研究生矩阵分析习题
第一部份 内容
第一章 线性空间与线性换
1、概念与性质
（1）线性空间、线性子空间、向量有关概念（线性相关、线性无关、线性表出，向量组的秩、基、维数、坐标）、过渡矩阵、基坐标关系
（2）子空间：和、交、直和、维数公式
（3）线性空间同构，同构性质
（4）线性变换、线性变换空间、线性变换的表示矩阵、不同基下线性变换表示矩阵关系、线性变换的特征值与特征向量
（5）不变子空间、不变子空间与线性变换的联系
2、计算
（1）求向量组的秩、空间的基、维数、向量在基下的坐标
（2）求过渡矩阵、基坐标关系求坐标
（3）求线性变换的表示矩阵
（4）求矩阵的特征值与特征向量、线性变换的特征值与特征向量
第二章 内积空间
1、概念与性质
（1）实内积空间、复内积空间、欧氏空间、酉空间，Cauchy-Schwartz 不等式、常见线性空间的内积
（2）正交向量、标准正交向量、正交基、标准正交基、Gram-Schmidit 直交化、子空间直交、直交补空间及性质
（3）内积空间同构
（4）正交变换、酉变换及等价命题、正交矩阵、酉矩阵
（5）点到子空间距离、最小二乘法
（6）正规矩阵、特殊的正规矩阵：Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵
（7）Hermite 二次型、标准型及标准化、正定、负定
2、计算
（1）Gram-Schmidit 直交化求正交向量组、标准正交向量组
（2）法方程解最小二乘问题
（3）化Hermite 二次型为标准型
第三章 矩阵的标准形
1、概念与性质
（1）多项式矩阵、Smith 标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及关系
（2）矩阵相似对角化、酉对角化、Jordan 标准形
（3）Hilmilton-Cayley 定理、最小多项式
（4）Schur 定理、QR 分解、奇异值分解、满值分解
2、计算
（1）求多项式矩阵的Smith 标准形、行列式因子、不变因子、初等因子
（2）求矩阵的Jordan 标准形、最小多项式，化矩阵的Jordan 标准形
（3）利用Hilmilton-Cayley 定理、最小多项式做多项式的简化计算
（4）求矩阵的QR 分解、奇异值分解、满值分解
第四章 矩阵函数及应用
1、概念与性质
（1）向量范数（三种常见的向量范数）、矩阵范数（Frobenius 范数、列和范数、行和范数、谱范数）、谱半径
（2）向量的极限、矩阵的极限、收敛与发散
（3）矩阵级数的收敛、绝对收敛与发散、矩阵幂级数
（4）矩阵函数
（5）函数矩阵的微分、积分
（6）常见矩阵函数性质
（7）常系数线性微分方程解与矩阵函数关系
2、计算
（1）求向量、矩阵的常见几种范数
（2）求矩阵的极限
（3）求矩阵函数
（4）求函数矩阵的微分与积分
（5）解微分方程
第二部份 习题
1、 设R [x ]4是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式
p (x ) =1+2x 3在基1, x -1,(x -1) 2,(x -1) 3下的坐标。
2、 在R [x ]3中，设线性变换T 在基1, x , x 2下的表示矩阵为
⎡102⎤⎥ 213 A =⎢⎢⎥⎢⎣120⎥⎦
(1) 求T 在基x 2,1, x 下的表示矩阵；
(2) 求g =2+x 在该线性变换T 下的像。
3、 在R 3中，设x =(ξ1, ξ2, ξ3) ，线性变换Tx =(ξ1+ξ2, ξ2-2ξ3, ξ3) ，求（1）T 在标
准基下的表示矩阵，（2）T 在一组基下的最简形式的矩阵为什么矩阵？试求一组基，使T 在其下的表示矩为最简形式的矩阵。
4、 证明n 维线性空间V 的一个有n 个不同特征值的线性变换T 共有2n 个不同
的不变子空间。
⎡32-5⎤⎥，(1)求矩阵A 的smith 标准形，行列式因子、不变因子、26-105、 设A =⎢⎢⎥⎢⎣12-3⎥⎦
初等因子、最小多项式，(2)求A 8-2A 7+A 5-E 。
⎡a 10⎤⎡a 30⎤⎥与⎢0a 3⎥ 0a 16、 试判断如下矩阵是否相似：(1) ⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣00a ⎥⎦⎢⎣00a ⎥⎦
⎡a 10⎤⎡a 10⎤⎥与⎢0a 1⎥, ε≠0 0a 1(2) ⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣00a ⎥⎦⎢⎣ε0a ⎥⎦
6⎤⎡14-15⎢2004⎥6⎥ 7、 求矩阵的满秩分解：⎢⎢-12-4-4-19⎥⎢⎥1-2-1-1-16⎣⎦
⎡110⎤⎥ 1-118、 求矩阵的QR 分解：⎢⎢⎥⎢⎣002⎥⎦
⎡201⎤9、 求矩阵的奇异值分解：A =⎢⎥ 120⎣⎦
10、
⎡2-10⎤⎡1⎤⎥，x =⎢2⎥，求||A ||,||A ||,||A ||,||A ||， 023设A =⎢1F 2∞⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣120⎥⎦⎣3⎥⎦
||Ax ||1,||Ax ||2,||Ax ||∞
⎡1⎢5设A =⎢⎢3
⎢⎣53⎤∞∞5⎥2k ⎥，矩阵幂级数∑k A 是否收敛？如收敛求∑k 2A k 。 1⎥k =1k =1
5⎥⎦11、 12、
13、 ⎡100-1⎤⎢01-10⎥⎥，求sin At 已知A =⎢⎢0-110⎥⎢⎥⎣-1001⎦解微分方程:
⎧dx 1⎪dt =x 1-x 4
⎪⎪dx 2=x -x 23⎪dt ⎨, x 1(0)=1, x 2(0)=0, x 3(0)=0, x 4(0)=-1 dx ⎪3=-x +x 23⎪dt ⎪dx ⎪1=-x 1+x 4⎩dt
⎡0-1i ⎤⎥，证明A 为正规矩阵并求酉矩阵Q 使H 10014、设A =⎢Q AQ 为对角阵。 ⎢⎥⎢⎣i 00⎥⎦
研究生矩阵分析习题
第一部份 内容
第一章 线性空间与线性换
1、概念与性质
（1）线性空间、线性子空间、向量有关概念（线性相关、线性无关、线性表出，向量组的秩、基、维数、坐标）、过渡矩阵、基坐标关系
（2）子空间：和、交、直和、维数公式
（3）线性空间同构，同构性质
（4）线性变换、线性变换空间、线性变换的表示矩阵、不同基下线性变换表示矩阵关系、线性变换的特征值与特征向量
（5）不变子空间、不变子空间与线性变换的联系
2、计算
（1）求向量组的秩、空间的基、维数、向量在基下的坐标
（2）求过渡矩阵、基坐标关系求坐标
（3）求线性变换的表示矩阵
（4）求矩阵的特征值与特征向量、线性变换的特征值与特征向量
第二章 内积空间
1、概念与性质
（1）实内积空间、复内积空间、欧氏空间、酉空间，Cauchy-Schwartz 不等式、常见线性空间的内积
（2）正交向量、标准正交向量、正交基、标准正交基、Gram-Schmidit 直交化、子空间直交、直交补空间及性质
（3）内积空间同构
（4）正交变换、酉变换及等价命题、正交矩阵、酉矩阵
（5）点到子空间距离、最小二乘法
（6）正规矩阵、特殊的正规矩阵：Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵
（7）Hermite 二次型、标准型及标准化、正定、负定
2、计算
（1）Gram-Schmidit 直交化求正交向量组、标准正交向量组
（2）法方程解最小二乘问题
（3）化Hermite 二次型为标准型
第三章 矩阵的标准形
1、概念与性质
（1）多项式矩阵、Smith 标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及关系
（2）矩阵相似对角化、酉对角化、Jordan 标准形
（3）Hilmilton-Cayley 定理、最小多项式
（4）Schur 定理、QR 分解、奇异值分解、满值分解
2、计算
（1）求多项式矩阵的Smith 标准形、行列式因子、不变因子、初等因子
（2）求矩阵的Jordan 标准形、最小多项式，化矩阵的Jordan 标准形
（3）利用Hilmilton-Cayley 定理、最小多项式做多项式的简化计算
（4）求矩阵的QR 分解、奇异值分解、满值分解
第四章 矩阵函数及应用
1、概念与性质
（1）向量范数（三种常见的向量范数）、矩阵范数（Frobenius 范数、列和范数、行和范数、谱范数）、谱半径
（2）向量的极限、矩阵的极限、收敛与发散
（3）矩阵级数的收敛、绝对收敛与发散、矩阵幂级数
（4）矩阵函数
（5）函数矩阵的微分、积分
（6）常见矩阵函数性质
（7）常系数线性微分方程解与矩阵函数关系
2、计算
（1）求向量、矩阵的常见几种范数
（2）求矩阵的极限
（3）求矩阵函数
（4）求函数矩阵的微分与积分
（5）解微分方程
第二部份 习题
1、 设R [x ]4是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式
p (x ) =1+2x 3在基1, x -1,(x -1) 2,(x -1) 3下的坐标。
2、 在R [x ]3中，设线性变换T 在基1, x , x 2下的表示矩阵为
⎡102⎤⎥ 213 A =⎢⎢⎥⎢⎣120⎥⎦
(1) 求T 在基x 2,1, x 下的表示矩阵；
(2) 求g =2+x 在该线性变换T 下的像。
3、 在R 3中，设x =(ξ1, ξ2, ξ3) ，线性变换Tx =(ξ1+ξ2, ξ2-2ξ3, ξ3) ，求（1）T 在标
准基下的表示矩阵，（2）T 在一组基下的最简形式的矩阵为什么矩阵？试求一组基，使T 在其下的表示矩为最简形式的矩阵。
4、 证明n 维线性空间V 的一个有n 个不同特征值的线性变换T 共有2n 个不同
的不变子空间。
⎡32-5⎤⎥，(1)求矩阵A 的smith 标准形，行列式因子、不变因子、26-105、 设A =⎢⎢⎥⎢⎣12-3⎥⎦
初等因子、最小多项式，(2)求A 8-2A 7+A 5-E 。
⎡a 10⎤⎡a 30⎤⎥与⎢0a 3⎥ 0a 16、 试判断如下矩阵是否相似：(1) ⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣00a ⎥⎦⎢⎣00a ⎥⎦
⎡a 10⎤⎡a 10⎤⎥与⎢0a 1⎥, ε≠0 0a 1(2) ⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣00a ⎥⎦⎢⎣ε0a ⎥⎦
6⎤⎡14-15⎢2004⎥6⎥ 7、 求矩阵的满秩分解：⎢⎢-12-4-4-19⎥⎢⎥1-2-1-1-16⎣⎦
⎡110⎤⎥ 1-118、 求矩阵的QR 分解：⎢⎢⎥⎢⎣002⎥⎦
⎡201⎤9、 求矩阵的奇异值分解：A =⎢⎥ 120⎣⎦
10、
⎡2-10⎤⎡1⎤⎥，x =⎢2⎥，求||A ||,||A ||,||A ||,||A ||， 023设A =⎢1F 2∞⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣120⎥⎦⎣3⎥⎦
||Ax ||1,||Ax ||2,||Ax ||∞
⎡1⎢5设A =⎢⎢3
⎢⎣53⎤∞∞5⎥2k ⎥，矩阵幂级数∑k A 是否收敛？如收敛求∑k 2A k 。 1⎥k =1k =1
5⎥⎦11、 12、
13、 ⎡100-1⎤⎢01-10⎥⎥，求sin At 已知A =⎢⎢0-110⎥⎢⎥⎣-1001⎦解微分方程:
⎧dx 1⎪dt =x 1-x 4
⎪⎪dx 2=x -x 23⎪dt ⎨, x 1(0)=1, x 2(0)=0, x 3(0)=0, x 4(0)=-1 dx ⎪3=-x +x 23⎪dt ⎪dx ⎪1=-x 1+x 4⎩dt
⎡0-1i ⎤⎥，证明A 为正规矩阵并求酉矩阵Q 使H 10014、设A =⎢Q AQ 为对角阵。 ⎢⎥⎢⎣i 00⎥⎦