第二章电阻电路的等效变换

本章提要：介绍电路等效变换的概念，无源电阻电路的等效变换，电源的等效变换，含受控源电阻电路的等效变换。输入电阻和等效电阻的计算。

2.1 电路等效变换的概念

在电路分析中，常用到等效概念。现举一个简单电路实例来说明。如图2.1所示，有两个一端口电路N1和N2，在a、b端口内两个电路不仅结构不同，而且元件的参数也不同，但端口的电流、电压关系(VCR)且相同，均为U5I，这说明N1和N2电路对外电路的作用完全相同。换句话来说，当用N2电路替代N1电路时，外电路没有受到丝毫影响。N2电路称为N1电路的等效电路，同样N1电路也称为N2电路的等效电路，二者互为等效。从上例分析得出等效电路的一般定义：端口外部性能完全相同的电路互为等效电路。两个电路等效只涉及二者的外部性能，而未涉及二者内部的性能，所以两个等效电路的内部结构上可完全不同，可能一个非常复杂，而另一个却是很简单的电路。总之，电路等效的概念是对外电路而言，而与内电路无关，对内电路不等效。

图2.1 等效电路

由等效概念可以得到，等效电路之间可以互相置换，这种置换方式称为等效变换或等效互换。当电路中的任一部分用其等效电路置换后，电路不变部分的支路电流和电压并不因此变换而改变。利用电路的等效变换可以简化电路，并确保了电路简化后计算的电压、电流（指不变部分的）就是电路简化前的电压、电流（指不变部分的）。等效变换的方法是电路分析中简便易行的方法。用它可以简化电路，简便电路计算过程。

2.2 无源电阻电路的等效变换

电阻电路（构成电路的无源元件均为线性电阻的电路，称之为电阻电路）中，电阻的联接有串联、并联及混联，还有Y形联接和Δ形联接。对电阻电路进行等效变换，就可以用一个最简单的等效电路来表示。下面分别介绍等效电阻的计算及等效变换的条件。 2.2.1 电阻的串联和并联

通常定义：通过同一电流的电阻连接方式为串联连接。如图2.2所示N1是由n个电阻R1、R2、R3、．．．．．．Rn串联组成的电路。Ｎ2中只含有一个电阻R。对N1来说，由于

2图2. 2 电阻串联

各元件电流i相同，根据KVL可写出其外特性方程为

uuuunRiRiRni

对Ｎ2来说，其外特性方程为：

uRi

若Ｎ1和Ｎ2外特性相同，则称Ｎ1和N2等效，因此N1的串联等效电阻为

ReqRRK (2-1)

iK1

由式(2-1)可知，串联等效电阻Req值大于任一个串联电阻值。电阻串联时，第K个电阻上的电压为

uK

uReq

(k1,2,n) (2-2)

式(2-2)是一个分压公式，它表明n个电阻串联后总电压在每个电阻上的电压分配比例。

通常施加同一个电压的电阻连接方式称为电阻并联连接。在图2.3中，N1是由n个电阻（或电导）并联组成的电路。根据并联连接的定义，各元件上的电压相同，则N1 的

外特性方程为

ii1i2in

G1uG2uGnu (G1G2Gn)u

若N1和只有一个电阻（或电导）的N2电路等效，则它的等效电导为

GeqGG1G2Gn

可写为 Geq

G

K



或者 (2-3) ......

ReqRRRRnkRK

电阻并联连接时，电阻有分流作用，第K个电阻通过的电流为 ik

i (2-4)Geq

式(2-4)是一个分流公式，它表明n个电阻并联后总电流在每个电阻中的分配比例。电导值小（或电阻值大）的电阻分得电流小，反之分得电流大。当两个电阻并联如图2.4所示时，其等效电阻Req为

Req=

两个电阻的电流分别为

1+12

i

R

RR

i

R

RR

若在电阻连接中，既有串联连接的电阻，又有并联连接的电阻，称为串并联连接的

电阻或称混联连接的电阻。

例2-1 如图2.5所示电路，R1=12Ω，R2=6Ω，R3=R4 =R5 =2Ω，R6 = 1Ω，R7 =5Ω，求ab端等效电阻。

解此例题给定的电路是由电阻串、并联而成的。从右向左，先是R1和R2并联，其等效电阻为

R12

R3 和R4并联，其等效电阻为

126

4Ω

126

bΩ

Ω R341

R34与R6串联，其等效电阻为

R 346 = 1+1 =2Ω

图2. 5 例2-1题图

R346再与R5并联，其等效电阻1Ω，再与R12串联，等效电阻为5Ω，最后再与R7并联得ab端等效电阻Rab=2.5Ω。

在应用电阻串联和并联公式时，要弄清串、并联顺序，然后对电路进行逐级化简。另外，对电阻串并联连接的电路，需要求出支路电流或电压时，可先用此方法等效简化电路，然后用分压或分流公式逐步求出支路电流或电压。

例2-2 如图2.6所示电路，求各支路电流。

I 4

60Ω

图2.6 例2-2题图

解先求ab两端等效电阻Rab，然后求总电流I，再用分流公式，求其它支路电流。

Rde

3060

20Ω （30Ω与60Ω并联）

3060

Rdb201030Ω （10Ω与Rde串联） Rcb

15Ω （30Ω与Rdb并联） 2

Rab152540Ω （15Ω与Rcb并联）

根据欧姆定律得

I

根据分流公式得

1212

0.3 A Rab40

I2

3030

I0.30.15A

30Rdb3030

I10.15 A

I3

I20.10 A

306030

I4I20.05 A。

2.2.2 电阻Ｙ形与Δ形联接和等效变换

在图2.7(a)中，电阻R１、R２、R３为Ｙ形（或称Ｔ形、星形）联接。在Y形联接中，三个电阻都有一端接在一个公共点上，另一端接在三个端子上。图(b)中，电阻R12，R23，R31为Δ形（或称π形，三角形）联接。Δ形联接中，三个电阻分别接在3个端子的每两个之间。在电路分析中常需要将这两种电路进行等效变换，即Ｙ形联接的电阻可由Δ形联接电阻等效替代。反之，也可以用Δ形联接电阻等效变换成Ｙ形联接电阻。如前所述等效变换是指它们对外的作用相同，也就是要求二者的外特性完全相同。具体讲，二者

，u23u23，u31u31；i1i1，，i2i2端子间电压和电流分别对应相等，即u12u12

。由此条件可以导出Δ形联接和Ｙ形联接电阻等效变换的具体条件。为了简便起 i3i3



  u23

(a) (b)

图2.7 电阻Y形与Δ形联接

见，现分别假设两种电路的同一个端子开路，然后分别计算另两个端子间等效电阻。由于Δ形联接与Y形联接电阻互为等效电路，则在两种电路中，同一个端子开路时，得到另两个端子间的等效电阻应该相等。下面具体分析。

0时，Ｙ形联接电阻电路中，2、3端等效电阻等于Δ形联接电阻电路当i1=0和i1

的2、3端等效电阻，即

R2R3

(R12R31)R23

(2-5)

R12R23R31

0时，则有同理，当i2=0和i2

R1R3

(R12R23)R31

(2-6)

R12R23R31

0时，则有当i3=0和i3

R1R2

(R31R23)R12

(2-7)

R12R23R31

将式(2-5)、(2-6)、(2-7)，分别两个相加，减去另一式再除以2，可得

R12R31

R1

R12R23R31



R12R23

R2 (2-8)

R12R23R31

R23R31

R3

R12R23R31

式(2-8)是Δ形联接的三个电阻等效变换为Ｙ形联接三个电阻的公式。

将式(2-8)两两相乘后相加，再除以其中一式，即可得到Ｙ形联接变换为Δ形联接等效电阻的公式。

R12R23R31

R1R2R2R3R3R1RRR1R212

R3R3R1R2R2R3R3R1RR

R2R323

R1R1R1R2R2R3R3R1RR

R1R331

R2R2





 (2-9) 

如果采用电导代替电阻，根据R

,R,R,R,R, GGGGG

R



。式(2-9)分别又可以写为 G

G12

G23

G1G2

G1G2G3G2G3

G1G2G3G3G1

G1G2G3

G31

式(2-9)三式和式(2-10)三式是等价的。



 (2-10) 

若Ｙ形联接三个电阻相等，即R1R2R3R，则等效变换为Δ形联接的三个电阻也相等，其值为R12R23R313R或写为

R△ = 3RY 或 RY =

1R△ 3

例2-3 如图2.8(a)所示电路，已知输入电压US = 32V，求电压U0。

解先将如图2.8 (a) 所示电路中，虚框内１Ω，１Ω，２Ω三个星形联接的电阻等效变换为R1，R2，R3三个三角形联接的电阻如图2.8(b)所示，其中

图2.8 例2-3题图 (c)

(a) (b)

图2. 8 例2-3题图

115

Ω 

2212

R2125Ω

112

R3125Ω

1R111

将图(b)虚框内的电阻串、并联后，简化为25/14Ω的等效电阻，如图(c)所示，由图(c)电路甚易求出U0 = 12.5V。

由上例分析得知，一个无源二端电阻电路可以用一个等效电阻表示。这个等效过程需要对电路中电阻进行串、并联或Δ形和Y形联接的等效变换来实现。此外，在计算等效电阻时，还会遇到电路中有等电位点，或某条支路没有电流的情况。这时，等电位点间可用短路线连接，没电流的支路可视为开路。这样处理后，可以简化电路的计算。

例2-4 在图2.9(a)所示电路中，已知US=9V，每个电阻R=1Ω，求ab右端电路的等效电阻及电流I。

US4 US

(a) (b)

图2.9 例2-4题图

解 ab右端电阻电路中，节点1、2，节点3、4，节点5、6，分别为等电位点，而且节点1和2之间、5和6之间的两条支路不可能有电流流过，可以将两条支路断开，再分别将等电位点短接，电路简化为图(b)电路，由此电路可以得到ab右端电路的等效电阻为

Req

1113

RRRR1.5R1.5Ω。 2222

US9

==6 A 。 eq故 I=

2.3 有源电路的等效变换

本节主要介绍独立源的串联和并联，受控源的串、并联及电源的等效变换等内容，并利用等效变换的方法，简化简单电路的计算问题。对一般含源电路的计算方法，将在第三章和第四章中介绍。

2.3.1 电压源的串联和电流源的并联

当几个电压源串联时，可以用一个等效电压源替代，如图2.10所示。这个等效电压源的电压等于各串联电压源电压的代数和，即

ususk (2-11)

k1

等效电压源uS中的电流仍为任意的。

(a) (b)

图2. 10 电压源串联

a b

在一般情况下，电压源是不能并联的。因为每个电压源都有一确定的电压，电压源并联与KVL不相容。只有电压大小和方向完全相同的电压源才能并联，并联后等效为一个电压源，此电压源的电压仍为原值，电流为任意值。

当n电流源并联时，可以用一个等效电流源来代替，如图2.11所示。这个电流源的

ia b

(a) (b)

图2.11 电流源并联

+ u -

电流等于各个并联电流源电流的代数和，即

iS

i

k1

(2-12)

等效电流源的端电压仍为任意值。

一般情况下，电流源不允许串联，因为这样与KCL相悖。独立的电压源和电流源相互串联是允许的。如图2.12(a)表示的是一个电压源与一个电流源串联电路。根据KCL得 i = iS，由KVL得u = us + 任意值 = 任意值。所以，等效电路的电压、电流关系(VCR)方程为

uSiS(a) (b) 图2. 12 电压源与电流源串联及等效电路

+ u -

对任意的 u (2-11) iiS

这个关系恰与独立电流源的VCR关系相吻合。于是电压源与电流源串联的等效电路仍为一个电流为is的电流源，如图2.12(b)所示电路。此时可视电压源为多余元件。同样，电阻R与电流源iS串联组合的电路，对外电路来说，R也视为一个多余元件，其等效电路仍为此电流源iS。

电压源与电流源也可以并联，如图2.13(a)所示，可以用一等效电压源来替代。因为电压源与电流源并联后的电压仍为电压源的电压，电流i等于iS 与任意值之和，也是任意值。电流源与电压源并联的VCR恰与电压源的VCR相同。此等效电路的电压源的电压为原电压源的电压uS，如图(b)所示电路。同理，若一个电阻R与电压源uS并联电路，则其等效电路仍为图2.13(b)所示电路。

2.3.2 实际电源模型的等效变换

一个实际电源在其内阻不容忽略时，其端电压将随输出电流的增大而下降。在正常工作范围内（其电流不超过额定值，否则会损害电源），电压和电流关系如图2.14所示近似为一条直线。

图2. 14 实际电源的及其伏安特性

u(a) (b)

图2.13 电压源与电流源并联等效电路

(a) (b)

现有一个电压源与一个电阻串联的组合支路，如图2.15(a)所示，按图示给定的电流、电压方向，其外特性方程为

uuSiR (2-12)

图2.15(b)是电压源与电阻串联的组合支路端电压u和电流i的特性曲线。此曲线与实际电源的特性曲线基本相同，由此可见电压源与电阻串联的组合支路可以作为实际电源的一种电路模型。

性方程为

iis

(a)

(b)

图2.15 电压源与电阻串联

图2.16(a)是一个电流源与电阻并联的组合支路，按图示的电压、电流方向，其外特

iisGu (2-13) R

图2.16(b)表示某时刻电流源与电阻并联的组合支路外特性曲线，可见，实际电源的另一种模型是电流源与电阻并联的组合支路。

u i

(a) (b)

图2. 16 电流源与电阻并联

这样，实际电源就有两种不同结构的电路模型。用两种模型来表示同一个实际电源，这两种模型应互为等效电路，即外特性方程应相等。比较式(2-12)和式(2-13)，得

usiS

iuiSRSSGR  (2-14) 或 (2-15)

1RG

GR

式(2-14)和式(2-15)为两种电路等效变换的条件。在这种条件下，电压源与电阻串联的组合支路和电流源与电阻并联的组合支路可以相互等效变换。例如已知一个电压源us与一

个电阻R串联的组合支路，可以用一个电流为路替代。反之也成立。

的电流源与一个电阻R并联组合的支R

因为两种电源模型等效，所以它们的特性曲线是重合的。图2.15(b)所示的外特性曲线在电压轴上的截距是一端口的开路(i = 0)电压us，在电流轴上的截距是一端口的短路(u = 0)电流

。图2.16(b)外特性曲线与电压轴交点是一端口的开路电压

isR，曲线

与电流轴交点为iS，即得

is,us

isR。对任意有独立源二端电路，只要算

出（或测得）它的开路电压或短路电流，就可以得到如图2.15(a)和2.16(a)电路中的任意一种等效电路。

这两种电源模型的等效变换，是指实际电源ab端子以外电路在变换前后，电流、电压及电功率不变，而对ab端子以内的电路不等效。若ab端开路，两种电源电路对外均不发出功率；对内电路来说，电压源与电阻串联的组合支路中的电压源的功率为零，电流源与电阻并联的组合支路中的电流源发出功率却为is2R，显然两种电源模型的内电路不等效。

电源的两种模型中，不论是电压源串电阻的组合形式，还是电流源并电阻的组合形式，均含有电阻，称这种电源为有伴电源，或分别称为有伴电压源和有伴电流源。例2-5 如图2.17所示电路，求电流i。

4Ω30

2Ω

4Ω30

(a)

(b)

i 4Ω30

(c)

(d)

图2. 17 例2-5题图

解利用电源等效变换，将图(a)中的10V和2Ω串联支路等效变换为如图(b)所示 5A和2Ω并联支路，再将5A和3A电流源并联为如图(c)所示的2A电流源，再将2Ω电阻与4A电流源并联支路、2Ω电阻与2A电流源并联支路分别等效为电压源串电阻的组合支路如图(d)所示，最后由图(d)得到电流

i

48

0.5A。

224

2.3.3 受控源的串、并联及等效变换

受控源和独立源虽有本质不同，但是在电路进行简化时，可以把受控源按独立源处理。前面介绍的独立源处理方法对受控源也适用。例如若干个受控电压源串联可用一个受控电压源等效，若干个受控电流源并联可以用一受控电流源等效。如图2.18(a)所示电路是有n个电压控制电压源串联，可以等效变化为一个电压控制电压源，如图2.18(b)所示，其等效电压控制电压源等于各个电压控制电压源的电压之和。

+ -

μ2u2

u

(a) (b)

图2. 18 受控电压源串联及等效电路

图2.19电路表示，n个电流控制电流源并联及其等效的一个电流控制电流源。

nin

α

kik



图2. 19 受控电源并联及等效电路

受控电压源与电阻串联的组合支路和受控电流源与电阻并联的组合支路，可以相互等效变换。一个电压控制电压源与电阻串联组合的支路，可以等效变换为一个电压控制电流源与电阻并联的组合支路。方法与独立电源变换方法雷同，读者可以自行得到有伴受控源的两种模型。

例2-6 图2.20是一个含受控源的一端口电路，求其最简等效电路。

解按上述的方法，先分别将两个有伴受控电流源等效变换为两个有伴电压源，如

(a)

i (b)

图2. 20例2-6题图

2.5 i

图(b)所示电路，其等效受控电压源的值分别为5i15i，10i110i，两个等效电阻分别为1Ω。再将两个串联受控电压源的电压相加，即5i10i5i，两个1Ω的电阻串联得到2Ω，其等效电路如图(c)所示电路。最后简化图(c)电路得到图(d)所示等效电路。

2.4 输入电阻的计算

一个不含独立电源的电阻一端口NR，如图2.21(a)所示，其输入电阻（或入端电阻）Rin的定义为

uRin

式中u和i是一端口的端口电压和电流，二者为关联参考方向。

通常，输入电阻的计算（或测量）采用外加电源的方法。在如图2.21(b)所示一端口的ab处，施加一电压为u的电压源（或电流为i的电流源），求出（或测得）端口的电流i（或电压u），然后计算u和i的比值，即可得输入电阻。此种求输入电阻的方法也

(a) (b)

图2. 21 一端口及输入电阻

称作电压、电流法，是测量无源电阻一端口电阻的常用方法。

由无源电阻电路的等效变换分析可知，无源电阻一端口可用一等效电阻Req来表示。由于等效电阻两端电压u、电流i的关系，与一端口两端的电压u、电流i的关系相同，故等效电阻Req等于输入电阻 Rin，所以等效电阻可以通过计算一端口的输入电阻Rin来获得。

当已知一端口内仅含电阻时，其等效电阻可以直接通过电阻的串、并联连接及Δ形Y等效变换计算得到，也可以由外加电源法，计算其输入电阻得到。如果一端口内含受控源时，由于受控源的电阻值是一个未知量，故不能直接用电阻的等效变换方法来计算其等效电阻，所以只能采用计算输入电阻的方法获得。

例2-7 求例2-6题图2.22的一端口电路的输入电阻Rin，并求其等效电路。

解先将图2.20(a)的ab端外加一电压为u的电压源，如图2.22(a)所示。再ab右端电路进行简化得到图2.22 (b)，由图2.22 (b)可得到

(a) (b)

图2. 22 例2-7题图

(c)

2.5 i

1Ω

Req

u(i2.5)11.5i

因此，该一端口输入电阻为

Rin

1.5Ω i

由此例可知，含受控源电阻电路的输入电阻也可能是负值，也可以为零。图2.22(a)等效电路为图2.23(b)所示电路，其等效电阻值为Req= Rin= -1.5Ω。例2-8 如图2.23(a)所示电路，利用电源等效变换求U0。

解在图2.23(a)中先将18V电压源与3Ω电阻串联的支路等效为电流等于6A的电流源与电阻等于3Ω的电阻并联组合的支路，再将3Ω，6Ω电阻并联后得图(b)所示电路。然后，将6A的电流源与2Ω电阻并联支路和2U受控

(a)

图2. 23 例2-8题图

方程得

(b)

图2. 23 例2-8题图 0

(c)

U0 -

电流源与1Ω电阻并联支路均等效变换为如图(c)所示电路，对图(c)电路的回路，应用KVL

U2U1I2I12UI

解得 U =2V U 0= 2U +U = 6V。

上式中的电压U0为图(c)中受控电压源与电阻串联支路两端的电压U0，也正是图(a)中受控电流源两端的电压U0，而不是图(c)中1Ω电阻两端电压。

例2-9 求图2.24单口电路的输入电阻Rin。

解设端口处的电压和电流分别为u和i，由“虚断路”特性，可得

R3 i3

i=i3，i2_i4，

由“虚短路”特性，u12=0，可得

R3i3=R4i4

因此

R3i_R4i2

即

图2. 24 例2-9题图

i2_(R3/R4)i

uR1iR2i2u12R1iR2i2R1i

RRu

R1_32 。 iR4

R2R3

i， R4

输入电阻为 Rin

第二章电阻电路的等效变换

本章提要：介绍电路等效变换的概念，无源电阻电路的等效变换，电源的等效变换，含受控源电阻电路的等效变换。输入电阻和等效电阻的计算。

2.1 电路等效变换的概念

图2.1 等效电路

2.2 无源电阻电路的等效变换

2图2. 2 电阻串联

各元件电流i相同，根据KVL可写出其外特性方程为

uuuunRiRiRni

对Ｎ2来说，其外特性方程为：

uRi

若Ｎ1和Ｎ2外特性相同，则称Ｎ1和N2等效，因此N1的串联等效电阻为

ReqRRK (2-1)

iK1

由式(2-1)可知，串联等效电阻Req值大于任一个串联电阻值。电阻串联时，第K个电阻上的电压为

uK

uReq

(k1,2,n) (2-2)

式(2-2)是一个分压公式，它表明n个电阻串联后总电压在每个电阻上的电压分配比例。

外特性方程为

ii1i2in

G1uG2uGnu (G1G2Gn)u

若N1和只有一个电阻（或电导）的N2电路等效，则它的等效电导为

GeqGG1G2Gn

可写为 Geq

G

K



或者 (2-3) ......

ReqRRRRnkRK

电阻并联连接时，电阻有分流作用，第K个电阻通过的电流为 ik

i (2-4)Geq

Req=

两个电阻的电流分别为

1+12

i

R

RR

i

R

RR

若在电阻连接中，既有串联连接的电阻，又有并联连接的电阻，称为串并联连接的

电阻或称混联连接的电阻。

例2-1 如图2.5所示电路，R1=12Ω，R2=6Ω，R3=R4 =R5 =2Ω，R6 = 1Ω，R7 =5Ω，求ab端等效电阻。

解此例题给定的电路是由电阻串、并联而成的。从右向左，先是R1和R2并联，其等效电阻为

R12

R3 和R4并联，其等效电阻为

126

4Ω

126

bΩ

Ω R341

R34与R6串联，其等效电阻为

R 346 = 1+1 =2Ω

图2. 5 例2-1题图

R346再与R5并联，其等效电阻1Ω，再与R12串联，等效电阻为5Ω，最后再与R7并联得ab端等效电阻Rab=2.5Ω。

例2-2 如图2.6所示电路，求各支路电流。

I 4

60Ω

图2.6 例2-2题图

解先求ab两端等效电阻Rab，然后求总电流I，再用分流公式，求其它支路电流。

Rde

3060

20Ω （30Ω与60Ω并联）

3060

Rdb201030Ω （10Ω与Rde串联） Rcb

15Ω （30Ω与Rdb并联） 2

Rab152540Ω （15Ω与Rcb并联）

根据欧姆定律得

I

根据分流公式得

1212

0.3 A Rab40

I2

3030

I0.30.15A

30Rdb3030

I10.15 A

I3

I20.10 A

306030

I4I20.05 A。

2.2.2 电阻Ｙ形与Δ形联接和等效变换

，u23u23，u31u31；i1i1，，i2i2端子间电压和电流分别对应相等，即u12u12

。由此条件可以导出Δ形联接和Ｙ形联接电阻等效变换的具体条件。为了简便起 i3i3



  u23

(a) (b)

图2.7 电阻Y形与Δ形联接

0时，Ｙ形联接电阻电路中，2、3端等效电阻等于Δ形联接电阻电路当i1=0和i1

的2、3端等效电阻，即

R2R3

(R12R31)R23

(2-5)

R12R23R31

0时，则有同理，当i2=0和i2

R1R3

(R12R23)R31

(2-6)

R12R23R31

0时，则有当i3=0和i3

R1R2

(R31R23)R12

(2-7)

R12R23R31

将式(2-5)、(2-6)、(2-7)，分别两个相加，减去另一式再除以2，可得

R12R31

R1

R12R23R31



R12R23

R2 (2-8)

R12R23R31

R23R31

R3

R12R23R31

式(2-8)是Δ形联接的三个电阻等效变换为Ｙ形联接三个电阻的公式。

将式(2-8)两两相乘后相加，再除以其中一式，即可得到Ｙ形联接变换为Δ形联接等效电阻的公式。

R12R23R31

R1R2R2R3R3R1RRR1R212

R3R3R1R2R2R3R3R1RR

R2R323

R1R1R1R2R2R3R3R1RR

R1R331

R2R2





 (2-9) 

如果采用电导代替电阻，根据R

,R,R,R,R, GGGGG

R



。式(2-9)分别又可以写为 G

G12

G23

G1G2

G1G2G3G2G3

G1G2G3G3G1

G1G2G3

G31

式(2-9)三式和式(2-10)三式是等价的。



 (2-10) 

若Ｙ形联接三个电阻相等，即R1R2R3R，则等效变换为Δ形联接的三个电阻也相等，其值为R12R23R313R或写为

R△ = 3RY 或 RY =

1R△ 3

例2-3 如图2.8(a)所示电路，已知输入电压US = 32V，求电压U0。

解先将如图2.8 (a) 所示电路中，虚框内１Ω，１Ω，２Ω三个星形联接的电阻等效变换为R1，R2，R3三个三角形联接的电阻如图2.8(b)所示，其中

图2.8 例2-3题图 (c)

(a) (b)

图2. 8 例2-3题图

115

Ω 

2212

R2125Ω

112

R3125Ω

1R111

将图(b)虚框内的电阻串、并联后，简化为25/14Ω的等效电阻，如图(c)所示，由图(c)电路甚易求出U0 = 12.5V。

例2-4 在图2.9(a)所示电路中，已知US=9V，每个电阻R=1Ω，求ab右端电路的等效电阻及电流I。

US4 US

(a) (b)

图2.9 例2-4题图

Req

1113

RRRR1.5R1.5Ω。 2222

US9

==6 A 。 eq故 I=

2.3 有源电路的等效变换

2.3.1 电压源的串联和电流源的并联

当几个电压源串联时，可以用一个等效电压源替代，如图2.10所示。这个等效电压源的电压等于各串联电压源电压的代数和，即

ususk (2-11)

k1

等效电压源uS中的电流仍为任意的。

(a) (b)

图2. 10 电压源串联

a b

当n电流源并联时，可以用一个等效电流源来代替，如图2.11所示。这个电流源的

ia b

(a) (b)

图2.11 电流源并联

+ u -

电流等于各个并联电流源电流的代数和，即

iS

i

k1

(2-12)

等效电流源的端电压仍为任意值。

uSiS(a) (b) 图2. 12 电压源与电流源串联及等效电路

+ u -

对任意的 u (2-11) iiS

2.3.2 实际电源模型的等效变换

图2. 14 实际电源的及其伏安特性

u(a) (b)

图2.13 电压源与电流源并联等效电路

(a) (b)

现有一个电压源与一个电阻串联的组合支路，如图2.15(a)所示，按图示给定的电流、电压方向，其外特性方程为

uuSiR (2-12)

性方程为

iis

(a)

(b)

图2.15 电压源与电阻串联

图2.16(a)是一个电流源与电阻并联的组合支路，按图示的电压、电流方向，其外特

iisGu (2-13) R

图2.16(b)表示某时刻电流源与电阻并联的组合支路外特性曲线，可见，实际电源的另一种模型是电流源与电阻并联的组合支路。

u i

(a) (b)

图2. 16 电流源与电阻并联

usiS

iuiSRSSGR  (2-14) 或 (2-15)

1RG

GR

个电阻R串联的组合支路，可以用一个电流为路替代。反之也成立。

的电流源与一个电阻R并联组合的支R

。图2.16(b)外特性曲线与电压轴交点是一端口的开路电压

isR，曲线

与电流轴交点为iS，即得

is,us

isR。对任意有独立源二端电路，只要算

出（或测得）它的开路电压或短路电流，就可以得到如图2.15(a)和2.16(a)电路中的任意一种等效电路。

4Ω30

2Ω

4Ω30

(a)

(b)

i 4Ω30

(c)

(d)

图2. 17 例2-5题图

i

48

0.5A。

224

2.3.3 受控源的串、并联及等效变换

+ -

μ2u2

u

(a) (b)

图2. 18 受控电压源串联及等效电路

图2.19电路表示，n个电流控制电流源并联及其等效的一个电流控制电流源。

nin

α

kik



图2. 19 受控电源并联及等效电路

例2-6 图2.20是一个含受控源的一端口电路，求其最简等效电路。

解按上述的方法，先分别将两个有伴受控电流源等效变换为两个有伴电压源，如

(a)

i (b)

图2. 20例2-6题图

2.5 i

2.4 输入电阻的计算

一个不含独立电源的电阻一端口NR，如图2.21(a)所示，其输入电阻（或入端电阻）Rin的定义为

uRin

式中u和i是一端口的端口电压和电流，二者为关联参考方向。

(a) (b)

图2. 21 一端口及输入电阻

称作电压、电流法，是测量无源电阻一端口电阻的常用方法。

例2-7 求例2-6题图2.22的一端口电路的输入电阻Rin，并求其等效电路。

解先将图2.20(a)的ab端外加一电压为u的电压源，如图2.22(a)所示。再ab右端电路进行简化得到图2.22 (b)，由图2.22 (b)可得到

(a) (b)

图2. 22 例2-7题图

(c)

2.5 i

1Ω

Req

u(i2.5)11.5i

因此，该一端口输入电阻为

Rin

1.5Ω i

(a)

图2. 23 例2-8题图

方程得

(b)

图2. 23 例2-8题图 0

(c)

U0 -

电流源与1Ω电阻并联支路均等效变换为如图(c)所示电路，对图(c)电路的回路，应用KVL

U2U1I2I12UI

解得 U =2V U 0= 2U +U = 6V。

上式中的电压U0为图(c)中受控电压源与电阻串联支路两端的电压U0，也正是图(a)中受控电流源两端的电压U0，而不是图(c)中1Ω电阻两端电压。

例2-9 求图2.24单口电路的输入电阻Rin。

解设端口处的电压和电流分别为u和i，由“虚断路”特性，可得

R3 i3

i=i3，i2_i4，

由“虚短路”特性，u12=0，可得

R3i3=R4i4

因此

R3i_R4i2

即

图2. 24 例2-9题图

i2_(R3/R4)i

uR1iR2i2u12R1iR2i2R1i

RRu

R1_32 。 iR4

R2R3

i， R4

输入电阻为 Rin

第二章电阻电路的等效变换

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