第七讲 矩阵级数与矩阵函数
一、 矩阵序列
(k ) (k ) (k)
A =a A 1. 定义: 设有矩阵序列, 其中, 且ij
{}()
当
k →∞时a
(k)
ij
→a ij , 则称A
A =(a ij )叫做A (k )
为
{
{}收敛, 并把
}的极限, 或称{A }收敛于A , 记
(k ) (k )
limA
k →∝
(k)
=A 或A
(k)
k →∝
→A
不收敛的级数则称为发散的, 其中又分为有界和无界的情况.
2. 收敛矩阵序列的性质: 设A
(k)
, B
(k)
分别收敛于A,B 则
(k)
k →∝
(1) αA (2) A
(k)
+βB
(k)
→αA +βB
(k)
B
k →∝k →∝
→AB
-1
(k)-1
-1
(3) (A
(k)-1(k)
) →A , 若(A) , A 存在 Q →PAQ
k →∝
(4) PA
k
k →∝3 收敛矩阵: 设A 为方阵, 且当时A →0, 则称A
为收敛矩阵.
[定理] 方阵A 为收敛矩阵的充要条件是A 的所有特征值的模值均小于1.
证明: 对任何方阵A , 均存在可逆矩阵P , 使得 A =PJP
其中J 为A 的Jordan 标准形
-1
⎡J 1⎢J =⎢
⎢⎢⎣
J 2
⎡λi ⎤
⎢⎥
⎥J i =⎢ ⎥, ⎢
⎥⎢J s ⎦⎣0
k
1
1
λi
0⎤⎥⎥1⎥ ⎥λi ⎦
⎡J ⎢
k k -1
A =PJ P =P ⎢
⎢⎢⎣
J
k 2
⎤⎥⎥P -1⎥ k ⎥J s ⎦
⎡k
⎢λi ⎢k
J i =⎢
⎢⎢⎢⎣
2λ
k -1
i
k! k -m i ⎤... λi ⎥m i !(k-m i )!
⎥
⎥, 当k >m i
⎥ ⎥
⎥⎦
A →0
k
就等价于
J →0=(i
k i
1, , 2, . 于. , s ) 等. 价
λ
k
i
→0(i =1, 2, . . . λi
[得证]
二、 矩阵级数
1. 定义: 矩阵序列
{A }的无穷和A
(k)
(1)
+A (2)+ +A (k)+ 叫
S 做矩阵级数, 而
(N)
(N)
=∑A
k =1
N
(k)
称为其部分和, 若矩阵序列
{S }收敛, 且有极限S, 则称该级数收敛, 且有极限S. 记
为
∑A
k =1
∝
(k)
=S
不收敛的级数必为发散的.
若矩阵级数
∑A
k =1
∝
(k )
的所有元素
∑a
k =1
∝
(k )
ij
均绝对收敛, 则称
该级数为绝对收敛. 2. 绝对收敛矩阵的性质
(1) 绝对收敛级数一定收敛, 且任意调换它的项所得的级数仍收敛, 并具有相同的和.
A ∑(2)
k =1∝
∝
(k)
PA ∑绝对收敛, 则
k =1
∝
(k)
Q 也绝对收敛且等于
P ∑A (k ) Q
k =1
A ∑(3)
k =1
∝
(k)
B ∑,
k =1
∝
(k)
均绝对收敛, 且和分别为S 1,S 2则
(i)
∑(∑A
k =1
i =1
∝k
B
(k+1-i)
) =S 1S 2
三、 方阵的幂级数
A
c ∑为方阵,
k =0
∝
k
A ,(A=I) 称为A 的幂级数.
k 0
∑A
k =0
∝
k
称为A 的Neumann 级数.
1. Neumann级数收敛的充要条件
[定理] Neumann 级数收敛的充要条件是A 为收敛矩阵, 且在收敛时其和为(I-A) . 证明: [必要性]
-1
A ∑级数
k =0
∝
k
收敛, 其元素为
δij +(A)ij +(A2) ij +(A3) ij +
显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故
(Ak ) ij →0, 即A k →0
k →∝
k →∝
也就是说A 为收敛矩阵. [充分性]:
A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设A 的特征值为λ, (I-A) 的特征值为μ. 则由
det(μI -(I-A)) =det((μ-1)I +A) =(-1) n det((1-μ)I -A)
可见1-μ=λ→μ=1-λ 故0
μ
-1
(I-A)
存在.
2
而(I+A +A +... +A )(I-A) =I -A
k k +1
右乘(I-A) 得
I +A +A 2+... +A k =(I-A k +1)(I-A) -1
-1
当k →∝时, A
∝
k +1
→0, 故A
k
k →∝
i =0
k +1
(I-A) →0. 所以
-1
i i -1A =lim A =(I-A) ∑∑ i =0
-1
(I-A) 即Neumann 级数收敛于.
2. 收敛圆
∝
ϕ(z)=c z ∑k [定理] 若矩阵A 的特征值全部落在幂级数
k =0
k
k 0
ϕ(A)=c A ,(A=I) ∑k 的收敛圆内, 则矩阵幂级数是
k =0
∝
绝对收敛的. 反之, 若A 存在落在ϕ(z)的收敛圆外的特征值, 则ϕ(A)是发散的. 证明略.
[推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A ,
ϕ(A)均收敛.
四、 矩阵函数
如: e , sinA , cosA
以矩阵为自变量的” 函数”(实际上是”函矩阵”)
A
121n
e =1+z +z +... =z ∑我们知道, 2! n! n =0
z
∝
(-1) n 2n +1
sin(z)=∑z (2n+1)! n =0
∝
(-1) 2n
cos(z)=∑z
n =0(2n)!
均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵A
∝
n
均绝对收敛. 阵余弦函数。 [性质]
∝
e A
=∑1A n
n =0n!
∝
sin(A)=∑(-1) n A 2n +1
n =0
(2n+1)! ∝
n
cos(A)=∑(-1) A 2n
n =0(2n)!
三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩 e jA
=cosA +jsinA
cosA =1jA -2
(e+e jA
)
sin A =1jA -2j
(e-e jA
)
cos(-A) =cosA sin(-A) =-sinA
cos(A±B) =cosAcosB sinAsinB ⎫
⎬←AB =BA
sin(A±B) =sinAcosB ±cosAsinB ⎭
但是一般来说e
A B
e , e
B A
e , e
A +B
三者互不相等. 例如
⎡11⎤⎡1-1⎤A =⎢B =⎥⎢⎥, , 则 0000⎣⎦⎣⎦
⎡11⎤34A ==A =A = ⎢⎥ 00⎣⎦
2
⎡1-1⎤34B =⎢=B =B = ⎥
⎣00⎦
2
⎡e e -1⎤1
e =I +(∑)A =I +(e-1)A =⎢⎥ n! 01n =1⎣⎦
A
∝
⎡e 1-e ⎤1
e =I +(∑)B =I +(e-1)B =⎢⎥ n! 01n =1⎣⎦
B
∝
可见e
A B
e ≠e e
B A
⎡20⎤⎡20⎤2
A +B =⎢=2(A+B) , , (A+B) =2⎢⎥⎥
⎣00⎦⎣00⎦
(A+B) 3=22(A+B) ,
e
A +B
⎡e 21n -112
=I +(∑2)(A+B) =I +(e-1)(A+B) =⎢
2n =1n! ⎣0
∝0⎤
⎥ 1⎦
所以, e
A +B
≠e e
A B
, e
A +B
≠e e
B A
B A
[定理] 若AB =BA , 则e 证明:
A +B
=e e =e e
A B
1212
e e =(I+A +A +...)(I+B +B +...)
2! 2!
A B
=I +(A+B) +
121
(A+2AB +B 2) +(A3+3A 2B +3AB 2+B 3) +... 2! 3!
112
=I +(A+B) +(A+B) +(A+B) 3+... =e A +B
2! 3!
(A+B) 2=(A+B)(A+B) =A 2+AB +BA +B 2=A 2+2AB +B 2 (A+B) 3= =A 3+3A 2B +3AB 2+B 3
B A A +B
e e =e 同理, 有 A -A -A A 0
[推论] e e =e e =e =I ,
(eA ) -1=e -A ,(eA ) m =e mA ,e A 总存在逆矩阵
五、 矩阵函数的初步计算
1. Hamilton-Cayley定理
n 阶矩阵A 是其特征多项式的零点, 即令
ϕ(λ) =det(λI -A) =λ+c 1λ
n n -1
+ +c n -1λ+c n
n n -1
ϕ(A)=A +c A + +c n -1A +c n I =0 则1
[证明]: 设A 的特征值为λ1, λ2, , λn , 则ϕ(λ) 又可写成
ϕ(λ) =(λ-λ1)(λ-λ2) (λ-λn )
由Schur 引理知, 存在酉矩阵U, 使得
⎡λ1⎢
U -1AU =⎢
⎢⎢⎣0
⎡0
⎢λ-λ
21⎢
=⎢⎢⎢⎢⎣0
⎤⎡λ1-λ2
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
λn -λ1⎥⎦⎢⎣0
*
λ2
*⎤
⎥⎥ ⎥
⎥λn ⎦
*
*⎤⎥⎥⎥⎥⎥0⎥⎦
而ϕ(A)=ϕ(U-1AU) =(U-1AU -λ1I)(U-1AU -λ2I) (U-1AU -λn I)
0λ3-λ2
λ3-λ1
⎤⎡λ1-λn
⎥⎢⎥⎢⎥... ⎢⎥⎢
⎥⎢
λn -λ2⎥⎣0⎦⎢
λ2-λn
λn -1-λn
⎡0
⎢ ⎢=⎢⎢⎢ ⎢⎣0⎡0⎢0⎢=⎢ ⎢⎢⎢⎣0
* 00000
00
⎤⎡λ1-λ3⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎢⎣0⎤⎡λ1-λ4⎥⎢⎥⎢*⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎢⎣0
λ2-λ3
*λ4-λ3
⎤⎡λ1-λn
⎥⎢⎥⎢⎥... ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎦⎢⎣0
λ2-λn
*λn -1-λn
⎤
⎥⎥⎥ ⎥⎥0⎥⎦*⎤⎥⎥⎥ ⎥⎥0⎥⎦
λ2-λ4
λ3-λ4
*⎤⎡λ1-λn
⎥⎢⎥⎢⎥... ⎢⎥⎢0⎥⎢ ⎥⎦⎢⎣0
λ2-λn
λn -1-λn
⎡0
⎢0⎢=⎢ ⎢⎢⎢⎣00 0⎤
0 0⎥
⎥
⎥=0
⎥⎥
0 0⎥⎦
即ϕ(A)=0
2. 零化多项式
多项式f(z), 若f(A)=0, 则称其为A 的零化多项式。
由以上定理可知，方阵A 的特征多项式为A 的零化多项式。
3. 矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算
例: 已知四阶矩阵的特征值是π、-π、 0、 0, 求sin A 、 cos A 、e
解: ϕ(λ) =(λ-π)(λ+π)(λ-0)(λ-0) =λ4-π2λ2
故
ϕ(A)=A 4-π2A 2=0→A 4=π2A 2,A 5=π2A 3,A 6=π2A 4=π4A 2,
n ∝(-1) n (-1) sin(A)=A +∑A 2n +1=A +∑π2(n-1) A 3
n =1(2n+1)! n =1(2n+1)! ∝A
1∝(-1) n
=A +3(∑π2n +1)A 3πn =1(2n+1)!
1=A +3(sinπ-π)A 3=A -π-2A 3 π∝(-1) n
2n (-1) n
2(n-1) 2cos(A)=I +∑A =I +∑πA
n =1(2n)!n =1(2n)! 1=I +2(cosπ-1)A 2=I -2π-2A 2π∝
∝∝1n 112n e =∑A =I +A ++∑A +∑A 2n +1
n =0n! n =1(2n)!n =1(2n+1)! A
∝112(n-1) 2=I +A +∑πA +∑π2(n-1) A 3
n =1(2n)!n =1(2n+1)! ∝∝
cos π-12sin π-π3=I +A +A +A 23ππ
作业 P163 3, 4, 5
第七讲 矩阵级数与矩阵函数
一、 矩阵序列
(k ) (k ) (k)
A =a A 1. 定义: 设有矩阵序列, 其中, 且ij
{}()
当
k →∞时a
(k)
ij
→a ij , 则称A
A =(a ij )叫做A (k )
为
{
{}收敛, 并把
}的极限, 或称{A }收敛于A , 记
(k ) (k )
limA
k →∝
(k)
=A 或A
(k)
k →∝
→A
不收敛的级数则称为发散的, 其中又分为有界和无界的情况.
2. 收敛矩阵序列的性质: 设A
(k)
, B
(k)
分别收敛于A,B 则
(k)
k →∝
(1) αA (2) A
(k)
+βB
(k)
→αA +βB
(k)
B
k →∝k →∝
→AB
-1
(k)-1
-1
(3) (A
(k)-1(k)
) →A , 若(A) , A 存在 Q →PAQ
k →∝
(4) PA
k
k →∝3 收敛矩阵: 设A 为方阵, 且当时A →0, 则称A
为收敛矩阵.
[定理] 方阵A 为收敛矩阵的充要条件是A 的所有特征值的模值均小于1.
证明: 对任何方阵A , 均存在可逆矩阵P , 使得 A =PJP
其中J 为A 的Jordan 标准形
-1
⎡J 1⎢J =⎢
⎢⎢⎣
J 2
⎡λi ⎤
⎢⎥
⎥J i =⎢ ⎥, ⎢
⎥⎢J s ⎦⎣0
k
1
1
λi
0⎤⎥⎥1⎥ ⎥λi ⎦
⎡J ⎢
k k -1
A =PJ P =P ⎢
⎢⎢⎣
J
k 2
⎤⎥⎥P -1⎥ k ⎥J s ⎦
⎡k
⎢λi ⎢k
J i =⎢
⎢⎢⎢⎣
2λ
k -1
i
k! k -m i ⎤... λi ⎥m i !(k-m i )!
⎥
⎥, 当k >m i
⎥ ⎥
⎥⎦
A →0
k
就等价于
J →0=(i
k i
1, , 2, . 于. , s ) 等. 价
λ
k
i
→0(i =1, 2, . . . λi
[得证]
二、 矩阵级数
1. 定义: 矩阵序列
{A }的无穷和A
(k)
(1)
+A (2)+ +A (k)+ 叫
S 做矩阵级数, 而
(N)
(N)
=∑A
k =1
N
(k)
称为其部分和, 若矩阵序列
{S }收敛, 且有极限S, 则称该级数收敛, 且有极限S. 记
为
∑A
k =1
∝
(k)
=S
不收敛的级数必为发散的.
若矩阵级数
∑A
k =1
∝
(k )
的所有元素
∑a
k =1
∝
(k )
ij
均绝对收敛, 则称
该级数为绝对收敛. 2. 绝对收敛矩阵的性质
(1) 绝对收敛级数一定收敛, 且任意调换它的项所得的级数仍收敛, 并具有相同的和.
A ∑(2)
k =1∝
∝
(k)
PA ∑绝对收敛, 则
k =1
∝
(k)
Q 也绝对收敛且等于
P ∑A (k ) Q
k =1
A ∑(3)
k =1
∝
(k)
B ∑,
k =1
∝
(k)
均绝对收敛, 且和分别为S 1,S 2则
(i)
∑(∑A
k =1
i =1
∝k
B
(k+1-i)
) =S 1S 2
三、 方阵的幂级数
A
c ∑为方阵,
k =0
∝
k
A ,(A=I) 称为A 的幂级数.
k 0
∑A
k =0
∝
k
称为A 的Neumann 级数.
1. Neumann级数收敛的充要条件
[定理] Neumann 级数收敛的充要条件是A 为收敛矩阵, 且在收敛时其和为(I-A) . 证明: [必要性]
-1
A ∑级数
k =0
∝
k
收敛, 其元素为
δij +(A)ij +(A2) ij +(A3) ij +
显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故
(Ak ) ij →0, 即A k →0
k →∝
k →∝
也就是说A 为收敛矩阵. [充分性]:
A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设A 的特征值为λ, (I-A) 的特征值为μ. 则由
det(μI -(I-A)) =det((μ-1)I +A) =(-1) n det((1-μ)I -A)
可见1-μ=λ→μ=1-λ 故0
μ
-1
(I-A)
存在.
2
而(I+A +A +... +A )(I-A) =I -A
k k +1
右乘(I-A) 得
I +A +A 2+... +A k =(I-A k +1)(I-A) -1
-1
当k →∝时, A
∝
k +1
→0, 故A
k
k →∝
i =0
k +1
(I-A) →0. 所以
-1
i i -1A =lim A =(I-A) ∑∑ i =0
-1
(I-A) 即Neumann 级数收敛于.
2. 收敛圆
∝
ϕ(z)=c z ∑k [定理] 若矩阵A 的特征值全部落在幂级数
k =0
k
k 0
ϕ(A)=c A ,(A=I) ∑k 的收敛圆内, 则矩阵幂级数是
k =0
∝
绝对收敛的. 反之, 若A 存在落在ϕ(z)的收敛圆外的特征值, 则ϕ(A)是发散的. 证明略.
[推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A ,
ϕ(A)均收敛.
四、 矩阵函数
如: e , sinA , cosA
以矩阵为自变量的” 函数”(实际上是”函矩阵”)
A
121n
e =1+z +z +... =z ∑我们知道, 2! n! n =0
z
∝
(-1) n 2n +1
sin(z)=∑z (2n+1)! n =0
∝
(-1) 2n
cos(z)=∑z
n =0(2n)!
均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵A
∝
n
均绝对收敛. 阵余弦函数。 [性质]
∝
e A
=∑1A n
n =0n!
∝
sin(A)=∑(-1) n A 2n +1
n =0
(2n+1)! ∝
n
cos(A)=∑(-1) A 2n
n =0(2n)!
三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩 e jA
=cosA +jsinA
cosA =1jA -2
(e+e jA
)
sin A =1jA -2j
(e-e jA
)
cos(-A) =cosA sin(-A) =-sinA
cos(A±B) =cosAcosB sinAsinB ⎫
⎬←AB =BA
sin(A±B) =sinAcosB ±cosAsinB ⎭
但是一般来说e
A B
e , e
B A
e , e
A +B
三者互不相等. 例如
⎡11⎤⎡1-1⎤A =⎢B =⎥⎢⎥, , 则 0000⎣⎦⎣⎦
⎡11⎤34A ==A =A = ⎢⎥ 00⎣⎦
2
⎡1-1⎤34B =⎢=B =B = ⎥
⎣00⎦
2
⎡e e -1⎤1
e =I +(∑)A =I +(e-1)A =⎢⎥ n! 01n =1⎣⎦
A
∝
⎡e 1-e ⎤1
e =I +(∑)B =I +(e-1)B =⎢⎥ n! 01n =1⎣⎦
B
∝
可见e
A B
e ≠e e
B A
⎡20⎤⎡20⎤2
A +B =⎢=2(A+B) , , (A+B) =2⎢⎥⎥
⎣00⎦⎣00⎦
(A+B) 3=22(A+B) ,
e
A +B
⎡e 21n -112
=I +(∑2)(A+B) =I +(e-1)(A+B) =⎢
2n =1n! ⎣0
∝0⎤
⎥ 1⎦
所以, e
A +B
≠e e
A B
, e
A +B
≠e e
B A
B A
[定理] 若AB =BA , 则e 证明:
A +B
=e e =e e
A B
1212
e e =(I+A +A +...)(I+B +B +...)
2! 2!
A B
=I +(A+B) +
121
(A+2AB +B 2) +(A3+3A 2B +3AB 2+B 3) +... 2! 3!
112
=I +(A+B) +(A+B) +(A+B) 3+... =e A +B
2! 3!
(A+B) 2=(A+B)(A+B) =A 2+AB +BA +B 2=A 2+2AB +B 2 (A+B) 3= =A 3+3A 2B +3AB 2+B 3
B A A +B
e e =e 同理, 有 A -A -A A 0
[推论] e e =e e =e =I ,
(eA ) -1=e -A ,(eA ) m =e mA ,e A 总存在逆矩阵
五、 矩阵函数的初步计算
1. Hamilton-Cayley定理
n 阶矩阵A 是其特征多项式的零点, 即令
ϕ(λ) =det(λI -A) =λ+c 1λ
n n -1
+ +c n -1λ+c n
n n -1
ϕ(A)=A +c A + +c n -1A +c n I =0 则1
[证明]: 设A 的特征值为λ1, λ2, , λn , 则ϕ(λ) 又可写成
ϕ(λ) =(λ-λ1)(λ-λ2) (λ-λn )
由Schur 引理知, 存在酉矩阵U, 使得
⎡λ1⎢
U -1AU =⎢
⎢⎢⎣0
⎡0
⎢λ-λ
21⎢
=⎢⎢⎢⎢⎣0
⎤⎡λ1-λ2
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
λn -λ1⎥⎦⎢⎣0
*
λ2
*⎤
⎥⎥ ⎥
⎥λn ⎦
*
*⎤⎥⎥⎥⎥⎥0⎥⎦
而ϕ(A)=ϕ(U-1AU) =(U-1AU -λ1I)(U-1AU -λ2I) (U-1AU -λn I)
0λ3-λ2
λ3-λ1
⎤⎡λ1-λn
⎥⎢⎥⎢⎥... ⎢⎥⎢
⎥⎢
λn -λ2⎥⎣0⎦⎢
λ2-λn
λn -1-λn
⎡0
⎢ ⎢=⎢⎢⎢ ⎢⎣0⎡0⎢0⎢=⎢ ⎢⎢⎢⎣0
* 00000
00
⎤⎡λ1-λ3⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎢⎣0⎤⎡λ1-λ4⎥⎢⎥⎢*⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎢⎣0
λ2-λ3
*λ4-λ3
⎤⎡λ1-λn
⎥⎢⎥⎢⎥... ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎦⎢⎣0
λ2-λn
*λn -1-λn
⎤
⎥⎥⎥ ⎥⎥0⎥⎦*⎤⎥⎥⎥ ⎥⎥0⎥⎦
λ2-λ4
λ3-λ4
*⎤⎡λ1-λn
⎥⎢⎥⎢⎥... ⎢⎥⎢0⎥⎢ ⎥⎦⎢⎣0
λ2-λn
λn -1-λn
⎡0
⎢0⎢=⎢ ⎢⎢⎢⎣00 0⎤
0 0⎥
⎥
⎥=0
⎥⎥
0 0⎥⎦
即ϕ(A)=0
2. 零化多项式
多项式f(z), 若f(A)=0, 则称其为A 的零化多项式。
由以上定理可知，方阵A 的特征多项式为A 的零化多项式。
3. 矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算
例: 已知四阶矩阵的特征值是π、-π、 0、 0, 求sin A 、 cos A 、e
解: ϕ(λ) =(λ-π)(λ+π)(λ-0)(λ-0) =λ4-π2λ2
故
ϕ(A)=A 4-π2A 2=0→A 4=π2A 2,A 5=π2A 3,A 6=π2A 4=π4A 2,
n ∝(-1) n (-1) sin(A)=A +∑A 2n +1=A +∑π2(n-1) A 3
n =1(2n+1)! n =1(2n+1)! ∝A
1∝(-1) n
=A +3(∑π2n +1)A 3πn =1(2n+1)!
1=A +3(sinπ-π)A 3=A -π-2A 3 π∝(-1) n
2n (-1) n
2(n-1) 2cos(A)=I +∑A =I +∑πA
n =1(2n)!n =1(2n)! 1=I +2(cosπ-1)A 2=I -2π-2A 2π∝
∝∝1n 112n e =∑A =I +A ++∑A +∑A 2n +1
n =0n! n =1(2n)!n =1(2n+1)! A
∝112(n-1) 2=I +A +∑πA +∑π2(n-1) A 3
n =1(2n)!n =1(2n+1)! ∝∝
cos π-12sin π-π3=I +A +A +A 23ππ
作业 P163 3, 4, 5