平面几何 定理及其证明
一、 梅涅劳斯定理
1．梅涅劳斯定理及其证明
定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有
AD BE CF
⨯⨯=1．
DB EC FA
证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．
CG CF
因为CG // AB，所以 ————（1） =
AD FA CG EC
因为CG // AB，所以 ————（2） =
DB BE 由（1）÷（2）可得
F
AD BE CF DB BE CF
⋅⋅=1．=⋅，即得 DB EC FA AD EC FA
2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ，若
AD BE CF
⋅⋅=1，那么，D 、E 、F 三点共线． DB EC FA
证明：设直线EF 交AB 于点D /，则据梅涅劳斯定理有
AD /BE CF
⋅⋅=1． /
D B EC FA
AD BE CF AD AD //
因为 ⋅⋅=1，所以有=/．由于点D 、D 都在线
DB D B DB EC FA
F
段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．
二、 塞瓦定理
3．塞瓦定理及其证明
定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有
AD BE CF
⋅⋅=1．
DB EC FA
证明：运用面积比可得根据等比定理有
AD S ∆ADP S ∆ADC
． ==
DB S ∆BDP S ∆BDC
B
F
C
S ∆ADP S ∆ADC S ∆ADC -S ∆ADP S ∆APC
===， S ∆BDP S ∆BDC S ∆BDC -S ∆BDP S ∆BPC
所以AD =S ∆APC ．同理可得BE =S ∆APB ，CF =S ∆BPC ．
DB S ∆BPC
EC S ∆APC FA S ∆APB 三式相乘得
AD BE CF
⋅⋅=1． DB EC FA
4．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，
AD BE CF
⋅⋅=1，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 若
DB EC FA
证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有
AD /BE CF
⋅⋅=1． D /B EC FA
D
B
F
C
AD BE CF /AD AD /
因为 ⋅⋅=1，所以有=/．由于点D 、D 都在线
DB EC FA DB D B
/
段AB 上，所以点D 与D 重合．即得D 、E 、F 三点共线．
三、 西姆松定理
5．西姆松定理及其证明
定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．
证明：如图示，连接PC ，连接 EF 交BC 于点D /，连接PD /．
因为PE ⊥AE ，PF ⊥AF ，所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得∠FAE =∠FEP ．
因为A 、B 、P 、C 四点共圆，所以∠BAC =∠BCP ，即∠FAE =∠BCP ．
所以，∠FEP =∠BCP ，即∠D /EP =∠D /CP ，可得C 、D /、P 、E 四点共圆．
所以，∠CD /P +∠CEP = 1800。而∠CEP = 900，所以∠CD /P = 900，
即PD /⊥BC ．
由于过点P 作BC 的垂线，垂足只有一个，所以点D 与D /重合，即得D 、E 、F 三点共线．
四、 托勒密定理
6．托勒密定理及其证明
定理：凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形，则有
AB·CD + BC·AD = AC·BD ．
证明：设点M 是对角线AC 与BD 的交点，在线段BD 上找一点，使得∠DAE
=∠BAM ．
因为∠ADB =∠ACB ，即∠ADE =∠ACB ，所以∆ADE ∽∆ACB ，即得 AD DE
，即AD ⋅BC =AC ⋅DE ————（1） =
AC BC
由于∠DAE =∠BAM ，所以∠DAM =∠BAE ，即∠DAC =∠BAE 。而∠ABD =∠ACD ，即∠ABE =∠ACD ，所以∆ABE ∽∆ACD ．即得
AB =BE ，即AB ⋅CD =AC ⋅BE ————（2）
AC
CD
由（1）+（2）得
AD ⋅BC +AB ⋅CD =AC ⋅DE +AC ⋅BE =AC ⋅BD ．
所以AB ·CD + BC·AD = AC·BD ． 7．托勒密定理的逆定理及其证明
定理：如果凸四边形ABCD 满足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A 、B 、C 、D 四点共圆． 证法1（同一法）：
在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得∠EAB =∠DAC ，∠EBA =∠DCA ，则∆EAB ∽∆DAC ． 可得AB×CD = BE×AC ———（1）
AE AB
=且 ———（2） AD AC
则由∠DAE =∠CAB 及（2）可得∆DAE ∽∆CAB ．于是有 AD×BC = DE×AC ———（3）
由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )． 据条件可得 BD = BE + DE ，则点E 在线段BD 上．则由∠EBA =∠DCA ，得∠DBA =∠DCA ，这说明A 、B 、C 、D 四点共圆．
8．托勒密定理的推广及其证明
定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有
AB×CD + BC×AD > AC×BD
证明：如图，在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得∠EAB =∠DAC ，
∠EBA =∠DCA ，则∆EAB ∽∆DAC ．
可得AB×CD = BE×AC ————（1）
AE AB
=且 ————（2） AD AC
则由∠DAE =∠CAB 及（2）可得∆DAE ∽∆CAB ．于是
AD×BC = DE×AC ————（3）
由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE ) 因为A 、B 、C 、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知
AB×CD + BC×AD≠AC×BD
所以BE + DE≠BD ，即得点E 不在线段BD 上，则据三角形的性质有BE + DE > BD． 所以AB×CD + BC×AD > AC×BD． 五、 欧拉定理
9．欧拉定理及其证明
定理：设ΔABC 的重心、外心、垂心分别用字母G 、O 、H 表示．则
有G 、O 、H 三点共线（欧拉线），且满足OH =3OG ．
证明（几何法）：连接OH ，AE ，两线段相交于点G /；连BO 并延长
交圆O 于点D ；连接CD 、AD 、HC ，设E 为边BC 的中点，连接OE 和OC ，如图．
因为 CD⊥BC ，AH ⊥BC ，所以 AH // CD．同理CH // DA． 所以，AHCD 为平行四边形．
可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE．
因为AH // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得∆AHG /∽∆EOG /．
AH AG /HG /2所以===．
OE G /E G /O 1
AG /2
由/=，及重心性质可知点G /就是∆ABC 的重心，即G /与点G 重合． G E 1
所以，G 、O 、H 三点共线，且满足OH =3OG ．
平面几何 定理及其证明
一、 梅涅劳斯定理
1．梅涅劳斯定理及其证明
定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有
AD BE CF
⨯⨯=1．
DB EC FA
证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．
CG CF
因为CG // AB，所以 ————（1） =
AD FA CG EC
因为CG // AB，所以 ————（2） =
DB BE 由（1）÷（2）可得
F
AD BE CF DB BE CF
⋅⋅=1．=⋅，即得 DB EC FA AD EC FA
2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ，若
AD BE CF
⋅⋅=1，那么，D 、E 、F 三点共线． DB EC FA
证明：设直线EF 交AB 于点D /，则据梅涅劳斯定理有
AD /BE CF
⋅⋅=1． /
D B EC FA
AD BE CF AD AD //
因为 ⋅⋅=1，所以有=/．由于点D 、D 都在线
DB D B DB EC FA
F
段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．
二、 塞瓦定理
3．塞瓦定理及其证明
定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有
AD BE CF
⋅⋅=1．
DB EC FA
证明：运用面积比可得根据等比定理有
AD S ∆ADP S ∆ADC
． ==
DB S ∆BDP S ∆BDC
B
F
C
S ∆ADP S ∆ADC S ∆ADC -S ∆ADP S ∆APC
===， S ∆BDP S ∆BDC S ∆BDC -S ∆BDP S ∆BPC
所以AD =S ∆APC ．同理可得BE =S ∆APB ，CF =S ∆BPC ．
DB S ∆BPC
EC S ∆APC FA S ∆APB 三式相乘得
AD BE CF
⋅⋅=1． DB EC FA
4．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，
AD BE CF
⋅⋅=1，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 若
DB EC FA
证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有
AD /BE CF
⋅⋅=1． D /B EC FA
D
B
F
C
AD BE CF /AD AD /
因为 ⋅⋅=1，所以有=/．由于点D 、D 都在线
DB EC FA DB D B
/
段AB 上，所以点D 与D 重合．即得D 、E 、F 三点共线．
三、 西姆松定理
5．西姆松定理及其证明
定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．
证明：如图示，连接PC ，连接 EF 交BC 于点D /，连接PD /．
因为PE ⊥AE ，PF ⊥AF ，所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得∠FAE =∠FEP ．
因为A 、B 、P 、C 四点共圆，所以∠BAC =∠BCP ，即∠FAE =∠BCP ．
所以，∠FEP =∠BCP ，即∠D /EP =∠D /CP ，可得C 、D /、P 、E 四点共圆．
所以，∠CD /P +∠CEP = 1800。而∠CEP = 900，所以∠CD /P = 900，
即PD /⊥BC ．
由于过点P 作BC 的垂线，垂足只有一个，所以点D 与D /重合，即得D 、E 、F 三点共线．
四、 托勒密定理
6．托勒密定理及其证明
定理：凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形，则有
AB·CD + BC·AD = AC·BD ．
证明：设点M 是对角线AC 与BD 的交点，在线段BD 上找一点，使得∠DAE
=∠BAM ．
因为∠ADB =∠ACB ，即∠ADE =∠ACB ，所以∆ADE ∽∆ACB ，即得 AD DE
，即AD ⋅BC =AC ⋅DE ————（1） =
AC BC
由于∠DAE =∠BAM ，所以∠DAM =∠BAE ，即∠DAC =∠BAE 。而∠ABD =∠ACD ，即∠ABE =∠ACD ，所以∆ABE ∽∆ACD ．即得
AB =BE ，即AB ⋅CD =AC ⋅BE ————（2）
AC
CD
由（1）+（2）得
AD ⋅BC +AB ⋅CD =AC ⋅DE +AC ⋅BE =AC ⋅BD ．
所以AB ·CD + BC·AD = AC·BD ． 7．托勒密定理的逆定理及其证明
定理：如果凸四边形ABCD 满足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A 、B 、C 、D 四点共圆． 证法1（同一法）：
在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得∠EAB =∠DAC ，∠EBA =∠DCA ，则∆EAB ∽∆DAC ． 可得AB×CD = BE×AC ———（1）
AE AB
=且 ———（2） AD AC
则由∠DAE =∠CAB 及（2）可得∆DAE ∽∆CAB ．于是有 AD×BC = DE×AC ———（3）
由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )． 据条件可得 BD = BE + DE ，则点E 在线段BD 上．则由∠EBA =∠DCA ，得∠DBA =∠DCA ，这说明A 、B 、C 、D 四点共圆．
8．托勒密定理的推广及其证明
定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有
AB×CD + BC×AD > AC×BD
证明：如图，在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得∠EAB =∠DAC ，
∠EBA =∠DCA ，则∆EAB ∽∆DAC ．
可得AB×CD = BE×AC ————（1）
AE AB
=且 ————（2） AD AC
则由∠DAE =∠CAB 及（2）可得∆DAE ∽∆CAB ．于是
AD×BC = DE×AC ————（3）
由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE ) 因为A 、B 、C 、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知
AB×CD + BC×AD≠AC×BD
所以BE + DE≠BD ，即得点E 不在线段BD 上，则据三角形的性质有BE + DE > BD． 所以AB×CD + BC×AD > AC×BD． 五、 欧拉定理
9．欧拉定理及其证明
定理：设ΔABC 的重心、外心、垂心分别用字母G 、O 、H 表示．则
有G 、O 、H 三点共线（欧拉线），且满足OH =3OG ．
证明（几何法）：连接OH ，AE ，两线段相交于点G /；连BO 并延长
交圆O 于点D ；连接CD 、AD 、HC ，设E 为边BC 的中点，连接OE 和OC ，如图．
因为 CD⊥BC ，AH ⊥BC ，所以 AH // CD．同理CH // DA． 所以，AHCD 为平行四边形．
可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE．
因为AH // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得∆AHG /∽∆EOG /．
AH AG /HG /2所以===．
OE G /E G /O 1
AG /2
由/=，及重心性质可知点G /就是∆ABC 的重心，即G /与点G 重合． G E 1
所以，G 、O 、H 三点共线，且满足OH =3OG ．