一、填空题 (共30分，每填对一空得3分)
2n +3n 13x 2+2x +1n
= ． ) =lim 2 (1) lim (
x →∞x +sin 2x n →+∞5
(2) 曲线y =x n (n ∈N +) 在点(1,1)处的切线方程为 记该切线与x 轴的交点为(ξn ,0) ，则lim ξn n =．
n →+∞
⎧x =t 2+2t d y d 2y
=，2= (3) 设⎨，则d x d x ⎩y =ln(1+t ) (4) cos 2x 的Maclaurin （麦克劳林）公式为
cos 2x =+o(x 5) ，
设g (x ) =x 2cos 2x ，则g (4)(0)=．
(5) 当x →0时，f (x ) =tan 2x -x 2是x 的，
f '''(0)=
二、选择题 (每题4分, 共20分)
(1) 以下极限计算中正确的是 ．
11
A．lim x sin =1； B．lim sin x =0；
x →0x →∞x x
111
C ．lim sin =∞； D ．lim sin x =1．
x →0x x →∞x x
(2) 函数f (x ) =
x ⋅sin(x -2) x (x -1)(x -2)
2
在下列哪一个区间内有界？
A ．(-1,0) ； B．(0,1)； C ．(1,2) ； D．(2,3)．
(3) 对于定义在(-1,1) 上的函数f (x ) ，下列命题中正确的是．
A ．如果当x 0时f '(x ) >0，则f (0)为f (x ) 的极小值； B ．如果f (0)为f (x ) 的极大值，则存在0
在(0,δ) 内单调减少；
C ．如果f (x ) 为偶函数，则f (0)为f (x ) 的极值； D ．如果f (x ) 为偶函数且可导，则f '(0)=0．
ln(1+x ) -(ax +bx 2)
=2，则 (4) 若lim
x →0x 2
55A ．a =1, b =-； B．a =1, b =；
22
C ．a =1, b =-2； D．a =0, b =2．
f '(x )
=-1，则 ．
x →01-cos x
(5) 设函数f (x ) 在点x =0的某邻域内三阶可导，且lim
A ．f (0)为f (x ) 的一个极大值； B ．f (0)为f (x ) 的一个极小值； C ．f '(0)为f '(x ) 的一个极大值； D ．f '(0)为f '(x ) 的一个极小值．
三、（10分）已知函数 y =y (x ) 由方程 x 2y 2+y =1(y >0) 确定，求并求y =y (x ) 的极值．
d y ， d x
e x -e sin x
四、（10分） 求极限 lim ．
x →0x ln(1+x ) -x 2+sin 6x
x , x ≤0⎧⎪
五、（10分） 已知函数f (x ) =⎨a +b cos x 在点x =0处可导，求常数a 和b ．
, x >0⎪ x ⎩
六、（10分）（1）证明：
1（2）设 u n =1++
2
111
+-ln n (n ∈N +) ，证明数列{u n }收敛． n
七、（10分） 设函数f (x ) 在[0,π]上连续，在(0,π) 内可导，f (0)=0，证明：至少存在一点
ξ
ξ∈(0,π) ，使 2f '(ξ) =tan ⋅f (ξ) ．
2
A 卷答案
一、填空题 (共30分，每填对一空得3分)
2n +3n 1
) n = (1) lim (
n →+∞5
3
3x 2+2x +1
=； lim 2
x →∞x +sin 2x
3．
y -1=n (x -1)
(2) 曲线y =x n (n ∈N +) 在点(1,1)处的切线方程为交点为(ξn ,0) ，则lim ξn n =
n →+∞
，记该切线与x 轴的
e -1
．
12(t +1) 2
d 2y ，2=d x
-12(t +1) 4
⎧x =t 2+2t d y
= (3) 设⎨，则d x ⎩y =ln(1+t )
．
(4) cos 2x 的Maclaurin （麦克劳林）公式为 cos 2x =设g (x ) =x 2cos 2x ，则g (4)(0)=
-48
(2x ) 2(2x ) 4
1-+
2! 4!
+o(x 5) ，
．
4
(5) 当x →0时，f (x ) =tan 2x -x 2是x 的
二、选择题 (每题4分, 共20分)
阶无穷小（写出阶数），f '''(0)=0．
(1) 以下极限计算中正确的是 B ．
11
A ．lim x sin =1； B．lim sin x =0；
x →0x →∞x x 111
C ．lim sin =∞； D ．lim sin x =1．
x →0x x →∞x x (2) 函数f (x ) =
x ⋅sin(x -2) x (x -1)(x -2) 2
在下列哪一个区间内有界？ A
A ．(-1,0) ； B．(0,1)； C ．(1,2) ； D．(2,3)．
(3) 对于定义在(-1,1) 上的函数f (x ) ，下列命题中正确的是
A ．如果当x 0时f '(x ) >0，则f (0)为f (x ) 的极小值； B ．如果f (0)为f (x ) 的极大值，则存在0
在(0,δ) 内单调减少；
C ．如果f (x ) 为偶函数，则f (0)为f (x ) 的极值； D ．如果f (x ) 为偶函数且可导，则f '(0)=0．
ln(1+x ) -(ax +bx 2)
=2，则． (4) 若lim
x →0x 2
55A ．a =1, b =-； B．a =1, b =；
22
C ．a =1, b =-2； D．a =0, b =2．
f '(x )
=-1，则 C ． (5) 设函数f (x ) 在点x =0的某邻域内三阶可导，且lim
x →01-cos x
A ．f (0)为f (x ) 的一个极大值； B ．f (0)为f (x ) 的一个极小值； C ．f '(0)为f '(x ) 的一个极大值； D ．f '(0)为f '(x ) 的一个极小值．
三、（10分）已知函数y =y (x ) 由方程x 2y 2+y =1(y >0) 确定，求
d y
，并求y =y (x ) 的极值． d x
解 对x 求导，2xy 2+2x 2yy '+y '=0(1) ---3分 令 y '=0，得 x =0，易算得 y (0)=1； ------5分 (1) 式两端继续求导，得 2y 2+4xyy '+4xyy '+2x 2y '2+2x 2yy ''+y ''=0
(2)
在(2)中令 x =0，算得 y ''(0)=-2，所以 y (0)=1 为极大值． ----10分
e x -e sin x 四、（10分） 求极限 lim ．
x →0x ln(1+x ) -x 2+sin 6x
e x -e sin x
3解 原式=lim ， 其中
x →0x ln(1+x ) -x 2sin 6x
+3
3x x
x -sin x
e x -e sin x -1x -sin x 1-cos x 1sin x e lim =lim e =lim =lim =， ----3分 x →0x →0x →0x →0x 3x 3x 33x 26
1
-1
x ln(1+x ) -x ln(1+x ) -x -11sin 6x lim =lim =lim =lim =-， lim 3=0，--9分 32x →0x →0x →0x →0x →0x x 2x 2(1+x ) 2x
2
1
所以 原极限=-． ----10分
3
x , x ≤0⎧⎪
五、（10分） 已知函数f (x ) =⎨a +b cos x 在点 x =0 处可导，求常数a 和b ．
, x >0⎪x ⎩解 (1) 由连续条件，f (0-0) =f (0)=f (0+0) ，因此 lim +
x →0
x →0+
a +b cos x
=0，进而应有 x
lim (a +b cos x ) =0，即 a +b =0； -------5分
a -a cos x a
=，而 f -'(0)=1， 2
x →0x 2
所以 a =2， b =-2． -----10分
111
n +1n n
11
（2）设 u n =1+++-ln n (n ∈N +) ，证明数列{u n }收敛．
2n x
0) 证 (1) 只需证明 1+x
(2) 由可导条件，f -'(0)=f +'(0)，算得 f +'(0)=lim +
方法一（利用微分中值定理） 令 f (x ) =ln(1+x ) (x ∈[0,+∞)) ，则 x >0 时， ln(1+x ) =f (x ) -f (0)=
x
1+ξ
(0
因为 0
x x x
0) ． ----5分
1+x 1+x 1+ξ
方法二 （利用单调性） 令 g (x ) =ln(1+x ) -则g (x ) 在[0,+∞) 上可导，且g '(x ) =
x 1+x
(x ∈[0,+∞)) ，
11->0(x ∈(0,+∞)) ， 2
1+x (1+x )
可知g (x ) 在[0,+∞) 上单增，从而x >0 时，g (x ) >g (0)=0； 再令h (x ) =ln(1+x ) -x (x ∈[0,+∞)) ，则h (x ) 在[0,+∞) 上可导，且
1
-10时，h (x ) >h (0)=0．-5分 1+x
111-ln(n +1) +ln n =-ln(1+)
n +1n +1n 11111
又 u n =1+++-ln n >ln(1+) +ln(1+) ++ln(1+) -ln n
2n 12n 23n +1=ln() +ln() ++ln() -ln n =ln(n +1) -ln n >0，即数列{u n }有下界．
12n h '(x ) =
综上，由单调有界原理，数列{u n }收敛． ---10分
七、（10分） 设函数f (x ) 在[0,π]上连续，在(0,π) 内可导，f (0)=0．证明：至少存在一点
ξ
ξ∈(0,π) ，使 2f '(ξ) =tan ⋅f (ξ) ．
2
证 令g (x ) =f (x ) ⋅cos
x 2
(x ∈[0,π])， ---3分
则g (x ) 在[0,π]上连续，在(0,π) 内可导，g (0)=g (π) =0， ---8分 由Rolle 定理，至少存在一点ξ∈(0,π) ，使g '(ξ) =0，即 2f '(ξ) =tan
ξ
⋅f (ξ) ． ----10分
2
一、填空题 (共30分，每填对一空得3分)
2n +3n 13x 2+2x +1n
= ． ) =lim 2 (1) lim (
x →∞x +sin 2x n →+∞5
(2) 曲线y =x n (n ∈N +) 在点(1,1)处的切线方程为 记该切线与x 轴的交点为(ξn ,0) ，则lim ξn n =．
n →+∞
⎧x =t 2+2t d y d 2y
=，2= (3) 设⎨，则d x d x ⎩y =ln(1+t ) (4) cos 2x 的Maclaurin （麦克劳林）公式为
cos 2x =+o(x 5) ，
设g (x ) =x 2cos 2x ，则g (4)(0)=．
(5) 当x →0时，f (x ) =tan 2x -x 2是x 的，
f '''(0)=
二、选择题 (每题4分, 共20分)
(1) 以下极限计算中正确的是 ．
11
A．lim x sin =1； B．lim sin x =0；
x →0x →∞x x
111
C ．lim sin =∞； D ．lim sin x =1．
x →0x x →∞x x
(2) 函数f (x ) =
x ⋅sin(x -2) x (x -1)(x -2)
2
在下列哪一个区间内有界？
A ．(-1,0) ； B．(0,1)； C ．(1,2) ； D．(2,3)．
(3) 对于定义在(-1,1) 上的函数f (x ) ，下列命题中正确的是．
A ．如果当x 0时f '(x ) >0，则f (0)为f (x ) 的极小值； B ．如果f (0)为f (x ) 的极大值，则存在0
在(0,δ) 内单调减少；
C ．如果f (x ) 为偶函数，则f (0)为f (x ) 的极值； D ．如果f (x ) 为偶函数且可导，则f '(0)=0．
ln(1+x ) -(ax +bx 2)
=2，则 (4) 若lim
x →0x 2
55A ．a =1, b =-； B．a =1, b =；
22
C ．a =1, b =-2； D．a =0, b =2．
f '(x )
=-1，则 ．
x →01-cos x
(5) 设函数f (x ) 在点x =0的某邻域内三阶可导，且lim
A ．f (0)为f (x ) 的一个极大值； B ．f (0)为f (x ) 的一个极小值； C ．f '(0)为f '(x ) 的一个极大值； D ．f '(0)为f '(x ) 的一个极小值．
三、（10分）已知函数 y =y (x ) 由方程 x 2y 2+y =1(y >0) 确定，求并求y =y (x ) 的极值．
d y ， d x
e x -e sin x
四、（10分） 求极限 lim ．
x →0x ln(1+x ) -x 2+sin 6x
x , x ≤0⎧⎪
五、（10分） 已知函数f (x ) =⎨a +b cos x 在点x =0处可导，求常数a 和b ．
, x >0⎪ x ⎩
六、（10分）（1）证明：
1（2）设 u n =1++
2
111
+-ln n (n ∈N +) ，证明数列{u n }收敛． n
七、（10分） 设函数f (x ) 在[0,π]上连续，在(0,π) 内可导，f (0)=0，证明：至少存在一点
ξ
ξ∈(0,π) ，使 2f '(ξ) =tan ⋅f (ξ) ．
2
A 卷答案
一、填空题 (共30分，每填对一空得3分)
2n +3n 1
) n = (1) lim (
n →+∞5
3
3x 2+2x +1
=； lim 2
x →∞x +sin 2x
3．
y -1=n (x -1)
(2) 曲线y =x n (n ∈N +) 在点(1,1)处的切线方程为交点为(ξn ,0) ，则lim ξn n =
n →+∞
，记该切线与x 轴的
e -1
．
12(t +1) 2
d 2y ，2=d x
-12(t +1) 4
⎧x =t 2+2t d y
= (3) 设⎨，则d x ⎩y =ln(1+t )
．
(4) cos 2x 的Maclaurin （麦克劳林）公式为 cos 2x =设g (x ) =x 2cos 2x ，则g (4)(0)=
-48
(2x ) 2(2x ) 4
1-+
2! 4!
+o(x 5) ，
．
4
(5) 当x →0时，f (x ) =tan 2x -x 2是x 的
二、选择题 (每题4分, 共20分)
阶无穷小（写出阶数），f '''(0)=0．
(1) 以下极限计算中正确的是 B ．
11
A ．lim x sin =1； B．lim sin x =0；
x →0x →∞x x 111
C ．lim sin =∞； D ．lim sin x =1．
x →0x x →∞x x (2) 函数f (x ) =
x ⋅sin(x -2) x (x -1)(x -2) 2
在下列哪一个区间内有界？ A
A ．(-1,0) ； B．(0,1)； C ．(1,2) ； D．(2,3)．
(3) 对于定义在(-1,1) 上的函数f (x ) ，下列命题中正确的是
A ．如果当x 0时f '(x ) >0，则f (0)为f (x ) 的极小值； B ．如果f (0)为f (x ) 的极大值，则存在0
在(0,δ) 内单调减少；
C ．如果f (x ) 为偶函数，则f (0)为f (x ) 的极值； D ．如果f (x ) 为偶函数且可导，则f '(0)=0．
ln(1+x ) -(ax +bx 2)
=2，则． (4) 若lim
x →0x 2
55A ．a =1, b =-； B．a =1, b =；
22
C ．a =1, b =-2； D．a =0, b =2．
f '(x )
=-1，则 C ． (5) 设函数f (x ) 在点x =0的某邻域内三阶可导，且lim
x →01-cos x
A ．f (0)为f (x ) 的一个极大值； B ．f (0)为f (x ) 的一个极小值； C ．f '(0)为f '(x ) 的一个极大值； D ．f '(0)为f '(x ) 的一个极小值．
三、（10分）已知函数y =y (x ) 由方程x 2y 2+y =1(y >0) 确定，求
d y
，并求y =y (x ) 的极值． d x
解 对x 求导，2xy 2+2x 2yy '+y '=0(1) ---3分 令 y '=0，得 x =0，易算得 y (0)=1； ------5分 (1) 式两端继续求导，得 2y 2+4xyy '+4xyy '+2x 2y '2+2x 2yy ''+y ''=0
(2)
在(2)中令 x =0，算得 y ''(0)=-2，所以 y (0)=1 为极大值． ----10分
e x -e sin x 四、（10分） 求极限 lim ．
x →0x ln(1+x ) -x 2+sin 6x
e x -e sin x
3解 原式=lim ， 其中
x →0x ln(1+x ) -x 2sin 6x
+3
3x x
x -sin x
e x -e sin x -1x -sin x 1-cos x 1sin x e lim =lim e =lim =lim =， ----3分 x →0x →0x →0x →0x 3x 3x 33x 26
1
-1
x ln(1+x ) -x ln(1+x ) -x -11sin 6x lim =lim =lim =lim =-， lim 3=0，--9分 32x →0x →0x →0x →0x →0x x 2x 2(1+x ) 2x
2
1
所以 原极限=-． ----10分
3
x , x ≤0⎧⎪
五、（10分） 已知函数f (x ) =⎨a +b cos x 在点 x =0 处可导，求常数a 和b ．
, x >0⎪x ⎩解 (1) 由连续条件，f (0-0) =f (0)=f (0+0) ，因此 lim +
x →0
x →0+
a +b cos x
=0，进而应有 x
lim (a +b cos x ) =0，即 a +b =0； -------5分
a -a cos x a
=，而 f -'(0)=1， 2
x →0x 2
所以 a =2， b =-2． -----10分
111
n +1n n
11
（2）设 u n =1+++-ln n (n ∈N +) ，证明数列{u n }收敛．
2n x
0) 证 (1) 只需证明 1+x
(2) 由可导条件，f -'(0)=f +'(0)，算得 f +'(0)=lim +
方法一（利用微分中值定理） 令 f (x ) =ln(1+x ) (x ∈[0,+∞)) ，则 x >0 时， ln(1+x ) =f (x ) -f (0)=
x
1+ξ
(0
因为 0
x x x
0) ． ----5分
1+x 1+x 1+ξ
方法二 （利用单调性） 令 g (x ) =ln(1+x ) -则g (x ) 在[0,+∞) 上可导，且g '(x ) =
x 1+x
(x ∈[0,+∞)) ，
11->0(x ∈(0,+∞)) ， 2
1+x (1+x )
可知g (x ) 在[0,+∞) 上单增，从而x >0 时，g (x ) >g (0)=0； 再令h (x ) =ln(1+x ) -x (x ∈[0,+∞)) ，则h (x ) 在[0,+∞) 上可导，且
1
-10时，h (x ) >h (0)=0．-5分 1+x
111-ln(n +1) +ln n =-ln(1+)
n +1n +1n 11111
又 u n =1+++-ln n >ln(1+) +ln(1+) ++ln(1+) -ln n
2n 12n 23n +1=ln() +ln() ++ln() -ln n =ln(n +1) -ln n >0，即数列{u n }有下界．
12n h '(x ) =
综上，由单调有界原理，数列{u n }收敛． ---10分
七、（10分） 设函数f (x ) 在[0,π]上连续，在(0,π) 内可导，f (0)=0．证明：至少存在一点
ξ
ξ∈(0,π) ，使 2f '(ξ) =tan ⋅f (ξ) ．
2
证 令g (x ) =f (x ) ⋅cos
x 2
(x ∈[0,π])， ---3分
则g (x ) 在[0,π]上连续，在(0,π) 内可导，g (0)=g (π) =0， ---8分 由Rolle 定理，至少存在一点ξ∈(0,π) ，使g '(ξ) =0，即 2f '(ξ) =tan
ξ
⋅f (ξ) ． ----10分
2