2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1. 掌握平面向量数量积运算规律；
2. 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a⋅e =|a|cosθ； 2︒ a ⊥b ⇔ a⋅b = 0
3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a|2或|a |=a ⋅a
4︒cos θ =
3．练习：
（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D. ４５°
（2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为a ⋅b ； 5︒|a⋅b| ≤ |a||b| |a ||b |π，那么向量m=a-4b的模为（ ） 3
A.2 B.2 C.6 D.12
二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，怎样用a 和b 的坐标表示a ⋅b ？.
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 即a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2
2. 平面内两点间的距离公式
（1）设a =(x , y ) ，则|a |=x +y 或|a |=222x 2+y 2.
（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) ， 那么|a |=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2(平面内两点间的距离公式)
3． 向量垂直的判定
设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
4． 两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）
cos θ =a ⋅b =|a |⋅|b |x 1x 2+y 1y 2
x 1+y 122x 2+y 222
二、讲解范例：
例1 已知A(1， 2) ，B(2， 3) ，C(-2， 5) ，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7) ，b = (-6， -4) ，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )
分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，），b ＝（＋１，－１）
有a·b ＝＋１＋（－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．
记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝πa ⋅b 2 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ =4a ⋅b 2
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
三、课堂练习：1、P107面1、2、3题
2、已知A(3，2) ，B(-1，-1) ，若点P(x，-
四、小结： 1、a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2
2、平面内两点间的距离公式 |a |=
3、向量垂直的判定：
设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
五、课后作业：《习案》作业二十四。
1) 在线段AB 的中垂线上，则. 2(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2
思考：
1、如图，以原点和A(5， 2) 为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标.
解：设B 点坐标(x， y) ，则= (x， y) ，= (x-5， y -2) ∵OB ⊥AB ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x 2 + y2 -5x - 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y2 = (x-5) 2 + (y-2) 2即：10x + 4y = 29 ⎧73⎧x =x =⎧x +y -5x -2y =0⎪⎪22⎪12⇒⎨或⎨由⎨ 37⎩10x +4y =29⎪y 1=-⎪y 2=⎪2⎩2⎩22
∴B 点坐标(, -) 或(, ) ；=(-7
[1**********], -) 或(-, ) 2222
2 在△ABC 中，=(2， 3) ，=(1， k) ，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值. 解：当A = 90︒时，⋅= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =-3 2
当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3)
∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k =11 3
当C = 90︒时，⋅= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k =
3±
2
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1. 掌握平面向量数量积运算规律；
2. 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a⋅e =|a|cosθ； 2︒ a ⊥b ⇔ a⋅b = 0
3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a|2或|a |=a ⋅a
4︒cos θ =
3．练习：
（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D. ４５°
（2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为a ⋅b ； 5︒|a⋅b| ≤ |a||b| |a ||b |π，那么向量m=a-4b的模为（ ） 3
A.2 B.2 C.6 D.12
二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，怎样用a 和b 的坐标表示a ⋅b ？.
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 即a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2
2. 平面内两点间的距离公式
（1）设a =(x , y ) ，则|a |=x +y 或|a |=222x 2+y 2.
（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) ， 那么|a |=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2(平面内两点间的距离公式)
3． 向量垂直的判定
设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
4． 两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）
cos θ =a ⋅b =|a |⋅|b |x 1x 2+y 1y 2
x 1+y 122x 2+y 222
二、讲解范例：
例1 已知A(1， 2) ，B(2， 3) ，C(-2， 5) ，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7) ，b = (-6， -4) ，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )
分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，），b ＝（＋１，－１）
有a·b ＝＋１＋（－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．
记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝πa ⋅b 2 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ =4a ⋅b 2
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
三、课堂练习：1、P107面1、2、3题
2、已知A(3，2) ，B(-1，-1) ，若点P(x，-
四、小结： 1、a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2
2、平面内两点间的距离公式 |a |=
3、向量垂直的判定：
设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
五、课后作业：《习案》作业二十四。
1) 在线段AB 的中垂线上，则. 2(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2
思考：
1、如图，以原点和A(5， 2) 为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标.
解：设B 点坐标(x， y) ，则= (x， y) ，= (x-5， y -2) ∵OB ⊥AB ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x 2 + y2 -5x - 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y2 = (x-5) 2 + (y-2) 2即：10x + 4y = 29 ⎧73⎧x =x =⎧x +y -5x -2y =0⎪⎪22⎪12⇒⎨或⎨由⎨ 37⎩10x +4y =29⎪y 1=-⎪y 2=⎪2⎩2⎩22
∴B 点坐标(, -) 或(, ) ；=(-7
[1**********], -) 或(-, ) 2222
2 在△ABC 中，=(2， 3) ，=(1， k) ，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值. 解：当A = 90︒时，⋅= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =-3 2
当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3)
∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k =11 3
当C = 90︒时，⋅= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k =
3±
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