运算定律与简便计算
一、考点、热点回顾
1、运算定律：
1. 加法运算定律：
1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a +b=b +a
2、加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。（a+ b）+ c=a+ (b+ c) 加法的这两个定律往往结合起来一起使用。如：１６５+９３+３５＝９３+（１６５+３５）依据是什么？
3、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。a-b-c=a - (b+ c)
2. 乘法运算定律：
1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。a×b=b×a
2、乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。（ a×b ）× c = a× (b×c )
乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。如：１２５×７８×８的简算
3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加。（a+b）×c=a×c+b×c (a－b)×c ＝a×c －b×c
乘法分配律的应用：
② 型一：（a+b）×c= a×c ＋b ×c (a－b) ×c = a×c －b ×c
②类型二：a ×c ＋b ×c=（a+b）×c a×c －b ×c=(a－b) ×c
③类型三：a ×99＋a = a×（99+1） a×b －a= a×（b －1）
④类型四：
a ×99 a×102
= a×（100－1） = a×（100+2）
= a×100－a ×1 = a×100+a×2
2、简便计算
1．连加的简便计算：
①使用加法结合律（把和是整十、整百、整千、的结合在一起）
②个位：1与9，2与8，3与7，4与6，5与5，结合。
③十位：0与9，1与8，2与7，3与6，4与5，结合。
2．连减的简便计算：
①连续减去几个数就等于减去这几个数的和。如：106-26-74=106-（26 + 74）
②减去几个数的和就等于连续减去这几个数。如： 106-（26+74）=106-26-74
3．加减混合的简便计算：
第一个数的位置不变，其余的加数、减数可以交换位置（可以先加，也可以先减）
例如：123+38-23=123-23+38 146-78+54=146+54-78
4．连乘的简便计算：
使用乘法结合律：把常见的数结合在一起 25与4； 125与8 ；125与80 等
看见25就去找4，看见125就去找8；
5．连除的简便计算：
①连续除以几个数就等于除以这几个数的积。
②除以几个数的积就等于连续除以这几个数。
6. 乘、除混合的简便计算：
第一个数的位置不变，其余的因数、除数可以交换位置。（可以先乘，也可以先除）
例如：27×13÷9=27÷9×13
连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。a÷b÷c = a÷(b×c) 3、关于“0”的运算
1、“0”不能做除数； 字母表示：a÷0错误
2、一个数加上0还得原数； 字母表示：a ＋0= a
3、一个数减去0还得原数； 字母表示：a －0= a
4、被减数等于减数，差是0； 字母表示：a －a = 0
5、一个数和0相乘，仍得0； 字母表示：a×0= 0
6、0除以任何非0的数，还得0； 字母表示：0÷a （a ≠0）= 0
7、0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商
二、典型例题
四、乘法交换律简算例子： 五、乘法结合律简算例子：
25×56×4 99×125×8
六、含有加法交换律与结合律的简便计算：
65+28+35+72
七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：
25×125×4×8
三、课堂练习
例1. 用简便方法计算下式：
（1）63+16+84 （2）76+15+24 （3）140+639+860
2. 减法的性质
注：这些都是由加法交换律和结合律衍生出来的。
减法性质①：如果一个数连续减去两个数，那么后面两个减数的位置可以互换。 例2. 简便计算：
198-75-98
减法性质②：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两个数的和。
例3. 简便计算：
（1）369-45-155 （2）896-580-120
例4. 拆分、凑整法简便计算
拆分法：当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整百、整千与一个较小数的和，然后利用加减法的交换、结合律进行简便计算。例如：103=100+3，1006=1000+6，„
凑整法：当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个整百、整千的数减去一个较小的数的形式，然后利用加减法的运算定律进行简便计算。例如：97=100-3，998=1000-2，„
注意：拆分凑整法在加、减法中的简便不是很明显，但和乘除法的运算定律结合起来就具有很大的简便了。
例4. 计算下式，能简便的进行简便计算：
（1）89+106 （2）56+98 （3）658+997
（4）89+997 （5）103-60 （6）458+996
（7）876-580+220 （8）997+840+260 （9）956—197-56
（二）乘除法运算定律
1. 乘法交换律
定义：交换两个因数的位置，积不变。
例如：85×18=18×85 23×88=88×23
2. 乘法结合律
定义：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。
乘法结合律的应用基于要熟练掌握一些相乘后积为整十、整百、整千的数。
例如：25×4=100, 250×4=1000
125×8=1000， 125×80=10000
例5. 简便计算：
（1）24×17×4 （2）125×33×8 （3）32×25×125
（4）24×25×125 （5）48×125×63 （6）25×15×16
3. 乘法分配律
定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
简便计算中乘法分配律及其逆运算是运用最广泛的一个，一个要掌握它和它的逆运算。 例6. 简便计算：
（1）125×（8＋16） （2）150×63＋36×150＋150 （3）12×99＋12
（4）33×101-33 (5)98×99 (6)68×102
4. 除法的性质（连除）
类似于加减法的运算定律，除法的交换律和结合律是由乘法的运算定律率衍生出来的。除法的性质①：从被除数里面连续除以两个数，交换这两个除数的位置商不变。 字母表示：
bcacba
例7. 简便计算：1000÷25÷8
除法的性质②：从被除数里面连续除以两个数，等于被除数除以这两个数的积。 例7. 简便计算：
1000÷25÷4 1000÷125÷8 1000÷4÷25
四、课后巩固
一、解决问题。
1、同学们去军区演出，四年级去113人，五年级去272人，六年级去87人。三个年级一共去多少人？
2、粮店运进一批大米，大、小袋各16袋，大袋每袋50千克，小袋每袋25千克。一共运进大米多少千克？
3、一个工程队要用一个月的时间挖一条长2670米的水渠，已知上旬挖了1016米，中旬挖了984米。要想按期完成任务，下旬需要挖多少米？
4、学校要做4800面彩旗，把这个任务交给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？
5、 一座大楼有25层，每层有24个窗口，每个窗口有4块玻璃，这座大楼一共有多少块玻璃？
6、某工厂原计划一年生产农具4800部, 实际用10个月就完成了任务, 实际平均每月比原计划每月多生产多少部农具?
7、45×（20×39）＝（45×20）×39 这是应用了（ ）律。
8、用简便方法计算376＋592＋24，要先算（ ），这是根据（ ）律。
9、根据运算定律，在□里填上适当的数，在○里填上适当的运算符号。
（1）a+（30+8）＝（□+□）+8 （2）45×□＝32×□
（3）25×（8－4）＝ × ○ × .
（4）496－120－230=496－（ ○ ）
（5）375－（25+50）=375－ ○ .
10、在○里填上“＞”“＜”或“=”。
(1)960-60+20○ 960-（60+20） (2) 496-120-230○496-（120+230）
(3)198×8×l0○198×8+10 (4) 720 ÷ 36 ÷ 2○720÷（36÷2）
(5)342+56-107○342-107+56 (6)（65 + 13）×4○65 × 4 + 13
11、判断。（对的在括号里面打“√”，错的打“×” ）
1、25×（4＋8）=25×4＋2×58„（ ）
2、（32＋4）×25=32+4×25 „（ ）
3、180÷5÷4=180÷（5×4）„（ ）
4、125×4×25×8=（125×8）+（4×25）„（ ）
5、52+83+48=83+（52+48）这一步计算只运用了加法交换律。„（ ）
6、31＋23＋77=31＋100„ （ ）
7、136－68＋32=136－（68＋32）„（ ）
8、412＋78＋22=412＋（78＋22）„（ ）
9、17×99＋1=17×100„（ ）
二、应用题
1．雄城商场1—4季度分别售出冰箱269台、67台、331台和233台。雄城商场全年共售出冰箱多少台？
2．第三小组六个队员的身高分别是128厘米、136厘米、140厘米、132厘米、124厘米、126厘米。他们的平均身高是多少？
3．一台磨面机每小时磨面800千克，照这样计算，6台磨面机5小时能磨面粉多少千克？(用两种方法解答)
4．一堆煤共800吨，用5辆卡车，16次可以运完，平均每辆卡车每次运几吨？
5．一辆汽车6小时行了300千米，一列火车6小时行了600千米，火车比汽车每小时多行多少千米？
6．向阳小学气象小组一周中，测得每天的最高气温分别为：31、31、34、32、33、30、33度．这一周最高平均气温是多少度？
7．上午冰雕区有游人180位，下午有270位。如果每30位游人需要一名保洁员，下午
比上午多派几名保洁员？（两种方法）
8. 能简算就简算
25×24 125×32 540÷2÷27
8900÷25÷4 2000÷8÷125 99×36+36
38×99+99 37×96+37×3+37
三、解决问题，能简便的就简便计算。
1、同学们去军区演出，四年级去113人，五年级去272人，六年级去87人。三个年级一共去多少人？
2、粮店运进一批大米，大、小袋各16袋，大袋每袋50千克，小袋每袋25千克。一共运进大米多少千克？
3、一个工程队要用一个月的时间挖一条长2670米的水渠，已知上旬挖了1016米，中旬挖了984米。要想按期完成任务，下旬需要挖多少米？
4、学校要做4800面彩旗，把这个任务交给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？
5、 一座大楼有25层，每层有24个窗口，每个窗口有4块玻璃，这座大楼一共有多少块玻璃？
6、 仓库共有960吨水泥，用15辆车分8次运完，平均每辆车每次运多少吨水泥？
7、列式计算。
1、138与62的和与29相乘，积是多少？ 2、125乘80减8的差，积是多少？
3、1000除以25乘5的积，商是多少？ 4、1700乘4再乘25，结果是多少？
运算定律与简便计算
一、考点、热点回顾
1、运算定律：
1. 加法运算定律：
1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a +b=b +a
2、加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。（a+ b）+ c=a+ (b+ c) 加法的这两个定律往往结合起来一起使用。如：１６５+９３+３５＝９３+（１６５+３５）依据是什么？
3、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。a-b-c=a - (b+ c)
2. 乘法运算定律：
1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。a×b=b×a
2、乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。（ a×b ）× c = a× (b×c )
乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。如：１２５×７８×８的简算
3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加。（a+b）×c=a×c+b×c (a－b)×c ＝a×c －b×c
乘法分配律的应用：
② 型一：（a+b）×c= a×c ＋b ×c (a－b) ×c = a×c －b ×c
②类型二：a ×c ＋b ×c=（a+b）×c a×c －b ×c=(a－b) ×c
③类型三：a ×99＋a = a×（99+1） a×b －a= a×（b －1）
④类型四：
a ×99 a×102
= a×（100－1） = a×（100+2）
= a×100－a ×1 = a×100+a×2
2、简便计算
1．连加的简便计算：
①使用加法结合律（把和是整十、整百、整千、的结合在一起）
②个位：1与9，2与8，3与7，4与6，5与5，结合。
③十位：0与9，1与8，2与7，3与6，4与5，结合。
2．连减的简便计算：
①连续减去几个数就等于减去这几个数的和。如：106-26-74=106-（26 + 74）
②减去几个数的和就等于连续减去这几个数。如： 106-（26+74）=106-26-74
3．加减混合的简便计算：
第一个数的位置不变，其余的加数、减数可以交换位置（可以先加，也可以先减）
例如：123+38-23=123-23+38 146-78+54=146+54-78
4．连乘的简便计算：
使用乘法结合律：把常见的数结合在一起 25与4； 125与8 ；125与80 等
看见25就去找4，看见125就去找8；
5．连除的简便计算：
①连续除以几个数就等于除以这几个数的积。
②除以几个数的积就等于连续除以这几个数。
6. 乘、除混合的简便计算：
第一个数的位置不变，其余的因数、除数可以交换位置。（可以先乘，也可以先除）
例如：27×13÷9=27÷9×13
连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。a÷b÷c = a÷(b×c) 3、关于“0”的运算
1、“0”不能做除数； 字母表示：a÷0错误
2、一个数加上0还得原数； 字母表示：a ＋0= a
3、一个数减去0还得原数； 字母表示：a －0= a
4、被减数等于减数，差是0； 字母表示：a －a = 0
5、一个数和0相乘，仍得0； 字母表示：a×0= 0
6、0除以任何非0的数，还得0； 字母表示：0÷a （a ≠0）= 0
7、0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商
二、典型例题
四、乘法交换律简算例子： 五、乘法结合律简算例子：
25×56×4 99×125×8
六、含有加法交换律与结合律的简便计算：
65+28+35+72
七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：
25×125×4×8
三、课堂练习
例1. 用简便方法计算下式：
（1）63+16+84 （2）76+15+24 （3）140+639+860
2. 减法的性质
注：这些都是由加法交换律和结合律衍生出来的。
减法性质①：如果一个数连续减去两个数，那么后面两个减数的位置可以互换。 例2. 简便计算：
198-75-98
减法性质②：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两个数的和。
例3. 简便计算：
（1）369-45-155 （2）896-580-120
例4. 拆分、凑整法简便计算
拆分法：当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整百、整千与一个较小数的和，然后利用加减法的交换、结合律进行简便计算。例如：103=100+3，1006=1000+6，„
凑整法：当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个整百、整千的数减去一个较小的数的形式，然后利用加减法的运算定律进行简便计算。例如：97=100-3，998=1000-2，„
注意：拆分凑整法在加、减法中的简便不是很明显，但和乘除法的运算定律结合起来就具有很大的简便了。
例4. 计算下式，能简便的进行简便计算：
（1）89+106 （2）56+98 （3）658+997
（4）89+997 （5）103-60 （6）458+996
（7）876-580+220 （8）997+840+260 （9）956—197-56
（二）乘除法运算定律
1. 乘法交换律
定义：交换两个因数的位置，积不变。
例如：85×18=18×85 23×88=88×23
2. 乘法结合律
定义：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。
乘法结合律的应用基于要熟练掌握一些相乘后积为整十、整百、整千的数。
例如：25×4=100, 250×4=1000
125×8=1000， 125×80=10000
例5. 简便计算：
（1）24×17×4 （2）125×33×8 （3）32×25×125
（4）24×25×125 （5）48×125×63 （6）25×15×16
3. 乘法分配律
定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
简便计算中乘法分配律及其逆运算是运用最广泛的一个，一个要掌握它和它的逆运算。 例6. 简便计算：
（1）125×（8＋16） （2）150×63＋36×150＋150 （3）12×99＋12
（4）33×101-33 (5)98×99 (6)68×102
4. 除法的性质（连除）
类似于加减法的运算定律，除法的交换律和结合律是由乘法的运算定律率衍生出来的。除法的性质①：从被除数里面连续除以两个数，交换这两个除数的位置商不变。 字母表示：
bcacba
例7. 简便计算：1000÷25÷8
除法的性质②：从被除数里面连续除以两个数，等于被除数除以这两个数的积。 例7. 简便计算：
1000÷25÷4 1000÷125÷8 1000÷4÷25
四、课后巩固
一、解决问题。
1、同学们去军区演出，四年级去113人，五年级去272人，六年级去87人。三个年级一共去多少人？
2、粮店运进一批大米，大、小袋各16袋，大袋每袋50千克，小袋每袋25千克。一共运进大米多少千克？
3、一个工程队要用一个月的时间挖一条长2670米的水渠，已知上旬挖了1016米，中旬挖了984米。要想按期完成任务，下旬需要挖多少米？
4、学校要做4800面彩旗，把这个任务交给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？
5、 一座大楼有25层，每层有24个窗口，每个窗口有4块玻璃，这座大楼一共有多少块玻璃？
6、某工厂原计划一年生产农具4800部, 实际用10个月就完成了任务, 实际平均每月比原计划每月多生产多少部农具?
7、45×（20×39）＝（45×20）×39 这是应用了（ ）律。
8、用简便方法计算376＋592＋24，要先算（ ），这是根据（ ）律。
9、根据运算定律，在□里填上适当的数，在○里填上适当的运算符号。
（1）a+（30+8）＝（□+□）+8 （2）45×□＝32×□
（3）25×（8－4）＝ × ○ × .
（4）496－120－230=496－（ ○ ）
（5）375－（25+50）=375－ ○ .
10、在○里填上“＞”“＜”或“=”。
(1)960-60+20○ 960-（60+20） (2) 496-120-230○496-（120+230）
(3)198×8×l0○198×8+10 (4) 720 ÷ 36 ÷ 2○720÷（36÷2）
(5)342+56-107○342-107+56 (6)（65 + 13）×4○65 × 4 + 13
11、判断。（对的在括号里面打“√”，错的打“×” ）
1、25×（4＋8）=25×4＋2×58„（ ）
2、（32＋4）×25=32+4×25 „（ ）
3、180÷5÷4=180÷（5×4）„（ ）
4、125×4×25×8=（125×8）+（4×25）„（ ）
5、52+83+48=83+（52+48）这一步计算只运用了加法交换律。„（ ）
6、31＋23＋77=31＋100„ （ ）
7、136－68＋32=136－（68＋32）„（ ）
8、412＋78＋22=412＋（78＋22）„（ ）
9、17×99＋1=17×100„（ ）
二、应用题
1．雄城商场1—4季度分别售出冰箱269台、67台、331台和233台。雄城商场全年共售出冰箱多少台？
2．第三小组六个队员的身高分别是128厘米、136厘米、140厘米、132厘米、124厘米、126厘米。他们的平均身高是多少？
3．一台磨面机每小时磨面800千克，照这样计算，6台磨面机5小时能磨面粉多少千克？(用两种方法解答)
4．一堆煤共800吨，用5辆卡车，16次可以运完，平均每辆卡车每次运几吨？
5．一辆汽车6小时行了300千米，一列火车6小时行了600千米，火车比汽车每小时多行多少千米？
6．向阳小学气象小组一周中，测得每天的最高气温分别为：31、31、34、32、33、30、33度．这一周最高平均气温是多少度？
7．上午冰雕区有游人180位，下午有270位。如果每30位游人需要一名保洁员，下午
比上午多派几名保洁员？（两种方法）
8. 能简算就简算
25×24 125×32 540÷2÷27
8900÷25÷4 2000÷8÷125 99×36+36
38×99+99 37×96+37×3+37
三、解决问题，能简便的就简便计算。
1、同学们去军区演出，四年级去113人，五年级去272人，六年级去87人。三个年级一共去多少人？
2、粮店运进一批大米，大、小袋各16袋，大袋每袋50千克，小袋每袋25千克。一共运进大米多少千克？
3、一个工程队要用一个月的时间挖一条长2670米的水渠，已知上旬挖了1016米，中旬挖了984米。要想按期完成任务，下旬需要挖多少米？
4、学校要做4800面彩旗，把这个任务交给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？
5、 一座大楼有25层，每层有24个窗口，每个窗口有4块玻璃，这座大楼一共有多少块玻璃？
6、 仓库共有960吨水泥，用15辆车分8次运完，平均每辆车每次运多少吨水泥？
7、列式计算。
1、138与62的和与29相乘，积是多少？ 2、125乘80减8的差，积是多少？
3、1000除以25乘5的积，商是多少？ 4、1700乘4再乘25，结果是多少？