习 题
4-1 如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B 上作用水平力F ，此力位于平面ABC 内，作用线平分∠ABC 。设
AB =BC ，∠ABC =2θ，各处摩擦及杆重不计，试求物体所受的压
力。
图4-19
∑δW F =F δs B cos(90︒-θ) -F N δs C =0
δs B cos(2θ-90︒) =δs C cos(90︒-θ) δs B sin 2θ=δs C sin θ 虚位移原理
∑δW F =F δs B cos(90︒-θ) -F N δs C =0 F δs B sin θ-F N δs C =0
δs B sin 2θF
F N =F sin θ=F =tan θ
δs C sin(2θ) 2
4-2 如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M 。手轮轴的两端各有螺距同为h ，但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺母A 和B ，这两个螺母分别与长为l 的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图所示，此棱形框的点D 固定不动，而点C 连接在压缩机的水平压板上。试求当棱形
框的顶角等于2f 时，压缩机对被压物体的压力。 图4-20
δs A cos(90︒-2ϕ) =δs C cos ϕ 2δs A sin ϕ=δs C 而
δs A c o ϕs =
P
2π
δθ
δs P C
=2
2πcos ϕδθsin ϕ=P
π
δθtan ϕ 虚位移原理
∑δW F =M δθ-F N δs C =0 M δθ-F N ⨯P
π
δθtan ϕ=0 F M
N =π
P
cot ϕ
4-3 试求图4-21所示各式滑轮在平衡时F 的值，摩擦力及绳索质量不计。
图4-21
虚位移原理
∑δW F =-F δs B +G δs A =0
(a) δs G B =2δs A F =
2
(b) δs B =8δs A F =G 8
(c) δs B =6δs A F =G 6
(d) δs B =5δs A F =G 5
4-4 四铰连杆组成如图4-22所示的棱形ABCD ，受力如图，试求平衡时θ应等于多少？ 图4-22
δs B cos(90︒-2θ) =δs C cos θ 2δs B sin θ=δs C 虚位移原理
∑δW F =2F δs B cos θ-G δs C =0
2F δs B cos θ-G ⨯2δs B sin θ=0
F
=tan θ
G
4-5 在图4-23所示机构中，曲柄OA 上作用一力偶矩为
M 的力偶，滑块D 上作用一水平力F ，机构尺寸如图。已知OA =a ，CB =BD =l ，试求当机构平衡时F 与力偶矩M 之间的关
系。
图4-23
δs A cos θ=δs B cos 2θ
δs B cos(90︒-2θ) =δs D cos θ
δs A
cos θ
cos(90︒-2θ) =δs D cos θ cos 2θ
δs A tan 2θ=δs D
虚位移原理
∑δW F =M ⨯
δs A
-F δs D =0 a
M ⨯δs A
a
-F δs A tan 2θ=0
M =Fa tan 2θ
4-6 机构如图4-24所示，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 内移动。已知OC =a ，OK =l ，在点C 垂直于曲柄作用一力F 1，而在点B 沿BA 作用一力F 2。试求机构平衡时F 1和F 2的关系。
图4-24
y A =l tan ϕ δy A =l sec 2ϕδϕ 虚位移原理
∑δW F =-F 1a δϕ+F 2δy A =0
-F 1a δϕ+F 2l sec 2ϕδϕ=0
F 1a cos 2ϕ
F 2=
l
4-7 如图4-25所示，重物A 和B 的重量分别为G 1和G 2，联结在细绳的两端，分别放在倾斜面上，绳子绕过定滑轮与一动滑轮相连，动滑轮的轴上挂一重量为G 的重物C ，如不计摩擦，试求平衡时G 1和G 2的值。
图4-25
令δs 1≠0，δs 2=0， 则 得
F Q
1
∑δW F (1) =G 1δs 1s i ϕn -G
δs 1
2
∑δW F (1) G ==G 1sin ϕ- δs 12
∑δW F (2) =G 2δs 2sin θ-G
δs 2
2
令δs 2≠0，δs 1=0， 则 得
F Q
2
∑δW F (2) G ==G 2sin θ-
δs 22
令 F Q 1=0 F Q 2得
G 1=
G
2s i ϕn
=0 G 2=
G
2s i θn
4-8 如图4-26所示，重物A 和重物B 分别连结在细绳的两端，重物A 置放在粗糙的水平面上，重物B 绕过定滑轮铅垂悬挂，动滑轮H 的轴心上挂一重物C ，设重物A 重2G ，重物B 重G ，试求平衡时，重物C 的重量G 1以及重物A 和水平面间的滑动摩擦因数。
图4-26
令δs 1≠0，δs 2=0， 则 得
F Q
1
∑δW F (1) =G 1
δs 1
-μ⨯2G ⨯δs 1 2
(1)
∑δW F G ==1-2μG δs 12
令δs 2≠0，δs 1=0， 则 得
∑δW F (2) =G δs 2-G 1⨯
δs 2
2
F Q
2
∑δW F (2) G ==G -1 δs 22
令 F Q 1=0 F Q 2
=0
得 G 1=2G μ=0. 5
4-9 在图4-27所示机构中，OC =AC =BC =l ，已知在滑块A ，B 上分别作用在F 1，F 2，欲使机构在图示位置平衡。试求作用在曲柄OC 上的力矩M 。
图4-27
x B =2l cos ϕ y A =2l sin ϕ
δx B =-2l sin ϕδϕ δy A =2l cos ϕδϕ 虚位移原理
∑δW F =-M δϕ+F 1δy A -F 2δx B =0
-M δϕ+F 1⨯2l cos ϕδϕ-F 2⨯(-2l sin ϕδϕ) =0 -M +2F 1l cos ϕ+2F 2l sin ϕ=0 M =2l (F 1cos ϕ+2F 2sin ϕ)
4-10 半径为R 的圆轮可绕固定轴O 转动，如图4-28所示，杆AB 沿径向固结在轮上，杆端A 悬挂一重为G 的物体，当OA 在铅垂位置时弹簧为原长。设AB 与铅垂线的夹角为θ时系统处于平衡，试求弹簧刚性系数k 。
图4-28
y A =l cos θ δy A =-l sin θδθ ∑δW F =-G δy A -F k ⨯R δθ=0
Gl sin θδθ-kR θ⨯R δθ=0 Gl sin θ
k =2
R θ
4-11 公共汽车用于开启车门的机构如图4-29所示，已知O A =r ，O B =b ，O C =d ，BC =c ，设所有铰链均为光滑，且设
1
12
平稳缓慢开启，试求垂直于手柄OA 的力F 和门的阻力矩M 之间的关系。
图4-29
杆O 1A δr A
r =δr B b
δr B
=
b δr A
r
杆BC
δr B cos(90︒-ϕ-θ) =δr C cos[90︒-(ψ-θ)]
δr B sin(ϕ+θ) =δr C sin(ψ-θ)
虚位移原理
∑δW F =F δr A -M
δr C
=0 d
Fr sin(ψ-θ) M ⨯-=0 b sin(ϕ+θ) d Frd sin(ψ-θ)
M =
b sin(ϕ+θ)
4-12 桁架结构及所受载荷如图4-30所示，若已知铅垂载荷F ，试求1、2两杆的内力。
图4-30
求1杆的内力 虚位移原理
∑δW F =-F 1⨯d δϕ+F ⨯2d δϕcos 45︒=0 F 1=F
求2杆的内力 虚位移原理
∑δW F =-F 2⨯d δθcos 45︒+F ⨯d δθ=0
F 2=2F
4-13 试求图4-31所示连续梁的支座反力。设图中载荷，尺寸均为已知。
图4-31
求F A
δr C =δr A
虚位移原理
∑δW F =F A δr A -M ⨯F A =
M
-ql 2l
δr C 1
+⨯q ⨯(2l ) ⨯δr C =0 2l 2
求F B
虚位移原理
δr C =2δr B
∑δW F =-F B δr B +F δr B -M ⨯-F B +F -
M
+2ql =0 l
δr C 1
+⨯q ⨯(2l ) ⨯δr C =0 2l 2
F B =F +2ql -
M l
求F D
虚位移原理
∑δW F =-F D δr D +M ⨯F D =
M
+ql 2l
δr D 1
+⨯q ⨯(2l ) ⨯δr D =0 2l 2
4-14 一组合结构如图4-32所示，已知F 1＝4kN ，F 2＝5kN ，求杆1的内力。
图4-32
给杆AC 一个虚位移δϕ 则
δr 1=3δϕ δr 2虚位移原理
=2δϕ
δr D =δr E =5δϕ
∑δW F =-F N 1δr D sin θ-F N 1δr E sin θ+F 1δr 1+F 2δr 2=0 -10F N 1δϕsin θ+3F 1δϕ+2F 2δϕ=0
3
-10F N 1+3F 1+2F 2=0
5
3F +2F 22211F N 1=1==kN
663
4-15 四根杆用铰连接组成平行四边形ABCD ，如图4-33所示，其中AC 和BD 用绳连接，绳中张力为F AC 和F BD , 试证：
F AC /F BD =AC /BD
图4-33
解法一
x B =l cos ϕ y B =l sin ϕ
δx B =-l sin ϕδϕ δy B =l cos ϕδϕ δx C =δx B δy C =δy B
虚位移原理
∑δW F =-F AC δx C cos ϕ1-F AC δy C sin ϕ1+F BD δx B cos ϕ2-F BD δy B sin ϕ2=0
F AC δx B cos ϕ2-δy B sin ϕ2-l sin ϕcos ϕ2-l cos ϕsin ϕ2
==
-l sin ϕcos ϕ1+l cos ϕsin ϕ1F BD δx B cos ϕ1+δy B sin ϕ1
sin(ϕ+ϕ2)
=
sin(ϕ-ϕ1)
而在∆AEB 中
AC AE sin[180︒-(ϕ+ϕ2)]sin(ϕ+ϕ2)
===
BD BE sin(ϕ-ϕ1) sin(ϕ-ϕ1)
故
F AC AC
=
F BD BD
解法二
习 题
4-1 如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B 上作用水平力F ，此力位于平面ABC 内，作用线平分∠ABC 。设
AB =BC ，∠ABC =2θ，各处摩擦及杆重不计，试求物体所受的压
力。
图4-19
∑δW F =F δs B cos(90︒-θ) -F N δs C =0
δs B cos(2θ-90︒) =δs C cos(90︒-θ) δs B sin 2θ=δs C sin θ 虚位移原理
∑δW F =F δs B cos(90︒-θ) -F N δs C =0 F δs B sin θ-F N δs C =0
δs B sin 2θF
F N =F sin θ=F =tan θ
δs C sin(2θ) 2
4-2 如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M 。手轮轴的两端各有螺距同为h ，但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺母A 和B ，这两个螺母分别与长为l 的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图所示，此棱形框的点D 固定不动，而点C 连接在压缩机的水平压板上。试求当棱形
框的顶角等于2f 时，压缩机对被压物体的压力。 图4-20
δs A cos(90︒-2ϕ) =δs C cos ϕ 2δs A sin ϕ=δs C 而
δs A c o ϕs =
P
2π
δθ
δs P C
=2
2πcos ϕδθsin ϕ=P
π
δθtan ϕ 虚位移原理
∑δW F =M δθ-F N δs C =0 M δθ-F N ⨯P
π
δθtan ϕ=0 F M
N =π
P
cot ϕ
4-3 试求图4-21所示各式滑轮在平衡时F 的值，摩擦力及绳索质量不计。
图4-21
虚位移原理
∑δW F =-F δs B +G δs A =0
(a) δs G B =2δs A F =
2
(b) δs B =8δs A F =G 8
(c) δs B =6δs A F =G 6
(d) δs B =5δs A F =G 5
4-4 四铰连杆组成如图4-22所示的棱形ABCD ，受力如图，试求平衡时θ应等于多少？ 图4-22
δs B cos(90︒-2θ) =δs C cos θ 2δs B sin θ=δs C 虚位移原理
∑δW F =2F δs B cos θ-G δs C =0
2F δs B cos θ-G ⨯2δs B sin θ=0
F
=tan θ
G
4-5 在图4-23所示机构中，曲柄OA 上作用一力偶矩为
M 的力偶，滑块D 上作用一水平力F ，机构尺寸如图。已知OA =a ，CB =BD =l ，试求当机构平衡时F 与力偶矩M 之间的关
系。
图4-23
δs A cos θ=δs B cos 2θ
δs B cos(90︒-2θ) =δs D cos θ
δs A
cos θ
cos(90︒-2θ) =δs D cos θ cos 2θ
δs A tan 2θ=δs D
虚位移原理
∑δW F =M ⨯
δs A
-F δs D =0 a
M ⨯δs A
a
-F δs A tan 2θ=0
M =Fa tan 2θ
4-6 机构如图4-24所示，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 内移动。已知OC =a ，OK =l ，在点C 垂直于曲柄作用一力F 1，而在点B 沿BA 作用一力F 2。试求机构平衡时F 1和F 2的关系。
图4-24
y A =l tan ϕ δy A =l sec 2ϕδϕ 虚位移原理
∑δW F =-F 1a δϕ+F 2δy A =0
-F 1a δϕ+F 2l sec 2ϕδϕ=0
F 1a cos 2ϕ
F 2=
l
4-7 如图4-25所示，重物A 和B 的重量分别为G 1和G 2，联结在细绳的两端，分别放在倾斜面上，绳子绕过定滑轮与一动滑轮相连，动滑轮的轴上挂一重量为G 的重物C ，如不计摩擦，试求平衡时G 1和G 2的值。
图4-25
令δs 1≠0，δs 2=0， 则 得
F Q
1
∑δW F (1) =G 1δs 1s i ϕn -G
δs 1
2
∑δW F (1) G ==G 1sin ϕ- δs 12
∑δW F (2) =G 2δs 2sin θ-G
δs 2
2
令δs 2≠0，δs 1=0， 则 得
F Q
2
∑δW F (2) G ==G 2sin θ-
δs 22
令 F Q 1=0 F Q 2得
G 1=
G
2s i ϕn
=0 G 2=
G
2s i θn
4-8 如图4-26所示，重物A 和重物B 分别连结在细绳的两端，重物A 置放在粗糙的水平面上，重物B 绕过定滑轮铅垂悬挂，动滑轮H 的轴心上挂一重物C ，设重物A 重2G ，重物B 重G ，试求平衡时，重物C 的重量G 1以及重物A 和水平面间的滑动摩擦因数。
图4-26
令δs 1≠0，δs 2=0， 则 得
F Q
1
∑δW F (1) =G 1
δs 1
-μ⨯2G ⨯δs 1 2
(1)
∑δW F G ==1-2μG δs 12
令δs 2≠0，δs 1=0， 则 得
∑δW F (2) =G δs 2-G 1⨯
δs 2
2
F Q
2
∑δW F (2) G ==G -1 δs 22
令 F Q 1=0 F Q 2
=0
得 G 1=2G μ=0. 5
4-9 在图4-27所示机构中，OC =AC =BC =l ，已知在滑块A ，B 上分别作用在F 1，F 2，欲使机构在图示位置平衡。试求作用在曲柄OC 上的力矩M 。
图4-27
x B =2l cos ϕ y A =2l sin ϕ
δx B =-2l sin ϕδϕ δy A =2l cos ϕδϕ 虚位移原理
∑δW F =-M δϕ+F 1δy A -F 2δx B =0
-M δϕ+F 1⨯2l cos ϕδϕ-F 2⨯(-2l sin ϕδϕ) =0 -M +2F 1l cos ϕ+2F 2l sin ϕ=0 M =2l (F 1cos ϕ+2F 2sin ϕ)
4-10 半径为R 的圆轮可绕固定轴O 转动，如图4-28所示，杆AB 沿径向固结在轮上，杆端A 悬挂一重为G 的物体，当OA 在铅垂位置时弹簧为原长。设AB 与铅垂线的夹角为θ时系统处于平衡，试求弹簧刚性系数k 。
图4-28
y A =l cos θ δy A =-l sin θδθ ∑δW F =-G δy A -F k ⨯R δθ=0
Gl sin θδθ-kR θ⨯R δθ=0 Gl sin θ
k =2
R θ
4-11 公共汽车用于开启车门的机构如图4-29所示，已知O A =r ，O B =b ，O C =d ，BC =c ，设所有铰链均为光滑，且设
1
12
平稳缓慢开启，试求垂直于手柄OA 的力F 和门的阻力矩M 之间的关系。
图4-29
杆O 1A δr A
r =δr B b
δr B
=
b δr A
r
杆BC
δr B cos(90︒-ϕ-θ) =δr C cos[90︒-(ψ-θ)]
δr B sin(ϕ+θ) =δr C sin(ψ-θ)
虚位移原理
∑δW F =F δr A -M
δr C
=0 d
Fr sin(ψ-θ) M ⨯-=0 b sin(ϕ+θ) d Frd sin(ψ-θ)
M =
b sin(ϕ+θ)
4-12 桁架结构及所受载荷如图4-30所示，若已知铅垂载荷F ，试求1、2两杆的内力。
图4-30
求1杆的内力 虚位移原理
∑δW F =-F 1⨯d δϕ+F ⨯2d δϕcos 45︒=0 F 1=F
求2杆的内力 虚位移原理
∑δW F =-F 2⨯d δθcos 45︒+F ⨯d δθ=0
F 2=2F
4-13 试求图4-31所示连续梁的支座反力。设图中载荷，尺寸均为已知。
图4-31
求F A
δr C =δr A
虚位移原理
∑δW F =F A δr A -M ⨯F A =
M
-ql 2l
δr C 1
+⨯q ⨯(2l ) ⨯δr C =0 2l 2
求F B
虚位移原理
δr C =2δr B
∑δW F =-F B δr B +F δr B -M ⨯-F B +F -
M
+2ql =0 l
δr C 1
+⨯q ⨯(2l ) ⨯δr C =0 2l 2
F B =F +2ql -
M l
求F D
虚位移原理
∑δW F =-F D δr D +M ⨯F D =
M
+ql 2l
δr D 1
+⨯q ⨯(2l ) ⨯δr D =0 2l 2
4-14 一组合结构如图4-32所示，已知F 1＝4kN ，F 2＝5kN ，求杆1的内力。
图4-32
给杆AC 一个虚位移δϕ 则
δr 1=3δϕ δr 2虚位移原理
=2δϕ
δr D =δr E =5δϕ
∑δW F =-F N 1δr D sin θ-F N 1δr E sin θ+F 1δr 1+F 2δr 2=0 -10F N 1δϕsin θ+3F 1δϕ+2F 2δϕ=0
3
-10F N 1+3F 1+2F 2=0
5
3F +2F 22211F N 1=1==kN
663
4-15 四根杆用铰连接组成平行四边形ABCD ，如图4-33所示，其中AC 和BD 用绳连接，绳中张力为F AC 和F BD , 试证：
F AC /F BD =AC /BD
图4-33
解法一
x B =l cos ϕ y B =l sin ϕ
δx B =-l sin ϕδϕ δy B =l cos ϕδϕ δx C =δx B δy C =δy B
虚位移原理
∑δW F =-F AC δx C cos ϕ1-F AC δy C sin ϕ1+F BD δx B cos ϕ2-F BD δy B sin ϕ2=0
F AC δx B cos ϕ2-δy B sin ϕ2-l sin ϕcos ϕ2-l cos ϕsin ϕ2
==
-l sin ϕcos ϕ1+l cos ϕsin ϕ1F BD δx B cos ϕ1+δy B sin ϕ1
sin(ϕ+ϕ2)
=
sin(ϕ-ϕ1)
而在∆AEB 中
AC AE sin[180︒-(ϕ+ϕ2)]sin(ϕ+ϕ2)
===
BD BE sin(ϕ-ϕ1) sin(ϕ-ϕ1)
故
F AC AC
=
F BD BD
解法二