高考知识点

高考数学易忘公式及结论

集合

 包含关系

ABAABBAB

nnn

 集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1

个；非空的真子集有2–2个.

n

二次函数，二次方程

 方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件

 闭区间上函数的最值 只能在f(x)0处及区间的两端点处取得。 二次函数f(x)ax2bxc0恒成立的充要条件是 

a0

. 2

b4ac0

简易逻辑









P:否定一个含有量词(或)的命题,不但要改变量词(改为)，还要对量词后面的

命题加以否定，但作用范围不变。

 函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)

0f(x)在a,b 上是增函数；

x1x2

f(x1)f(x2)

0f(x)在a,b上是减函数. (x1x2)f(x1)f(x2)0

x1x2

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数； 如果f(x)0，则f(x)为减函数.

(x1x2)f(x1)f(x2)0

 两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

(2)函数f(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x称.f(amx)f(bmx)f(abmx)f(mx)

(3)函数yf(x)和yf

1

ab

对 2m

(x)的图象关于直线y=x对称.

 若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的

图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线

f(xa,yb)0的图象.

 指数式与对数式的互化式

b

logNbaN(a0,a1,N0).

a

 对数的换底公式

nlogmNn

. 推论 logamblogab. logaN

mlogma

 对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)logaMlogaN;

M

logaMlogaN; N

(3)logaMnnlogaM(nR).

(2) loga

2

f(x)log(axbxc)(a0),记b24ac.若f(x)的定义域为R,m 设函数

则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情

形,需要单独检验.

数列

 等差数列的通项公式ana1(n1)d； a1d(nN)dn 其前n项和公式为

sn

n(a1an)n(n1)

na1d. 22

 等比数列的通项公式ana1qn1;

其前n项的和公式为

a1(1qn)a1anq

,q1,q1

sn1q或sn1q.

na,q1na,q111



分期付款(按揭贷款)

ab(1b)n

每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

(1b)n1



数列的通项公式与前n项的和的关系

三角函数

 常见三角不等式

（1）若x(0, (2) 若x

(0,

n1s1,

an

snsn1,n2



2

)，则sinxxtanx.

)，则1sinxcosx2

(3) |sinx||cosx|1.

 同角三角函数的基本关系式



sin2cos21，tan=

sin

，tancot1. cos

 和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan

tan().

1tantanasin

bcos)

(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan 二倍角公式

b

). a

sin2sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

2tan

tan2

1tan2

 三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)的周期T函数ytan(x)的周期T

2



；

. 

abc

2R

 正弦定理 sinAsinBsinC.

222

2bccos; A 余弦定理 abc

111SabsinCbcsin222 面积定理

casinB

向量

 a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ．  a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2).

 向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则

a∥b(b0)x1y2x2y10

ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.

 线段的定比分公式

则



是实数，且PP设P12的分点,1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP1PP2，

x1x2xOP11OP2

OP

1yy1y2

1

1

t（）. (1t)OPOPtOP12

1

 三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则

△ABC的重心的坐标是G(

x1x2x3y1y2y3

,). 33

 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

222

（1）O为ABC的外心（中垂线）OAOBOC.



（2）O为ABC的重心（中线）OAOBOC0.



（3）O为ABC的垂心（高）OAOBOBOCOCOA.



（4）O为ABC的内心（角平分线）aOAbOBcOC0.

不等式

 常用不等式：

（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

2

2

ab

当且仅当a＝b时取“=”号)． 2

22222

（3）柯西不等式 (a1b1a2b2)(a1a2)(b1b2)， (当且仅当aibi时取“=”号)．

（2）a,b

R



（4）ababab.

 两条直线的平行和垂直

①l1||l2k1k2,b1b2;

②l1l2k1k21.

两直线垂直的充要条件是 A；即：l1l2A 1A2B1B201A2B1B20 点到直线的距离

d

(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

圆

xx0tcos

yy0tsin

 直线的参数方程. （t为参数）

xarcos

ybrsin. （为参数）

 圆的参数方程 

椭圆

xacosx2y2

21(ab0)2ybsin.（为参数） b 椭圆a的参数方程是



x2y2

21(ab0)2ab焦点三角形：P为椭圆上一点，则三角形

PFF12的面积

b2tan

S=

PF1F2

;

PFPF2,此三角形面积为b2； 2特别地，若1

x2y2

21(ab0)2PFPF2的条件是c≥b,即椭圆的离心率e

ab 在椭圆上存在点P，使1的范围是2；

双曲线

 双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1）221渐近线方程：220yx.

aabab

xyx2y2b

(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

abaab

x2y2x2y2

(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴

abab

上，0，焦点在y轴上）.

 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b值）

 焦点与准线

aa

抛物线y2ax(a0),焦点是(,0),准线x;

44 aa

抛物线x2ay(a0),焦点是(),准线y;

44

 焦半径公式

抛物线y22px(p0)，C (x0,y0)为抛物线上一点，焦半径CFx0 过抛物线y22px（p>0)的焦点

2

2

即x1kOAx2.KOBp/4,(即kOAKO=-O为原点) B4。

p

. 2

F的直线与抛物线相交于

A(x1,y1)B(x2,y2),则有y1y2p,x1x24p,

14

 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2 比如在椭圆中：

A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),则有:

x12y12

21(1)a2bx22y22

21(2)a2b

x0y1y2x1x2b2b2

(1)(2))(2)2(2

xybx1yxyyaya20

（1）-（2）k12210( )2

x1x2y0

a

立体几何

 直线的方向向量为a,直线与平面所成的角为,平面的法向量为u，直线与平面法向量的夹角为,则

sincos

 二面角的两个面的法向量的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小。  异面直线间的距离



|CDn|

(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间d

|n|

的距离).

|ABn| .点B到平面的距离 d（n为平面的法向量，AB是经过面的一条|n|

斜线，A）.

S''

 面积射影定理 S.(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平

cos

面所成锐二面角的为).

 球的半径是R，则其体积V

4

R3,其表面积S4R2． 3

 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.  棱长为a

 柱体、锥体的体积

,

. 1

V柱体ShSh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31

V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3

组合数公式

C

mn=

n！Anmn(n1)(nm1)

==. m

12mm！(nm)！Am

0n1n12n22rnrrnn

 二项式定理 (ab)nCnaCnabCnabCnabCnb二项

展开式的通项公式

rnrr

1，2，n). Tr1Cnab(r0，

概率

 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kk

Pn(k)CnP(1P)nk.

 离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）P,2,); i0(i1（2）P1P21.

 数学期望 Ex1P1x2P2xnPn  数学期望的性质

（1）E(ab)aE()b. （2）若～B(n,p),则Enp.  方差

Dx1Ep1x2Ep2xnEpn 

 标准差 =D.

 方差的性质 (1)DabaD；

2

222

(2）若～B(n,p)，则Dnp(1p).

 正态分布密度函数

f

x



x2

26,x,，

式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

x 标准正态分布密度函数f

x2,x,.

 对于N(,2)，P(X)0.6826.

2

P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974

 回归直线方程

n



xiyi

i1

bn2yabx，其中

xii1



axynxy

ii

i1n

n

xi22

i1

.

点P(x,y)在回归直线上。

不能期望回归方程得到y的预报值就是预报变量y的精确值。

 相关系数 |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小。 |r|0.75时认为两变量有很强的线性关系。

n(n11n22n12n21)2

 列联表独立性分析 

n1n2n1n2

2

P(26.635)0.01（99％的把握） P(23.841)0.05（95％的把握）

导数

 几种常见函数的导数

(1) C0（C为常数）. (2) (xn)'nxn1(nQ). (3) (sinx)cosx. (4) (cosx)sinx. (5) (lnx)

11ex

； (loga)loga. xxxxxx

(6) (e)e; (a)alna.

 导数的运算法则

（1）(uv)'u'v'. （2）(uv)'u'vuv'.

u'u'vuv'

(v0). （3）()

vv2

 复合函数的求导法则

设函数u(x)在点x处有导数ux''(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有导

'''

数yu'f'(u)，则复合函数yf((x))在点x处有导数，且yx，或写作yuux

fx'((x))f'(u)'(x).

 判别f(x0)是极大（小）值的方法

当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极小值.

复数

 复数的相等abicdiac,bd.（a,b,c,dR）  .复数zabi的模（或绝对值）|z|=|a

bi|

高考数学易忘公式及结论

集合

 包含关系

ABAABBAB

nnn

 集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1

个；非空的真子集有2–2个.

n

二次函数，二次方程

 方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件

 闭区间上函数的最值 只能在f(x)0处及区间的两端点处取得。 二次函数f(x)ax2bxc0恒成立的充要条件是 

a0

. 2

b4ac0

简易逻辑









P:否定一个含有量词(或)的命题,不但要改变量词(改为)，还要对量词后面的

命题加以否定，但作用范围不变。

 函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)

0f(x)在a,b 上是增函数；

x1x2

f(x1)f(x2)

0f(x)在a,b上是减函数. (x1x2)f(x1)f(x2)0

x1x2

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数； 如果f(x)0，则f(x)为减函数.

(x1x2)f(x1)f(x2)0

 两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

(2)函数f(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x称.f(amx)f(bmx)f(abmx)f(mx)

(3)函数yf(x)和yf

1

ab

对 2m

(x)的图象关于直线y=x对称.

 若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的

图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线

f(xa,yb)0的图象.

 指数式与对数式的互化式

b

logNbaN(a0,a1,N0).

a

 对数的换底公式

nlogmNn

. 推论 logamblogab. logaN

mlogma

 对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)logaMlogaN;

M

logaMlogaN; N

(3)logaMnnlogaM(nR).

(2) loga

2

f(x)log(axbxc)(a0),记b24ac.若f(x)的定义域为R,m 设函数

则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情

形,需要单独检验.

数列

 等差数列的通项公式ana1(n1)d； a1d(nN)dn 其前n项和公式为

sn

n(a1an)n(n1)

na1d. 22

 等比数列的通项公式ana1qn1;

其前n项的和公式为

a1(1qn)a1anq

,q1,q1

sn1q或sn1q.

na,q1na,q111



分期付款(按揭贷款)

ab(1b)n

每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

(1b)n1



数列的通项公式与前n项的和的关系

三角函数

 常见三角不等式

（1）若x(0, (2) 若x

(0,

n1s1,

an

snsn1,n2



2

)，则sinxxtanx.

)，则1sinxcosx2

(3) |sinx||cosx|1.

 同角三角函数的基本关系式



sin2cos21，tan=

sin

，tancot1. cos

 和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan

tan().

1tantanasin

bcos)

(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan 二倍角公式

b

). a

sin2sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

2tan

tan2

1tan2

 三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)的周期T函数ytan(x)的周期T

2



；

. 

abc

2R

 正弦定理 sinAsinBsinC.

222

2bccos; A 余弦定理 abc

111SabsinCbcsin222 面积定理

casinB

向量

 a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ．  a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2).

 向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则

a∥b(b0)x1y2x2y10

ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.

 线段的定比分公式

则



是实数，且PP设P12的分点,1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP1PP2，

x1x2xOP11OP2

OP

1yy1y2

1

1

t（）. (1t)OPOPtOP12

1

 三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则

△ABC的重心的坐标是G(

x1x2x3y1y2y3

,). 33

 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

222

（1）O为ABC的外心（中垂线）OAOBOC.



（2）O为ABC的重心（中线）OAOBOC0.



（3）O为ABC的垂心（高）OAOBOBOCOCOA.



（4）O为ABC的内心（角平分线）aOAbOBcOC0.

不等式

 常用不等式：

（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

2

2

ab

当且仅当a＝b时取“=”号)． 2

22222

（3）柯西不等式 (a1b1a2b2)(a1a2)(b1b2)， (当且仅当aibi时取“=”号)．

（2）a,b

R



（4）ababab.

 两条直线的平行和垂直

①l1||l2k1k2,b1b2;

②l1l2k1k21.

两直线垂直的充要条件是 A；即：l1l2A 1A2B1B201A2B1B20 点到直线的距离

d

(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

圆

xx0tcos

yy0tsin

 直线的参数方程. （t为参数）

xarcos

ybrsin. （为参数）

 圆的参数方程 

椭圆

xacosx2y2

21(ab0)2ybsin.（为参数） b 椭圆a的参数方程是



x2y2

21(ab0)2ab焦点三角形：P为椭圆上一点，则三角形

PFF12的面积

b2tan

S=

PF1F2

;

PFPF2,此三角形面积为b2； 2特别地，若1

x2y2

21(ab0)2PFPF2的条件是c≥b,即椭圆的离心率e

ab 在椭圆上存在点P，使1的范围是2；

双曲线

 双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1）221渐近线方程：220yx.

aabab

xyx2y2b

(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

abaab

x2y2x2y2

(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴

abab

上，0，焦点在y轴上）.

 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b值）

 焦点与准线

aa

抛物线y2ax(a0),焦点是(,0),准线x;

44 aa

抛物线x2ay(a0),焦点是(),准线y;

44

 焦半径公式

抛物线y22px(p0)，C (x0,y0)为抛物线上一点，焦半径CFx0 过抛物线y22px（p>0)的焦点

2

2

即x1kOAx2.KOBp/4,(即kOAKO=-O为原点) B4。

p

. 2

F的直线与抛物线相交于

A(x1,y1)B(x2,y2),则有y1y2p,x1x24p,

14

 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2 比如在椭圆中：

A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),则有:

x12y12

21(1)a2bx22y22

21(2)a2b

x0y1y2x1x2b2b2

(1)(2))(2)2(2

xybx1yxyyaya20

（1）-（2）k12210( )2

x1x2y0

a

立体几何

 直线的方向向量为a,直线与平面所成的角为,平面的法向量为u，直线与平面法向量的夹角为,则

sincos

 二面角的两个面的法向量的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小。  异面直线间的距离



|CDn|

(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间d

|n|

的距离).

|ABn| .点B到平面的距离 d（n为平面的法向量，AB是经过面的一条|n|

斜线，A）.

S''

 面积射影定理 S.(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平

cos

面所成锐二面角的为).

 球的半径是R，则其体积V

4

R3,其表面积S4R2． 3

 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.  棱长为a

 柱体、锥体的体积

,

. 1

V柱体ShSh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31

V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3

组合数公式

C

mn=

n！Anmn(n1)(nm1)

==. m

12mm！(nm)！Am

0n1n12n22rnrrnn

 二项式定理 (ab)nCnaCnabCnabCnabCnb二项

展开式的通项公式

rnrr

1，2，n). Tr1Cnab(r0，

概率

 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kk

Pn(k)CnP(1P)nk.

 离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）P,2,); i0(i1（2）P1P21.

 数学期望 Ex1P1x2P2xnPn  数学期望的性质

（1）E(ab)aE()b. （2）若～B(n,p),则Enp.  方差

Dx1Ep1x2Ep2xnEpn 

 标准差 =D.

 方差的性质 (1)DabaD；

2

222

(2）若～B(n,p)，则Dnp(1p).

 正态分布密度函数

f

x



x2

26,x,，

式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

x 标准正态分布密度函数f

x2,x,.

 对于N(,2)，P(X)0.6826.

2

P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974

 回归直线方程

n



xiyi

i1

bn2yabx，其中

xii1



axynxy

ii

i1n

n

xi22

i1

.

点P(x,y)在回归直线上。

不能期望回归方程得到y的预报值就是预报变量y的精确值。

 相关系数 |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小。 |r|0.75时认为两变量有很强的线性关系。

n(n11n22n12n21)2

 列联表独立性分析 

n1n2n1n2

2

P(26.635)0.01（99％的把握） P(23.841)0.05（95％的把握）

导数

 几种常见函数的导数

(1) C0（C为常数）. (2) (xn)'nxn1(nQ). (3) (sinx)cosx. (4) (cosx)sinx. (5) (lnx)

11ex

； (loga)loga. xxxxxx

(6) (e)e; (a)alna.

 导数的运算法则

（1）(uv)'u'v'. （2）(uv)'u'vuv'.

u'u'vuv'

(v0). （3）()

vv2

 复合函数的求导法则

设函数u(x)在点x处有导数ux''(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有导

'''

数yu'f'(u)，则复合函数yf((x))在点x处有导数，且yx，或写作yuux

fx'((x))f'(u)'(x).

 判别f(x0)是极大（小）值的方法

当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极小值.

复数

 复数的相等abicdiac,bd.（a,b,c,dR）  .复数zabi的模（或绝对值）|z|=|a

bi|