典型例题（二）方阵可逆的判定
例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式：
（1）若|A|≠0, 则(AT)-1=(A-1)T
；
（2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则
(AB)*=B*A*
； （3）
(AT)*=(A*)T； （4）若|A|≠0, 则(A*)-1=(A-1)*
； （5）
(-A)*=(-1)n-1A*； （6）若|A|≠0, 则(Al)-1=(A-1)l
（l为自然数）； （7）
(kA)*=kn-1A*. 证 （1）因为|A|≠0, 故A是可逆矩阵, 且
AA-1
=E两边同时取转置可得
(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E
故由可逆矩阵的定义可知
(A-1)T是AT的逆矩阵. 即
(A-1)T=(AT)-1
（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
(AB)*(AB)=|AB|E
另一方面
(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B
=|A|B*B=|A| |B|E=|AB|E
比较式（2-7）、（2-8）可知
(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)
又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘(AB)-1
可得
(AB)*=B*A*
（3）设 n
阶方阵A为
⎡aa12 a⎢11
1n⎤A=⎢a⎥⎢21a22 a2n⎥⎢ ⎥
⎢⎥aa⎥
⎣n1n2 ann⎦ 于是可得A的伴随矩阵A*
为
⎡AA⎢11
21 An1⎤A*=⎢A⎥⎢12A22 An2⎥⎢ ⎥
⎢⎥ ⎣AA⎥1n2n Ann注意到 ⎦A 的转置矩阵为
2-7）2-8） （
（
T
可推出A的伴随矩阵为
⎡a11⎢⎢a12
AT=⎢
⎢ ⎢a⎣1n
a21a22 a2n
A12A22 An2
an1⎤⎥an2⎥⎥ ⎥ann⎥⎦
*
比较A与(A)可知
T*
⎡A11⎢⎢A21
(AT)*=⎢
⎢ ⎢A⎣n1
*T
T*
A1n⎤⎥A2n⎥⎥ ⎥Ann⎥⎦
(A)=(A)
*-1|A|≠0AA （4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由A=|A|E可知
-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得 A由于, 可逆且
1
(A-1)*=A
|A|
另一方面, 由
A*=|A|A-1
A*(A-1)*=|A|A-1
*
由矩阵可逆的定义知, A可逆, 并且
*-1
-1*
1
A=E|A|
(A)=(A)
（5）对于（3）给出的矩阵A, 有
-a12⎡-a11
⎢
-a22⎢-a21
-A=⎢
⎢
⎢-a-an2⎣n1
即
a1j-1 -ai-1j-1-ai+1j-1
-anj-1
-a1n⎤
⎥-a2n⎥
⎥ ⎥-ann⎥⎦
-aij
的代数余子式为
-a11
(-1)
i+j
-a1j+1 -ai-1j+1-ai+1j+1
-anj+1
-a1n -ai-1n-ai+1n -ann
-ai-11-ai+11 -an1
故
=(-1)
n-1
Aij (i,j=1, 2, , n)
⎡(-1)n-1A11(-1)n-1A21 (-1)n-1An1⎤⎢⎥n-1n-1n-1
(-1)A22 (-1)An2⎥⎢(-1)A12n-1*
(-A)*=⎢⎥=(-1)A
⎢⎥⎢⎥n-1n-1n-1(-1)A(-1)A (-1)A1n2nnn⎦⎣
（6）因为|A|≠0, 故A可逆, 并且
l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AA A)=AA A=(A)
l个 l个 （7）对于（3）给出的矩阵A, 有
ka11 ka1n⎤⎡ka11
⎢⎥kaka ka⎢21222n⎥kA=⎢⎥
⎢⎥⎢kakan2 kann⎥n1⎣⎦
kaijkn-1Aij
类似于（5）可知的代数余子式为, 故
**T
例2 设A是n阶非零矩阵, 并且A的伴随矩阵A满足A=A, 证明A是可逆矩阵. 证 根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式, 有
*T
反证, 假设A不可逆, 故有|A|=0, 由上式及条件A=A, 有
AA*=AAT=O （2-6）
设矩阵A为
a12 a1n⎤⎡a11
⎢⎥aa a⎢21222n⎥A=⎢⎥
⎢⎥⎢aan2 ann⎥n1⎣⎦
由式（2-6）可知
a12 a1n⎤⎡a11a21 an1⎤⎡a11
⎢⎥⎢⎥aa aaa a⎢21222n⎥⎢1222n2⎥
AAT=⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢a⎢aan2 ann⎥a2n ann⎥n11n⎣⎦⎣⎦
nn
⎡n2⎤
aaa aa⎢1i1i2i1ini⎥i=1i=1i=1⎢⎥nnn⎢⎥2
aaa aa2i1i2i2ini⎥=O=⎢i=1i=1i=1⎢⎥ ⎢n⎥nn⎢2⎥aaaa ani1ini2ini⎢⎥i=1i=1i=1⎣⎦
比较上式两边矩阵对角线上的元素有
AA*=A*A=|A|E
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑a
i=1
n
2ji
=0 (j=1, 2, , n)
故
aj1=aj2= =ajn=0 (j=1, 2, , n)
因此有A = O, 与A是n阶非零矩阵矛盾, 故A是可逆矩阵. 例3 设A、B都是n阶可逆矩阵, 证明：
(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA
-1
证 必要性：因为(AB)
=A-1B-1=(BA)-1
(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA) 因此
AB=BA 即
充分性：因为AB=BA, 故
(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.
T-1
|A|=1,A=A 例4 设A是一个n阶方阵, n为奇数, 且, 证明(I-A)不可逆.
T-1
证 因为A=A, 故
因此有
AAT=AA-1=E
所以
故E-A是不可逆矩阵.
-1
(E-A)求.
TT
|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|
T
=|A| |(A-E)|=|A-E|
=(-1)n|E-A|=-|E-A|
|E-A|=0
k
例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O, 证明E-A是可逆矩阵, 并
证 由于
k2k-1
1-x=(1-x)(1+x+x+ +x)
故对于方阵A的多项式, 仍有
k
注意到A=O, 故有
E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)
因此(E-A)可逆, 并且
(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1
(A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵, 证明：
例6 设A是
n(n>2)阶方阵,
2
**n-2(A)=|A|A； （1）
**(n-1)
（2）|(A)|=|A|.
证 （1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系, 有
即 从而有
*
AA*=|A|E
A*(A*)*=|A*|E
AA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A
对AA=|A|E两边取行列式, 有
*n-1
若A可逆, |A|≠0, 故|A|=|A|, 于是有
|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|n
***|A|=0(A)=0, 仍有 A若A不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故
**n-2(A)=|A|A ****
A(A)=|A|E两边取行列式, 有 （2）对
********n|A(A)|=|A||(A)|=||A|E|=|A| *n-1|A|≠0|A|=|A|≠0, 于是可知 若A可逆, 所以, 从而有***n-1n-1n-1(n-1)
|(A)|=|A|=(|A|)=|A| **(n-1)2
若A不可逆, 则|(A)|=0=|A|
22
例7 设A、B是同阶方阵, 已知B是可逆矩阵, 且满足A+AB+B=O, 证明A和A+B都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.
2
|A*|
(A)=A=|A|n-2A
A
**
22
A+AB=A(A+B)=-B 证 因为, 由于
2n2
|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0
所以|A|≠0, |A+B|≠0
因而有 A,A+B可逆.
2-1
-(B)A(A+B)=E 由
2-1
由 -A(A+B)(B)=E
-12-1
(A+B)=-(B)A 可知
-12-1
可知A=-(A+B)(B).
例8 设A、B均是n阶方阵, 且
-1
E+AB可逆, 则E+BA也可逆, 并且
-1
(E+BA)=E-B(E+AB)A
证 考察两个矩阵的乘积
因此(E+BA)可逆, 并且
(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A
-1-1
=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]
-1
=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A
=E+BA-BA=E
例9 设n阶矩阵A、B和A+B均可逆, 证明：
-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)A A+B （1）也可逆, 且
-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B （2）
(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A
证 （1）因为
-1-1-1-1-1-1-1B
A+B=AA(A+B)BB=A(A+B)
两边取行列式有
-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|
-1
因为
-1-1
故 A+B是可逆矩阵.
-1|A|≠0 A+BA、B、可逆, 故
|A-1+B-1|≠0
|B-1|≠0
|A+B|≠0所以有
(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B
-1-1-1
=(E+BA)[B(A+B)]
故
(A+B)
-1
-1-1
=A(A+B)-1B
=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E
同理可证 （2）因为
(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.
(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1]
-1
(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I
=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1
=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1
故
同理可证
(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.
典型例题（二）方阵可逆的判定
例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式：
（1）若|A|≠0, 则(AT)-1=(A-1)T
；
（2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则
(AB)*=B*A*
； （3）
(AT)*=(A*)T； （4）若|A|≠0, 则(A*)-1=(A-1)*
； （5）
(-A)*=(-1)n-1A*； （6）若|A|≠0, 则(Al)-1=(A-1)l
（l为自然数）； （7）
(kA)*=kn-1A*. 证 （1）因为|A|≠0, 故A是可逆矩阵, 且
AA-1
=E两边同时取转置可得
(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E
故由可逆矩阵的定义可知
(A-1)T是AT的逆矩阵. 即
(A-1)T=(AT)-1
（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
(AB)*(AB)=|AB|E
另一方面
(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B
=|A|B*B=|A| |B|E=|AB|E
比较式（2-7）、（2-8）可知
(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)
又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘(AB)-1
可得
(AB)*=B*A*
（3）设 n
阶方阵A为
⎡aa12 a⎢11
1n⎤A=⎢a⎥⎢21a22 a2n⎥⎢ ⎥
⎢⎥aa⎥
⎣n1n2 ann⎦ 于是可得A的伴随矩阵A*
为
⎡AA⎢11
21 An1⎤A*=⎢A⎥⎢12A22 An2⎥⎢ ⎥
⎢⎥ ⎣AA⎥1n2n Ann注意到 ⎦A 的转置矩阵为
2-7）2-8） （
（
T
可推出A的伴随矩阵为
⎡a11⎢⎢a12
AT=⎢
⎢ ⎢a⎣1n
a21a22 a2n
A12A22 An2
an1⎤⎥an2⎥⎥ ⎥ann⎥⎦
*
比较A与(A)可知
T*
⎡A11⎢⎢A21
(AT)*=⎢
⎢ ⎢A⎣n1
*T
T*
A1n⎤⎥A2n⎥⎥ ⎥Ann⎥⎦
(A)=(A)
*-1|A|≠0AA （4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由A=|A|E可知
-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得 A由于, 可逆且
1
(A-1)*=A
|A|
另一方面, 由
A*=|A|A-1
A*(A-1)*=|A|A-1
*
由矩阵可逆的定义知, A可逆, 并且
*-1
-1*
1
A=E|A|
(A)=(A)
（5）对于（3）给出的矩阵A, 有
-a12⎡-a11
⎢
-a22⎢-a21
-A=⎢
⎢
⎢-a-an2⎣n1
即
a1j-1 -ai-1j-1-ai+1j-1
-anj-1
-a1n⎤
⎥-a2n⎥
⎥ ⎥-ann⎥⎦
-aij
的代数余子式为
-a11
(-1)
i+j
-a1j+1 -ai-1j+1-ai+1j+1
-anj+1
-a1n -ai-1n-ai+1n -ann
-ai-11-ai+11 -an1
故
=(-1)
n-1
Aij (i,j=1, 2, , n)
⎡(-1)n-1A11(-1)n-1A21 (-1)n-1An1⎤⎢⎥n-1n-1n-1
(-1)A22 (-1)An2⎥⎢(-1)A12n-1*
(-A)*=⎢⎥=(-1)A
⎢⎥⎢⎥n-1n-1n-1(-1)A(-1)A (-1)A1n2nnn⎦⎣
（6）因为|A|≠0, 故A可逆, 并且
l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AA A)=AA A=(A)
l个 l个 （7）对于（3）给出的矩阵A, 有
ka11 ka1n⎤⎡ka11
⎢⎥kaka ka⎢21222n⎥kA=⎢⎥
⎢⎥⎢kakan2 kann⎥n1⎣⎦
kaijkn-1Aij
类似于（5）可知的代数余子式为, 故
**T
例2 设A是n阶非零矩阵, 并且A的伴随矩阵A满足A=A, 证明A是可逆矩阵. 证 根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式, 有
*T
反证, 假设A不可逆, 故有|A|=0, 由上式及条件A=A, 有
AA*=AAT=O （2-6）
设矩阵A为
a12 a1n⎤⎡a11
⎢⎥aa a⎢21222n⎥A=⎢⎥
⎢⎥⎢aan2 ann⎥n1⎣⎦
由式（2-6）可知
a12 a1n⎤⎡a11a21 an1⎤⎡a11
⎢⎥⎢⎥aa aaa a⎢21222n⎥⎢1222n2⎥
AAT=⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢a⎢aan2 ann⎥a2n ann⎥n11n⎣⎦⎣⎦
nn
⎡n2⎤
aaa aa⎢1i1i2i1ini⎥i=1i=1i=1⎢⎥nnn⎢⎥2
aaa aa2i1i2i2ini⎥=O=⎢i=1i=1i=1⎢⎥ ⎢n⎥nn⎢2⎥aaaa ani1ini2ini⎢⎥i=1i=1i=1⎣⎦
比较上式两边矩阵对角线上的元素有
AA*=A*A=|A|E
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑a
i=1
n
2ji
=0 (j=1, 2, , n)
故
aj1=aj2= =ajn=0 (j=1, 2, , n)
因此有A = O, 与A是n阶非零矩阵矛盾, 故A是可逆矩阵. 例3 设A、B都是n阶可逆矩阵, 证明：
(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA
-1
证 必要性：因为(AB)
=A-1B-1=(BA)-1
(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA) 因此
AB=BA 即
充分性：因为AB=BA, 故
(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.
T-1
|A|=1,A=A 例4 设A是一个n阶方阵, n为奇数, 且, 证明(I-A)不可逆.
T-1
证 因为A=A, 故
因此有
AAT=AA-1=E
所以
故E-A是不可逆矩阵.
-1
(E-A)求.
TT
|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|
T
=|A| |(A-E)|=|A-E|
=(-1)n|E-A|=-|E-A|
|E-A|=0
k
例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O, 证明E-A是可逆矩阵, 并
证 由于
k2k-1
1-x=(1-x)(1+x+x+ +x)
故对于方阵A的多项式, 仍有
k
注意到A=O, 故有
E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)
因此(E-A)可逆, 并且
(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1
(A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵, 证明：
例6 设A是
n(n>2)阶方阵,
2
**n-2(A)=|A|A； （1）
**(n-1)
（2）|(A)|=|A|.
证 （1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系, 有
即 从而有
*
AA*=|A|E
A*(A*)*=|A*|E
AA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A
对AA=|A|E两边取行列式, 有
*n-1
若A可逆, |A|≠0, 故|A|=|A|, 于是有
|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|n
***|A|=0(A)=0, 仍有 A若A不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故
**n-2(A)=|A|A ****
A(A)=|A|E两边取行列式, 有 （2）对
********n|A(A)|=|A||(A)|=||A|E|=|A| *n-1|A|≠0|A|=|A|≠0, 于是可知 若A可逆, 所以, 从而有***n-1n-1n-1(n-1)
|(A)|=|A|=(|A|)=|A| **(n-1)2
若A不可逆, 则|(A)|=0=|A|
22
例7 设A、B是同阶方阵, 已知B是可逆矩阵, 且满足A+AB+B=O, 证明A和A+B都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.
2
|A*|
(A)=A=|A|n-2A
A
**
22
A+AB=A(A+B)=-B 证 因为, 由于
2n2
|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0
所以|A|≠0, |A+B|≠0
因而有 A,A+B可逆.
2-1
-(B)A(A+B)=E 由
2-1
由 -A(A+B)(B)=E
-12-1
(A+B)=-(B)A 可知
-12-1
可知A=-(A+B)(B).
例8 设A、B均是n阶方阵, 且
-1
E+AB可逆, 则E+BA也可逆, 并且
-1
(E+BA)=E-B(E+AB)A
证 考察两个矩阵的乘积
因此(E+BA)可逆, 并且
(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A
-1-1
=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]
-1
=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A
=E+BA-BA=E
例9 设n阶矩阵A、B和A+B均可逆, 证明：
-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)A A+B （1）也可逆, 且
-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B （2）
(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A
证 （1）因为
-1-1-1-1-1-1-1B
A+B=AA(A+B)BB=A(A+B)
两边取行列式有
-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|
-1
因为
-1-1
故 A+B是可逆矩阵.
-1|A|≠0 A+BA、B、可逆, 故
|A-1+B-1|≠0
|B-1|≠0
|A+B|≠0所以有
(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B
-1-1-1
=(E+BA)[B(A+B)]
故
(A+B)
-1
-1-1
=A(A+B)-1B
=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E
同理可证 （2）因为
(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.
(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1]
-1
(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I
=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1
=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1
故
同理可证
(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.