专题 等腰（边）三角形与直角三角形
☞解读考点
☞2年中考
【2015年题组】
1．（2015来宾）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）
A．1
，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1
【答案】D．
【解析】
试题分析：A．1+2≠3，不能组成直角三角形，故错误；
2222+3≠4B．，不能组成直角三角形，故错误； 222
C．4+5≠6，不能组成直角三角形，故错误；
D．1+=，能够组成直角三角形，故正确．
故选D．
考点：勾股定理的逆定理．
2．（2015南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ） 222222
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】A．
考点：等腰三角形的性质．
3．（2015来宾）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，故选D．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．
4．（2015内江）如图，在△ABC中， AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A．
考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．
5．（2015荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
【答案】C．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
6．（2015广州）已知2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个
2
根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【答案】B．
【解析】
2试题分析：∵2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根，∴2-4m+3m=0，m=4，2
∴x-8x+12=0，解得x=2或x=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．
7．（2015丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
2
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【答案】A．
考点：等腰三角形的性质．
8．（2015龙岩）如图，
ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（ ）
A
B
C
D．1
【答案】D．
【解析】
1
试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=2∠ABC=30°，∵PC⊥BC，
∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，PC=BC•tan∠
=1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．
考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．
9．（2015乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A
B
C
D
【答案】D．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．
10．（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm
【答案】A．
B
．cm C
cm D
．cm
考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．
11．（2015德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，
1
∴△ACE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠B=2∠CED=30°．故选C．
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．轴对称的性质．
12．（2015眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B=900，∠A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=l，则AC的长是（
）
A
．23 B．2 C．43 D．4
【答案】A．
考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．
13
．（2015荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
11
A．3 B
1 C
．2 D．4
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，
AC，又
1
∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=2AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴
DE1
AC，∴tan∠DBC=BE
==3．故选A．
考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．
14．（2015襄阳）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（ ）
A
B．1 C
D．2
【答案】B．
考点：1．含30度角的直角三角形；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．
15．（2015北京市）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
【答案】D．
【解析】
1
试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=2AB=AM=1.2km．故选D．
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．应用题．
16．（2015天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
AB=AD=，
，
3
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为2，则点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A．
考点：1．等腰直角三角形；2．点到直线的距离．
17．（2015龙岩）如图，
的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（ ）
A
B
C
D．1
【答案】D．
考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．
18．（2015龙东）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5
【答案】A．
【解析】
试题分析：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，
1111
∴△ABF中，
=3，∴2×8×3=2×5×PD+2×5×PE，12=2×5×（PD+PE），
PD+PE=4.8．故选A．
考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．动点型．
19．（2015安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）
33232A． B． C．3 D．6
【答案】A．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理．
20．（2015滨州）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（ ）
A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】B．
【解析】
11
试题分析：连接OC、OC′，如图，∵∠AOB=90°，C为AB中点，∴OC=2AB=2A′B′=OC′，∴当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．
故选B．
考点：1．轨迹；2．直角三角形斜边上的中线．
21．（2015烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…
按照此规律继续下去，则S2015的值为（ ）
2012112013()2012()2013
A
． B
． C．2 D．2
【答案】C．
考点：1．等腰直角三角形；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 22．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程
x2-6x+n-1=0的两根，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10 【答案】B． 【解析】
试题分析：∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况：
①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x-6x+n-1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x-6x+n-1=0得，4﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意；
2
②当a=b时，方程x-6x+n-1=0有两个相等的实数根，∴△=(-6)﹣4（n﹣1）=0，
2
2
2
解得：n=10，故选B．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论． 23．（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）
A．160 B．161 C．162 D．163 【答案】B．
考点：1．规律型；2．综合题． 24．（2015宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为 ．
【答案】5．
考点：1．三角形中位线定理；2．直角三角形斜边上的中线． 25．（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 ．
【答案】（400，800）． 【解析】 试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，
∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．
考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用． 26．（2015南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．
【答案】52．
考点：等腰三角形的性质． 27．（2015苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为 ．
【答案】27． 【解析】
试题分析：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG
1
是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=2AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△1
ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=2BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故
答案为：27．
考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质；3．轴对称的性质． 28．（2015西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ． 【答案】110°或70°．
考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论． 29．（2015南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．
【答案】45°．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°． 考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质． 30．（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．
考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题． 31．（2015昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，
BC=BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为 ．
．
考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题． 32．（2015淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是 度．
【答案】120，150． 【解析】
试题分析：∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°，在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD=30°，∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°；180°﹣30°﹣30°=120°，故答案为：120，150．
考点：1．等腰直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的性质；4．综合题． 33．（2015黄冈）在△ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm，则△ABC 的面积为__________cm． 【答案】126或66．
2
考点：1．勾股定理；2．分类讨论；3．综合题． 34．（2015庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留π）
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB=1.5×2π=3πcm，
cm．故答案为
：BC=3cm，由勾股定理得：
AC===
考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．
35．（2015朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1
=1.41
=1.73）．
【答案】2.9．
考点：勾股定理的应用． 36．（2015辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于 ．
【答案】8． 【解析】
试题分析：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB=2DE=2×5=10，∴在Rt△ABD中，
．故答案为：8．
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．勾股定理． 37．（2015柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5． （1）求DB的长；
（2）在△ABC中，求BC边上高的长．
【答案】（1）3；（2）6．
考点：1．勾股定理；2．三角形中位线定理． 38．（2015柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？
110
【答案】（1）4；（2）t=6或13．
考点：1．平行四边形的判定与性质；2．勾股定理的逆定理；3．直角梯形；4．动点型；5．分类讨论；6．综合题．
【2014年题组】 1．（2014²江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ） A． 40° B． 50° C． 60° D． 70° 【答案】D． 【解析】
试题分析：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为
180︒-40︒
2=70°．故选D．
考点：等腰三角形的性质．
2.（2014²桂林）下列命题中，是真命题的是（ ） A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似 C．锐角三角形都相似 D．直角三角形都相似 【答案】B． 【解析】 试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为60°，从而都相似．故选B．
考点：1．命题和定理；2.相似三角形的判定；3．等边三角形的性质. 3.（2014湖南省湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（ ）
1
A．4
【答案】C．
1
B．2
C． 1 D． 2
考点：等腰直角三角形．
4.（2014贵州安顺市）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b
（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A． 7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10 【答案】A． 【解析】
试题分析：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，
⎧2a-3b+5=0⎨
2a+3b-13=0， ∴⎩
⎧a=2⎨
b=3， 解得⎩
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；
综上所述此等腰三角形的周长为7或8． 故选A．
考点：1.等腰三角形的性质；2.非负数的性质：偶次方；3.非负数的性质：算术平方根；4.解二元一次方程组；5.三角形三边关系．
5.（2014张家界）如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=60︒，DE是斜边AC的中垂线分别交AB、AC于D、E两点，若BD=2，则AC的长是（ ）
A．4
B C .8
D. 【答案】B．
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理． 6.（2014吉林）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（ ）
A．【答案】D
B． 2
C．
D．
考点：1、等腰直角三角形；2、等腰三角形的判定与性质．
7.（2014吉林）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 ．
【答案】（﹣1，2） 【解析】
试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点， ∴y=0时，2x+4=0， 解得x=﹣2， ∴B（0，4）．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC， ∴C在线段OB的垂直平分线上， ∴C点纵坐标为2．
将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4， 解得x=﹣1．
故C′的坐标为（﹣1，2）．
考点：1、一次函数图象上点的坐标特征；2、等边三角形的性质. 8.（2014毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．
3
【答案】2．
考点：1．折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用
☞考点归纳
归纳 1：等腰三角形
基础知识归纳：1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
b③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，
180︒-∠A
2∠B=∠C=
注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相
等的问题。
【例1】已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（ ） A． 7 B． 8 C． 6或8 D． 7或8 【答案】D．
考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系． 归纳 2：等边三角形 基础知识归纳：1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形. 2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【例2】如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是
【答案】400.
考点：1．等边三角形的判定与性质；2．平移的性质． 归纳 3：直角三角形
基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 直角三角形的性质：
（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用。
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且
如果Rt△ABC
的面积为1，则它的周长为（ ）
A
B
1 C
2 D
+3
【答案】D 【解析】
考点：1．勾股定理；2．直角三角形斜边上的中线． 归纳 4：勾股定理 基础知识归纳：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形的性质结合起来考查。
【例4】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 ．
【答案】8． 【解析】
1
试题分析：∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=2AC=5．∴AC=10．在
Rt△ACD
中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
==8．
考点：1．直角三角形斜边上的中线性质；2．勾股定理． ☞1年模拟 1．（2015届广东省广州市中考模拟）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（ ）
11
A．
B．
C．4 D
【答案】B．
考点：1．梯形；2．等腰三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．三角形中位线定理． 2．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（ ）
A
B
C
D
【答案】A． 【解析】
考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型． 3．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）
11
A．PD=DQ B．DE=2AC C．AE=2CQ D．PQ⊥AB
【答案】D． 【解析】
试题分析：过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ
中，
⎧∠FPD=∠Q⎪
⎨∠PDE=∠CDQ⎪PF=CQ⎩
，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CE，∴A选项正确，∵
111
AE=EF，∴DE=2AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=2AP=2CQ，∴C
选项正确，故选D．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．平行线的性质． 4．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）点A为双曲线
y=（k≠0）上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为（ ） A．2
B．±2
C．
D．±
【答案】D．
考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．分类讨论． 5．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知直角三角形两边x、y的长满足
|x2-4|+
，则第三边长为 ．
【答案】
【解析】
≥0，∴x2-4=0，y2-5y+6=0，∴x=2或-2（舍去）
试题分析：∵|x2-4|≥0
，y=2
或3，①当两直角边是2
=；
= ②当2，3
= ③当2为一直角边，3
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理；4．分类讨论．
6．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为 ．
3
【答案】5．
考点：1．相切两圆的性质；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义． 7．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为 ．
1
【答案】4．
【解析】
试题分析：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，∵一个正方形和一个等边三
1
角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE=DB=2，∴△ABC的面积
11111=2AB•CE=2×1×2=4．故答案为：4．
考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形． 8．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为 cm．
13
【答案】4．
考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．垂径定理． 9．（2015届山东省日照市中考模拟）已知△ABC中，点D在BC边上，且DC=6、S△ADC=15、∠B=45°，△ABD是等腰三角形，则S△ABD=
25【答案】2
或25．
【解析】
试题分析：△ACD中，DC边上的高为15³2÷6=5， AD=BD，如图1所示：
25
AD=BD=5，S△ABD=5³5÷2=2；
（2）BA=BD，如图2所示：
BA=BD=5
S△
³5÷
；
考点：1．等腰三角形的性质；2．等腰直角三角形；3．分类讨论． 10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理． 11．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆，其边缘AB=CD=20cm，小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为 m．（π取3）
【答案】．
【解析】
试题分析：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，∵中间可供滑行的部分的截面是半径为5cm的半圆，∴BC=πR=5π=15cm，AB=CD=20cm，∴CF=30cm，在
==cm
，故他滑行的最短距离约为Rt△CDF中，
DF=
cm
．故答案为：
考点：平面展开-最短路径问题． 12．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是__________．
【答案】2．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义；4．网格型． 13．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．
【答案】4． 【解析】
试题解析：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD=∠EAD，
∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中，∴BD=DE
，
⎧∠BAD=∠EAD⎪
⎨AD=AD
⎪∠BDA=∠EDA⎩
，
，∴△ABD≌△AED（ASA），S△BDC=S△CDE
，
∴S△ABD=S△ADE
11
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，∴S△ADC=2S△ABC=2×8=4（m2）．
考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积． 14．（2015届山东省日照市中考模拟）已知△ABC中，点D在BC边上，且DC=6、S△ADC=15、∠B=45°，△ABD是等腰三角形，则S△ABD=
25【答案】2
或25．
（2）BA=BD，如图2所示：
BA=BD=5
S△
³5÷
；
（3）AB=AD，如图3所示；
BD=5³2=10，S△ABD=10³5÷2=25．
25故答案为：2
或25．
考点：1．等腰三角形的性质；2．等腰直角三角形；3．分类讨论． 15．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC ，则∠DCE的大小为 （度）．
【答案】45°．
考点：等腰三角形的性质． 16．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为 ．
1
【答案】4．
【解析】
试题分析：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，∵一个正方形和一个等边三
1
角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE=DB=2，∴△ABC的面积11111=2AB•CE=2×1×2=4．故答案为：4．
考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形． 17．（2015届山东省聊城市中考模拟）已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：
（1）BE⊥AC； （2）EG=EF． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．直角三角形斜边上的中线；4．平行四边形的性质． 18．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．
【答案】△DMN为等边三角形，理由见解析．
考点：1．等边三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质． 19．（2015届山东省日照市中考模拟）如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm； 请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．
【答案】作图见解析． 【解析】
试题分析：如图，以MN为边容易作出等边三角形，结合等边三角形的性质，连接PE，可证明△MPE≌△MNF，可证明PE∥MF，容易求得S△PMF=S△MEF，可求得答案． 试题解析：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN； △PMF的面积为
（求解过程如下）． 连接PE，
考点：1．矩形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．作图—应用与设计作图．
专题 等腰（边）三角形与直角三角形
☞解读考点
☞2年中考
【2015年题组】
1．（2015来宾）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）
A．1
，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1
【答案】D．
【解析】
试题分析：A．1+2≠3，不能组成直角三角形，故错误；
2222+3≠4B．，不能组成直角三角形，故错误； 222
C．4+5≠6，不能组成直角三角形，故错误；
D．1+=，能够组成直角三角形，故正确．
故选D．
考点：勾股定理的逆定理．
2．（2015南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ） 222222
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】A．
考点：等腰三角形的性质．
3．（2015来宾）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，故选D．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．
4．（2015内江）如图，在△ABC中， AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A．
考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．
5．（2015荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
【答案】C．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
6．（2015广州）已知2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个
2
根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【答案】B．
【解析】
2试题分析：∵2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根，∴2-4m+3m=0，m=4，2
∴x-8x+12=0，解得x=2或x=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．
7．（2015丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
2
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【答案】A．
考点：等腰三角形的性质．
8．（2015龙岩）如图，
ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（ ）
A
B
C
D．1
【答案】D．
【解析】
1
试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=2∠ABC=30°，∵PC⊥BC，
∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，PC=BC•tan∠
=1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．
考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．
9．（2015乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A
B
C
D
【答案】D．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．
10．（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm
【答案】A．
B
．cm C
cm D
．cm
考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．
11．（2015德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，
1
∴△ACE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠B=2∠CED=30°．故选C．
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．轴对称的性质．
12．（2015眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B=900，∠A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=l，则AC的长是（
）
A
．23 B．2 C．43 D．4
【答案】A．
考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．
13
．（2015荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
11
A．3 B
1 C
．2 D．4
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，
AC，又
1
∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=2AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴
DE1
AC，∴tan∠DBC=BE
==3．故选A．
考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．
14．（2015襄阳）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（ ）
A
B．1 C
D．2
【答案】B．
考点：1．含30度角的直角三角形；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．
15．（2015北京市）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
【答案】D．
【解析】
1
试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=2AB=AM=1.2km．故选D．
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．应用题．
16．（2015天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
AB=AD=，
，
3
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为2，则点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A．
考点：1．等腰直角三角形；2．点到直线的距离．
17．（2015龙岩）如图，
的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（ ）
A
B
C
D．1
【答案】D．
考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．
18．（2015龙东）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5
【答案】A．
【解析】
试题分析：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，
1111
∴△ABF中，
=3，∴2×8×3=2×5×PD+2×5×PE，12=2×5×（PD+PE），
PD+PE=4.8．故选A．
考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．动点型．
19．（2015安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）
33232A． B． C．3 D．6
【答案】A．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理．
20．（2015滨州）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（ ）
A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】B．
【解析】
11
试题分析：连接OC、OC′，如图，∵∠AOB=90°，C为AB中点，∴OC=2AB=2A′B′=OC′，∴当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．
故选B．
考点：1．轨迹；2．直角三角形斜边上的中线．
21．（2015烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…
按照此规律继续下去，则S2015的值为（ ）
2012112013()2012()2013
A
． B
． C．2 D．2
【答案】C．
考点：1．等腰直角三角形；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 22．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程
x2-6x+n-1=0的两根，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10 【答案】B． 【解析】
试题分析：∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况：
①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x-6x+n-1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x-6x+n-1=0得，4﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意；
2
②当a=b时，方程x-6x+n-1=0有两个相等的实数根，∴△=(-6)﹣4（n﹣1）=0，
2
2
2
解得：n=10，故选B．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论． 23．（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）
A．160 B．161 C．162 D．163 【答案】B．
考点：1．规律型；2．综合题． 24．（2015宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为 ．
【答案】5．
考点：1．三角形中位线定理；2．直角三角形斜边上的中线． 25．（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 ．
【答案】（400，800）． 【解析】 试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，
∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．
考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用． 26．（2015南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．
【答案】52．
考点：等腰三角形的性质． 27．（2015苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为 ．
【答案】27． 【解析】
试题分析：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG
1
是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=2AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△1
ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=2BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故
答案为：27．
考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质；3．轴对称的性质． 28．（2015西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ． 【答案】110°或70°．
考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论． 29．（2015南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．
【答案】45°．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°． 考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质． 30．（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．
考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题． 31．（2015昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，
BC=BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为 ．
．
考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题． 32．（2015淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是 度．
【答案】120，150． 【解析】
试题分析：∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°，在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD=30°，∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°；180°﹣30°﹣30°=120°，故答案为：120，150．
考点：1．等腰直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的性质；4．综合题． 33．（2015黄冈）在△ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm，则△ABC 的面积为__________cm． 【答案】126或66．
2
考点：1．勾股定理；2．分类讨论；3．综合题． 34．（2015庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留π）
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB=1.5×2π=3πcm，
cm．故答案为
：BC=3cm，由勾股定理得：
AC===
考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．
35．（2015朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1
=1.41
=1.73）．
【答案】2.9．
考点：勾股定理的应用． 36．（2015辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于 ．
【答案】8． 【解析】
试题分析：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB=2DE=2×5=10，∴在Rt△ABD中，
．故答案为：8．
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．勾股定理． 37．（2015柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5． （1）求DB的长；
（2）在△ABC中，求BC边上高的长．
【答案】（1）3；（2）6．
考点：1．勾股定理；2．三角形中位线定理． 38．（2015柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？
110
【答案】（1）4；（2）t=6或13．
考点：1．平行四边形的判定与性质；2．勾股定理的逆定理；3．直角梯形；4．动点型；5．分类讨论；6．综合题．
【2014年题组】 1．（2014²江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ） A． 40° B． 50° C． 60° D． 70° 【答案】D． 【解析】
试题分析：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为
180︒-40︒
2=70°．故选D．
考点：等腰三角形的性质．
2.（2014²桂林）下列命题中，是真命题的是（ ） A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似 C．锐角三角形都相似 D．直角三角形都相似 【答案】B． 【解析】 试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为60°，从而都相似．故选B．
考点：1．命题和定理；2.相似三角形的判定；3．等边三角形的性质. 3.（2014湖南省湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（ ）
1
A．4
【答案】C．
1
B．2
C． 1 D． 2
考点：等腰直角三角形．
4.（2014贵州安顺市）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b
（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A． 7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10 【答案】A． 【解析】
试题分析：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，
⎧2a-3b+5=0⎨
2a+3b-13=0， ∴⎩
⎧a=2⎨
b=3， 解得⎩
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；
综上所述此等腰三角形的周长为7或8． 故选A．
考点：1.等腰三角形的性质；2.非负数的性质：偶次方；3.非负数的性质：算术平方根；4.解二元一次方程组；5.三角形三边关系．
5.（2014张家界）如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=60︒，DE是斜边AC的中垂线分别交AB、AC于D、E两点，若BD=2，则AC的长是（ ）
A．4
B C .8
D. 【答案】B．
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理． 6.（2014吉林）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（ ）
A．【答案】D
B． 2
C．
D．
考点：1、等腰直角三角形；2、等腰三角形的判定与性质．
7.（2014吉林）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 ．
【答案】（﹣1，2） 【解析】
试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点， ∴y=0时，2x+4=0， 解得x=﹣2， ∴B（0，4）．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC， ∴C在线段OB的垂直平分线上， ∴C点纵坐标为2．
将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4， 解得x=﹣1．
故C′的坐标为（﹣1，2）．
考点：1、一次函数图象上点的坐标特征；2、等边三角形的性质. 8.（2014毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．
3
【答案】2．
考点：1．折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用
☞考点归纳
归纳 1：等腰三角形
基础知识归纳：1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
b③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，
180︒-∠A
2∠B=∠C=
注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相
等的问题。
【例1】已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（ ） A． 7 B． 8 C． 6或8 D． 7或8 【答案】D．
考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系． 归纳 2：等边三角形 基础知识归纳：1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形. 2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【例2】如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是
【答案】400.
考点：1．等边三角形的判定与性质；2．平移的性质． 归纳 3：直角三角形
基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 直角三角形的性质：
（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用。
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且
如果Rt△ABC
的面积为1，则它的周长为（ ）
A
B
1 C
2 D
+3
【答案】D 【解析】
考点：1．勾股定理；2．直角三角形斜边上的中线． 归纳 4：勾股定理 基础知识归纳：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形的性质结合起来考查。
【例4】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 ．
【答案】8． 【解析】
1
试题分析：∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=2AC=5．∴AC=10．在
Rt△ACD
中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
==8．
考点：1．直角三角形斜边上的中线性质；2．勾股定理． ☞1年模拟 1．（2015届广东省广州市中考模拟）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（ ）
11
A．
B．
C．4 D
【答案】B．
考点：1．梯形；2．等腰三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．三角形中位线定理． 2．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（ ）
A
B
C
D
【答案】A． 【解析】
考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型． 3．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）
11
A．PD=DQ B．DE=2AC C．AE=2CQ D．PQ⊥AB
【答案】D． 【解析】
试题分析：过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ
中，
⎧∠FPD=∠Q⎪
⎨∠PDE=∠CDQ⎪PF=CQ⎩
，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CE，∴A选项正确，∵
111
AE=EF，∴DE=2AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=2AP=2CQ，∴C
选项正确，故选D．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．平行线的性质． 4．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）点A为双曲线
y=（k≠0）上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为（ ） A．2
B．±2
C．
D．±
【答案】D．
考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．分类讨论． 5．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知直角三角形两边x、y的长满足
|x2-4|+
，则第三边长为 ．
【答案】
【解析】
≥0，∴x2-4=0，y2-5y+6=0，∴x=2或-2（舍去）
试题分析：∵|x2-4|≥0
，y=2
或3，①当两直角边是2
=；
= ②当2，3
= ③当2为一直角边，3
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理；4．分类讨论．
6．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为 ．
3
【答案】5．
考点：1．相切两圆的性质；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义． 7．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为 ．
1
【答案】4．
【解析】
试题分析：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，∵一个正方形和一个等边三
1
角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE=DB=2，∴△ABC的面积
11111=2AB•CE=2×1×2=4．故答案为：4．
考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形． 8．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为 cm．
13
【答案】4．
考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．垂径定理． 9．（2015届山东省日照市中考模拟）已知△ABC中，点D在BC边上，且DC=6、S△ADC=15、∠B=45°，△ABD是等腰三角形，则S△ABD=
25【答案】2
或25．
【解析】
试题分析：△ACD中，DC边上的高为15³2÷6=5， AD=BD，如图1所示：
25
AD=BD=5，S△ABD=5³5÷2=2；
（2）BA=BD，如图2所示：
BA=BD=5
S△
³5÷
；
考点：1．等腰三角形的性质；2．等腰直角三角形；3．分类讨论． 10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理． 11．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆，其边缘AB=CD=20cm，小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为 m．（π取3）
【答案】．
【解析】
试题分析：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，∵中间可供滑行的部分的截面是半径为5cm的半圆，∴BC=πR=5π=15cm，AB=CD=20cm，∴CF=30cm，在
==cm
，故他滑行的最短距离约为Rt△CDF中，
DF=
cm
．故答案为：
考点：平面展开-最短路径问题． 12．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是__________．
【答案】2．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义；4．网格型． 13．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．
【答案】4． 【解析】
试题解析：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD=∠EAD，
∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中，∴BD=DE
，
⎧∠BAD=∠EAD⎪
⎨AD=AD
⎪∠BDA=∠EDA⎩
，
，∴△ABD≌△AED（ASA），S△BDC=S△CDE
，
∴S△ABD=S△ADE
11
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，∴S△ADC=2S△ABC=2×8=4（m2）．
考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积． 14．（2015届山东省日照市中考模拟）已知△ABC中，点D在BC边上，且DC=6、S△ADC=15、∠B=45°，△ABD是等腰三角形，则S△ABD=
25【答案】2
或25．
（2）BA=BD，如图2所示：
BA=BD=5
S△
³5÷
；
（3）AB=AD，如图3所示；
BD=5³2=10，S△ABD=10³5÷2=25．
25故答案为：2
或25．
考点：1．等腰三角形的性质；2．等腰直角三角形；3．分类讨论． 15．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC ，则∠DCE的大小为 （度）．
【答案】45°．
考点：等腰三角形的性质． 16．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为 ．
1
【答案】4．
【解析】
试题分析：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，∵一个正方形和一个等边三
1
角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE=DB=2，∴△ABC的面积11111=2AB•CE=2×1×2=4．故答案为：4．
考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形． 17．（2015届山东省聊城市中考模拟）已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：
（1）BE⊥AC； （2）EG=EF． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．直角三角形斜边上的中线；4．平行四边形的性质． 18．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．
【答案】△DMN为等边三角形，理由见解析．
考点：1．等边三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质． 19．（2015届山东省日照市中考模拟）如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm； 请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．
【答案】作图见解析． 【解析】
试题分析：如图，以MN为边容易作出等边三角形，结合等边三角形的性质，连接PE，可证明△MPE≌△MNF，可证明PE∥MF，容易求得S△PMF=S△MEF，可求得答案． 试题解析：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN； △PMF的面积为
（求解过程如下）． 连接PE，
考点：1．矩形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．作图—应用与设计作图．