振的方法。这三种方法中,理论分析具有决定性的意义, 主要有作图法[1,8] 、谐波平衡法[5,6] 、平面相图法[4] , 幅频法、描述函数法[1,2,3] 、非线性动态系统理论[4,7] 等。
大量实验表明[7, 8] , 在某些情况下,零序电阻可以消除这种谐振,但在某些情况下又不能消除谐振。究竟在哪些情况下可以消除谐振, 满足的参数关系是什么;而哪些情况下不能消除谐振, 其原因又是什么,由于缺乏深入的理论分析作指导,这一工程上迫切需要解决的主要问题至今一直没有确切的答案。
唯一稳态消谐法是近年出现的消除非线性系统谐振新的分析方法[ 6] 。该方法的基本思想是如果非线性系统存在一个非谐振的正常解, 并且该系统具有唯一的稳态,则此时对应的条件就是系统不发生谐振的条件。本文将这一方法应用在零序电阻消除中性点接地电力系统铁磁谐振的分析中, 以矩阵分解为工具, 得到了相应的消谐条件。本文的结果表明, 消除谐振的条件可以用分解矩阵的稳定性条件来决定, 并用数值模拟进行验证, 表明结果正确, 同时也说明唯一稳态消谐法有效性。
2等效电路及其数学模型
以如下图1的电路作为中性点接地电力系统铁磁谐振的模型[1] 。
图1 中性点接地电力系统中的三相铁磁谐振的等效电路
C>0, 为断口电容与对地电容的等效电容, RN > 0为零序消谐电阻。La> 0, Lb> 0, Lc > 0 为铁磁式电压互感器的非线性电感, La, Lb , Lc 具有相同i- W曲线, 并可表示为分段线性形式。互感器磁链与电流关系如图2。
图2 电流- 磁链曲线
设W1a( t) , i1a( t) ; W2a( t) , i2a ( t) 为系统a 相的两个不同的稳态解。并且记
:
其中0Ka、0Kb、Kc0为Ka, Kb , Kc 的线性部分, 对应于图2中的L1 段。而δKa，δKb, δKc 对应于Ka, Kb, Kc 围绕线性部分的变化分量。对图1,不难得到其状态方程为
:
其中, iLa ~ Wa, iLb~ Wb, iLc ~ Wc 的关系由图2 确定,各量参考方向如图1。对电
路周期解存在性, 可以证明, 系统至少存在一个以T 为周期的解[ 11] 。
假设对于状态方程组式(1)的任意两个有界的稳态解为
:
当系统受到扰动时, 磁链及系统电压都要发生改变, 令
:
于是得到对应于状态方程组式(1)的增量微分方程为
:
注意到
:
式( 2)又可以写为
:
于是, 式(3) 改写为
:
考虑( 4)的一般形式
:
显然,如果( 5) 的零解X= 0 是全局渐进稳定的, 则( 1) 式、即图1 所示电路的稳态唯一, 即系统的不谐振条件。
3 电路唯一稳态的条件( 消除谐振条件) 的求取
唯一稳态消谐法是近年出现的消除非线性系统谐振新的分析方法[ 6] 。该方法的基本思想是如果非线性系统存在一个非谐振的正常解, 并且该系统具有唯一的稳态, 则此时对应的条件就是系统不发生谐振的条件。按照这一方法, 对于图1 和状态方程( 1) ,大量实验和运行经验表明其有多个稳态解, 其中最常见的稳态解, 就是没有发生谐振时, 对应于系统正常工作状态的稳态解。系统的其他非正常的稳态解, 则是由于扰动, 引起C 与L之间的铁磁谐振造成的稳态解。显然这些非正常的稳态解对于系统是有害的, 如果我们能够使经扰动后的非正常稳态解趋于正常的稳态解, 即使系统的稳态解唯一,那就可以达到消除系统铁磁谐振的目的。这样, 消除铁磁谐振的问题此时就转化为求系统的唯一稳态的问题。
为了求得系统的唯一稳态, 我们首先给出如下引理。
设A( t) 为n×n 矩阵, 即: A ( t) = [ aij ( t) ]n×n定义范数
:
如有常数矩阵
:
并设P, Q 有相应的分解。引入记号：
所以
,
同时, 由代数结果[11] , 有
:
取
:
则对子系统
:
有
:
因此
,
同理可得
,
作辅助方程组
:
系统是一常系数线性常微分方程组, 如其系数矩阵满足HURWITZ 条件,
解渐进稳定
,
注意到
:
故: dx / dt = A ( t)x 的零解渐进稳定, 也就是电路的稳态唯一。
综合上述的分析, 我们有如下的定理:
定理1 对于( 5) , 如其有分解形式(6) ,并有: 该系统的零
使得的特征值特征值有负实部, ( 1) 有唯一稳态。 下面根据定理1, 推导消除谐振的条件。
比较式( 3) 、式(5) , 有
:
根据定理1的计算规则, 可以得到其对应的消除谐振的条件为定理2:
定理2对于图1所示电路, 其不发生谐振的条件为
:
求解方法见[ 10]
因此, 根据定理2, 对于不同的实际参数, 选择不同的RN 使系统不发生谐振。
根据文献[5] 取参数( 均为标幺值) :
假设各相电流磁链曲线特性相差10%。C= 0. 33334时, 将数据代入得到定理2, 得到RN 变化范围为:1. 5
4 结论
本文根据唯一稳态消谐法基本思想, 利用矩阵分解,分析了零序电阻消除中性点接地电力系统铁磁谐振的参数条件, 得到了相应的消谐条件。同时通过数值模拟进行验证, 表明结果正确, 同时也说明唯一稳态消谐法有效性。
参考文献
[1] 解广润.电力系统过电压[ M].北京:水利电力出版社. 1985.
[2] 张纬钹,高玉明.电力系统过电压与绝缘配合[M].北京:清华大学出版社,1988.
[3] Jacobson D.,P.W.Menzies,Stbailiy domain calculations of period- l ferroresonnace in a nonlinear resonant circuit[ J] . Power Delive, IEEE Transactions on, 2002,17(3):865- 871.
[4]郑盛琼,陈维贤,鲁铁成. 110- 220 kV 变电所中互感器引起的铁磁谐振及吸能消谐[ J] ,高压电器, 1996,18(6) : 26- 30.
[5]Thor Henriksen. How to avoid unstable time domain responses caused by transformer models[J] .IFEE Trans . on Power Delivery, 2002, 17( 2) ,516- 522.
[6] 冯平,王尔智. 中性点接地电力系统三相铁磁谐振理论分析[ J].电工技术学报, 2004, 23(4) :
35- 39.
[7] Yunge Li, Wei Shi; A Systematical Method for Suppressing Ferroresonance at Neutral- Grounded Substations[J] . IEEE Transactions on Power Delivery. 2003.18( 3) : 1009~ 1014.
[8]李兴斌,王晨新.断路器均压电容引起的铁磁谐振分析[J].东北电力技术,1994,24(9): 39- 43.
[9]贾红琴.电磁式PT 所致铁磁谐振过电压分析及抑制[ J] .高电压术, 2000 ,43(1) : 69- 70.
[10]冯平.一种混沌分析与抑制方法及其在电力系统铁磁谐振中的应用[ D] .沈阳工业大学博士论文, 2010.
[11]尤秉礼.常微分方程补充教程[ M].北京:人民教育出版社, 1981.