1.2.1_充分条件与必要条件充要条件学案

§1.2.1 充分条件与必要条件

一、学习目标

1. 理解必要条件和充分条件的意义；2. 能判断两个命题之间的关系. 二、新课导学 问题：

1. 命题“若x3，则x2”

（1）判断该命题的真假； （2）改写成“若p，则q”的形式，则 p： ；q： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： （符号语言）. 2. 命题“若ab0,则a0”

（1）判断该命题的真假； （2）改写成“若p，则q”的形式，则

p： ；q： （3）如果该命题不是真命题，则可记为：

（符号语言）.

新知：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.我们就说,由p推

出q,记作pq,并且说p是q的 q是p的 .

试试：用符号“”与“”填空：(小结：判断命题的真假是解题的关键). （1） x2y2xy；

（2） 内错角相等 两直线平行；

（3） 整数a能被6整除 a的个位数为偶数； （4） acbc ab.

三、典型例题 例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件(q是p必要条件）？ （1）若x1，则x24x30；

（2）若f(x)x，则f(x)在(,)上为增函数； （4）若x为无理数，则x2为无理数.

（5）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （6）若x5，则x10

（7）若xa2b2，则x2ab

例2 下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件(p是q的充分条件)？ （1）若xy，则x2y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若ab，则acbc

（4）若a5是无理数，则a是无理数； （5）若(xa)(xb)0，则xa.

练1. 判断下列命题的真假.

（1）x2是x24x40的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sinsin是的充分条件； （4）ab0是a0的充分条件.

练2. 下列各题中，p是q的什么条件？ （1）p：x1，q

：x1 （2）p：|x2|3，q：1x5；

（3）p：x2，q

：x3

（4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.

四、总结提升 §1.2.2 充要条件

设A,B为两个集合,集合AB，那么xA是xB的 条件，xB是xA的一、学习目标条件. 练习. 已知A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}. (1)如果AB,那么p是q的什么条件?

(2)如果BA,那么p是q的什么条件?

五、课后作业：1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.

A.平行四边形对角线相等

B.四边形两组对边相等

C.四边形的对角线互相平分

D.四边形的对角线垂直

2.x,yR，下列各式中哪个是“xy0”的必要条件？（ ）.

A.xy0 B.x2y20

C.xy0 D.x3y30

3.平面//平面的一个充分条件是（ ）.

A.存在一条直线a,a//,a//

B.存在一条直线a,a,a//

C.存在两条平行直线a,b,a,b,a//,b//

D.存在两条异面直线a,b,a,b,a//,b// 4.p:x20,q：(x2)(x3)0，p是q的 条件. 5. p：两个三角形相似；q：两个三角形全等，p 是q的 条件. 6. 判断下列命题的真假 （1）“ab”是“a2b2

”的充分条件； （2）“|a||b|”是“a2b2

”的必要条件.

1. 理解充要条件的概念；2. 了解充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性. 二、新课导学

（预习教材P11~ P12，找出疑惑之处） 复习1：什么是充分条件和必要条件? 复习2：p：一个四边形是矩形q：四边形的对角线相等.p是q的什么条件? 探究任务一：充要条件概念 问题：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p是q的什么条件?q

又是p的什么条件?

新知：如果pq,那么p与q互为 练习1：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？ （1）若平面外一条直线a与平面内一条直线平行，则直线a与平面平行；

（2）若直线a与平面内两条直线垂直，则直线a 与平面垂直.

反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题. 三、 典型例题

例1 下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1) p: b0,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数； (2) p: x0,y0, q:xy0 (3) p: ab ， q:acbc

变式1：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p是q的充要条件?

(1) p: b0 ,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数； (2) p: x0,y0, q:xy0 (3) p: ab ， q:acbc

小结：判断是否充要条件的方法

练习2：在下列各题中, p是q的充要条件? (1) p:x23x4 , q

:x(2) p: x30, q:(x3)(x4)0 (3) p: b24ac0(a0) ,

q:ax2bxc0(a0)

(4) p: x1是方程ax2bxc0的根 q:abc0

例2 已知：圆O的半径为r，圆心O到直线的距离为d.求证:dr是直线l与圆O相切的

充要条件.

小结：证明充要条件既要证明 又要证明 . 练3. 下列各题中p是q的什么条件？

（1）p：x1，q

：x1 （2）p：|x2|3，q：1x5 ； （3）p：x2，q

：x3；

（4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.

练4. 求圆(xa)2(yb)2r2经过原点的充要条件.

四、知识拓展

设A、B为两个集合，集合AB是指xAxB，则“xA”与“xB”互为 件. 五、 课后作业

1. 下列命题为真命题的是（ ）. A.ab是a2b2的充分条件 B.|a||b|是a2b2的充要条件 C.x21是x1的充分条件 D.是tantan 的充要条件 2.“xM

N”是“xM

N”的（ ）.

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设p：b24ac0(a0)，q：关于x的方程ax2bxc0(a0)有实根，则p是q的（A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.2x25x30的一个必要不充分条件是（ ）.

A.12x3 B.1

2

x0 C.3x12 D.1x6

5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1).x3是x5的(2).x3是x22x30的

(3).两个三角形全等是两个三角形相似的

. ）

§1.2.1 充分条件与必要条件

一、学习目标

1. 理解必要条件和充分条件的意义；2. 能判断两个命题之间的关系. 二、新课导学 问题：

1. 命题“若x3，则x2”

（1）判断该命题的真假； （2）改写成“若p，则q”的形式，则 p： ；q： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： （符号语言）. 2. 命题“若ab0,则a0”

（1）判断该命题的真假； （2）改写成“若p，则q”的形式，则

p： ；q： （3）如果该命题不是真命题，则可记为：

（符号语言）.

新知：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.我们就说,由p推

出q,记作pq,并且说p是q的 q是p的 .

试试：用符号“”与“”填空：(小结：判断命题的真假是解题的关键). （1） x2y2xy；

（2） 内错角相等 两直线平行；

（3） 整数a能被6整除 a的个位数为偶数； （4） acbc ab.

三、典型例题 例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件(q是p必要条件）？ （1）若x1，则x24x30；

（2）若f(x)x，则f(x)在(,)上为增函数； （4）若x为无理数，则x2为无理数.

（5）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （6）若x5，则x10

（7）若xa2b2，则x2ab

例2 下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件(p是q的充分条件)？ （1）若xy，则x2y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若ab，则acbc

（4）若a5是无理数，则a是无理数； （5）若(xa)(xb)0，则xa.

练1. 判断下列命题的真假.

（1）x2是x24x40的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sinsin是的充分条件； （4）ab0是a0的充分条件.

练2. 下列各题中，p是q的什么条件？ （1）p：x1，q

：x1 （2）p：|x2|3，q：1x5；

（3）p：x2，q

：x3

（4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.

四、总结提升 §1.2.2 充要条件

设A,B为两个集合,集合AB，那么xA是xB的 条件，xB是xA的一、学习目标条件. 练习. 已知A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}. (1)如果AB,那么p是q的什么条件?

(2)如果BA,那么p是q的什么条件?

五、课后作业：1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.

A.平行四边形对角线相等

B.四边形两组对边相等

C.四边形的对角线互相平分

D.四边形的对角线垂直

2.x,yR，下列各式中哪个是“xy0”的必要条件？（ ）.

A.xy0 B.x2y20

C.xy0 D.x3y30

3.平面//平面的一个充分条件是（ ）.

A.存在一条直线a,a//,a//

B.存在一条直线a,a,a//

C.存在两条平行直线a,b,a,b,a//,b//

D.存在两条异面直线a,b,a,b,a//,b// 4.p:x20,q：(x2)(x3)0，p是q的 条件. 5. p：两个三角形相似；q：两个三角形全等，p 是q的 条件. 6. 判断下列命题的真假 （1）“ab”是“a2b2

”的充分条件； （2）“|a||b|”是“a2b2

”的必要条件.

1. 理解充要条件的概念；2. 了解充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性. 二、新课导学

（预习教材P11~ P12，找出疑惑之处） 复习1：什么是充分条件和必要条件? 复习2：p：一个四边形是矩形q：四边形的对角线相等.p是q的什么条件? 探究任务一：充要条件概念 问题：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p是q的什么条件?q

又是p的什么条件?

新知：如果pq,那么p与q互为 练习1：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？ （1）若平面外一条直线a与平面内一条直线平行，则直线a与平面平行；

（2）若直线a与平面内两条直线垂直，则直线a 与平面垂直.

反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题. 三、 典型例题

例1 下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1) p: b0,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数； (2) p: x0,y0, q:xy0 (3) p: ab ， q:acbc

变式1：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p是q的充要条件?

(1) p: b0 ,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数； (2) p: x0,y0, q:xy0 (3) p: ab ， q:acbc

小结：判断是否充要条件的方法

练习2：在下列各题中, p是q的充要条件? (1) p:x23x4 , q

:x(2) p: x30, q:(x3)(x4)0 (3) p: b24ac0(a0) ,

q:ax2bxc0(a0)

(4) p: x1是方程ax2bxc0的根 q:abc0

例2 已知：圆O的半径为r，圆心O到直线的距离为d.求证:dr是直线l与圆O相切的

充要条件.

小结：证明充要条件既要证明 又要证明 . 练3. 下列各题中p是q的什么条件？

（1）p：x1，q

：x1 （2）p：|x2|3，q：1x5 ； （3）p：x2，q

：x3；

（4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.

练4. 求圆(xa)2(yb)2r2经过原点的充要条件.

四、知识拓展

设A、B为两个集合，集合AB是指xAxB，则“xA”与“xB”互为 件. 五、 课后作业

1. 下列命题为真命题的是（ ）. A.ab是a2b2的充分条件 B.|a||b|是a2b2的充要条件 C.x21是x1的充分条件 D.是tantan 的充要条件 2.“xM

N”是“xM

N”的（ ）.

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设p：b24ac0(a0)，q：关于x的方程ax2bxc0(a0)有实根，则p是q的（A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.2x25x30的一个必要不充分条件是（ ）.

A.12x3 B.1

2

x0 C.3x12 D.1x6

5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1).x3是x5的(2).x3是x22x30的

(3).两个三角形全等是两个三角形相似的

. ）