1998年8月系统工程理论与实践第8期
AHP 法中判断矩阵的一种构造方法
王培光 关秀翠 王清霞
(河北大学数学系, 保定071002)
摘要 给出一种新的判断矩阵的构造方法, 该方法克服了已有文献中的不足, 结果表明该方法给出了
较好的一致性和传递性。
关键词 层次分析法 一致性 传递性
Construction of Judgement M atrix in AHP
Wang Peig uang Guan Xiucui Wang Qing xia
(D epar tment o f mathematics, Hebei U niver sity , Ba oding 070012)
Abstract I n t his paper , a new judgement mat rix is given, in w hich the shor tco ming o f g iven r esults is o ver co med. T he result illustrat es that the metho d has g oo d consistency, r easo nableness and accur acy.
Keywords A HP ; consistency ; t ransitivit y
1 问题的提出
层次分析法是综合定性与定量分析, 对多目标多准则的系统进行分析评价的一种方法。它将以人的主观判断为主的定性分析进行量化, 用数值(判断尺度) 替代方案的差异, 供决策参考。因而这种方法有着广泛的应用性[1]。但在实际应用时, 遇到的主要问题是:1) 对指标两两对比的比较标度(1-9) 难以判断, 特别当指标都比较重要时; 2) 判断矩阵的一致性较差。目前已有一些关于层次分析法改进的工作[2～5], 其中文[2]采用指标排序和数理统计的方法, 给出一种判断矩阵的构造方法, 所给方法适用于评价体系包括多个指标, 而又不易确定两者比值的情况, 但对于层次关系较多, 而每一层次的评价指标个数不多的评价体系, [2]所给方法就很难准确合理地确定出指标间的关系。本文给出一种新的判断矩阵的构造方法, 既能克服上述缺陷, 又能得到很好的一致性。
2 需要改进的几个问题
文[2]给出综合专家意见, 构造判断矩阵的方法如下:假定评价体系包括n 个指标A 1, A 2, …, A n , 参加评判专家m 人。
1) 请参评专家对各评价指标的重要性进行排序, 同时给出最重要指标与最不重要指标的比率P , P 的确定按A HP 法中1-9的标度和标准。
表1
序号指标赋值
n
n -1n -2
…
2
1
1
2
3
…
n -1
n
2) 对每个专家的评判, 按每个指标的排序进行赋值, 序号越小赋值越大。
本文于1997年1月9日收到
第8期
关于A HP 法中判断矩阵的一种构造方法135
k
设第k 个专家对第i 个指标的赋值为a k i , 由a i 可求出第i 个指标的平均赋值
a i =
设第k 个专家对P 的主观印象为P k , 则
m
a k i /m i =1, 2, …, n
(2. 1)
k =1
P =
由a i , P 构造判断矩阵
a ij =
上述方法存在的问题:
m
P k /m (2. 2)
k =1
(a -a ) (P -1)
+1; a i ≥ j
(a max -a min ) 1
(a -a ) (P -1)
+1 a i
(a max -a min )
(2. 3)
1) 对指标按文[2]赋值, 当排序后指标的重要性差异不相同或两指标同等重要时, 这种方法不能准确反映各指标间的关系。
2) 对同一组指标, 不同专家所指定的最不重要指标可能不同, 因而导致对各指标赋值的基准不同。所以对某个指标的综合赋值采用各专家所赋值的平均是不太合理的。
3) 由于比率P 选取方法与2) 相同, 也可能相对于同基准, 且可能导致与定性分析不一致的结果。例1 设有两组专家(每组5人) , 分别对指标A 1, A 2进行赋值, 见表2, 表3。
表2
K 1
指标A 1指标A 2比率P
215
K 2213
K 3214
K 4122
K 5126
指标A 1指标A 2比率P
K 1215
表3
K 2213
K 3214
K 4122
K 5122
其中P 表示专家K i 认为最重要指标与最不重要指标的比率。
由文[2]方法计算可得:
第一组A 1, A 2的权重分别为0. 80, 0. 20; 第二组A 1, A 2的权重分别为0. 762, 0. 238。
通过以上两组数据可以看出, 若前四个人对指标和P 的赋值相同, 最后一人对指标赋值相同, 而第二组中的P 值比第二组中的小, 按定性分析, 第二组中A 2的权重应相应变小, 而结果却恰恰相反, 即逻辑上的矛盾没有消除。通过分析可知, 每组数据的P 不是以同一指标为基准的, 且第一组数据在构造判断矩阵时, 由于a 1>a 2, 因而第一组所得权重是下述赋值的结果, 如表4。
即例1将A 2作为基准, 导致上述逻辑上的矛盾。
4) 对于基准一样的赋值情况, 由于各专家所赋最大值的指标可能不同, 因而其算术平均值不能作为最重要指标与基准指标的比值。
例2 设三个专家对指标A 1, A 2, A 3赋值, 赋值结果如表5。
表4
K 1
指标A 1指标A 2比率P
215
K 2213
K 3214
K 4212
K 5216
指标A 1指标A 2指标A 3比率P
表5
K 11234
K 21325
K 31236
其中P 分别表示指标A 3, A 2, A 3相对于A 1值, 其算术平均值为P =5。
23,
136
系统工程理论与实践1998年8月
因而增大了A 3所占比重, 缩小了A 1的比重, 同时也将影响指标A 2。
3 改进方法
通过上述分析, 本文给出进一步的改进方法。
假定评价体系包括n 个指标A 1, A 2, …, A n , 参加评判专家m 人。
1) 对每组指标, 先找出最重要指标与最不重要指标, 并确定两者比率P (按A HP 法中的标度和标准) 。2) 将各指标按重要程度从小到大排序, 以最不重要指标为基准(赋值为1) , 将各项指标与其比较, 按重要程度进行赋值(按A HP 法中的标度和标准) 。由此通过排序可以消除逻辑上的不一致性, 减轻两两对比难度, 且将P 的确定和各指标赋值统一起来。
3. 1 关于指标A j 的综合赋值方法
将m 个专家对n 个指标所赋的值分成r 块, 分别记为A [1], A [2], …, A [r ]; 其中矩阵A [k ]的行表示以A k 为最不重要指标的专家数, 记作m k , 列表示将指标A k 作为基准, 对各指标A 1, A 2, …, A n 所赋的值。具体形式为:
A 1a k 11,
A [k ]=
a k 21, a k m 1,
这里a =1, 1≤a ≤9, 且
k
ik
k ij
A 2a k 12, a k 22, a k m 2,
……… …
A k -1a k 1, k -1, a k 2, k -1, a k m , k -1,
A k 1, 1, 1,
A k +1a k 1, k +1, a k 2, k +1, a k m , k +1,
… A n …… …
a k a k 1n a k 2n
(3. 1)
r
m k =m (i =1, 2, …, m k ; j =1, 2, …, n ) 。
k =1
对于分块矩阵A [k ], 因各指标赋值均以A k 为基准, 从而可对A [k ]中各列分别求均值
-a k j =
m k
a k ij /m k j =1, 2, …, n
(3. 2)
-k -k
由(3. 2) 可得行向量-A k =(-a k 1, a 2, …, a n ) , 其中表示以A k 为最不重要指标的m k 个专家对n 个指标所
赋的值。将行向量正规化, 可得每个指标A j 在-A k 中所占的比重
a =-a k j
k
j
i =1
n
-a k j
(3. 3)
-, …, - 对所有分块矩阵作上述处理, 可分别得到(-A 1, A A r ) 。2
注 如果某个专家对n 个指标所赋值中, A i 与A j (i
对于每个分块矩阵A [k ](k =1, 2, …, r ) ; 因行数m k 不同, 其在专家数m 中所占比重也不同, 因而需考虑m k 在m 中所占比重, 称m k /m 为a k j 的权系数。
综合上述分析, 可得指标A j 的综合赋值。
a j =
j =1
r
a k j m k /m j =1, 2, …, n
(3. 4)
k =1
由(3. 2) -(3. 4) 即可汇总m 个专家对n 个指标所赋的值, 得到最后的综合赋值。
上述方法既保证了各分块矩阵中各数据间具有可加性, 又通过正规化消弱了各分块矩阵间由于基准不同而带来的不一致性, 且将人数比重作为权系数加权平均, 得到的方法较文[2]更合理、更准确。3. 2 关于比率P 的综合赋值方法
由综合赋值a j 中求出最小值a min 和最大值a max , 令其所对应的下标分别为m 和M , 即a m =a min , a M =a ma x .
将A [K ]
当m =k
(3.
第8期
关于A HP 法中判断矩阵的一种构造方法137
k
与a k [k ]中所占比重P k i 求法相同, 可得A m , A M 在A ′min 和P max
m k
P k min =m k n
m k m k k
a k ij /a im
i =1j =1
(3. 6)
a /a
n
k a k ij /a im k iM
k im
P k max =
与a i 求法相同, 可得到P min 和P ma x 。
P min =
P 的综合赋值为P =P max /P min
i =1j =1
r
p k min m k /m ; P max =
k =1
r
p k max m k /m ; (3. 7) (3. 8)
k =1
通过以上对a i 和P 的求解, 相应的构造判断矩阵
(a i -a j ) (P -1)
+1; a i ≥a j
(a ma x -a min )
a ij =
(a -a ) (P -1) 1+1; a i
(a ma x -a min ) 对于例1, 利用本文方法对指标A 1, A 2的两组赋值结果如表6, 表7。
表6
K 1
指标A 1指标A 2比率P
515
K 2313
K 3414
K 4122
K 5166
指标A 1指标A 2比率P
K 1515
(3. 9)
改进后的方法可弥补文[2]存在的不足。仍以前面考察的两个例子为例, 说明改进方法的合理性。
表7
K 2313
K 3414
K 4122
K 5122
由改进方法计算a i 和P , 并可求得:
第一组A 1, A 2的权重分别为0. 58, 0. 42;
第二组A 1, A 2的权重分别为0. 613, 0. 387。
由以上数据可以看出, 两组权重都较例1缩小差距, 结合专家对指标的赋值情况, 所得结果更能反映全体专家意见, 而且, 由改进方法得到的权重, 第二组的A 2比第一组的小, 与定性分析相符。
对于例2, 根据不同专家对指标的赋值不同, 由P 的定义, 可知中间指标可在1和P 之间取值, 现任取一组, 赋值结果如表8。
由改进方法求得A 1, A 2, A 3的权重分别为0. 108, 0. 389, 0. 503。可以看出, 改进方法相对提高了A 1所占比重, 降低了A 3的比重, 克服了文[2]的缺陷。
由以上分析, 可以看出, 改进方法较文[2]相比, 由于充分利用并有效合理地统计了各专家意见, 重新给出了指标A j 和比率P 的确定方法, 使P 作为最重要指标与最不重要指标的比值, 避免了例1将A 2作为基准而导致的逻辑上的矛盾。因而所得结果更具有合理性与准确性。
指标A 1指标A 2指标A 3比率P
表8
K 11344
K 21535
K 31466
4 两点说明
本文所给方法对于构造的判断矩阵还具有如下特点:
138
系统工程理论与实践1998年8月
可由下例说明:
例3 设有三项指标A 1, A 2, A 3, 得到的综合赋值分别为1, 3, 9, 由改进方法构造判断矩阵:
11/3
A =
3
1
1/91/7
971
由判断矩阵知, a 32=7; 而通过对三项指标综合赋值的分析可知, 按AHP 法中1-9的标度和标准, A 2比A 1稍微重要, A 3比A 1极端重要, 由定性分析, A 3应比A 2明显重要, 赋值为7。可见, 定性分析与计算结果相符。
2) 判断矩阵具有很好的一致性
以前面例2进行说明:
对例2, 由文[2]方法求得一致性指标CI =0. 012, CR =0. 020。由改进方法求得一致性指标CI =0. 0026, CR =0. 004。很显然, 由改进方法求得的一致性要比文[2]好得多。参考文献
1 赵焕臣等. 层次分析法. 北京:科学出版社, 1986
3 王懋赞, 刘民超, 刘文山. 如何增加层次分析法中判断矩阵的一致性. 系统工程理论与实践, 1993, 13
(1) :61～63
3 左军. 层次分析法中判断矩阵的间接给出方法. 系统工程, 1988, 6(6) :56～63
4 王莲芬. 层次析法中排序权数的计算方法. 系统工程理论与实践, 1987, 7(2) :31～375 陈迁, 王浣尘. A HP 方法判断尺度的合理定义。系统工程, 1996, 14(5) :18～20
(上接第133页)
表1计算结果表明, 在学位质量评价中, A 1、而在各自的变化过程中, A 2、A 3、A 4、A 5的重要性是依次递减的。A 1即培养条件的重要性越来越显著, 这与现实情况是完全吻合的。
致谢 衷心感谢章志敏教授给予的热情支持和帮助
参考文献
1 林钧昌. 层次分析法在硕士学位质量评价中的应用. 华东运筹, 1990, 11(1)
2 林钧昌, 赵强. 一种综合评估硕士研究生学位论文及科研能力的方法. 曲阜师范大学学报(自然版) ,
1991, 17(3)
3 Saat y T L. T he A naly tic Hier ar chy Pr ocess. M cGr aw hill, Juc. N ew Y or k, 19804 王莲芬. 梯度特征向量排序法的推导和改进. 系统工程理论与实践, 1989, 19(3)
1998年8月系统工程理论与实践第8期
AHP 法中判断矩阵的一种构造方法
王培光 关秀翠 王清霞
(河北大学数学系, 保定071002)
摘要 给出一种新的判断矩阵的构造方法, 该方法克服了已有文献中的不足, 结果表明该方法给出了
较好的一致性和传递性。
关键词 层次分析法 一致性 传递性
Construction of Judgement M atrix in AHP
Wang Peig uang Guan Xiucui Wang Qing xia
(D epar tment o f mathematics, Hebei U niver sity , Ba oding 070012)
Abstract I n t his paper , a new judgement mat rix is given, in w hich the shor tco ming o f g iven r esults is o ver co med. T he result illustrat es that the metho d has g oo d consistency, r easo nableness and accur acy.
Keywords A HP ; consistency ; t ransitivit y
1 问题的提出
层次分析法是综合定性与定量分析, 对多目标多准则的系统进行分析评价的一种方法。它将以人的主观判断为主的定性分析进行量化, 用数值(判断尺度) 替代方案的差异, 供决策参考。因而这种方法有着广泛的应用性[1]。但在实际应用时, 遇到的主要问题是:1) 对指标两两对比的比较标度(1-9) 难以判断, 特别当指标都比较重要时; 2) 判断矩阵的一致性较差。目前已有一些关于层次分析法改进的工作[2～5], 其中文[2]采用指标排序和数理统计的方法, 给出一种判断矩阵的构造方法, 所给方法适用于评价体系包括多个指标, 而又不易确定两者比值的情况, 但对于层次关系较多, 而每一层次的评价指标个数不多的评价体系, [2]所给方法就很难准确合理地确定出指标间的关系。本文给出一种新的判断矩阵的构造方法, 既能克服上述缺陷, 又能得到很好的一致性。
2 需要改进的几个问题
文[2]给出综合专家意见, 构造判断矩阵的方法如下:假定评价体系包括n 个指标A 1, A 2, …, A n , 参加评判专家m 人。
1) 请参评专家对各评价指标的重要性进行排序, 同时给出最重要指标与最不重要指标的比率P , P 的确定按A HP 法中1-9的标度和标准。
表1
序号指标赋值
n
n -1n -2
…
2
1
1
2
3
…
n -1
n
2) 对每个专家的评判, 按每个指标的排序进行赋值, 序号越小赋值越大。
本文于1997年1月9日收到
第8期
关于A HP 法中判断矩阵的一种构造方法135
k
设第k 个专家对第i 个指标的赋值为a k i , 由a i 可求出第i 个指标的平均赋值
a i =
设第k 个专家对P 的主观印象为P k , 则
m
a k i /m i =1, 2, …, n
(2. 1)
k =1
P =
由a i , P 构造判断矩阵
a ij =
上述方法存在的问题:
m
P k /m (2. 2)
k =1
(a -a ) (P -1)
+1; a i ≥ j
(a max -a min ) 1
(a -a ) (P -1)
+1 a i
(a max -a min )
(2. 3)
1) 对指标按文[2]赋值, 当排序后指标的重要性差异不相同或两指标同等重要时, 这种方法不能准确反映各指标间的关系。
2) 对同一组指标, 不同专家所指定的最不重要指标可能不同, 因而导致对各指标赋值的基准不同。所以对某个指标的综合赋值采用各专家所赋值的平均是不太合理的。
3) 由于比率P 选取方法与2) 相同, 也可能相对于同基准, 且可能导致与定性分析不一致的结果。例1 设有两组专家(每组5人) , 分别对指标A 1, A 2进行赋值, 见表2, 表3。
表2
K 1
指标A 1指标A 2比率P
215
K 2213
K 3214
K 4122
K 5126
指标A 1指标A 2比率P
K 1215
表3
K 2213
K 3214
K 4122
K 5122
其中P 表示专家K i 认为最重要指标与最不重要指标的比率。
由文[2]方法计算可得:
第一组A 1, A 2的权重分别为0. 80, 0. 20; 第二组A 1, A 2的权重分别为0. 762, 0. 238。
通过以上两组数据可以看出, 若前四个人对指标和P 的赋值相同, 最后一人对指标赋值相同, 而第二组中的P 值比第二组中的小, 按定性分析, 第二组中A 2的权重应相应变小, 而结果却恰恰相反, 即逻辑上的矛盾没有消除。通过分析可知, 每组数据的P 不是以同一指标为基准的, 且第一组数据在构造判断矩阵时, 由于a 1>a 2, 因而第一组所得权重是下述赋值的结果, 如表4。
即例1将A 2作为基准, 导致上述逻辑上的矛盾。
4) 对于基准一样的赋值情况, 由于各专家所赋最大值的指标可能不同, 因而其算术平均值不能作为最重要指标与基准指标的比值。
例2 设三个专家对指标A 1, A 2, A 3赋值, 赋值结果如表5。
表4
K 1
指标A 1指标A 2比率P
215
K 2213
K 3214
K 4212
K 5216
指标A 1指标A 2指标A 3比率P
表5
K 11234
K 21325
K 31236
其中P 分别表示指标A 3, A 2, A 3相对于A 1值, 其算术平均值为P =5。
23,
136
系统工程理论与实践1998年8月
因而增大了A 3所占比重, 缩小了A 1的比重, 同时也将影响指标A 2。
3 改进方法
通过上述分析, 本文给出进一步的改进方法。
假定评价体系包括n 个指标A 1, A 2, …, A n , 参加评判专家m 人。
1) 对每组指标, 先找出最重要指标与最不重要指标, 并确定两者比率P (按A HP 法中的标度和标准) 。2) 将各指标按重要程度从小到大排序, 以最不重要指标为基准(赋值为1) , 将各项指标与其比较, 按重要程度进行赋值(按A HP 法中的标度和标准) 。由此通过排序可以消除逻辑上的不一致性, 减轻两两对比难度, 且将P 的确定和各指标赋值统一起来。
3. 1 关于指标A j 的综合赋值方法
将m 个专家对n 个指标所赋的值分成r 块, 分别记为A [1], A [2], …, A [r ]; 其中矩阵A [k ]的行表示以A k 为最不重要指标的专家数, 记作m k , 列表示将指标A k 作为基准, 对各指标A 1, A 2, …, A n 所赋的值。具体形式为:
A 1a k 11,
A [k ]=
a k 21, a k m 1,
这里a =1, 1≤a ≤9, 且
k
ik
k ij
A 2a k 12, a k 22, a k m 2,
……… …
A k -1a k 1, k -1, a k 2, k -1, a k m , k -1,
A k 1, 1, 1,
A k +1a k 1, k +1, a k 2, k +1, a k m , k +1,
… A n …… …
a k a k 1n a k 2n
(3. 1)
r
m k =m (i =1, 2, …, m k ; j =1, 2, …, n ) 。
k =1
对于分块矩阵A [k ], 因各指标赋值均以A k 为基准, 从而可对A [k ]中各列分别求均值
-a k j =
m k
a k ij /m k j =1, 2, …, n
(3. 2)
-k -k
由(3. 2) 可得行向量-A k =(-a k 1, a 2, …, a n ) , 其中表示以A k 为最不重要指标的m k 个专家对n 个指标所
赋的值。将行向量正规化, 可得每个指标A j 在-A k 中所占的比重
a =-a k j
k
j
i =1
n
-a k j
(3. 3)
-, …, - 对所有分块矩阵作上述处理, 可分别得到(-A 1, A A r ) 。2
注 如果某个专家对n 个指标所赋值中, A i 与A j (i
对于每个分块矩阵A [k ](k =1, 2, …, r ) ; 因行数m k 不同, 其在专家数m 中所占比重也不同, 因而需考虑m k 在m 中所占比重, 称m k /m 为a k j 的权系数。
综合上述分析, 可得指标A j 的综合赋值。
a j =
j =1
r
a k j m k /m j =1, 2, …, n
(3. 4)
k =1
由(3. 2) -(3. 4) 即可汇总m 个专家对n 个指标所赋的值, 得到最后的综合赋值。
上述方法既保证了各分块矩阵中各数据间具有可加性, 又通过正规化消弱了各分块矩阵间由于基准不同而带来的不一致性, 且将人数比重作为权系数加权平均, 得到的方法较文[2]更合理、更准确。3. 2 关于比率P 的综合赋值方法
由综合赋值a j 中求出最小值a min 和最大值a max , 令其所对应的下标分别为m 和M , 即a m =a min , a M =a ma x .
将A [K ]
当m =k
(3.
第8期
关于A HP 法中判断矩阵的一种构造方法137
k
与a k [k ]中所占比重P k i 求法相同, 可得A m , A M 在A ′min 和P max
m k
P k min =m k n
m k m k k
a k ij /a im
i =1j =1
(3. 6)
a /a
n
k a k ij /a im k iM
k im
P k max =
与a i 求法相同, 可得到P min 和P ma x 。
P min =
P 的综合赋值为P =P max /P min
i =1j =1
r
p k min m k /m ; P max =
k =1
r
p k max m k /m ; (3. 7) (3. 8)
k =1
通过以上对a i 和P 的求解, 相应的构造判断矩阵
(a i -a j ) (P -1)
+1; a i ≥a j
(a ma x -a min )
a ij =
(a -a ) (P -1) 1+1; a i
(a ma x -a min ) 对于例1, 利用本文方法对指标A 1, A 2的两组赋值结果如表6, 表7。
表6
K 1
指标A 1指标A 2比率P
515
K 2313
K 3414
K 4122
K 5166
指标A 1指标A 2比率P
K 1515
(3. 9)
改进后的方法可弥补文[2]存在的不足。仍以前面考察的两个例子为例, 说明改进方法的合理性。
表7
K 2313
K 3414
K 4122
K 5122
由改进方法计算a i 和P , 并可求得:
第一组A 1, A 2的权重分别为0. 58, 0. 42;
第二组A 1, A 2的权重分别为0. 613, 0. 387。
由以上数据可以看出, 两组权重都较例1缩小差距, 结合专家对指标的赋值情况, 所得结果更能反映全体专家意见, 而且, 由改进方法得到的权重, 第二组的A 2比第一组的小, 与定性分析相符。
对于例2, 根据不同专家对指标的赋值不同, 由P 的定义, 可知中间指标可在1和P 之间取值, 现任取一组, 赋值结果如表8。
由改进方法求得A 1, A 2, A 3的权重分别为0. 108, 0. 389, 0. 503。可以看出, 改进方法相对提高了A 1所占比重, 降低了A 3的比重, 克服了文[2]的缺陷。
由以上分析, 可以看出, 改进方法较文[2]相比, 由于充分利用并有效合理地统计了各专家意见, 重新给出了指标A j 和比率P 的确定方法, 使P 作为最重要指标与最不重要指标的比值, 避免了例1将A 2作为基准而导致的逻辑上的矛盾。因而所得结果更具有合理性与准确性。
指标A 1指标A 2指标A 3比率P
表8
K 11344
K 21535
K 31466
4 两点说明
本文所给方法对于构造的判断矩阵还具有如下特点:
138
系统工程理论与实践1998年8月
可由下例说明:
例3 设有三项指标A 1, A 2, A 3, 得到的综合赋值分别为1, 3, 9, 由改进方法构造判断矩阵:
11/3
A =
3
1
1/91/7
971
由判断矩阵知, a 32=7; 而通过对三项指标综合赋值的分析可知, 按AHP 法中1-9的标度和标准, A 2比A 1稍微重要, A 3比A 1极端重要, 由定性分析, A 3应比A 2明显重要, 赋值为7。可见, 定性分析与计算结果相符。
2) 判断矩阵具有很好的一致性
以前面例2进行说明:
对例2, 由文[2]方法求得一致性指标CI =0. 012, CR =0. 020。由改进方法求得一致性指标CI =0. 0026, CR =0. 004。很显然, 由改进方法求得的一致性要比文[2]好得多。参考文献
1 赵焕臣等. 层次分析法. 北京:科学出版社, 1986
3 王懋赞, 刘民超, 刘文山. 如何增加层次分析法中判断矩阵的一致性. 系统工程理论与实践, 1993, 13
(1) :61～63
3 左军. 层次分析法中判断矩阵的间接给出方法. 系统工程, 1988, 6(6) :56～63
4 王莲芬. 层次析法中排序权数的计算方法. 系统工程理论与实践, 1987, 7(2) :31～375 陈迁, 王浣尘. A HP 方法判断尺度的合理定义。系统工程, 1996, 14(5) :18～20
(上接第133页)
表1计算结果表明, 在学位质量评价中, A 1、而在各自的变化过程中, A 2、A 3、A 4、A 5的重要性是依次递减的。A 1即培养条件的重要性越来越显著, 这与现实情况是完全吻合的。
致谢 衷心感谢章志敏教授给予的热情支持和帮助
参考文献
1 林钧昌. 层次分析法在硕士学位质量评价中的应用. 华东运筹, 1990, 11(1)
2 林钧昌, 赵强. 一种综合评估硕士研究生学位论文及科研能力的方法. 曲阜师范大学学报(自然版) ,
1991, 17(3)
3 Saat y T L. T he A naly tic Hier ar chy Pr ocess. M cGr aw hill, Juc. N ew Y or k, 19804 王莲芬. 梯度特征向量排序法的推导和改进. 系统工程理论与实践, 1989, 19(3)