【摘要】本文以磁悬浮轴承控制系统为对象，基于电磁分析理论和力学原理，建立了其动态数学模型，并对该对象模型进行了分析。根据线性自抗扰控制器的基本算法原理，提出了线性自抗扰控制器的仿真实现算法。仿真结果表明所提算法改善了系统的动静态性能，提高了响应速度和控制精度。
【关键词】磁悬浮轴承；控制策略；线性自抗扰控制
磁悬浮轴承是一种新型机电一体化环保产品，发热少，功耗低，因而实际应用十分广泛。但其对象本身是不稳定的，必须设计合适的控制策略，以确保系统具有良好的稳态和动态性能。
现有文献中对于磁悬浮轴承控制系统的控制策略设计问题，方法众多涵盖经典传统控制理论、现代控制理论，以及各种先进智能控制策略。PID控制器自产生以来，一直是工业生产过程中应用最广、也是最成熟的控制器。目前大多数工业控制器都是PID控制器或其改进型。
磁悬浮轴承控制系统的现有控制策略设计主要围绕PID控制器，随着计算机技术的发展，滑模变结构控制、人工神经网络控制、遗传算法、鲁棒控制、非线性控制、滑模控制等各种先进或智能控制策略均已广泛成功应用于磁悬浮轴承的主动控制中。本文在前人工作的基础上，探索磁悬浮轴承控制系统的控制策略设计问题，探讨线性自抗扰控制器（ADRC）在磁悬浮轴承转子位移控制中应用的可行性。本文的控制策略主要针对单自由度磁悬浮系统，其结构简单，性能评判相对容易、研究周期短，并且设计得到的控制器可以很容易地扩展到多自由度磁悬浮系统的研究。
1.磁悬浮轴承控制系统的模型
磁悬浮轴承控制系统主要包括五个部分，有作为核心悬浮部件的转子，作为驱动转子运动的装置电磁铁，检测转子位移信号的传感器，实现各种控制策略的控制器，对控制信号进行放大的功率放大器。磁轴承系统是一个非常复杂的机电一体化系统，用数学模型精确地描述是非常困难的，一般都采用在平衡点附近进行分析，再进行线性化处理。
在不考虑五自由度之间耦合的情况下，只需进行单自由度的分析，如图1所示。
图1中，通过位移传感器实时检测出轴承的位移信息，然后将该位移反馈信号馈送至控制器，控制器按照一定的控制规律分析计算出控制指令，并通过功率放大器放大该控制信号，最后通过电磁铁产生所需要的悬浮力，使转子稳定悬浮在给定的位置上。
根据电磁力学基本原理，很容易得到X方向的合力为：
（1）
采用Laplace变换即得从输入电流Ix（s）到转子位移X（s）的传递函数为：
（2）
某磁悬浮轴承控制系统实例其对象参数取值列表见表1。
基于推导的数学模型（2），代入表1所示的参数，即得到其对象的数学模型为：
（3）
2.线性自抗扰控制器基本原理
线性ADRC的核心思想就是通过设计一个扩张状态观测器以实时估计对象模型中的全部扰动（内扰和外扰），并设计PD状态反馈控制器消除该扰动对系统输出的影响。它将韩京清研究员提出的自抗扰控制策略简化为只需通过整定2个参数：控制器带宽wc、观测器带宽wo就能实现对扰动的实时观测和实时补偿。
考虑一个典型的二阶被控对象：
（4）
上式中，y为被控对象的输出变量，、分别为其对时间t的一阶导和二阶导，u是被控对象的输入变量也即控制器的输出变量，为其对时间t的一阶导。w是被控对象的外部扰动。b是被控对象的参数，一般可以通过试验的方法很容易获取得到，是总扰动，既包括了被控对象内部扰动：对象模型的不确定性，又包括了外部扰动w。
3.基于线性自抗扰控制器的磁悬浮轴承控制系统设计及仿真
3.1 基于线性自抗扰控制器的磁悬浮轴承控制系统设计
由公式（3）考虑到执行机构和传感器环节的传递函数，等价对象传递函数表示为：
（5）
将式（5）两边对角相乘，根据二阶对象标准形式，对比上两式就立知参数b为：b=3.3*179.86*8000，为简便起见，假定b0是b的准确估计，这可以通过试验确定。通过多次仿真调试，反复调试后选取：wc=360000，wo=20000。
3.2 基于线性自抗扰控制器的磁悬浮轴承控制系统仿真
采用线性ADRC的磁悬浮轴承控制系统Matlab/Simulink仿真框图如图2所示。
采用所提出的线性ADRC控制策略和整定参数，得到磁悬浮轴承控制系统的单位阶跃响应曲线如图3所示。
图3表明，采用所提出的线性自抗扰控制器，磁悬浮轴承控制系统取得满意的单位阶跃响应曲线，超调量为0.0354%几乎可以忽略不计，上升时间为1.13e-5s，调节时间1.62e-5s，稳态误差为0.0001，控制性能十分良好。
采用线性ADRC控制策略和整定参数，在系统中存在扰动时得到磁悬浮轴承控制系统的单位阶跃响应曲线如图4所示。
图4表明，采用线性ADRC控制策略和整定参数，磁悬浮轴承控制系统的最大位移偏移为3.66e-5m，能满足实际系统需要。
针对磁悬浮轴承控制系统被控对象，分别采用线性自抗扰控制及其控制参数，文献[3]中所提出的最佳PD控制参数（Kp=20，Kd=0.02），以及临界比例带法整定得到的PID控制参数（Kp=1200，Ti=0.33×10-4，Td=8.25×10-6），进行仿真比较，仿真结果如图5和图6所示。
图5和图6表明，采用所提出的线性自抗扰控制器策略，比PD控制器和PID控制器性能都要好。图5表明PD控制器调节时间过长，而线性自抗扰控制器的调节时间大大减少，图6表明PID控制器超调量过大且调节时间过长，而采用线性自抗扰控制器后超调量大大减少，调节时间也显著减少。
由此可见，采用所提出的线性自抗扰控制策略，磁悬浮轴承控制系统可获得更好的设定值跟踪能力和扰动性能，得到满意的控制性能。这也验证了线性自抗扰控制策略在磁悬浮轴承控制系统中应用的可行性、有效性和优越性。
4.小结
采用线性自抗扰控制策略，应用于磁悬浮轴承控制系统，并与之前提出的PD控制器和临界比例带法整定的PID控制器效果进行了仿真对比，可得出如下结论：
（1）线性自抗扰控制器适合于磁悬浮轴承这样的不稳定对象；
（2）基于线性自抗扰控制的磁悬浮轴承控制系统动态性能比采用传统的PD和PID控制器的性能要好，上升时间缩短，调节速度加快，超调量显著减少，能够满足磁悬浮轴承控制系统响应速度要求快的要求；
（3）基于线性自抗扰控制的磁悬浮轴承控制系统稳态控制精度高，能够实现无差调节，能够满足磁悬浮轴承控制系统控制精度要求高的要求；
（4）系统抗干扰能力强，鲁棒性和自适应能力强，能实现稳定控制。
参考文献
[1]丁艳，蒋兴奇，陈於学.机床主轴及轴承技术的最新发展趋势[J].轴承，2006，13（4）：43-47.
[2]赵雷.可控磁悬浮轴承——转子系统的理论与实验研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学机械工程系，2009.
[3]高歌，徐诗冰，汪希平.基于ANSYS的电磁轴承径向磁场分布及特性分析[J].上海工程技术大学学报，2011，25（3）：195-198.
[4]何晓凤，邬清海.磁悬浮轴承磁路结构分析与数学模型建立方法[J].轴承，2011， 10（12）：54-58.
[5]曹建荣，虞烈，谢友柏.主动磁悬浮轴承的解耦控制[J].西安交通大学学报，2010， 33（12）：46-50.
[6]张静，姚小伟，武俊峰.磁悬浮系统的模糊控制研究[J].哈尔滨理工大学学报，2006， 11（6）：1-4.
[7]刘迎澍.磁悬浮轴承的变结构控制研究[D].天津大学机械工程学院，1999.
【摘要】本文以磁悬浮轴承控制系统为对象，基于电磁分析理论和力学原理，建立了其动态数学模型，并对该对象模型进行了分析。根据线性自抗扰控制器的基本算法原理，提出了线性自抗扰控制器的仿真实现算法。仿真结果表明所提算法改善了系统的动静态性能，提高了响应速度和控制精度。
【关键词】磁悬浮轴承；控制策略；线性自抗扰控制
磁悬浮轴承是一种新型机电一体化环保产品，发热少，功耗低，因而实际应用十分广泛。但其对象本身是不稳定的，必须设计合适的控制策略，以确保系统具有良好的稳态和动态性能。
现有文献中对于磁悬浮轴承控制系统的控制策略设计问题，方法众多涵盖经典传统控制理论、现代控制理论，以及各种先进智能控制策略。PID控制器自产生以来，一直是工业生产过程中应用最广、也是最成熟的控制器。目前大多数工业控制器都是PID控制器或其改进型。
磁悬浮轴承控制系统的现有控制策略设计主要围绕PID控制器，随着计算机技术的发展，滑模变结构控制、人工神经网络控制、遗传算法、鲁棒控制、非线性控制、滑模控制等各种先进或智能控制策略均已广泛成功应用于磁悬浮轴承的主动控制中。本文在前人工作的基础上，探索磁悬浮轴承控制系统的控制策略设计问题，探讨线性自抗扰控制器（ADRC）在磁悬浮轴承转子位移控制中应用的可行性。本文的控制策略主要针对单自由度磁悬浮系统，其结构简单，性能评判相对容易、研究周期短，并且设计得到的控制器可以很容易地扩展到多自由度磁悬浮系统的研究。
1.磁悬浮轴承控制系统的模型
磁悬浮轴承控制系统主要包括五个部分，有作为核心悬浮部件的转子，作为驱动转子运动的装置电磁铁，检测转子位移信号的传感器，实现各种控制策略的控制器，对控制信号进行放大的功率放大器。磁轴承系统是一个非常复杂的机电一体化系统，用数学模型精确地描述是非常困难的，一般都采用在平衡点附近进行分析，再进行线性化处理。
在不考虑五自由度之间耦合的情况下，只需进行单自由度的分析，如图1所示。
图1中，通过位移传感器实时检测出轴承的位移信息，然后将该位移反馈信号馈送至控制器，控制器按照一定的控制规律分析计算出控制指令，并通过功率放大器放大该控制信号，最后通过电磁铁产生所需要的悬浮力，使转子稳定悬浮在给定的位置上。
根据电磁力学基本原理，很容易得到X方向的合力为：
（1）
采用Laplace变换即得从输入电流Ix（s）到转子位移X（s）的传递函数为：
（2）
某磁悬浮轴承控制系统实例其对象参数取值列表见表1。
基于推导的数学模型（2），代入表1所示的参数，即得到其对象的数学模型为：
（3）
2.线性自抗扰控制器基本原理
线性ADRC的核心思想就是通过设计一个扩张状态观测器以实时估计对象模型中的全部扰动（内扰和外扰），并设计PD状态反馈控制器消除该扰动对系统输出的影响。它将韩京清研究员提出的自抗扰控制策略简化为只需通过整定2个参数：控制器带宽wc、观测器带宽wo就能实现对扰动的实时观测和实时补偿。
考虑一个典型的二阶被控对象：
（4）
上式中，y为被控对象的输出变量，、分别为其对时间t的一阶导和二阶导，u是被控对象的输入变量也即控制器的输出变量，为其对时间t的一阶导。w是被控对象的外部扰动。b是被控对象的参数，一般可以通过试验的方法很容易获取得到，是总扰动，既包括了被控对象内部扰动：对象模型的不确定性，又包括了外部扰动w。
3.基于线性自抗扰控制器的磁悬浮轴承控制系统设计及仿真
3.1 基于线性自抗扰控制器的磁悬浮轴承控制系统设计
由公式（3）考虑到执行机构和传感器环节的传递函数，等价对象传递函数表示为：
（5）
将式（5）两边对角相乘，根据二阶对象标准形式，对比上两式就立知参数b为：b=3.3*179.86*8000，为简便起见，假定b0是b的准确估计，这可以通过试验确定。通过多次仿真调试，反复调试后选取：wc=360000，wo=20000。
3.2 基于线性自抗扰控制器的磁悬浮轴承控制系统仿真
采用线性ADRC的磁悬浮轴承控制系统Matlab/Simulink仿真框图如图2所示。
采用所提出的线性ADRC控制策略和整定参数，得到磁悬浮轴承控制系统的单位阶跃响应曲线如图3所示。
图3表明，采用所提出的线性自抗扰控制器，磁悬浮轴承控制系统取得满意的单位阶跃响应曲线，超调量为0.0354%几乎可以忽略不计，上升时间为1.13e-5s，调节时间1.62e-5s，稳态误差为0.0001，控制性能十分良好。
采用线性ADRC控制策略和整定参数，在系统中存在扰动时得到磁悬浮轴承控制系统的单位阶跃响应曲线如图4所示。
图4表明，采用线性ADRC控制策略和整定参数，磁悬浮轴承控制系统的最大位移偏移为3.66e-5m，能满足实际系统需要。
针对磁悬浮轴承控制系统被控对象，分别采用线性自抗扰控制及其控制参数，文献[3]中所提出的最佳PD控制参数（Kp=20，Kd=0.02），以及临界比例带法整定得到的PID控制参数（Kp=1200，Ti=0.33×10-4，Td=8.25×10-6），进行仿真比较，仿真结果如图5和图6所示。
图5和图6表明，采用所提出的线性自抗扰控制器策略，比PD控制器和PID控制器性能都要好。图5表明PD控制器调节时间过长，而线性自抗扰控制器的调节时间大大减少，图6表明PID控制器超调量过大且调节时间过长，而采用线性自抗扰控制器后超调量大大减少，调节时间也显著减少。
由此可见，采用所提出的线性自抗扰控制策略，磁悬浮轴承控制系统可获得更好的设定值跟踪能力和扰动性能，得到满意的控制性能。这也验证了线性自抗扰控制策略在磁悬浮轴承控制系统中应用的可行性、有效性和优越性。
4.小结
采用线性自抗扰控制策略，应用于磁悬浮轴承控制系统，并与之前提出的PD控制器和临界比例带法整定的PID控制器效果进行了仿真对比，可得出如下结论：
（1）线性自抗扰控制器适合于磁悬浮轴承这样的不稳定对象；
（2）基于线性自抗扰控制的磁悬浮轴承控制系统动态性能比采用传统的PD和PID控制器的性能要好，上升时间缩短，调节速度加快，超调量显著减少，能够满足磁悬浮轴承控制系统响应速度要求快的要求；
（3）基于线性自抗扰控制的磁悬浮轴承控制系统稳态控制精度高，能够实现无差调节，能够满足磁悬浮轴承控制系统控制精度要求高的要求；
（4）系统抗干扰能力强，鲁棒性和自适应能力强，能实现稳定控制。
参考文献
[1]丁艳，蒋兴奇，陈於学.机床主轴及轴承技术的最新发展趋势[J].轴承，2006，13（4）：43-47.
[2]赵雷.可控磁悬浮轴承——转子系统的理论与实验研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学机械工程系，2009.
[3]高歌，徐诗冰，汪希平.基于ANSYS的电磁轴承径向磁场分布及特性分析[J].上海工程技术大学学报，2011，25（3）：195-198.
[4]何晓凤，邬清海.磁悬浮轴承磁路结构分析与数学模型建立方法[J].轴承，2011， 10（12）：54-58.
[5]曹建荣，虞烈，谢友柏.主动磁悬浮轴承的解耦控制[J].西安交通大学学报，2010， 33（12）：46-50.
[6]张静，姚小伟，武俊峰.磁悬浮系统的模糊控制研究[J].哈尔滨理工大学学报，2006， 11（6）：1-4.
[7]刘迎澍.磁悬浮轴承的变结构控制研究[D].天津大学机械工程学院，1999.