基于非线性系统的控制律设计
原
伟
511370）
（广州松田职业学院，广东增城
[摘要]微分几何理论为非线性系统反馈设计提供了强有力的工具。本文将系统地推导一类零动态不稳定系统的镇定方法。这个方法构造出
关于系统线性部分二次型的Lyapunov 函数，通过该构造抵消非线性项来设计本文新的控制律，这个控制律使该非线性系统状态空间模型的外部动态和内部动态达到稳定。最终该控制律使整个系统稳定。[关键词]Lyapunov 函数；非线性控制系统；零动态一、非线性模型的零动态显式表示
这个控制律将能够使一类非线性零动态不稳定的系统的外部动态和内部动态（也就是整个系统）达到稳定。本文知道，非线性单输入单
输出仿射非线性系统的状态空间模型通常可以表示为式，即式（1-1）。
x=f（x ）+g（x ）u y=h（x ）
（1-1）
一般在研究非线性系统式时，需要找到后n-r 项个状态变量满足条
件L g φr +1=L g φr +2=…=L g φn =0
的条件，来构造整个非线性变换
通过此非线性坐标变换，就可以得到非线性模型的含零动态显式表示的标准型。这里不需要逐个地表示出每一个状态变量，为了方便控制方法设计的推导与论证，将引入新一个合适的向量符号，使式形式更
加紧凑。前r 个变量表示为z =（z . . . 1，放在起表示为η=（z . . . z 1，…，z ）r T ，将后式面n-r 个变量r +1，z 1，…，z ）n T
所示。采用新的变量，那么式（
1-2）
。（1-2）
二、控制律的结构设计
凡是提到Lyapunov 方法，人们自然会想到它的构造问题。对于非线性系统，至今缺少一般性的构造方法，甚至对它的存在性都很少有结果。如同非线性系统的Lyapunov 函数的构造问题一样，CLF 的构造无疑是制约这种方法发展的瓶颈。若系统是反馈可线性化的，可借助于反馈变换，消去所有的非线性项，使之变为线性的，那么我们可以构造出关于线性化后系统坐标的二次型CLF 。先构造出这样的CLF ，接着运用它来设计控制律u （x ）。
再回到系统如式（1-2），针对零动态部分，分别求前r 个状态变量的导数，和求后n-r 个状态变量的导数，并取平衡点的导数值，一般是原点；这样式（
1-2）就分成式（2-1）
所示，（2-1）
设计虚拟输入v （）t ，它是含条件约束输入U new 的控制状态反馈式，如式（2-2）所示。其中K 是一个行向量，它的维数是n ，与系统状态变量个数n 相等，K 中元素是为待确定的反馈增益常数，U new 是含有条件约束的非线性控制律，其中约束条件是该控制律设计的关键部分。U new 和K 这两个待确定量的计算问题，下一小节将说细讨论
。
（2-2）
设A c =A-BK，将B =（0r -110n ）-r
T
简化式（2-1），如式（2-3）所示
。
180
20115（2-3）
三、控制律的稳定性设计
新控制律v （t ）结构是式（2-2），如上所知K 中元素是为反馈增益常数，但是它是待确定的参数，还有U new 是含有条件约束的非线性控制律，也是待确定的，而这两点正是此新控制律设计的核心。这里设计v （t ）这个控制律的目标，是通过使非线性系统状态空间模型的外部动
态和内部动态达到稳定，从而使系统整体达到稳定。Lyapunov 为克服由于系统多样性难以用统一能量函数来表达这一困难，引入了一个虚拟的能量函数，即
Lyapunov 函数记为：V （t ）。此时若V （t ）>0，V .
（t ）
设V （z, η）
是式
的Lyapunov 备选函数
（Lyapunovcandidatefunction ），其中P 为对称的正定矩阵，但其中参
数未知待求，这里V （z, η）就是本文提到控制Lyapunov 函数。它的导数如式（3-1）所示。并将式（2-3）代入式（3-1）得式（3-2）
。
（3-2）
可以很清晰看到，式（3-2）分为两部表示：第一部分，部分是线
性部分；第二部分，为非线性部分。可以看到，对式（3-2）的线性部分和非线性部分的分离，都可以使问题得到简化。由其条件（）
i 可以看出，集合{x |L g V （x ）=0}是非常重要的，因为在此集合上，控制u 将不起作用。在某种条件小于零，即负定，那么刚才构造的V （z, η
），才真正是所要求的控制Lyapunov 函数；在式（3-2）中，将要求式（3-3）等零
。
（3-3）
对式（3-3）求解，得式（3-4）。这里U new 是含有条件约束的非线性输入，虽还是待确定，但问题的关键也转化到矩阵P 上。只要矩阵
P 参数计算得出，那么不难得出U new ，g j （z ，η）是式（3-4）中第j 项
。
（3-4）
接下来，将要论证K 的选取问题。首先考查一众所周知的引理。经过极点配置来选择K ，使A c =A-BK满足条件。回顾极点配置内容，它是在线性系统现代控制中一类最为典型的综合设计方法。从本质上说，极点配置是对线性系统控制理论综合方法的一个直接推广。状态反馈的极点配置，顾名思义，就是以一组期望的极点为性能指标，对线性时不变控制系统综合一个状态反馈型的控制，使闭环系统的特征值配置到复平面上期望位置。
（下转第182页）
虚假报告。虚假会计信息能实现“多赢”，正是这些复杂的利益关系构成了虚假会计信息产生的内在动因。
（四）会计人员业务水平参差不齐，位置处于依附尴尬地位
我国目前拥有一支庞大的会计队伍，但其中很多人未受过专业教育和培训，对国家有关财经政策、法规理解不深、掌握不够。在新的财务会计制度转换过程中，也没有很好的加强相关财务法规教育，对一些政策掌握不透，业务技术不精，导致会计信息失真。
会计人员地位不高，利益得不到保障。在企业中经营者与会计人员是上下级的领导与被领导的关系。现实中相当多的会计人员因坚持原则而受到打击迫害：有的被调离；有的被架空；有的被恐吓；甚至有的被炒鱿鱼。致使会计人员的监督职能无法正常发挥。
二、重塑会计诚信对策（一）完善会计信息披露制度
会计信息是会计资源，更是社会资源，持续的信息公开制度有利于消除市场信息的不完全和不对称，抑制造假和欺诈。要利用先进的技术手段和工具促进会计资源的信息化管理，提高会计信息的透明度，加大信息披露的频率；根据会计信息质量要求第六条重要性原则，改进信息披露的内容，适当增加财务报表附注，增加企业披露非财务信息，进一步完善和严格规范关联方交易行为及其信息的披露，披露关于企业软资产（如知识产权、人力资源、以及自创商誉），加强对现金流量信息的呈报和考核. 满足社会各界对会计信息的需要，同时制定专门的法规对会计信息的管理提供保证，让会计工作置于更加规范的制度环境下，促进诚信建设。
（二）建立民事赔偿制度，加大造假成本
一是加大惩罚力度。对恶意造假者，一定要加大处罚力度，必须从立法、执法对造假单位及责任人进行经济处罚或刑事处罚，不仅要其付出倾家荡产、声名狼藉的代价，对造成严重后果的还要坐牢，使造假者付出的代价远远大于其得到的收益。
二是尽快建立民事赔偿制度，对参与造假，无论是公司（投资者、律师、还是评估师、会计师，只要公民的合法利益受到侵或经营者）害，受害人都可以提起诉讼。
三是实行市场退出机制。在“安然”事件发生一个月后，纽约证交所正式取消安然股票的相关交易，并拟取消其上市资格。我国要尽快要构建有效的退出机制。对那些不遵守行业操守、自身就不守信用的企业或个人，出现失信行为后要把肇事者驱逐出相关行业。如对会计造假上市公司要立刻退市，对参与造假的中介机构要进行取缔，对会计造假的单位责任人、会计人员、注册会计师不允许继续从事相关职业。只有这样，对失信行为的惩罚才是真正可置信的。（三）会计政策的选择符合利益协同的“一致”
会计政策的选择符合利益协同的“一致”，避免会计政策选择下的合法会计信息失真应该从两个环节着手。一是会计准则、会计制度的制
定环节。二是会计准则、会计制度下的会计政策选择环节。在制定环节，首先，应建立有多方利益关系人参加的会计准则、会计制度制定机构，其中既有学术界又有企业界，既有政府部门又有民间组织，即有审计机关又有会计职业团体，以便使会计准则、会计制度所确定的会计空间尽量与利益空间相吻合。制定出具有普遍认同的准则、制度，尽量消除对同一事项选择不同会计处理方法产生差异过大现象。其次，应遵循科学合理的制定程序，草案颁布应经过反复讨论，征求意见应扩大范围，审批条件应慎重严格。在选择环节，企业会计部门应尽量考虑和利益关系人的利益，以便使会计政策的选择符合利益协同的“一致”。
（四）实施诚信工程，强化诚信教育，提高财务人员素质
张迎维教授在谈到诚信时认为，法律和信誉是维持市场有序运行的两个条件，与法律相比，信誉机制是一种成本更低的维持交易秩序的机制。特别是在许多情况下，法律是无能为力的，只有信誉才能起作用为此要从以下几个方面实施诚信工程：
一是着力打造信用政府。各级政府要切实转变政府职能，减少地方保护，提高政府的信用度。杜绝“官出数字，数字出官”的浮夸风，把诚信作为一个地区、部门考核的政绩指标。
二是建立信用档案。朱镕基总理在九届人大五次会议的政府工作报告中明确提出，要“加快建立企业、中介机构和个人的信用档案，使有不良行为记录者付出代价，名誉扫地，直至绳之以法”。
三是加强诚信教育，提高财务人员素质，一是把好进人关，要求上岗人员必须取得会计职业资格，否则不得上岗；二是要求在岗人员加强日常学习，对其进行后续教育。
为了使会计人员的利益从根本上得到保证，实行会计人员委派制，加强会计人员的客观性、独立性。通过实行委派制，可以保证会计人员相对独立地展开工作，不完全受制于企业负责人，还可以避免低素质的人员进入会计队伍，保证会计人员的素质。
参考文献［］
[1]张前, 会计诚信缺失的根源剖析, 广西社会科学2009.
[2]张荣秀, 陈昌明. 加强会计职业道德建设重塑会计诚信形象[J],西南农业大学学报(社会科学版),2009.
[3]王焕霞. 对会计诚信缺失原因及问题探讨[J].科技信息,2009. [4]孟湘萍, 安宏. 加强会计诚信, 工作的对策[J].山东商业会计2006. [5]石晶晶. 职业道德与诚信, 山东商业会计2009.
上接第180页（）
到此，看到根若当L g V （x ）=0时，L f V （x ）＜0，则V (x ) 是一个控制Lyapunov 函数。
这里将给出新的控制律式为：
作者简介：原伟，男，硕士，研究方向非线性系统。
参考文献［］
[1]F. Andreev,D.Auckly,L. Kapitanski,S.Gosavi et al. Matching,linear systems,and the ball and beam.Automatica,2002.
[2]张国银. 基于NMPC 球杆系统控制方法研究及实现. 中山大学硕士论文, 2006.
[3]蔡秀珊. 控制Lyapunov 函数的构造与非线性不确定系统的镇定. 上海交通大学博士论文,2005.
[4]A.Arstein.Stabilization with relaxed controls. Nonlinear Analysis,Theory.Meth-ods and Application,1983.
[5]A. F. Okou, O. Akhrif, L-A. Dessaint. Nonlinear control of non-minimum phase systems:application to the votage and speed regulation of power systems. Proceedings of the 1999IEEE international Conference on Conference on Control Application,Kohala Coast-Island of Hawai,USA,1999.
3-5（）
四、本文小结
本文通过构造出系统线性二次型的Lyapunov 函数，设计控制律来抵消非线性项，使非线性系统状态空间模型的外部动态和内部动态达到稳定，最终使整个系统稳定。本文列出具有可操性的步骤，为就以后典型非线性系统控制律的设计提供了新颖的执行方案。
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基于非线性系统的控制律设计
原
伟
511370）
（广州松田职业学院，广东增城
[摘要]微分几何理论为非线性系统反馈设计提供了强有力的工具。本文将系统地推导一类零动态不稳定系统的镇定方法。这个方法构造出
关于系统线性部分二次型的Lyapunov 函数，通过该构造抵消非线性项来设计本文新的控制律，这个控制律使该非线性系统状态空间模型的外部动态和内部动态达到稳定。最终该控制律使整个系统稳定。[关键词]Lyapunov 函数；非线性控制系统；零动态一、非线性模型的零动态显式表示
这个控制律将能够使一类非线性零动态不稳定的系统的外部动态和内部动态（也就是整个系统）达到稳定。本文知道，非线性单输入单
输出仿射非线性系统的状态空间模型通常可以表示为式，即式（1-1）。
x=f（x ）+g（x ）u y=h（x ）
（1-1）
一般在研究非线性系统式时，需要找到后n-r 项个状态变量满足条
件L g φr +1=L g φr +2=…=L g φn =0
的条件，来构造整个非线性变换
通过此非线性坐标变换，就可以得到非线性模型的含零动态显式表示的标准型。这里不需要逐个地表示出每一个状态变量，为了方便控制方法设计的推导与论证，将引入新一个合适的向量符号，使式形式更
加紧凑。前r 个变量表示为z =（z . . . 1，放在起表示为η=（z . . . z 1，…，z ）r T ，将后式面n-r 个变量r +1，z 1，…，z ）n T
所示。采用新的变量，那么式（
1-2）
。（1-2）
二、控制律的结构设计
凡是提到Lyapunov 方法，人们自然会想到它的构造问题。对于非线性系统，至今缺少一般性的构造方法，甚至对它的存在性都很少有结果。如同非线性系统的Lyapunov 函数的构造问题一样，CLF 的构造无疑是制约这种方法发展的瓶颈。若系统是反馈可线性化的，可借助于反馈变换，消去所有的非线性项，使之变为线性的，那么我们可以构造出关于线性化后系统坐标的二次型CLF 。先构造出这样的CLF ，接着运用它来设计控制律u （x ）。
再回到系统如式（1-2），针对零动态部分，分别求前r 个状态变量的导数，和求后n-r 个状态变量的导数，并取平衡点的导数值，一般是原点；这样式（
1-2）就分成式（2-1）
所示，（2-1）
设计虚拟输入v （）t ，它是含条件约束输入U new 的控制状态反馈式，如式（2-2）所示。其中K 是一个行向量，它的维数是n ，与系统状态变量个数n 相等，K 中元素是为待确定的反馈增益常数，U new 是含有条件约束的非线性控制律，其中约束条件是该控制律设计的关键部分。U new 和K 这两个待确定量的计算问题，下一小节将说细讨论
。
（2-2）
设A c =A-BK，将B =（0r -110n ）-r
T
简化式（2-1），如式（2-3）所示
。
180
20115（2-3）
三、控制律的稳定性设计
新控制律v （t ）结构是式（2-2），如上所知K 中元素是为反馈增益常数，但是它是待确定的参数，还有U new 是含有条件约束的非线性控制律，也是待确定的，而这两点正是此新控制律设计的核心。这里设计v （t ）这个控制律的目标，是通过使非线性系统状态空间模型的外部动
态和内部动态达到稳定，从而使系统整体达到稳定。Lyapunov 为克服由于系统多样性难以用统一能量函数来表达这一困难，引入了一个虚拟的能量函数，即
Lyapunov 函数记为：V （t ）。此时若V （t ）>0，V .
（t ）
设V （z, η）
是式
的Lyapunov 备选函数
（Lyapunovcandidatefunction ），其中P 为对称的正定矩阵，但其中参
数未知待求，这里V （z, η）就是本文提到控制Lyapunov 函数。它的导数如式（3-1）所示。并将式（2-3）代入式（3-1）得式（3-2）
。
（3-2）
可以很清晰看到，式（3-2）分为两部表示：第一部分，部分是线
性部分；第二部分，为非线性部分。可以看到，对式（3-2）的线性部分和非线性部分的分离，都可以使问题得到简化。由其条件（）
i 可以看出，集合{x |L g V （x ）=0}是非常重要的，因为在此集合上，控制u 将不起作用。在某种条件小于零，即负定，那么刚才构造的V （z, η
），才真正是所要求的控制Lyapunov 函数；在式（3-2）中，将要求式（3-3）等零
。
（3-3）
对式（3-3）求解，得式（3-4）。这里U new 是含有条件约束的非线性输入，虽还是待确定，但问题的关键也转化到矩阵P 上。只要矩阵
P 参数计算得出，那么不难得出U new ，g j （z ，η）是式（3-4）中第j 项
。
（3-4）
接下来，将要论证K 的选取问题。首先考查一众所周知的引理。经过极点配置来选择K ，使A c =A-BK满足条件。回顾极点配置内容，它是在线性系统现代控制中一类最为典型的综合设计方法。从本质上说，极点配置是对线性系统控制理论综合方法的一个直接推广。状态反馈的极点配置，顾名思义，就是以一组期望的极点为性能指标，对线性时不变控制系统综合一个状态反馈型的控制，使闭环系统的特征值配置到复平面上期望位置。
（下转第182页）
虚假报告。虚假会计信息能实现“多赢”，正是这些复杂的利益关系构成了虚假会计信息产生的内在动因。
（四）会计人员业务水平参差不齐，位置处于依附尴尬地位
我国目前拥有一支庞大的会计队伍，但其中很多人未受过专业教育和培训，对国家有关财经政策、法规理解不深、掌握不够。在新的财务会计制度转换过程中，也没有很好的加强相关财务法规教育，对一些政策掌握不透，业务技术不精，导致会计信息失真。
会计人员地位不高，利益得不到保障。在企业中经营者与会计人员是上下级的领导与被领导的关系。现实中相当多的会计人员因坚持原则而受到打击迫害：有的被调离；有的被架空；有的被恐吓；甚至有的被炒鱿鱼。致使会计人员的监督职能无法正常发挥。
二、重塑会计诚信对策（一）完善会计信息披露制度
会计信息是会计资源，更是社会资源，持续的信息公开制度有利于消除市场信息的不完全和不对称，抑制造假和欺诈。要利用先进的技术手段和工具促进会计资源的信息化管理，提高会计信息的透明度，加大信息披露的频率；根据会计信息质量要求第六条重要性原则，改进信息披露的内容，适当增加财务报表附注，增加企业披露非财务信息，进一步完善和严格规范关联方交易行为及其信息的披露，披露关于企业软资产（如知识产权、人力资源、以及自创商誉），加强对现金流量信息的呈报和考核. 满足社会各界对会计信息的需要，同时制定专门的法规对会计信息的管理提供保证，让会计工作置于更加规范的制度环境下，促进诚信建设。
（二）建立民事赔偿制度，加大造假成本
一是加大惩罚力度。对恶意造假者，一定要加大处罚力度，必须从立法、执法对造假单位及责任人进行经济处罚或刑事处罚，不仅要其付出倾家荡产、声名狼藉的代价，对造成严重后果的还要坐牢，使造假者付出的代价远远大于其得到的收益。
二是尽快建立民事赔偿制度，对参与造假，无论是公司（投资者、律师、还是评估师、会计师，只要公民的合法利益受到侵或经营者）害，受害人都可以提起诉讼。
三是实行市场退出机制。在“安然”事件发生一个月后，纽约证交所正式取消安然股票的相关交易，并拟取消其上市资格。我国要尽快要构建有效的退出机制。对那些不遵守行业操守、自身就不守信用的企业或个人，出现失信行为后要把肇事者驱逐出相关行业。如对会计造假上市公司要立刻退市，对参与造假的中介机构要进行取缔，对会计造假的单位责任人、会计人员、注册会计师不允许继续从事相关职业。只有这样，对失信行为的惩罚才是真正可置信的。（三）会计政策的选择符合利益协同的“一致”
会计政策的选择符合利益协同的“一致”，避免会计政策选择下的合法会计信息失真应该从两个环节着手。一是会计准则、会计制度的制
定环节。二是会计准则、会计制度下的会计政策选择环节。在制定环节，首先，应建立有多方利益关系人参加的会计准则、会计制度制定机构，其中既有学术界又有企业界，既有政府部门又有民间组织，即有审计机关又有会计职业团体，以便使会计准则、会计制度所确定的会计空间尽量与利益空间相吻合。制定出具有普遍认同的准则、制度，尽量消除对同一事项选择不同会计处理方法产生差异过大现象。其次，应遵循科学合理的制定程序，草案颁布应经过反复讨论，征求意见应扩大范围，审批条件应慎重严格。在选择环节，企业会计部门应尽量考虑和利益关系人的利益，以便使会计政策的选择符合利益协同的“一致”。
（四）实施诚信工程，强化诚信教育，提高财务人员素质
张迎维教授在谈到诚信时认为，法律和信誉是维持市场有序运行的两个条件，与法律相比，信誉机制是一种成本更低的维持交易秩序的机制。特别是在许多情况下，法律是无能为力的，只有信誉才能起作用为此要从以下几个方面实施诚信工程：
一是着力打造信用政府。各级政府要切实转变政府职能，减少地方保护，提高政府的信用度。杜绝“官出数字，数字出官”的浮夸风，把诚信作为一个地区、部门考核的政绩指标。
二是建立信用档案。朱镕基总理在九届人大五次会议的政府工作报告中明确提出，要“加快建立企业、中介机构和个人的信用档案，使有不良行为记录者付出代价，名誉扫地，直至绳之以法”。
三是加强诚信教育，提高财务人员素质，一是把好进人关，要求上岗人员必须取得会计职业资格，否则不得上岗；二是要求在岗人员加强日常学习，对其进行后续教育。
为了使会计人员的利益从根本上得到保证，实行会计人员委派制，加强会计人员的客观性、独立性。通过实行委派制，可以保证会计人员相对独立地展开工作，不完全受制于企业负责人，还可以避免低素质的人员进入会计队伍，保证会计人员的素质。
参考文献［］
[1]张前, 会计诚信缺失的根源剖析, 广西社会科学2009.
[2]张荣秀, 陈昌明. 加强会计职业道德建设重塑会计诚信形象[J],西南农业大学学报(社会科学版),2009.
[3]王焕霞. 对会计诚信缺失原因及问题探讨[J].科技信息,2009. [4]孟湘萍, 安宏. 加强会计诚信, 工作的对策[J].山东商业会计2006. [5]石晶晶. 职业道德与诚信, 山东商业会计2009.
上接第180页（）
到此，看到根若当L g V （x ）=0时，L f V （x ）＜0，则V (x ) 是一个控制Lyapunov 函数。
这里将给出新的控制律式为：
作者简介：原伟，男，硕士，研究方向非线性系统。
参考文献［］
[1]F. Andreev,D.Auckly,L. Kapitanski,S.Gosavi et al. Matching,linear systems,and the ball and beam.Automatica,2002.
[2]张国银. 基于NMPC 球杆系统控制方法研究及实现. 中山大学硕士论文, 2006.
[3]蔡秀珊. 控制Lyapunov 函数的构造与非线性不确定系统的镇定. 上海交通大学博士论文,2005.
[4]A.Arstein.Stabilization with relaxed controls. Nonlinear Analysis,Theory.Meth-ods and Application,1983.
[5]A. F. Okou, O. Akhrif, L-A. Dessaint. Nonlinear control of non-minimum phase systems:application to the votage and speed regulation of power systems. Proceedings of the 1999IEEE international Conference on Conference on Control Application,Kohala Coast-Island of Hawai,USA,1999.
3-5（）
四、本文小结
本文通过构造出系统线性二次型的Lyapunov 函数，设计控制律来抵消非线性项，使非线性系统状态空间模型的外部动态和内部动态达到稳定，最终使整个系统稳定。本文列出具有可操性的步骤，为就以后典型非线性系统控制律的设计提供了新颖的执行方案。
182
20115