第十三辑 直线与圆
一，直线与方程
1，直线倾斜角：一条直线与x 轴正方向的上方所夹的角称为直线的倾斜角。倾斜角α的范围是00≤α
3，斜率与倾斜角的关系，如下表：
α=0000
=tan α,
2，直线的斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。常用k 表示，即k
4，斜率的求法：
（1）已知直线倾斜角α，利用定义可求得直线斜率k
=tan α
（2）已知直线上的不同两点A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，其中x 1（3）已知直线方程可直接看出斜率。 5，直线的方程
≠x 2，则直线斜率k =
y 1-y 2
x 1-x 2
（1）点斜式：y -y 0=k (x -x 0) ，已知直线上一点P (x 0, y 0) ，和直线的斜率k ，可得直线方程为：y -y 0=k (x -x 0) （2）斜截式：y =kx +b ，已知直线的斜率k ，和直线在（3）两点式：
y 轴上的截距b ，可得直线方程为：y =kx +b
y -y 1x -x 1y -y 1x -x 1
==，已知直线上两点A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，可得直线方程为：
y 1-y 2x 1-x 2y 1-y 2x 1-x 2
（4）截距式：
x y x y
+=1，已知直线在x , y 轴上的截距分别是a , b ，可得直线方程为：+=1 a b a b
（5）一般式：Ax +By +C =0，斜率为k =-6，两直线位置关系 （1）平行 ①已知两直线l 1
A
B
:y =k 1x +b 1；l 2:y =k 2x +
b 2，若l 1∥l
2，则k 1=k 2且b 1≠b
2
②当直线l 1和l 2都没有斜率时，l 1∥l 2 ； 当直线l 1和l 2斜率都为0时，l
1∥l 2 （2）垂直
①两条直线的斜率为k 1和k 2，若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2
=-1，此时两直线夹角为900
②当直线l 1没有斜率，l 2斜率为0；或者直线l 2没有斜率，l 1斜率为0时，l 1⊥l 2
（3）斜交
①直线l 1和l 2的斜率分别是k 1和k 2，两直线夹角为θ，则有：tan θ
=
k 2-k 1
，两直线夹角为锐角。
1+k 2⋅k 1
②设两条直线的方程是l 1：A 1x +B 1y +C 1=0， l 2；A 2x +B 2y +C 2=0，则两直线的交点坐标即是方程组
⎧A 1x +B 1y +C 1=0
的解。 ⎨
A x +B y +C =022⎩2
7，距离
（1）已知点M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) ，则两点间距离MN =(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2
（2）点到直线距离：已知点P (x 0，y 0) ，和直线l 的方程Ax +By +C =0，则点P 到l 的距离为：d =（2）两直线的距离：平行直线之间才有距离。
已知直线l 1：Ax +By +C 1=0和直线l 2：Ax +By +C 2=0，则两直线间距离为：d =8，对称问题
（1）点关于点对称：点P 0(x 0, y 0) 对称的点是P 2(x 2, y 2) 则有：⎨1(x 1, y 1) 关于点P
Ax 0+By 0+C
A +B
2
2
C 1-C 2A +B
2
2
⎧x 2=2x 0-x 1
y =2y -y 01⎩2
22
（2）点关于直线对称：设点P (x 0，y 0) 关于直线l ：Ax +By +C =0(A +B ≠0) 对称的点为Q (x 1，y 1)
⎧y 1-y 0A
⎪x -x ⋅(B ) =-110则有条件一，l 是PQ 的垂直平分线；条件二，PQ 的中点在l 上。则有：⎪，解此方程组⎨
⎪A ⋅x 1+x 0+B ⋅y 1+y 0+C =0⎪22⎩
可得Q (x 1，y 1) 的坐标。
二，圆与方程
1，定义：圆就是到定点C (a ，b ) 的距离等于定长r 的点的轨迹。 2，方程：
（1）圆的标准方程：以点C (a ，b ) 为圆心，r 为半径的圆的方程为：(x -a )
2
2
2
+(y -b ) 2=r 2
D 2E 2D 2+E 2-4F
（2）圆的一般方程：x +y +Dx +Ey +F =0，配方可得(x +) +(y +) =
224D E D 2+E 2-4F D 2+E 2-4F 2
r =>0表示圆，圆心为(-, -) ，半径r =
2244
2
D E D 2+E 2-4F
r ==0表示点(-, -) ；
224
2
r 2=
D 2+E 2-4F
4
3，直线与圆的位置关系
（1）直线l :Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2相离，圆心到直线的距离d =（2）直线l :Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2相切，圆心到直线的距离d =（3）直线l :Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2相交，圆心到直线的距离d =（4）直线l :Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的交点坐标的求法：
Aa +Bb +C A +B
22
2
>r =r
Aa +Bb +C A +B
2
2
Aa +Bb +C A +B
2
联立两个方程得方程组⎨
⎧Ax +By +C =0
222
⎩(x -a ) +(y -b ) =r
解方程组。所求解即为直线与圆的交点坐标。
（5）直线与圆相交弦长的求法（如图）：AB =2r 2-d 2，d =OC
4，圆关于直线对称 圆C 1
:(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2关于直线l :Ax +By +C =0对称的圆C 2的方程求法：
Ax +By +C =0对称的点(a 1, b 1) ，
（1）求圆C 1的圆心(a , b ) 关于直线l :（2）圆C 2的方程为：(x -a 1)
2
+(y -b 1) 2=r 2
222222
5，圆与圆位置关系：圆C 1:(x -a 1) +(y -b 1) =r 1和圆C 2:(x -a 2) +(y -b 2) =r 2，(r 1>r 2)
（1）相离 两圆心的距离之和大于两半径之和，即d =(a 1-a 2) 2+(b 1-b 2) 2>r 1+r 2 （2）相外切 两圆心的距离等于两半径之和，即d =(a 1-a 2) 2+(b 1-b 2) 2=r 1+r 2 （3）相交 两圆心的距离小于两半径之和，大于两半径之差，即r 1（4）相内切 两圆心的距离等于两半径之差，即d （5）内含 两圆心的距离小于两半径之差，即d
-r 2
=(a 1-a 2) 2+(b 1-b 2) 2=r 1-r 2 =(a 1-a 2) 2+(b 1-b 2) 2
（6）同心圆 两圆心的距离之差等于0（两圆心重合），即a 1
6，圆与切线
（1）过圆上一点的切线方程
与圆x
2
=a 2, b 1=b 2
+y 2=r 2相切于点(x 0, y 0) 的切线方程是：x 0x +y 0y =r 2
2
与圆(x -a ) （2）圆的切点弦
+(y -b ) 2=r 2相切于点(x 0, y 0) 的切线方程是：(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) =r 2
自圆外一点P (x 0, y 0) 引圆的两条切线，切点的连线叫做点P (x
0, y 0) P (x 0, y 0) 关于圆x
2
+y 2=r 2的切点弦所在直线的方程是：x 0x +y 0y =r 2
（3）过圆外一点与圆相切的切线方程求法 设P (x 0, y 0) 是圆(x -a )
解析：将切线方程设为
2
+(y -b ) 2=r 2外一点，求过P 点的圆的切线
； y -y 0=k (x -x 0) ，即y -kx -y 0+kx 0=0（一般式）
再由圆心到切线的距离等于半径，即
b -ka -y 0+kx 0
k +1
2
=r 求出待定系数k ，就可写出直线方程
7，两圆相交弦方程：两圆方程相减，得到的关于x , y 的二元一次方程就是相交弦方程
第十三辑 直线与圆
一，直线与方程
1，直线倾斜角：一条直线与x 轴正方向的上方所夹的角称为直线的倾斜角。倾斜角α的范围是00≤α
3，斜率与倾斜角的关系，如下表：
α=0000
=tan α,
2，直线的斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。常用k 表示，即k
4，斜率的求法：
（1）已知直线倾斜角α，利用定义可求得直线斜率k
=tan α
（2）已知直线上的不同两点A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，其中x 1（3）已知直线方程可直接看出斜率。 5，直线的方程
≠x 2，则直线斜率k =
y 1-y 2
x 1-x 2
（1）点斜式：y -y 0=k (x -x 0) ，已知直线上一点P (x 0, y 0) ，和直线的斜率k ，可得直线方程为：y -y 0=k (x -x 0) （2）斜截式：y =kx +b ，已知直线的斜率k ，和直线在（3）两点式：
y 轴上的截距b ，可得直线方程为：y =kx +b
y -y 1x -x 1y -y 1x -x 1
==，已知直线上两点A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，可得直线方程为：
y 1-y 2x 1-x 2y 1-y 2x 1-x 2
（4）截距式：
x y x y
+=1，已知直线在x , y 轴上的截距分别是a , b ，可得直线方程为：+=1 a b a b
（5）一般式：Ax +By +C =0，斜率为k =-6，两直线位置关系 （1）平行 ①已知两直线l 1
A
B
:y =k 1x +b 1；l 2:y =k 2x +
b 2，若l 1∥l
2，则k 1=k 2且b 1≠b
2
②当直线l 1和l 2都没有斜率时，l 1∥l 2 ； 当直线l 1和l 2斜率都为0时，l
1∥l 2 （2）垂直
①两条直线的斜率为k 1和k 2，若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2
=-1，此时两直线夹角为900
②当直线l 1没有斜率，l 2斜率为0；或者直线l 2没有斜率，l 1斜率为0时，l 1⊥l 2
（3）斜交
①直线l 1和l 2的斜率分别是k 1和k 2，两直线夹角为θ，则有：tan θ
=
k 2-k 1
，两直线夹角为锐角。
1+k 2⋅k 1
②设两条直线的方程是l 1：A 1x +B 1y +C 1=0， l 2；A 2x +B 2y +C 2=0，则两直线的交点坐标即是方程组
⎧A 1x +B 1y +C 1=0
的解。 ⎨
A x +B y +C =022⎩2
7，距离
（1）已知点M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) ，则两点间距离MN =(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2
（2）点到直线距离：已知点P (x 0，y 0) ，和直线l 的方程Ax +By +C =0，则点P 到l 的距离为：d =（2）两直线的距离：平行直线之间才有距离。
已知直线l 1：Ax +By +C 1=0和直线l 2：Ax +By +C 2=0，则两直线间距离为：d =8，对称问题
（1）点关于点对称：点P 0(x 0, y 0) 对称的点是P 2(x 2, y 2) 则有：⎨1(x 1, y 1) 关于点P
Ax 0+By 0+C
A +B
2
2
C 1-C 2A +B
2
2
⎧x 2=2x 0-x 1
y =2y -y 01⎩2
22
（2）点关于直线对称：设点P (x 0，y 0) 关于直线l ：Ax +By +C =0(A +B ≠0) 对称的点为Q (x 1，y 1)
⎧y 1-y 0A
⎪x -x ⋅(B ) =-110则有条件一，l 是PQ 的垂直平分线；条件二，PQ 的中点在l 上。则有：⎪，解此方程组⎨
⎪A ⋅x 1+x 0+B ⋅y 1+y 0+C =0⎪22⎩
可得Q (x 1，y 1) 的坐标。
二，圆与方程
1，定义：圆就是到定点C (a ，b ) 的距离等于定长r 的点的轨迹。 2，方程：
（1）圆的标准方程：以点C (a ，b ) 为圆心，r 为半径的圆的方程为：(x -a )
2
2
2
+(y -b ) 2=r 2
D 2E 2D 2+E 2-4F
（2）圆的一般方程：x +y +Dx +Ey +F =0，配方可得(x +) +(y +) =
224D E D 2+E 2-4F D 2+E 2-4F 2
r =>0表示圆，圆心为(-, -) ，半径r =
2244
2
D E D 2+E 2-4F
r ==0表示点(-, -) ；
224
2
r 2=
D 2+E 2-4F
4
3，直线与圆的位置关系
（1）直线l :Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2相离，圆心到直线的距离d =（2）直线l :Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2相切，圆心到直线的距离d =（3）直线l :Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2相交，圆心到直线的距离d =（4）直线l :Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的交点坐标的求法：
Aa +Bb +C A +B
22
2
>r =r
Aa +Bb +C A +B
2
2
Aa +Bb +C A +B
2
联立两个方程得方程组⎨
⎧Ax +By +C =0
222
⎩(x -a ) +(y -b ) =r
解方程组。所求解即为直线与圆的交点坐标。
（5）直线与圆相交弦长的求法（如图）：AB =2r 2-d 2，d =OC
4，圆关于直线对称 圆C 1
:(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2关于直线l :Ax +By +C =0对称的圆C 2的方程求法：
Ax +By +C =0对称的点(a 1, b 1) ，
（1）求圆C 1的圆心(a , b ) 关于直线l :（2）圆C 2的方程为：(x -a 1)
2
+(y -b 1) 2=r 2
222222
5，圆与圆位置关系：圆C 1:(x -a 1) +(y -b 1) =r 1和圆C 2:(x -a 2) +(y -b 2) =r 2，(r 1>r 2)
（1）相离 两圆心的距离之和大于两半径之和，即d =(a 1-a 2) 2+(b 1-b 2) 2>r 1+r 2 （2）相外切 两圆心的距离等于两半径之和，即d =(a 1-a 2) 2+(b 1-b 2) 2=r 1+r 2 （3）相交 两圆心的距离小于两半径之和，大于两半径之差，即r 1（4）相内切 两圆心的距离等于两半径之差，即d （5）内含 两圆心的距离小于两半径之差，即d
-r 2
=(a 1-a 2) 2+(b 1-b 2) 2=r 1-r 2 =(a 1-a 2) 2+(b 1-b 2) 2
（6）同心圆 两圆心的距离之差等于0（两圆心重合），即a 1
6，圆与切线
（1）过圆上一点的切线方程
与圆x
2
=a 2, b 1=b 2
+y 2=r 2相切于点(x 0, y 0) 的切线方程是：x 0x +y 0y =r 2
2
与圆(x -a ) （2）圆的切点弦
+(y -b ) 2=r 2相切于点(x 0, y 0) 的切线方程是：(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) =r 2
自圆外一点P (x 0, y 0) 引圆的两条切线，切点的连线叫做点P (x
0, y 0) P (x 0, y 0) 关于圆x
2
+y 2=r 2的切点弦所在直线的方程是：x 0x +y 0y =r 2
（3）过圆外一点与圆相切的切线方程求法 设P (x 0, y 0) 是圆(x -a )
解析：将切线方程设为
2
+(y -b ) 2=r 2外一点，求过P 点的圆的切线
； y -y 0=k (x -x 0) ，即y -kx -y 0+kx 0=0（一般式）
再由圆心到切线的距离等于半径，即
b -ka -y 0+kx 0
k +1
2
=r 求出待定系数k ，就可写出直线方程
7，两圆相交弦方程：两圆方程相减，得到的关于x , y 的二元一次方程就是相交弦方程